Approximation de Taylor
Théorème de Taylor et formule du reste
Préliminaires
Notions de mathématiques
Les nombres
Relations entre les nombres
Inégalités et notion d’ordre
Intervalles
Pourcentages
Manipulation et opération sur les nombres
Sommes
Moyenne arithmétique
Puissances
Valeur absolue
Écriture scientifique
Racines
Fonctions
Les fonctions exponentielles et logarithmes
Trigonométrie
La notion d’angle : généralités
Le radian
Primitives
Motivation
Considérons une droite munie d’un repère cartésien, c’est-à-dire une
droite graduée.
Soit f : R → R : t 7→ f (t) une fonction dont la valeur f (t) représente la
coordonnée d’un mobile à l’instant t le long de cette droite.
Exemple
Si on note f (t) la hauteur d’un yoyo au cours du temps, on pourrait
modéliser ceci par f (t) = cos(t).
I
À l’instant t = 0, le mobile est à hauteur 1,
I
puis descend pour arriver à hauteur −1,
I
I
remonte ensuite pour retourner à hauteur 1,
et ainsi de suite. . .
Dans cette situation, la quantité
f (b ) − f (a)
b −a
représente la distance parcourue rapportée au temps passé à la
parcourir : c’est la vitesse moyenne du mobile entre les instants a et b .
Primitives
Motivation
Remarque
Notons que le signe de la vitesse moyenne indique le sens du
déplacement !
Lorsque a et b sont de plus en proches, la vitesse moyenne tend vers
la quantité
f (b ) − f (a)
= f 0 (a).
lim
b →a
b −a
C’est la vitesse instantannée du mobile à l’instant a.
La vitesse instantannée est la dérivée de la position par rapport
au temps.
Remarque
Connaissant la vitesse instantannée en chaque instant, comment
retrouver la position ? Notons qu’il faut au minimum connaître la
position initiale !
Primitives
Motivation
Question
On considère une population de bactéries au cours du temps, et on
note p(t) le nombre de bactéries à l’instant t. On suppose que le taux
de croissance de ces bactéries est lié à deux facteurs : le nombre de
bactéries, et les ressources disponibles. On peut modéliser cela par
l’équation
p 0 (t) = p(t)(K − p(t))
où K représente les ressources disponibles.
Quelles sont les fonctions qui vérifient cette équation en tout t ?
Remarque
Une telle équation est une équation différentielle.
Primitives
Motivation
Réponse
Supposons que la population ne disparait pas (p(t) , 0) et ne dépasse
jamais les ressources (p(t) , K ), alors :
p 0 (t)
=1
p(t)(K − p(t))
Notons f (x) = x (K1−x ) . Alors l’équation se ré-écrit :
f (p(t))p 0 (t) = 1
C’est-à-dire, en notant F une fonction telle que F 0 = f , on aurait
(F (p(t)))0 = 1.
Si on savait trouver des fonctions dont la dérivée est une fonction
donnée, on pourrait terminer ces calculs !
Primitives
Motivation
I
L’accélération a est la dérivée de la vitesse, et la vitesse est la
dérivée de la position.
a(t) = v 0 (t) = x 00 (t)
I
L’équation de Newton dit : la force est proportionnelle à
l’accélération.
Question
Quel est le mouvement d’un ressort ?
Réponse
Modélisons le ressort comme suit : on définit l’élongation e(t) du
ressort à l’instant t comme la différence entre sa position au repos et
sa position à l’instant t.
I
Si le ressort est étiré, e(t) > 0 ;
I
si le ressort est compressé, e(t) < 0.
Supposons que la force soit proportionnelle à l’élongation, mais
opposée.
Primitives
Motivation
Réponse
On suppose donc qu’il existe k > 0 avec
F = −ke(t)
Par Newton :
ma = −ke(t)
Or e(t) = x(t) − xrepos , donc e 0 (t) = x 0 (t) et e 00 (t) = x 00 (t). On a alors :
me 00 (t) = −ke(t)
Si seulement nous pouvions résoudre cela ! Mais comment ?
Primitives
Définition
Définition
Une primitive de f est une fonction F dérivable sur le domaine de f et
telle que :
F 0 (x) = f (x)
Remarque
Si F est une primitive de f sur I alors pour toute constante C , la
fonction F + C est aussi une primitive de f sur I .
Remarque
On ne peut pas parler de la primitive d’une fonction, mais toujours des
primitives d’une fonction donnée.
Primitives
Définition
En général il existe une infinité de primitives, mais nous pouvons les
caractériser
Résultat
Si F et G sont deux primitives de f sur un même intervalle ouvert I ,
alors il existe une constante C ∈ R telle que G (x) = F (x) + C pour tout
x dans I .
Démonstration.
La fonction h B G − F a une dérivée nulle sur I . Supposons par
l’absurde que h ne soit pas constante, c’est-à-dire qu’il existe x, y ∈ I
avec h (x) , h (y). Alors d’après la formule des accroissements finis, il
existe c entre x et y tel que
h (x) − h (y)
= h 0 (c) = 0,
x −y
ce qui prouve h (x) = h (y), et est une contradiction. Donc h est une
constante, disons C , c’est-à-dire G (x) − F (x) = C ; ce que nous
voulions démontrer.
Primitives
Définition
Définition
Les constantes apparaissant de la sorte s’appellent parfois constante
d’intégration .
Remarque
Si on connait une primitive d’une fonction définie sur un intervalle,
alors on les connait toutes.
Primitives
Définition
Remarque
Si f est définie sur un domaine plus compliqué qu’un intervalle alors
chaque « morceau » du domaine a sa propre constante d’intégration.
Exemple
Une primitive de 1x est ln(|x |). Mais le domaine n’est pas un intervalle !
En fait, les primitives de
1
f : R0 → R : x 7→
x
sont toutes les fonctions F : R0 → R telles que
si x > 0
ln(x) + C1
F (x) =
ln(−x) + C2 si x < 0.
Malgré tout, en pratique, on écrit en général F (x) = ln |x | + C .
Primitives
Notations
R
R
Si f est une fonction, on notera f ses
R primitives. C’est-à-dire f
représente toute fonction vérifiant ( f )0 = f .
On notera parfois aussi :
Z
f (x) dx
R
et la notation dxf (x) existe également.
Remarquons que si on note F 0 (x) = ddFx , les notations ont des
similitudes ! Nous en reparlerons plus tard.
On dit aussi F est une intégrale indéfinie de f .
Primitives
Notations
Remarque
On écrira parfois
Z
f (x) dx
x =a
pour exprimer qu’on évalue la primitive donnée au point a.
Exemple
Z
3
3
3
x
x 2 dx = =
=9
x =3
3 x =3
3
Remarque
Cette notation est cependant très mauvaise, car la valeur finale
x3
dépend de la primitive trouvée ! Par exemple 3 + 1 est aussi une
primitive de x 2 , donc on aurait
alors
!
Z
3
3
x
3
+ 1 + 1 = 10
x 2 dx =
=
Absurde !
x =3
3
3
x =3
Techniques de recherche de primitive
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Le radian
Techniques de recherche de primitive
Trouver une primitive d’une fonction est une opération qui inverse la
dérivation. On a le schéma suivant pour une fonction f et sa primitive
F:
R
d
dx
F + C −→ f
dx
F + C ←− f .
Techniques de recherche de primitive
Chaque règle de dérivation donne lieu à une formule utilisable pour la
recherche de primitive.
Exemple
La fonction
x3
3
f (x) = x 2
admet F (x) = comme primitive, car
!0
3
x
1 3 0
1
0
F (x) =
=
x
= · 3x 2 = x 2 = f (x)
3
3
3
Donc on peut écrire
Z
3
x
+C
x 2 dx =
3
ce qui est simplement une façon d’écrire qu’on a là toutes les
primitives de f (x) = x 2 .
Exemple
De manière générale
Z
a +1
x
xa =
+C
a +1
car la dérivée du membre de droite vaut le membre de gauche !
Techniques de recherche de primitive
Remarque
La recherche de primitive est plus complexe que la dérivation !
Étant donné une « formule » (somme, produit et composées de
fonctions dont la dérivée est connue), on peut toujours la dériver et
obtenir une nouvelle « formule » via les règles de dérivations. Mais il
n’est pas toujours possible de faire cela avec la primitivisation !
Exemple
L’intégrale indéfinie
Z
e
−x 2
dx
n’est pas une fonction élémentaire. Pourtant les primitives existent, et
voici d’ailleurs le graphe de l’une d’elle :
y
−4
−2
2
4
x
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
En réécrivant les formules de dérivation vues précédemment, on
obtient les formules d’intégration immédiate suivantes.
Z
x r +1
r
+C
r , −1, x ∈ R+
x dx =
0
r +1
Z
1
dx = ln |x | + C
x ∈ R0
x
Z
sin x dx = − cos x + C
x ∈R
Z
cos x dx = sin x + C
x ∈R
Z
ex dx = ex + C
x ∈R
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
Voici quelques formules supplémentaires que vous pouvez obtenir en
applications
de règles de dérivations
Z
1
3π π π 3π
,...
dx = tg x + C
x ∈ R \ ...,− ,− , ,
2
2
2 2 2
cos x
Z
1
dx = − cotg x + C
x ∈ R \ {. . . , −2π, −π, 0, π, 2π, . . .}
2
Z sin x
1
dx = arcsin x + C
x ∈ ]−1, 1[
√
2
1
−
x
Z
1
dx = arctg x + C
x ∈R
2
1+x
Remarque
Dans tous ces exemples, on a écrit une seule constante d’intégration
C , même dans les cas où il y a plusieurs constantes d’intégration (une
par « morceau » du domaine).
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
Deux fonctions nous seront utiles dans nos recherches de primitives :
I
I
cosinus hyperbolique ch : R → [1, ∞[ : x 7→ ch x =
sinus hyperbolique sh : R → R : x 7→ sh x =
ex −e−x
2
ex +e−x
2
Ces fonctions ont les propriétés suivantes. Pour tout x ∈ R :
ch2 x − sh2 x = 1
ch(−x) = ch x
(ch est paire)
sh(−x) = − sh x
(sh est impaire)
(ch x)0 = sh x
(sh x)0 = ch x.
Attention, les formules sont légèrement différentes de celles de la
trigonométrie classique !
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
Exercice
Montrer les formules précédentes et les faits suivants :
1. ch est strictement positive sur R,
2. sh est strictement croissante sur R (et s’annule en 0), et
3. ch est strictement décroissante sur R− et
4. ch est strictement croissante sur R+ .
Exercice
(plus difficile) On peut déduire de tout cela les faits suivants :
I
sh est une bijection de R dans R, et
I
ch (restreinte à R+ ) une bijection de R+ dans [1, +∞[.
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
Les graphes de ces fonctions :
y
ch(x)
5
4
3
2
x
e /2
−3
1
−1
−2
sh(x)
−3
−4
−5
3
x
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
Les fonctions cosinus et sinus hyperbolique admettent donc des
réciproques :
argch : [1, +∞[ → R+ : x 7→ argch x
argsh : R → R : x 7→ argsh x
dont les dérivées sont
1
1
1
0
(argch x) =
=
=√
0
(ch) (argch x) sh(argch x)
x2 − 1
pour x ∈ ]1, +∞[, et
1
1
1
0
(argsh x) =
=
=√
0
(sh) (argsh x) ch(argsh x)
1 + x2
pour x ∈ R.
Techniques de recherche de primitive
Intégration immédiate
De tout ce qui précède nous obtenons les formules d’intégrations
suivantes :
Z
ch x dx = sh(x) + C
x ∈R
sh x dx = ch(x) + C
x ∈R
Z
Z
Z
√
√
1
x2 − 1
1
1 + x2
dx = argch(x) + C
x ∈ ]1, ∞[
dx = argsh(x) + C
x ∈R
Techniques de recherche de primitive
Linéarité
La règle de dérivation d’une
Z somme ZdonneZlieu à :
(f + g) =
f+
g
pour des fonctions f et g.
La règle de dérivation d’une fonction multipliée par une constante
donne lieu à :
Z
Z
af = a f
pour toute fonction f et tout réel a.
On peut résumer les Z
deux règles précédentes
Z
Zsous la forme :
(a f + b g) = a
f +b
g
pour des fonctions f , g et des réels a, b . Ceci est une propriété dite de
« linéarité ».
Techniques de recherche de primitive
Linéarité
Exemple
Z
2
3
√
Z
(x + x + x) dx =
2
x dx +
Z
3
Z
x dx +
x 3 x 4 x 3/2
+
+
+C
=
3
4
3/2
√
x3 x4 2 x3
=
+
+
+C
3
4
3
I
Par linéarité
I
Par primitivisation immédiate
√
x dx
Techniques de recherche de primitive
Linéarité
Exemple
Z Z
Z
1
1
x
e − dx = e dx −
dx
x
x
= ex − ln |x | + C
x
(x ∈ R0 )
Techniques de recherche de primitive
Intégration par changement de variable
La règle de dérivation des fonctions composées est :
(g(f (x)))0 = g 0 (f (x)) · f 0 (x).
Ceci nous fournit la règle de « Primitivisation par changement de
variable ».
Z
g 0 (f (x))f 0 (x) dx = g(f (x)) + C .
Techniques de recherche de primitive
= g0,
Intégration par changement de variable
R
Si on écrit h
de sorte que g = h , on peut alors écrire deux
formules utiles : Z
Z
h (f (x)) · f 0 (x) dx = h (u) du
u =f (x )
et
Z
Z
h (u) du = h (f (x))f 0 (x) dx.
x =f −1 (u )
où la barre verticale indique qu’après avoir intégré, on remplace u par
f (x) (première formule) ou x par f −1 (u) (seconde formule).
Techniques de recherche de primitive
Intégration par changement de variable
I
En pratique, on pourra écrire u = f (x) et du = f 0 (x) dx.
I
Cette seconde égalité en particulier n’a aucun sens !
I
Néanmoins c’est un moyen mnémotechnique classique et
efficace pour réaliser les changements de variable.
Techniques de recherche de primitive
Intégration par changement de variable
Exemple
Z
3x 2 (x 3 + 5)9 dx
3 + 5, on obtient du = 3x 2 dx. Et donc
On remarque
qu’en
posant
u
=
x
Z
Z
Z
3x 2 (x 3 + 5)9 dx = (x 3 + 5)9 · 3x 2 dx = u 9 du
| {z } | {z }
De
R
u 9 du
u 10
10
=u 9
= du
+ C , on arrive à
Z
3 + 5)10
(x
+ C.
3x 2 (x 3 + 5)9 dx =
10
On vérifiera qu’en dérivant le membre de droite, on obtient bien
l’intégrande dans le membre de gauche.
=
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