微分積分 I 演習 第 7 回
2016 年 7 月 20 日
演習問題
問題 1. p, q, s > 0 とする．次の広義積分が収束することを示せ．
∫
∞
(i) Γ(s) =
e−x xs−1 dx
0∫
(ガンマ関数と呼ばれる)
1
xp−1 (1 − x)q−1 dx
(ii) B(p, q) =
0
(ベータ関数と呼ばれる)
∫
問題 2. n ∈ N とする．不定積分 In =
(log x)n dx は，次をみたすことを示せ．
In = x(log x)n − nIn−1
問題 3. n ∈ N とする．次の等式を示せ．
∫
0
{
但し，n!! =
π/2
(n − 1)!! π
n!!
2
sinn x dx =
(n − 1)!!
n!!
n(n − 2)(n − 4) · · · 2 (n が偶数)
n(n − 2)(n − 4) · · · 1 (n が奇数)
(n が偶数)
(n が奇数)
であり，0!! = 1 である．[hint: 教科書 p.65 を参照せよ．]
問題 4. 次の級数の収束・発散を調べよ.
(i)
∞
∑
log n
n
n=1
(ii)
∞
∑
log n
n3
n=1
(iii)
∞
∑
n!
n
n
n=1
(iv)
∞ (
2
∑
n )n
n+1
n=1
問題 5. 次のベキ級数の収束半径 r を答えよ．
(i)
∞
∑
n=0
(log n) xn
(ii)
∞
∑
n2 n
x
n!
n=0
(iii)
∞
∑
nn xn
n=0
(iv)
n
∑
n=0
1
2n x2n+1
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