Sommation par paquets

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Enoncés
1
Sommation par paquets
Exercice 1 [ 02427 ] [correction]
Etablir que pour x ∈ ]−1, 1[,
+∞
X
xn
d(n)xn
=
n
1
−
x
n=1
n=1
+∞
X
en notant d(n) le nombre de diviseurs positifs de n.
Exercice 2 [ 02424 ] [correction]
Convergence et calcul, pour z complexe tel que |z| < 1, de
+∞
X
n
z2
1 − z 2n+1
n=0
Exercice 3 [ 02636 ] [correction]
On note `1 (Z) l’ensemble des suites complexes u = (un )n∈Z sommables.
a) Soit u, v ∈ `1 (Z). Montrer que pour tout n ∈ Z, la famille (uk vn−k )k∈Z est
sommable.
P
b) Pour u, v ∈ `1 (Z), on pose (u ? v)n =
uk vn−k . Montrer que u ? v ∈ `1 (Z) et
k∈Z
que
X
(u ? v)n =
n∈Z
X
un
n∈Z
X
vn
n∈Z
c) Montrer que la loi ? ainsi définie est commutative, associative et possède un
neutre.
d) La structure (`1 (Z), ? ) est-elle un groupe ?
Exercice 4 [ 04065 ] [correction]
Soit q ∈ C avec |q| < 1.
Montrer que la famille q |n| n∈Z est sommable et calculer sa somme.
Exercice 5 [ 04066 ] [correction]
Soit r ∈ [0, 1[ et θ ∈ R.
Justifier l’existence et calculer
X
r|n| einθ
n∈Z
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Corrections
Corrections
2
Puisque la famille (z p )p∈N? est sommable, on peut sommer par paquets et écrire
+∞
X
Exercice 1 : [énoncé]
Pour x ∈ ]−1, 1[, on peut écrire
p=1
+∞
Finalement
X
xk
xk`
=
1 − xk
+∞
X
k=1
Pour chaque k > 1, la série
n=0 m∈An
z2
n
(2k+1)
n=0 k=0
+∞
n
Exercice 3 : [énoncé]
a) Puisque v ∈ `1 (Z), vn −−−−−−→ 0 et donc (vn ) est bornée par un certain M .
k=1 `=1
P k` P +∞
P k` P
x converge et la série
x =
k>1 `=1
k>1
|x|k
1−|x|k
+∞ X
+∞
X
X
xk
k`
=
x
=
d(n)xn
1 − xk
n=1
n=1
k`=n
|n|→+∞
On a |uk vn−k | 6 M |uk | donc la famille (uk vn−k )k∈Z est sommable.
b) Pour chaque k ∈ Z, la famille (|uk vn−k |)n∈Z est sommable avec
X
X
X
|uk vn−k | = |uk |
|vn−k | = |uk |
|vn |
n∈Z
et la famille
n∈Z
P
|uk |
|vn |
n∈Z
avec
dn = Card {(k, `) ∈ N? /k` = n}
dn apparaît alors comme étant le nombre de diviseurs positifs de n, i.e. d(n).
Exercice 2 : [énoncé]
Puisque |z| < 1, on peut écrire par sommation géométrique
est aussi sommable, donc, par sommation par
paquets, la famille (uk vn−k )(n,k)∈Z2 est sommable.
Par sommation par paquets
X
XX
|uk vn−k | =
|uk | |vn−k | < +∞
X
X
uk vn−k 6
|uk | |vn−k |
k∈Z
k∈Z
1
k=0
+∞
X
n
+∞
+∞
+∞ X
+∞
X
X
X
n
z2
2n
2n+1 k
=
z
z
=
z 2 (2k+1)
2n+1
1
−
z
n=0
n=0
n=0
k=0
n∈Z k∈Z
Puisque
+∞
X n+1
1
z2 k
n+1 =
2
1−z
n∈Z
k∈Z
(n,k)∈Z2
et donc
+∞ X
+∞
X
+∞ +∞
XX
xk
=
xk`
1 − xk
`>1
k=1
zm =
X
z2
z
zp =
n+1 =
2
1−z
1−z
n=0
p=1
converge aussi. La famille (xk` )k,`∈N? est donc sommable.
Réorganisons la somme selon les valeurs du produit k`
+∞
X
+∞ X
X
+∞
X
`=1
Par suite
zp =
on a obtient u ? v ∈ ` (Z).
De plus, par sommation par paquets
X
XX
XX
uk vn−k =
uk vn−k =
uk vn−k
(n,k)∈Z2
k=0
Tout entier naturel non nul p s’écrit de façon unique sous la forme
k∈Z n∈Z
ce qui donne
X
n
p = 2 (2k + 1) avec n, k ∈ N
On peut donc affirmer que N? est la réunion des ensembles deux à deux disjoints
suivants
An = {2n (2k + 1)/k ∈ N}
n∈Z k∈Z
n∈Z
(u ? v)n =
X
k∈Z
uk
X
n∈Z
vn−k =
X
uk
k∈Z
X
v`
`∈Z
c) On a
(u ? v)n =
X
uk v` = (v ? u)n
k+`=n
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Corrections
3
et
X
((u ? v) ? w)n =
uk v` wm = (u ? (v ? w))n
k+`+m=n
Pour ε définie par εn = δn,0 , u ? ε = u donc ε est élément neutre.
d) Considérons u définie par un = δ0,n − δ1,n .
Si u est inversible et v son inverse, la relation u ? v = ε donne
vn − vn−1 = εn = δ0,n .
Par suite pour tout n ∈ N, vn = v0 et puisque vn −−−−−→ 0, pour tout
n→+∞
n ∈ N, vn = 0. De même pour tout n < 0, vn = 0
Mais alors, pour n = 0, vn − vn−1 = δ0,n donne 0 = 1.
L’élément u n’est pas inversible et donc (`1 (Z), ? ) n’est pas un groupe.
Exercice 4 : [énoncé]
|n|
Etudions la sommabilité de |q|
.
n∈Z
On peut décomposer
Z = N? ∪ {0} ∪ Z?−
|n|
est sommable car la série géométrique
La sous-famille |q|
n∈N?
converge.
|n|
De même, la sous-famille |q|
est sommable.
?
n∈Z
−
|n|
Par sommation par paquets |q|
est sommable. De plus
P
n
|q|
n∈Z
X
q |n| =
n∈Z
X
qn + 1 +
X
q −n = 1 + 2
n∈Z?
−
n∈N?
+∞
X
n=1
qn =
1+q
1−q
Exercice 5 : [énoncé]
Etudions la sommabilité de r|n| einθ n∈Z = r|n| n∈Z .
On peut décomposer
Z = N? ∪ {0} ∪ Z?−
P n
La sous-famille r|n| n∈N? est sommable car la série géométrique
r converge.
De même, la sous-famille r|n| n∈Z? est sommable.
−
Par sommation par paquets r|n| n∈Z est sommable.
La somme étudiée existe donc et en sommant par paquets
X
n∈Z
r|n| einθ =
X
n∈N?
rn einθ +1+
X
n∈Z?
−
r−n einθ = 1+
reiθ
re−iθ
1 − r2
+
=
1 − reiθ 1 − re−iθ
1 − 2r cos θ + r2
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