Chapitre 10_Correction_exercices

´
3. Exercices et corriges
. N°61p.208
Trouvez les valeurs exactes du cosinus et du sinus des nombres donn´es. Vous pouvez commencer par placer les points
sur un cercle trigonom´etrique.
(a)
(b)
(c)
4π
3
71π
3
− 97π
3
. Corrige´ du N°61p.208
(a)
4π
3
(b)
71π
3
=π+
π
,
3
π
,
3
4π
3
= − 12 , et sin
donc cos
71π
3
4π
3
=−
√
3
2
√
= 21 , et sin 71π
= − 23
3
√
= −32π − π3 , donc cos − 97π
= 12 , et sin − 97π
= − 23
3
3
= 24π −
(c) − 97π
3
donc cos
. N°2p.197
Sur le cercle trigonom´etrique C ci-dessous, on a plac´e le point M associ´e a
` x.
1) Placez sur C les points associ´es a
`:
5π
3π + x
5π − x
−x
2
2) Simplifiez l’expression :
5π
π
sin
− x + sin(3π + x) + cos(5π − x) + cos x −
2
2
. Corrige´ du N°2p.197
1)
2)sin 5π
− x = cos x ;
2
sin(3π + x) = − sin x ;
cos(5π − x)
= − cos x ;
cos x − π2 = sin x, donc :
sin
5π
π
− x + sin(3π + x) + cos(5π − x) + cos x −
=0
2
2
121
x−
π
.
2
. N°63p.208
(O;~i; ~j) est un rep`ere orthonorm´e direct et C le cercle trigonom´etrique de centre O. Les points N, P, Q sont d´efinis a
`
partir de M comme indiqu´e sur la figure ci-dessous.
1) Quels sont les r´eels de [0, 2π] associ´es a
` N, P et Q respectivement ?
2) Simplifiez les ´ecritures
suivantes
:
a) cos x + cos x + π2 + cos(x + π) + cos x + 3π
2
b) sin x + sin x + π2 + sin(x + π) + sin x + 3π
2
. Corrige´ du N°63p.208
1) N est associ´e a
` x + π2 ; P est associ´e a
` x + π ; Q est associ´e a
` x + 3π
.
2
π
3π
2.a) cos x + cos x + 2 + cos(x + π) + cos x + 2 = cos x − sin x − cos x + sin x = 0
2.b) sin x + sin x + π2 + sin(x + π) + sin x + 3π
= sin x + cos x − sin x − cos x = 0
2
. N°64p.208
On donne cos x = 34 , et x ∈ − π2 ; 0 .
1) Sur un cercle trigonom´etrique, placez le point M associ´e a
` x.
2.a) Quelle est la valeur exacte de sin x ?
2.b) D´eduisez-en
les valeurs exactes de :
cos π2 − x
sin(π + x)
. Corrige´ du N°64p.208
1)
√
9
et x ∈ − π2 ; 0 ; donc sin x = − 47 .
2.a) sin2 x = 1 − 16
√
2.b) cos π2 − x = sin x = − 47
√
sin(x + π)= − sin x = 47
sin π2 + x = cos x = 34
cos(π − x) = − cos x = − 34
122
sin
π
2
+x
cos(π − x)
. N°5p.198
R´esolvez dans R les ´equations suivantes :
a) cos x = cos 2π
3
c) sin x = sin − 5π
6
b) sin x = sin
d) cos x = cos
5π
4
5π
6
c) cos x = −
√
3
2
c) sin x = −
√
3
2
. Corrige´ du N°5p.198
donc x = 2π
+ 2kπ ou − 2π
+ 2kπ.
a) cos x = cos 2π
3
3
3
5π
b) sin x = sin 5π
donc
x
=
+
2kπ ou − π4 + 2kπ.
4
4
c) sin x = sin − 5π
+ 2kπ ou 11π
+ 2kπ.
donc x = − 5π
6
6
6
(dans le second cas, la mesure principale est −π
6
donc x = 5π
+ 2kπ ou − 5π
+ 2kπ.
d) cos x = cos 5π
6
6
6
. N°68p.208
1)
a)
2)
a)
A l’aide √d’un cercle trigonom´etrique C , trouvez les r´eels x de√ l’intervalle [0; 2π[ tels que :
b) sin x = 22
cos x = 23
Trouvez les
r´eels x de l’intervalle [−π; π[ tels que :
√
√
sin x = − 22
b) cos x = 23
. Corrige´ du N°68p.208
√
}
1.a) cos x = 23 = cos π6 ; S = { π6 ; 11π
6
√
1.b) sin x = 22 = sin π4 ; S = { π4 ; 3π
}
4
√
1.c) cos x = − 23 = cos 5π
; S = { 5π
; 7π
}
6
6
6
√
2
π
3π
2.a) sin x = − 2 ; S = {− 4 ; − 4 }
√
2.b) cos x = 23 ; S = {− π6 ; π6 }
√
}
2.c) sin x = − 23 ; S = {− π3 ; − 2π
3
On n’´ecrit pas le ”modulo 2π” dans cet exercice car on travaille dans un intervalle pr´e-d´etermin´e.
. N°71p.209
Donnez a
` l’aide de la calculatrice une valeur approch´ee en radians a
` 10−3 pr`es des solutions de l’´equation dans
l’intervalle I indiqu´e.
a) I = [0; π] ; cos x = 0, 6.
b) I = [− π2 ; π2 ] ; sin x = − 25 .
. Corrige´ du N°71p.209
a) cos x = 0, 6 ; S = {0, 927}
b) sin x = − 52 ; S = {−0, 412}
123

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