TD 10 Exercice 1. Exercice 2. Exercice 3. Exercice 4

Université Pierre et Marie Curie
LM 371, Algèbre 1
◦
Année 2013-2014
2
semestre
TD 10
Exercice 1.
Soit
1.
G
un groupe d'élément neutre
G
G
Montrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
est simple et résoluble.
2. Les seuls sous-groupes de
3.
e.
G
sont
{e}
et
G.
est cyclique d'ordre premier.
Exercice 2.
Soient
H
et
K
deux sous-groupes distingués d'un groupe
1. Montrer que si
G/H
2. On suppose que
G
et
G/K
sont résolubles, alors
est résoluble. Montrer que
HK
G.
G/H ∩ K
est résoluble.
est un sous-groupe distingué et résoluble de
On pourrait utiliser le deuxième théorème d'isomorphisme.
Exercice 3.
Montrer que les groupes d'ordre
< 60
sont tous résolubles.
On rappelle (TD9) qu'il n'existe aucun groupe simple non abélien d'ordre
< 60.
Exercice 4.
1. Montrer que
2. Dans
S4 ,
et
S3
sont résolubles.
on considère le sous-ensemble
Montrer que
3. Soit
S2
V
V = {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}.
A4 . Montrer S4 est résoluble.
est un sous-groupe distingué de
n ≥ 5.
(a) Montrer que le groupe dérivé de
(b) En déduire que
An
et
Sn
An
est
An
(Remarquer que
(abc) = (adc)(bec)(acd)(bce)).
ne sont pas résolubles.
Exercice 5.
1. Montrer que les seuls sous-groupes distingués de
S3
sont
{Id}, A3
2. Montrer que les seuls sous-groupes distingués de
A4
sont
{Id}, V
3. Montrer que les seuls sous-groupes distingués de
S4
sont
{Id}, V , A4
4. Pour
n > 5,
5. Montrer que
montrer que les seuls sous-groupes distingués de
An
est le groupe dérivé de
Sn .
1
Sn
S3 .
et
et
A4 .
sont
et
S4 .
{Id}, An
et
Sn .
G.

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