Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Révisions sur les groupes
Exercice 1 Dans chacun des cas suivants, dire si la relation d’équivalence R sur l’ensemble E est
compatible avec la ou les opérations indiquées :
1. E = R, R = {(x, y), |x| = |y|} ; addition, multiplication.
2. E = Z, R = {(x, y), x = y = 0 ou xy > 0} ; addition, multiplication.
3. E = Z, R = {(x, y), x et y sont de même parité} ; addition, multiplication.
4. E = R, R = {(x, y), x − y ∈ Z} ; addition, multiplication.
5. E = N∗ , R = {(x, y), x et y sont de même parité} ; puissance.
Exercice 2
Combien de relations d’équivalence peut-on définir sur {1, 2, 3, 4} ?
Exercice 3 - Ordre d’un élément. Soit G un groupe et g ∈ G. On appelle ordre de g dans G le plus
petit des entiers n > 1 tels que g n = 1, s’il en existe un, et +∞ sinon.
1. Quel est l’ordre de −1 dans (Q, +) ? Et dans (Q∗ , ×) ?
2. L’élément g ∈ G étant fixé, montrez que l’application ϕg : Z → G, m 7→ g m est un morphisme
de groupes. Donner les liens entre son noyau, son image et l’ordre de g.
3. Soit k, n > 1 deux entiers. Calculer l’ordre de la classe k dans Z/nZ.
Exercice 4 - Exposant d’un groupe.
Soit G un groupe abélien fini. Pour tout x ∈ G, on note ω(x) l’ordre de x.
1. Soit (x, y) ∈ G2 , on note m = ω(x) et n = ω(y).
a) Lorsque m et n sont premiers entre eux, montrer que ω(xy) = mn.
b) Si on ne suppose plus m premier avec n, a-t-on toujours ω(xy) = ppcm(m, n) ?
c) Montrer qu’il existe z ∈ G tel que ω(z) = ppcm(m, n).
2. On définit l’exposant d’un groupe fini G, noté exp G, comme le plus petit entier n > 1 tel que
xn = 1, pour tout élément x de G. Montrer qu’il existe z ∈ G tel que exp G = ω(z).
3. Le résultat précédent subsiste-t-il pour un groupe non abélien ?
4. En déduire qu’un sous-groupe fini du groupe multiplicatif d’un corps est cyclique.
5. Montrer qu’un groupe abélien d’exposant p premier peut être muni canoniquement d’une structure de Fp -espace vectoriel.
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Exercice 5 - Théorèmes d’isomorphismes. Soit G, H et K trois groupes.
1. Lorsque H C G et K ⊂ G, montrer que H ∩ K C K et qu’on a l’isomorphisme
K/ (K ∩ H) ' HK/H.
2. Lorsque H, K C G et H ⊂ K, montrer que H C K, K/H C G/H et qu’on a l’isomorphisme
G/H
' G/K.
K/H
Exercice 6 - Sous-groupes d’un groupe cyclique.
1. Montrer que tout sous-groupe d’un groupe cyclique est cyclique et que le quotient obtenu pour
ces deux groupes est également cyclique.
2. Soit n ∈ N∗ , montrer que, pour tout diviseur d de n, il existe un unique sous-groupe de Z/nZ
d’ordre d.
X
3. En déduire que n =
ϕ(d), pour n ∈ N∗ .
d|n
Exercice 7 - Morphismes de groupes monogènes.
1. Déterminer le groupe des automorphismes de Z et de Z/nZ.
2. Pour m, n ∈ N, déterminer Hom (Z, Z), Hom (Z, Z/nZ), Hom (Z/nZ, Z) et Hom (Z/mZ, Z/nZ).
Exercice 8 - Caractérisations de la commutativité.
1. Soit G un groupe. Montrer que s’équivalent :
(i) G est abélien ;
(ii) l’inversion g 7→ g −1 est un morphisme de groupes ;
(iii) l’élévation au carré g 7→ g 2 est un morphisme de groupes.
2. (Plus difficile) Les groupes tels que l’élévation au cube g 7→ g 3 est un morphisme de groupes
sont-ils tous commutatifs ?
Exercice 9 - Automorphismes intérieurs.
Soit G un groupe. Pour tout g ∈ G, on considère l’application cg : G → G, x 7→ gxg −1 .
1. Montrer que cg est un automorphisme du groupe G.
2. Montrer que c : G → Aut(G), g 7−→ cg est un morphisme de groupes. Quel est son noyau ?
3. Montrer que l’image de c est un sous-groupe distingué de Aut(G). Le morphisme c est-il toujours
surjectif ?
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Exercice 10 - Groupes sans automorphisme.
Soit G un groupe dont le groupe d’automorphismes est trivial.
1. Montrer que G est abélien.
2. Montrer que G peut être muni canoniquement d’une structure d’espace vectoriel sur F2 .
3. En déduire que G ' {1} ou G ' Z/2Z.
Exercice 11 - Groupe dérivé.
Soit G un groupe. Pour x, y ∈ G, on note [x, y] = xyx−1 y −1 le commutateur de x et y. On appelle
groupe dérivé de G le sous-groupe D(G) de G engendré par les commutateurs.
1. Caractériser les couples d’éléments (x, y) de G tels que [x, y] = e. Déterminer D(G) lorsque G
est abélien.
2. Montrer que D(G) est un sous-groupe caractéristique de G (i.e. stable par les automorphismes
de G) ou, directement, qu’il est distingué dans G et que le quotient G/D(G) est abélien.
3. Montrer que, pour H C G, le quotient G/H est abélien si et seulement si D(G) ⊂ H.
4. Propriété universelle. Montrer que, pour tout groupe abélien M et tout morphisme de groupes
f : G −→ M , il existe une unique factorisation de f à travers G/D(G).
5. Déterminer D(Sn ) et D(An ). (Indication : les 3-cycles engendrent An ).
Exercice 12 - Finitude... Caractériser les groupes dont l’ensemble des sous-groupes est fini.
Exercice 13 - Parties génératrices. Soit G un groupe fini de cardinal n. Montrer que G admet une
partie génératrice ayant au plus log2 (n) éléments. Cette borne est-elle optimale ?
Les exercices suivants mènent entre autres à la classification à isomorphisme près des groupes de
petit cardinal (i.e. 6 15).
Exercice 14 - Groupes d’ordre premier.
un nombre premier p ?
À isomorphisme près, combien y a-t-il de groupes d’ordre
Exercice 15 - Un théorème de Frobenius pour les sous-groupes distingués.
1. Montrer qu’un sous-groupe d’indice 2 est toujours distingué.
2. On se propose maintenant de démontrer un théorème de Frobenius, qui est une généralisation
du critère précédent :
“ Si H est un sous-groupe d’indice p de G, où p est le plus petit diviseur premier de l’ordre de
G, alors H est distingué dans G. ”
a) Justifier l’existence d’un morphisme ρ : G −→ SG/H . On note K son noyau.
b) Établir que |G| | p! |K|.
c) Conclure, en remarquant que K ⊂ H.
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Exercice 16 - Isomorphismes entre produits semi-directs.
Soit H et N deux groupes et ϕ, ψ : H −→ Aut(N ) deux morphismes de groupes. Montrer que
N oϕ H ' N oψ H dans les deux cas suivants :
1. il existe α ∈ Aut(H) tel que ψ = ϕ ◦ α ;
2. il existe u ∈ Aut(N ) tel que ϕ(h) = uψ(h)u−1 , pour tout h ∈ H.
Exercice 17 - Actions de groupes.
Soit G un groupe. Pour un G-ensemble X (i.e. un ensemble muni d’une action de G), on notera
l’ensemble des points fixes de l’action X G = {x ∈ X / ∀ g ∈ G, g · x = x}.
1. Si G est un p-groupe et X un G-ensemble fini, montrer, à l’aide de l’équation aux classes, que
|X| ≡ |X G | mod p.
2. Lemme de Cauchy. Soit G un groupe dont l’ordre est divisible par un nombre premier p. Montrer,
en faisant agir Z/pZ sur X = {(x1 , . . . , xp ) ∈ Gp / x1 . . . xp = 1}, que G admet un élément d’ordre
p.
s
3. Démontrer que pk est divisible par p, pour tout 0 < k < ps et s ∈ N.
Exercice 18 - p-groupes. Dans cet exercice p désigne un nombre premier.
1. Lemme 1. Montrer que le centre d’un p-groupe non trivial est non trivial.
2. Montrer qu’un p-groupe admet des sous-groupes distingués pour tous les ordres possibles.
3. Lemme 2. Soit G un groupe et H un sous-groupe du centre de G, montrer que H C G. Si on
suppose de plus que G/H est monogène, montrer que G est commutatif.
4. Montrer qu’un groupe d’ordre p2 est abélien.
5. En déduire les classes d’isomorphisme des groupes d’ordre p2 .
6. Que dire du centre d’un groupe G non abélien d’ordre p3 ? Et de son groupe dérivé ? À quel
groupe est isomorphe G/Z(G) ?
Exercice 19 - Groupe des quaternions. On définit le groupe des quaternions H8 comme le sous-groupe
{±1, ±i, ±j, ±k} du groupe multiplicatif des quaternions.
1. Prouver que tout sous-groupe d’un groupe abélien est distingué. La réciproque est-elle vraie ?
2. Montrer que H8 n’est pas un produit semi-direct.
Exercice 20 - Groupes d’ordre 8. Soit G un groupe d’ordre 8 et r son exposant.
1. Montrer que G est abélien si r = 2 ou 8 et donner sa classe d’isomorphisme dans chaque cas.
2. Lorsque r = 4, montrer que G s’insère dans la suite exacte
1 −→ Z/4Z −→ G −→ Z/2Z −→ 1.
et discuter selon qu’il existe ou non un relèvement de Z/2Z dans G.
3. Déterminer d’après ce qui précède les classes d’isomorphisme des groupes d’ordre 8.
4. Identifier la classe d’isomorphisme de V4 o Z/2Z.
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Exercice 21 - Groupes diédraux finis. On munit C de sa structure de R-plan vectoriel euclidien,
à laquelle est associée une structure sous-jacente de R-plan affine euclidien. On note, pour n > 2,
Rn = hξi, où ξ = e2iπ/n , l’ensemble des racines nèmes de l’unité dans C, qui correspondent aux
sommets d’un polygone régulier dont 0 est centre de symétrie. Le groupe diédral de degré n, noté Dn ,
est le groupe des isométries du plan préservant Rn .
1. Montrer que Dn est d’ordre 2n et décrire ses éléments.
2. Décrire les classes de conjugaison de Dn .
3. Établir que Dn est isomorphe au groupe donné par générateurs et relations suivant
ha, b | an , b2 , (ba)2 i.
4. Montrer que Dn est un produit semi-direct de Z/nZ par Z/2Z.
5. Déterminer les sous-groupes de Dn .
6. Déterminer les sous-groupes distingués de Dn ainsi que les quotients correspondants.
7. Déterminer le centre et le sous-groupe dérivé de Dn .
Exercice 22 - Groupes d’ordre 2p. Soit G un groupe d’ordre 2p, avec p premier impair.
1. Montrer que G n’a qu’un seul p-sous-groupe de Sylow, noté S.
2. Soit x ∈ G d’ordre 2 (justifier l’existence).
a) Montrer que G =< S, x >.
b) Montrer que l’automorphisme f : g 7−→ xgx−1 de S est soit l’identité, soit l’application
d’inversion g 7−→ g −1 .
c) En déduire que G est soit cyclique, soit diédral.
Exercice 23 - Groupes d’ordre pq.
distincts.
Soit G un groupe d’ordre pq avec p < q deux nombres premiers
1. Montrer que G s’insère dans la suite exacte
1 −→ Z/qZ −→ G −→ Z/pZ −→ 1.
2. Déterminer à isomorphisme près tous les groupes d’ordre pq selon que p divise ou non q − 1.
Exercice 24 - Groupes d’ordre 12. On s’intéresse aux classes d’isomorphisme des groupes d’ordre 12.
1. Quels sont à isomorphisme près les groupes d’ordre 12 ?
(Indication : on pourra distinguer les cas selon le nombre de 3-Sylow.)
2. Reconnaitre les groupes A4 , D6 , S3 × Z/2Z et S3 o Z/2Z.
Exercice 25 - Synthèse. Pour chaque ordre de groupe inférieur à 15 indiquer le nombre de classes
d’isomorphisme et donner au moins un représentant de chaque classe.
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Rappels
Théorème 1 - Théorèmes de Sylow. Si G est un groupe fini d’ordre n = mpr , avec r ∈ N∗ et p un
nombre premier tel que pgcd(m, p) = 1, alors
1. G admet un p-Sylow ;
2. pour tout p-sous-groupe H de G et tout p-Sylow S de G, il existe g ∈ G tel que H ⊂ gSg −1 ; en
particulier :
a) deux p-Sylow de G sont conjugués ;
b) tout p-sous-groupe distingué dans G est contenu dans tous les p-Sylow ;
c) un p-Sylow de G est unique si et seulement s’il est distingué ;
3. le nombre np de p-Sylow de G est congru à 1 modulo p et divise m. De plus, np = [G : NG (S)],
où S est un p-Sylow de G.
Proposition 2 - Produits semi-directs externes. Soit N et H deux groupes et ϕ : H −→ Aut(N ).
G = N × H muni de la loi de composition interne définie par
(n, h)(n0 , h0 ) = (nϕh (n0 ), hh0 )
est un groupe, appelé produit semi-direct (externe) de N par H pour l’action de ϕ, on le note N oϕ H.
En outre, iN : n 7−→ (n, e) et iH : h 7−→ (e, h) sont des homomorphismes injectifs de N et H sur les
sous-groupes N 0 = N × {e} et H 0 = {e} × H de G et on a
N 0 C G,
N 0 ∩ H 0 = {e} ,
N 0 H 0 = H 0 N 0 = G.
Enfin G s’insère dans la suite exacte suivante
p
i
N
1 −→ N −→
N oϕ H −→ H −→ 1,
où p est la surjection (n, h) 7−→ h, qui admet pour section iH (i.e. p◦iH = idH ), qui plonge injectivement
H ' G/N dans N oϕ H.
Remarque 3
1. Pour (n, h) ∈ N oϕ H, (n, h)−1 = (ϕh−1 (n−1 ), h−1 ).
2. Pour deux groupes N et H, cela n’a aucun sens de parler du produit semi-direct N o H sans
préciser l’action ϕ ; à moins que tous les produits semi-directs obtenus pour les diverses actions
ϕ possibles soient équivalents.
Proposition 4 - Produits semi-directs internes. Soit G un groupe et H, K des sous-groupes de G tels
que
N C G, N ∩ H = {e} , N H = G,
alors f : N oϕ H −→ G, (n, h) 7−→ nh, où ϕ : h 7−→ (n 7−→ hnh−1 ), est un isomorphisme.
Proposition 5 Avec les hypothèses de la proposition précédente, s’équivalent
(i) G est le produit direct N × H ;
(ii) H C G ;
(iii) H ⊂ ZG (N ) ;
(iv) ϕ est trivial.
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