経済数学II 消費者の効用最大化練習問題

経済数学 II 消費者の効用最大化練習問題
1
ある消費者の効用 u は財 1 の消費量（x1 ）および財 2 の消費量（x1 ）によって決まっており，効用関
数が以下のように与えられているとする。
1
2
u(x1 , x2 ) = x13 x23
財 1 の価格を p1 ，財 2 の価格を p2 ，予算を I として以下の問いに答えよ。
(1) 予算制約式を示せ。
(2) 財 1，財 2 の限界効用をそれぞれ求めよ。
(3) 財 1 の財 2 に対する限界代替率を求めよ。
(4) 効用が最大となる条件（最適消費ルール）を示せ。
以下は，p1 = 2，p2 = 3，I = 90 として答えよ。
(5) 予算制約線を図示せよ。
(6) 予算制約の下で効用が最大となるような財 1 と財 2 の消費の組み合わせを求めよ。
2
以下で表される予算制約下の効用最大化問題を解け。
1
1
max u(x1 , x2 ) = x12 x22
s.t. 20x1 + 10x2 ≤ 900
3
ある消費者の効用 u は財 1 の消費量（x1 ）および財 2 の消費量（x1 ）によって決まっており，効用関
数が以下のように与えられているとする。
β
u(x1 , x2 ) = xα
1 x2
財 1 の価格を p1 ，財 2 の価格を p2 ，予算を I として以下の問いに答えよ。
(1) 予算制約式を示せ。
(2) 財 1，財 2 の限界効用をそれぞれ求めよ。
(3) 財 1 の財 2 に対する限界代替率を求めよ。
(4) 効用が最大となる条件（最適消費ルール）を示せ。
(5) 予算制約の下で効用が最大となるような財 1 と財 2 の消費の組み合わせを求めよ（α, β, p1 , p2 , I の
式で表せ）。

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