TOPOLOGIE - QUIZ 6 Soient X un ensemble infini et Tdén - GR-HE

TOPOLOGIE - QUIZ 6
Soient X un ensemble infini et Tdén la famille
Tdén = {∅, X} ∪ {U ⊆ X | X \ U est dénombrable}.
Elle est bien une topologie, et on l’appelle la topologie codénombrable.
Question 1. Montrer qu’une suite (xn )n∈N dans X converge vers x ∈ X si et seulement si (xn )
est de la forme (x0 , x1 , x2 , . . . , xn0 , x, x, x, . . .) pour un n0 ∈ N.
Question 2. Dire si la topologie deńombrable est de Hausdorff ou satisfait l’axiome T1 .
Question 3. Comparer la topologie dénombrable sur R avec la topologie standard.
TOPOLOGIE - SÉRIE 7
Exercice 1. Soit (X, T ) un espace topologique, et soit Y ⊆ X.
(a) Montrer que si B est une base de T , alors {B ∩ Y | B ∈ B} est une base de TY .
(b) Soit A ⊆ Y . Montrer que l’adhérence de A par rapport à TY est égale à A¯ ∩ Y , où A¯ est
son adhérence par rapport à T .
Exercice 2. Montrer que S 1 \ {(0,1)}, muni de la topologie de sous-espace de la topologie
standard sur R2 , est homéomorphe à R muni de la topologie standard.
Exercice 3. On a vu dans le cours que pour un espace topologique métrisable (X, T ) et M ⊆ X,
x ∈ M si et seulement si on trouve une suite (xn )n∈N dans M qui converge vers x (dans X).
La direction “⇐” est juste dans un espace topologique quelconque (pas forcément métrisable).
Par contre, ce n’est pas vrai pour l’autre. Trouver un contre-exemple. Indication: penser à la
topologie codénombrable.
Exercice 4. Trouver un exemple qui montre qu’on ne peut pas généraliser le Lemme de Recollement au cas infini. Plus spécifiquement, trouver une application f : (X, T ) → (Y, T 0 ) et une suite
S
0
(Xn )n∈N de sous-espaces fermés de X tels que X = ∞
n=0 Xn et les f |Xn : (Xn , TXn ) → (Y, T )
sont continues pour tout n ∈ N mais f ne l’est pas.
Exercice 5. On a vu dans la Série 3 que d et d0 ci-dessous définissent des métriques sur l’ensemble C[0, 1] des fonctions continues de [0, 1] à R:
d : C[0, 1] × C[0, 1] → R, (f, g) 7→
Z 1
|f x − gx| dx,
0
d0 : C[0, 1] × C[0, 1] → R, (f, g) 7→ sup |f x − gx| .
x∈[0,1]
Montrer que la topologie Td induite par d est strictement moins fine que la topologie Td0 induite
par d0 (i.e. Td ( Td0 ).
Indication: Construire une suite de fonctions qui converge par rapport à d mais ne converge pas
par rapport à d0 .
Date: 2 novembre 2014

Download Report