経済数学演習問題 1. 数列 1anl∞ n=1を初項が 2, 公比が 3 の等比数列

経済数学演習問題
∞
1. 数列 {an }∞
n=1 を初項が 2, 公比が 3 の等比数列とする. {an }n=1 の一般項を求めよ. また,
n
∑
ak が初めて 1000 を越えるのは n がいくつのときか.
k=1
2. 次の関数 f (x) の導関数 f ′ (x) を求めよ.
√
1
1
(2) f (x) = x3 + x + 1,
(3) f (x) = x2 − x + 1,
3
2
3
4
x
(4) f (x) = 2e − log x,
(5) f (x) = − 2 + 3,
(6) f (x) = x3 log x,
x x
x
x
2
(7) f (x) = 2
,
(8) f (x) =
,
(9) f (x) = ex ,
x +1
log x
(10) f (x) = log(x2 + x + 1),
(11) f (x) = (x4 + 1)2013 .
(1) f (x) = x2 − 3x + 1,
3. 次の方程式で定義されるグラフの, 与えられた点における接線の方程式を求めよ.
(1) y = x4 − 3x2 + 1,
√
(2) y = x,
点 (1, 1),
(3) y = x log x,
点 (1, 0).
点 (0, 1),
4. 次の関数の増減を調べ, グラフの概形を描け. また, 極大値, 極小値を求めよ.
(1) f (x) = x3 − 3x + 1,
(3) f (x) = x4 − x3 + 1,
(5) f (x) = log(x2 + 1).
(2) f (x) = x4 + 4x3 + 2x2 − 1,
ex
(4) f (x) = ,
x
5. 4 で与えられた関数を, 二階の条件を用いることで極大, 極小を判定せよ. 二階の条件か
ら判定できないものは, 「二階の条件からは判定不能」とせよ.
6. 次の二変数関数の一階偏導関数および二階偏導関数をすべて計算せよ.
(1) f (x, y) = x2 − 3xy + 2y 2 ,
(3) f (x, y) = x log y,
(5) f (x, y) = log(x2 + y 2 ),
(2) f (x, y) = xyex ,
xy
,
(4) f (x, y) = 2
x + y2 + 1
2
2
(6) f (x, y) = e−x −y .
7. 次の方程式で定義されるグラフの, 与えられた点における接平面の方程式を求めよ.
点 (1, 1, 2).
(1) z = x2 + y 2 ,
(2) z = x − 2xy + y − 5,
3
3
点 (0, 2, 3).
8. 次の二変数関数の極大値・極小値を求めよ.
(1) f (x, y) = −x3 + 3xy − y 3 ,
x
(3) f (x, y) = 2
,
x + y2 + 1
(2) f (x, y) = x3 − 3xy + y 2 ,
(4) f (x, y) = log(x2 + y 2 + 1).

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