3. Übungsblatt zur Höheren Mathematik für Ingenieure 2

FR 6.1 - Mathematik
Univ.-Prof. Dr. Thomas Schuster
M.Sc. Julia Piontkowski
Dipl.-Math. Udo Schröder
Sommersemester 2015
3. Übungsblatt zur Höheren Mathematik für
Ingenieure 2
Aufgabe 1
Gegeben sei das Gleichungssystem
1+3+1 Punkte
x1 − 2x2 + 3x3 = 4
3x1 + x2 − 5x3 = 5
2x1 − 3x2 + 3x3 = 8.
(i) Stellen Sie das Gleichungssystem in der Form Ax = b dar.
(ii) Bestimmen Sie die inverse Matrix zu A.
(iii) Lösen Sie das Gleichungssystem mithilfe von A−1 aus (ii).
Aufgabe 2
(i) Sei
2+2 Punkte
A=
a b
c d
!
eine beliebige Matrix im R2×2 . Wann ist A invertierbar? Berechnen Sie die inverse Matrix,
falls diese existiert.
(ii) Lösen Sie mithilfe des Ergebnisses von (i) das lineare Gleichungssystem
2x1 + 3x2 = 0
7x1 + 5x2 = 11.
1
Aufgabe 3
4+1+1 Punkte
Ein Student hat nach der Abgabe von 5 Übungsblättern folgende Punkte bekommen:
ni
pi
1
0
2
15
3
20
4
10
5
5
(ni - Nummer des i-ten Übungsblattes, pi - Punkte auf dem i-ten Übungsblatt).
(i) Bestimmen Sie mithilfe der Methode der kleinsten Quadrate die Ausgleichsgerade zu diesen
Daten.
(ii) Wieviele Punkte sind nach dem Modell aus (i) auf dem 6. Übungsblatt zu erwarten?
(iii) Die Studenten benötigen 50% der Punkte der 6 Übungsblätter für die Zulassung zur Klausur. Auf jedem Übungsblatt können sie maximal 20 Punkte bekommen. Erhält der Student
mit diesem Modell die Zulassung zur Klausur?
Aufgabe 4
3+2 Punkte
(i) Es seien A, B und C invertierbare Matrizen, deren Produkt A · B · C definiert ist. Folgern
Sie aus der Formel (A · B)−1 = B −1 · A−1 eine Formel, die (A · B · C)−1 durch A−1 , B −1
und C −1 ausdrückt, und beweisen Sie diese.
(ii) Folgern Sie aus Aufgabe 4 (iii) vom 1. Übungsblatt (mit n = m = l), dass für alle invertierbaren Matrizen A ∈ Rn×n gilt:
(A> )−1 = (A−1 )> .
Abgabe: Mittwoch, 20.5.2015 bis 10.00 Uhr
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