5 章演習問題【5】

フィードバック制御入門 5 章演習問題【5】
1
5 章演習問題【5】
つぎの伝達関数のボード線図の概形を描け. ただし, ゲイン線図は折れ線近似でよい.
(a)
10s + 1
s + 10
(b)
s + 10
10s + 1
(c)
1
s−1
【解答】
(a) 周波数伝達関数は,
G(jω) =
1 + j10ω
10 + jω
(1)
である.
(解法 1)
ゲインと位相はそれぞれつぎのように表される.
|G(jω)| =
∠G(jω)
=
|1 + j10ω|
=
|10 + jω|
1 + j10ω
10 + jω
1 + 100ω2
100 + ω2
(2)
(3)
ω 1, ω = 1, ω 1 の値でゲインと位相を計算するとつぎのようになる.
2
1
≈ 20 log 100
= 20 log 10−1 = −20
ω 1 20 log |G| = 20 log 1+100ω
100+ω 2
1
∠G = ∠ 1+j10ω
≈ ∠ 10
= 0°
10+jω
ω=1
20 log |G| = 20 log
∠G = ∠ 1+j10ω
10+jω =
ω 1 20 log |G| = 20 log
1+100ω 2
101
100+ω 2 = 20 log
101 = 20 log 1 = 0
1+j10
∠ 10+j = ∠(1 + j10) − ∠(10 + j) = tan−1 (10)
1+100ω 2
100+ω 2
− tan−1 (0.1) = 84.3 − 5.7 = 78.6°
√
≈ 20 log 100 = 20 log 10 = 20
∠G = ∠ 1+j10ω
10+jω ≈ ∠10 = 0°
よって, 図 1 のようになる.
(解法 2)
伝達関数は
10s + 1
1
1
=
· (10s + 1) ·
(4)
s + 10
10
0.1s + 1
1
1
と分解できる. G1 (s) = 10
, G2 (s) = 10s + 1, G3 (s) = 0.1s+1
と定義すると, G1 (s), G2 (s), G3 (s) はゲ
イン曲線, 位相曲線について次のような折点各周波数をもつことがわかる (教科書 p. 102 参照). よって,
G(s) =
G1 (s), G2 (s), G3 (s) を重ね合わせればボード線図が図 2 のようになる.
伝達関数
T
1/T
0.2/T
5/T
G1 (s)
-
-
-
-
G2 (s)
10
0.1
0.02
0.5
G3 (s)
0.1
10
2
50
2
40
Magnitude [dB]
Magnitude [dB]
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20
0
−20
−40 −2
10
10
−1
10
0
1
2
10
10
90
0
−90
−180 −2
10
|G|
|G2|
20
0
|G |
3
−20
|G |
1
−40 −2
10
10
−1
0
10
1
10
180
Phase [deg]
Phase [deg]
180
40
10
−1
10
0
1
2
10
10
10
2
∠G2
∠G
∠G
1
∠G3
90
0
−90
−180 −2
10
10
−1
Frequency [rad/s]
0
10
1
10
10
2
Frequency [rad/s]
図 1: (a) のボード線図
図 2: (a) のボード線図 (折れ線近似)
(b) 周波数伝達関数は,
G(jω) =
10 + jω
1 + j10ω
(5)
である.
(解法 1)
ゲインと位相はそれぞれつぎのように表される.
|G(jω)| =
∠G(jω)
=
|10 + jω|
=
|1 + j10ω|
10 + jω
1 + j10ω
100 + ω2
1 + 100ω2
(6)
(7)
ω 1, ω = 1, ω 1 の値でゲインと位相を計算するとつぎのようになる.
√
100+ω 2
ω 1 20 log |G| = 20 log 1+100ω
100 = 20 log 10 = 20
2 ≈ 20 log
10+jω
∠G = ∠ 1+j10ω
≈ ∠10 = 0°
ω=1
20 log |G| = 20 log
∠G =
10+jω
∠ 1+j10ω
=
ω 1 20 log |G| = 20 log
100+ω 2
1+100ω 2 = 20 log
10+j
∠ 1+j10
= ∠(10 + j)
100+ω 2
1+100ω 2
≈ 20 log
10+jω
∠G = ∠ 1+j10ω
≈ ∠0.1 = 0°
101
101
= 20 log 1 = 0
− ∠(1 + j10) = tan−1 (0.1) − tan−1 (10) = 5.7 − 84.3 = −78.6°
1
100
= 20 log 10−1 = −20
よって, 図 3 のようになる.
(解法 2)
伝達関数は
s + 10
1
G(s) =
= 10 · (0.1s + 1) ·
(8)
10s + 1
10s + 1
1
と分解できる. G1 (s) = 10, G2 (s) = 0.1s + 1, G3 (s) = 10s+1
と定義すると, G1 (s), G2 (s), G3 (s) はゲ
イン曲線, 位相曲線について次のような折点各周波数をもつことがわかる (教科書 p. 102 参照). よって,
G1 (s), G2 (s), G3 (s) を重ね合わせればボード線図が図 4 のようになる.
3
伝達関数
T
1/T
0.2/T
5/T
G1 (s)
-
-
-
-
G2 (s)
0.1
10
2
50
G3 (s)
10
0.1
0.02
0.5
40
Magnitude [dB]
Magnitude [dB]
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20
0
−20
−40 −2
10
10
−1
10
0
1
2
10
10
90
0
−90
−180 −2
10
|G1|
20
|G |
2
0
|G |
−20
3
−40 −2
10
10
−1
|G|
0
10
1
10
180
Phase [deg]
Phase [deg]
180
40
10
−1
10
0
1
2
10
10
10
2
∠G
2
∠G
1
∠G
∠G3
90
0
−90
−180 −2
10
10
−1
Frequency [rad/s]
0
10
1
10
10
2
Frequency [rad/s]
図 3: (b) のボード線図
図 4: (b) のボード線図 (折れ線近似)
(c) 周波数伝達関数は,
G(jω) =
1
−1 + jω
(9)
である. ゲインと位相はそれぞれつぎのように表される.
|G(jω)|
=
∠G(jω)
=
1
=
| − 1 + jω|
1
−1 + jω
1
1 + ω2
(11)
ω 1, ω = 1, ω 1 の値でゲインと位相を計算するとつぎのようになる.
1
ω 1 20 log |G| = 20 log 1+ω
2 ≈ 20 log 1 = 0
1
∠G = ∠ −1+jω
≈ ∠ − 1 = −180°
ω=1
∠G =
1
∠ −1+jω
=
ω 1 20 log |G| = 20 log
10+jω
∠G = ∠ 1+j10ω
≈
1
1
1+ω 2 = 20 log
2 =
1
∠ −1+j = ∠1 − ∠(−1 +
20 log |G| = 20 log
(10)
20 · (−0.15) = −3.0
j) = −135°
1
1+ω 2 ≈ 20 log 0 = −∞
1
∠ jω
= 1 × (−90)°= −90°
よって, 図 5 のようになる. ただし, 実線は折れ線近似, 点線は実際の値を描いている.
Magnitude [dB]
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4
20
0
|G|
−20
−40 −2
10
−1
10
0
10
10
1
10
2
Phase [deg]
0
∠G
−90
−180 −2
10
−1
10
0
10
Frequency [rad/s]
図 5: (c) のボード線図
10
1
10
2

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