trigonometrie

3ème Chapitre G2
I)
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
1
Relations trigonométriques dans le triangle rectangle.
1) Définitions.
Il existe trois relations entre les côtés d’un triangle rectangle, et un de ses
angles aigus. Nous avons déjà vu en 4ème le cosinus d’un angle aigu.
Soit un triangle ABC rectangle en A et un de ses angles aigus, c
 Cosinus de l’angle aigu c :
cos c =
côté adjacent à c
avec 0 < cos c < 1
hypoténuse
( L’hypoténuse étant toujours plus grande que le côté adjacent, le
cosinus d’un angle aigu dans un triangle rectangle ne dépasse pas 1)
 Sinus de l’angle aigu c :
sin c =
côté opposé à c
avec 0 < sin c < 1
hypoténuse
( L’hypoténuse étant toujours plus grande que le côté adjacent, le sinus
d’un angle aigu dans un triangle rectangle ne dépasse pas 1)
 Tangente de l’angle aigu c :
Tan c =
côté opposé à c
avec tan c > 0
côté adjacent à c
( la tangente d’un angle aigu peut être supérieure à 1 )
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
B
Côté
Hypoténuse
opposé à c
Côté
adjacent à b
A
C
Côté
Côté
opposé à b
adjacent à c
Sur la figure ci-dessus :
cos b =
AB
BC
cos c =
AC
BC
sin b =
AC
BC
sin c =
AB
BC
tan b =
AC
AB
tan c =
AB
AC
Exemple :
M
10
6
P
N
8
MP
6
=
= 0.6
MN
10
MP
8
tan n =
=  1.33
NP
6
PN
8
sin m =
=
= 0.8
MN
10
cos m =
2) Angles complémentaires.
Puisque ABC est un triangle rectangle en A, c et b sont deux angles
aigus complémentaires. ( c + b = 90 ° ).
On remarque que
cos b = sin c ,
sin b = cos c , tan b = inverse de tan c =
1
tan c
2
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
3
Prop : Le cosinus d’un angle aigu est égal au sinus de son
complémentaire.
La tangente d’un angle aigu est égale à l’inverse de celle de son
complémentaire.
Exemples :
Si cos 60 ° = 0.5 alors sin 30 ° = 0.5
Si tan a = 4 alors tan ( 90 – a ) =
1
= 0.25
4
12
T
sin R = cos S =
R
TS
9
3
=
= = 0.6
RS
15 5
9
15
tan S =
S
12
4
3
=
donc tan R =
= 0.75
9
3
4
3) Avec la calculatrice :
Il faut bien vérifier que la calculatrice est en mode degré.
On peut déterminer une valeur approchée
 soit du sinus, du cosinus ou de la tangente d’un angle donné :
si  = 50 °
on tape sin
alors sin  = ?
5 0 exe
la calculatrice affiche 0.7660444
donc une valeur approchée à 0.01 près de sin  est 0.77.
sin   0.77
 soit de la mesure de l’angle aigu dont le sinus, le cosinus ou la tangente
sont donnés.
si tan  = 2 alors  = ?
on tape shift
tan
2
la calculatrice affiche 63.434949
ou 2nd
donc une valeur approchée de l’angle  à 0.1 près est 63.4 °
  63.4 °
3ème Chapitre G2
0°
1
0
0
cos
sin
tan
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
10°
0.98
0.17
0.18
20°
0.94
0.34
0.36
30°
0.87
0.5
0.58
40°
0.77
0.64
0.84
50°
0.64
0.77
1.19
60°
0.5
0.87
1.73
70°
0.34
0.94
2.75
80°
0.17
0.17
5.67
4
90°
0
1
4) Exemples d’application.
a) Calcul d’un angle aigu dans un triangle rectangle.
Dans le triangle rectangle MON, ( je
connais la longueur MO du côté
opposé à N, et la longueur MN de
l’hypoténuse, donc je peux utiliser le
sinus de l’angle N.)
M
17 cm
8 cm
?
OM
MN
8
sin N =
17
sin N =
O
N
N = sin – 1 (
8
)
17
N  28.07°
E
Dans le triangle rectangle EST, ( je
connais la longueur ES du côté opposé à
T, et la longueur ST du côté adjacent de T
donc je peux utiliser la tangente de
l’angle T.)
15 cm
ES
ST
15
tan T =
7
tan T =
?
S
T = tan – 1 (
15
)
7
T  65°
T
7 cm
19 cm
I
P
?
Dans le triangle rectangle PIE, (je
connais la longueur PI du côté adjacent
de P et la longueur PE de l’hypoténuse,
je peux donc utiliser le cosinus de
l’angle P.)
25 cm
PI
PE
19
cos P =
25
cos P =
E
P = cos – 1 (
19
)
25
P  40.54°
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
5
b) Calcul de la longueur d’un des côtés de l’angle droit.
Dans le triangle rectangle THE, ( je
connais la mesure de l’angle T, la longueur
TE de l’hypoténuse, et je cherche la
longueur du côté adjacent de T, donc je
peux utiliser le cosinus de l’angle T.)
?
H
T
24°
25 cm
TH
TE
TH
cos 24 =
25
E
cos T =
TH = 25  cos 24
TH  22.8 cm
c) Calcul de la longueur de l’hypoténuse.
Dans le triangle rectangle RIZ, ( je
connais la mesure de l’angle Z, la
longueur RI du côté opposé à Z et je
cherche la longueur RZ de l’hypoténuse,
donc je peux utiliser sinus de l’angle Z.)
R
?
9 cm
32°
I
RI
RZ
9
sin 32 =
RZ
RZ  sin 32 = 9
sin Z =
Z
d) Problème de synthèse.
B
1) Calculer BH
2) Calculer BAC
3) Calculer AC.
15 cm
A
H
8 cm
C
RZ =
9
sin32
RZ  16.98 cm
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
1) Calcul de BH
Dans le triangle BHC rectangle en H, j’applique le théorème de
Pythagore :
BC ² = BH ² + HC ²
15 ² = BH ² + 8 ²
BH ² = 225 – 64
BH ² = 161
BH ² = 15 ² – 8 ²
BH =
161
BH  12,7 cm
2) Calcul de BCH puis de BAC
Dans le triangle BHC rectangle en H,
HC
8
cos BCH =
BHC = cos – 1 ( )
BC
15
8
cos BHC =
BHC  58 °
15
Dans le triangle ABC, rectangle en B, les angles aigus sont
complémentaires, donc BCA + BAC = 90 °
donc BAC  90 – 58 donc BAC  32°
3) Calcul de AC :
Dans le triangle rectangle ABC,
BC
sin BAC =
AC
15
sin 32 =
AC
AC =
15
sin32
AC  28,3 cm
6
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
5) Relations entre sinus, cosinus et tangente d’un angle aigu dans un
triangle rectangle.
a) Relation entre sinus et cosinus.
Nous nous proposons de montrer que quel que soit l’angle aigu  ,
sin ²  + cos ²  = 1
B
Dans le triangle ABC rectangle en A
sin B =
A
AC
BC
et cos B =
AB
BC
C
AC
AB
)² + (
)²
BC
BC
AC ²
AB ²
=
+
BC ²
BC ²
AC ² + AB ²
=
BC ²
or dans le triangle rectangle ABC, je peux appliquer le théorème de
Pythagore : AC ² + AB ² = BC ²
BC ²
donc sin ² B + cos ² B =
BC ²
donc sin ² B + cos ² B = (
donc sin ² B + cos ² B = 1 ,
ceci quel que soit B compris entre 0° et 90°
Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu ,
sin ²  + cos ²  = 1
b) Relation entre sinus cosinus et tangente.
Nous nous proposons de montrer que quel que soit l’angle aigu 
sin 
= tan 
cos 
Dans le triangle ABC rectangle en A,
7
3ème Chapitre G2
8
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
AC
BC
sin B
AC BC
AC
=
=

=
= tan B
AB
BC AB
AB
cos B
BC
Prop : Dans un triangle rectangle ayant un angle aigu ,
sin B
= tan B
cos B
Exemple d’application :
On donne cos  = 0.6 en déduire sin  et tan  sans calculette.
Je sais que quel que soit l’angle aigu alpha, sin ²  + cos ²  = 1
donc sin ²  + 0.6 ² = 1 donc sin ²  = 1 – 0.6² = 1 – 0.36 = 0.64
donc sin  = 0.64 = 0.8
Je sais que tan  =
sin B
0.8
8
4
donc tan  =
= =
0.6
6
3
cos B
6) Angles remarquables.
Soit un triangle ABC équilatéral de côté a, et sa hauteur [AH]
Soit un triangle rectangle isocèle MNP de sommet M, avec MN = NP = a
A
a
M
P
45 °
a
30 °
a
a 2
a 3
2
45 °
60 °
B
a
2
H
C
N
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
9
 Dans le triangle équilatéral ABC, les trois angles valent chacun 60 °,
donc ABC = 60 °. Dans le triangle ABH rectangle en H, les angles
aigu sont complémentaires,
donc BAH = 90 – ABH = 90 – 60 = 30 °
De plus, je sais que la hauteur d’un triangle équilatéral de côté a
a 3
a 3
vaut
, donc AH =
.
2
2
 Dans le triangle MNP isocèle rectangle , les angles aigus valent chacun
45 °
De plus je sais que la diagonale d’un carré de côté a vaut a 2 donc
NP = a 2
Calculer le cosinus, le sinus et la tangente des trois angles
remarquables : 30 °, 45 °, et 60 °.
 Dans le triangle BAH rectangle en H,
AH
AB
a 3
2
cos 30 ° =
a
a 3 1
cos 30 ° =

2
a
cos BAH =
cos 30 ° =
3
2
sin BAH =
a
2
sin 30 ° =
a
a 1
sin 30 ° = 
2 a
sin 30 ° =
sin 30 °
cos 30 °
1
2
tan 30 ° =
3
2
Je sais que tan 30 ° =
1 2

2
3
 Dans le triangle rectangle isocèle MNP,
tan 30 ° =
cos MNP =
NM
NP
BH
AB
cos 45 ° =
1
2
tan 30 ° =
1
3
tan 30 ° =
1 3
3 3
tan 30 ° =
1 2
2 2
3
3
3ème Chapitre G2
cos 45 ° =
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
a
cos 45 ° =
a 2
1
2
cos 45 ° =
2
2
Je sais que le sinus d’un angle aigu est égal au cosinus de son
complémentaire. 45 ° a pour complémentaire 45 °.
Donc cos 45 ° = sin 45 ° =
Je sais que tan 45 ° =
2
2
sin 45 °
cos 45 °
tan 45 ° =
sin 45 °
sin 45 °
tan 45 ° = 1
 Je sais que le sinus d’un angle aigu est égal au cosinus de son
complémentaire. 60 ° est le complémentaire de 30 °.
1
Donc
cos 60 ° = sin 30 ° donc cos 60 ° =
2
sin 60 ° = cos 30 ° donc sin 60 ° =
3
2
je sais que deux angles complémentaires ont leurs tangentes qui sont
l’inverse l’une de l’autre,
donc
tan 60° = inv tan 30°
1
tan 60 ° = inv
3
tan 30° =
3
TABLEAU RECAPITULATIF :
sinus
cosinus
tangente
0°
0
1
0
30 °
3
2
2
2
1
2
1
1
2
2
2
3
2
0
3
3
1
45 °
60 °
90 °
3
10
3ème Chapitre G2
II)
11
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
Angle inscrit et angle au centre dans un cercle.
1) Définitions.
a) Angle inscrit dans un cercle.
Df : Un angle inscrit dans un cercle est un angle dont le sommet est
situé sur le cercle, et dont les côtés coupent cercle.
A
ABC est un angle inscrit dans
le cercle
B
C
C.
AC est l’arc intercepté par
l’angle inscrit ABC.
O
C
b) Angle au centre dans un cercle.
Df : Un angle au centre dans un cercle est un angle dont le sommet
est le centre du cercle, et dont les côtés coupent le cercle.
C
A
O
C
A
O
C
C
AOC et AOC sont des angles au centre dans le cercle
AOC intercepte l’arc AC
C.
AOC intercepte l’arc AC
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
12
2) Propriétés.
a) Angle inscrit et angle au centre interceptant le même arc.
D
AOB est un triangle isocèle de sommet O
AOB = 180 – 2 ABO
AOB’ = 180 – AOB
AOB’ = 180 – ( 180 – 2 ABO )
AOB’ = 2 ABO
A
B’
O
B
C
C
BOC = 180 – 2 CBO
B’OC = 180 – BOC
B’OC = 180 – ( 180 – 2 CBO )
B’OC = 2 CBO
AOB’ + B’OC = 2 ABO + 2 OBC = 2 ( ABO + OBC )
AOC = 2 ABC
Prop : Dans un cercle, un angle au centre mesure le double d’un
angle inscrit interceptant le même arc.
b) Angles inscrits interceptant le même arc.
Deux angles inscrits interceptant le même arc qu’un angle au centre,
valent chacun la moitié de cet angle au centre, donc ils sont égaux.
Sur la figure du a) :
ADC = 2 AOC et ABC = 2 AOC donc ADC = ABC
Prop : Dans un cercle, deux angles inscrits interceptant le même arc
sont égaux.
3ème Chapitre G2
TRIGONOMETRIE
ANGLE INSCRIT ET ANGLE AU CENTRE DANS UN CERCLE
13
2) Exemples d’application.
T
T,E et S sont alignés. P,E et R sont alignés.
SPE = 36°, SER = 100°. Calculez ERT.
R
E
PES et SER sont supplémentaires, donc
PES = 180 – SER = 180 – 100
PES = 80 °
La somme des angle d’un triangle vaut
180°, donc dans le triangle ESP,
ESP = 180 – PES – EPS = 180 – 80 – 36
P
S
ESP = 64 ° donc TSP = 64°
PST et PRT sont deux angles inscrits interceptant le même arc, donc ils
sont égaux. Donc PRT = 64 ° donc ERT = 64 °
Calculez la mesure de l’angle AER, sachant
que O est le centre du cercle, les points P, O et
R sont alignés, et AOP = 20°.
P
A
E
O
AOR = AOP + POR = 20 + 180
AOR = 200 °
R
AER est un angle inscrit interceptant le
même arc sue l’angle au centre AOR,
donc il vaut la moitié de AOR.
AOR
200
Donc AER =
=
2
2
Donc AER = 100 °

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