21 次の各問いに答えよ。（1）logT 6 ， log , 3 ，の大小を比較し，小さい

21 □
次の各問いに答えよ。
(
（1）log $ 6 ， log & 3 ，の大小を比較し，小さい順に並べよ。
&
（2）方程式 log ( 𝑥 + log + 3 =
-.
(
を解け。
（3）𝑎 を 1 と異なる正の実数とするとき，次の不等式を解け。
log 0 𝑥 − 3 < log 03 2𝑥 − 3
（はじめに）
対数には，真数条件（log 0 N における真数条件は N > 0 であること）と
底の条件（log 0 N における底の条件は 𝑎 > 0 かつ 𝑎 1 であること）
という絶対守らなければならない条件があります．
ですから，対数が登場する問題を解く際には，まず最初に絶対守らなければならない
条件である真数条件と底の条件とをチェックし，それを解答用紙の冒頭に書くことを強く
お勧めします．
ただし，（1）に登場する log $ 6 や log & 3 のように真数条件と底の条件をみたしていることが明ら
かなときには，それをわざわざ解答用紙に書く必要はありません．
(
（1）log $ 6 ， log & 3 ，の大小を比較し，小さい順に並べよ。
&
＜解説＞
log $ 6 と log & 3 との大小を比較しようにも，底が異なるので，このままでは log $ 6 と log & 3 の大小関
係は分かりません．
ですから，底の変換公式：log 0 𝑥 =
:;<= >
:;<= 0
（ただし 𝑎，𝑏 は 1 でない正の数）を用いて底を統一するので
すが統一する底は log $ 6 と log & 3 のそれぞれの底 4 と 2 のうち，どちらか一方であれば，残りの
(
&
も
含めて大小が比較できますので，どちらでも構いません．
（底を 2 に統一した場合）
底の変換公式を用いて log $ 6 の底を 2 に変換すると（途中でlog 0 X A = 𝑝 log 0 Xであることを用います）
log $ 6 =
:;<3 C
:;<3 $
=
:;<3 C
:;<3 &3
=
:;<3 C
& :;<3 &
=
:;<3 C
&
D
-
= log & 6 = log & 63 = log & 6
&
これにより log & 3 と log $ 6 との大小が比較できるようになりましたが，残りの
(
&
の存在がやっかいで
すね！？
(
しかし，を 2 を底とする対数で表せば log & 3 や log & 6 = log $ 6 との大小が比較できますよね！？
この「
&
(
&
を 2 を底とする対数で表す」ということには，少しとまどうトコロがありますが
一旦，この
(
&
から離れて，2 を底とする対数について考えてみます．
2 を底とする対数は，一般に log & X （ただし真数条件より X > 0 ）と表せますよね！？
(
2 を底とする対数は，一般に log & X と表せるということを踏まえて，改めてについて考えてみると
この
(
&
&
を log & X というカタチで表せば，それで良いのですよね！？
そこで，仮に
(
&
= log & X とおいてみます．
ここで，指数と対数には 𝑥 = log 0 X ⟺ X = 𝑎 + ＜補足 1＞という関係がありますよね！？
（※この 𝑥 = log 0 X ⟺ X = 𝑎 + は，対数を扱う際には絶えず意識して下さい！）
ですから
(
&
(
&
F
= log & X とおくと X = 23 = 2(
D
3
D
= 83 = 8 が成り立ちます．
(
= log & X とおくと X = 8 が成り立つということは， = log & 8 が成り立つということですよね！？
&
F
少し不思議な感じがしますが 23 = 8 であることは確かですから 𝑥 = log 0 X ⟺ X = 𝑎 + より
(
= log & 8 であることも確かです．
ですから
(
&
&
を 2 を底とする対数で表すと
(
&
= log & 8 となります．
あるいは log & 2 = 1 （一般に 𝑎 > 0，𝑎 1 のとき log 0 𝑎 = 1 です）であることを用いて
(
(
= ∙ 1 ととらえ
&
(
&
&
(
(
(
&
&
&
F
= ∙ 1 = ∙ log & 2 = log & 2 = log & 23 = log & 2(
D
3
D
= log & 83 = log & 8
とする方法もあります．
(
(
ここまでをまとめると log $ 6 とは log $ 6 = log & 6 ， = log & 8 と 2 を底とする対数で表せます．
&
&
あとは log & 3 と log & 6 と log & 8 の大小を比較すれば良いのですね！？
ここで 3と 6， 8 との大小関係をより明確にするために 3 = 9 であることを用いて
log & 3 = log & 9 と表します．
これにより，それぞれの真数部分に関して 6 < 8 < 9 であることが明確になりました．
次に log & 9 と log & 6 と log & 8 との大小を比較するのですが
底が 1 より大きいことから「𝑎 > 1のとき 𝑥- < 𝑥& ⟺ log 0 𝑥- < log 0 𝑥& 」＜補足 2＞であることを用いれば
6 < 8 < 9 であることにより
log & 6 < log & 8 < log & 9 が成り立ちます．
(
ここで log & 6 = log $ 6 ， log & 8 = ， log & 9 = log & 3 ですから
&
(
log $ 6 < < log & 3 となります．
&
＜補足 1＞𝑥 = log 0 X ⟺ X = 𝑎 + とは 𝑥 = log 0 X ならば X = 𝑎 + が成り立ち
同時に X = 𝑎 + ならば 𝑥 = log 0 X が成り立つということです．
（“ならば”を記号で表したモノが⇒です）
＜補足 2＞この「𝑎 > 1 のとき 𝑥- < 𝑥& ⟺ log 0 𝑥- < log 0 𝑥& 」であることについては
（3）の（前置き）にて詳しく説明致します．
（底を 4 で統一した場合）
底の変換公式を用いて log & 3 の底を 4 に変換すると
log & 3 =
また
(
&
:;<J (
:;<J &
=
:;<J (
D
:;<J $ 3
:;<J (
=D
3
:;<J $
=
:;<J (
D
3
= 2 log $ 3 = log $ 3& = log $ 9
を 4 を底とする対数で表すために
(
&
F
D (
= log $ X とおくと X = 43 = 43
F
D
= 2( = 8 よって
D
(
&
= log $ 8
F
あるいは 43 = (4( )3 = 643 = 8 と考えても構いません．要は 43 が 8 であるということが
きちんと求まれば，それで良いのです．
あるいは log $ 4 = 1 であることを用いて
(
&
(
(
&
&
F
D (
= ∙ 1 = log $ 4 = log $ 43 = log $ 43
= log $ 2( = log $ 8 としても構いません．
底が 1 より大きいことから「𝑎 > 1 のとき 𝑥- < 𝑥& ⟺ log 0 𝑥- < log 0 𝑥& 」であることを用いて
6 < 8 < 9 であることにより log $ 6 < log $ 8 < log $ 9 が成り立ちます．
(
よって log $ 6 < < log & 3 となります．
&
※参考までに
log $ 6 =
log & 3 =
(
&
:;<DN C
:;<DN $
:;<DN (
(
:;<DN &
(
&
&
底を 10 で統一した場合
=
:;<DN C
:;<DN &3
=
:;<DN C
& :;<DN &
- :;<DN C
= ∙
& :;<DN &
F
D
=
= ∙ 1 = ∙ log-. 10 = log-. 103 = log-. 10(
:;<DN C3
:;<DN &
D
3
=
:;<DN C
:;<DN &
D
= log-. 10003 = log-. 1000
となり log $ 6 と log & 3 との大小は比較できますが
(
(
log $ 6 と，また log & 3 ととの大小が比較できませんので，不適です．
&
&
（2）方程式 log ( 𝑥 + log + 3 =
-.
を解け。
(
＜解説＞
（はじめに）で述べたように，まず最初に絶対守らなければならない条件である真数条件と底の条件と
をチェックします．
真数条件より 𝑥 > 0，また底の条件より 𝑥 > 0 かつ 𝑥 1
よって 𝑥 > 0，𝑥 1 …① という条件のもとで，与えられた方程式を解きます．
＜補足＞＜解説＞では，真数条件と底の条件とをそれぞれ分けて，別々に書いていますが
実際の試験においては，書く手間を省くために「真数および底の条件より 𝑥 > 0，𝑥 1」
と 2 つの条件をまとめて一気に処理することをお勧めします．
log ( 𝑥 と log + 3 とでは，底が異なるので，このままの状態（底が異なる状態）では
-.
log ( 𝑥 + log + 3 =
をみたす 𝑥 の値を求めることはできませんよね！？
(
ですから，（1）と同様に底の変換公式：log 0 𝑥 =
:;<= >
:;<= 0
（ただし 𝑎，𝑏 は 1 でない正の数）を用いて
底を統一するのですが，統一する底は log ( 𝑥 と log + 3 のそれぞれの底 3 と 𝑥 のうち，どちらを選ん
でも解くことは可能ですが，一方の底が 3 という定数であるにも関わらず 𝑥 という未知数の方を選ん
で統一すると後々の数式処理が大変になることが多いので，未知数である 𝑥 で統一することはお勧め
できません！
＜補足＞定数とは，カンタンに言えば 2 や 4 など値がハッキリと分かっている数のことであり
未知数とは，カンタンに言えば 𝑥 や 𝑦 などの文字で表されたモノのことです．
（底を 3 で統一した場合）
底の変換公式を用いて log + 3 の底を 3 に変換すると log + 3 =
よって，与えられた方程式は log ( 𝑥 +
:;<F +
=
-.
(
:;<F (
:;<F +
=
:;<F +
と表せます．
この式のカタチを見る限り，この式には
>
log 0 X + log 0 Y = log 0 XY や log 0 X − log 0 Y = log 0
P
を適用できませんよね！？
ですから，この log ( 𝑥 +
:;<F +
=
-.
(
を log ( 𝑥 についての方程式ととらえ log ( 𝑥 の値を求めます．
そこで，数式処理をカンタンにするために 𝑡 = log ( 𝑥 とおきます（このとき 𝑥 = 3R が成り立ちますよ
ね！？）
＜補足＞別に 𝑡 = log ( 𝑥 とおきかえずにこのまま両辺に log ( 𝑥 をかけて
-.
(log ( 𝑥)& + 1 = (log ( 𝑥 ) とし両辺に 3 をかけて整理して
(
(3 log ( 𝑥 − 1)(log ( 𝑥 − 3) = 0 とし log ( 𝑥 の値を求めても構いません
-
-.
R
(
𝑡 = log ( 𝑥 とおくと，上の式は 𝑡 + =
&
両辺に 𝑡 をかけると 𝑡 + 1 =
-.
(
と表せます．
𝑡
この式のカタチから因数分解によって 𝑡 の値が求められそうなので，両辺に 3 をかけて整理すると
3𝑡 & − 10𝑡 + 3 = 0 3𝑡 − 1 𝑡 − 3 = 0 ∴ 𝑡 = または 𝑡 = 3
𝑡=
(
D
のとき 𝑥 = 3R より 𝑥 = 3F =
(
F
3
𝑡 = 3 のとき 𝑥 = 3R より 𝑥 = 3( = 27
これらはともに①をみたしているので，求める方程式の解は
F
𝑥 = 3 または 27 となります．
※このように求めた値，あるいは求めた範囲が，真数条件と底の条件をともにみたしているか！？
どうか！？をチェックすることを絶対忘れてはいけません！！注意して下さい！
（底を 𝑥 で統一した場合）
底の変換公式を用いて log ( 𝑥 の底を 𝑥 に変換すると
log ( 𝑥 =
:;<V +
:;<V (
=
-
:;<V (
よって，与えられた方程式は
:;<V (
+ log + 3 =
-.
R
(
と表せます．
ここで 𝑡 = log + 3 とおくと（このとき 3 = 𝑥 が成り立ちますよね！？）
-.
上式は 𝑡 + =
と表せます．
R
(
これは（底を 3 で統一した場合）のときと同じ式ですよね！？
ですから 𝑡 = または 𝑡 = 3 となります．
𝑡=
(
(
R
D
のとき 3 = 𝑥 より 3 = 𝑥 F となります．
D (
これをみたす 𝑥 の値を求めるために両辺を 3 乗すると 3( = 𝑥 F ∴ 𝑥 = 3( = 27
𝑡 = 3 のとき 3 = 𝑥 R より 3 = 𝑥 ( となります．
これをみたす 𝑥 の値を求めるために両辺を
(
D
D
D
乗すると 3F = 𝑥 ( F ∴ 𝑥 = 3F =
これらはともに①をみたしているので，求める方程式の解は 𝑥 = 27 または
F
F
3
3 となります．
両者を比較するとどうですか！？統一する底として 𝑥 という未知数を選んだ場合
D
3 = 𝑥 F をみたす 𝑥 の値を求めなければならなかったりして，統一する底として定数である 3 を
選んだ場合に比べて，かなりメンドウですよね！？
ですから一般論として，底が異なる 2 つの対数が与えられたとき
底の変換公式を用いて底を統一しますが，その統一する底は 2 つの対数の底がともに定数であれば
どちらに統一しても構いませんが，2 つの対数の底のうち，一方が定数で，もう一方が（ 𝑥 などの文字
で表された）未知数である場合には，定数で統一することをお勧めします．
※参考までに底を 10 で統一した場合 log ( 𝑥 =
与えられた方程式は
:;<DN +
:;<DN (
+
:;<DN (
:;<DN +
=
-.
(
:;<DN +
:;<DN (
， log + 3 =
:;<DN (
:;<DN +
となりますので，
と表せます．余計にややこしくなりましたね！？
ですから（1）のときもそうでしたが，与えられた対数の底が 10 でないときに
底の変換公式を用いて底を 10 に統一するのは，的外れと言えます．
（3）𝑎 を 1 と異なる正の実数とするとき，次の不等式を解け。
log 0 𝑥 − 3 < log 03 2𝑥 − 3
0 < 𝑎 < 1 のとき
𝑎 > 1 のとき
（前置き）
𝑦
𝑦
log0 𝑥&
𝑦 = log0 𝑥
対数関数 𝑦 = log 0 𝑥 は
log0 𝑥 𝑥 > 0 （真数条件），𝑎 > 0，𝑎 1 （底の条件）
𝑥&
0
1
のもとで考えます．そして，グラフは右図のように底𝑎と 1との大小 0
𝑥𝑥&
1
𝑥
によって場合分けされて
log0 𝑥&
𝑎 > 1 のとき log 0 𝑥- < log 0 𝑥& ⟺ 𝑥- < 𝑥& ＜補足 1＞
𝑦 = log0 𝑥
log0 𝑥 0 < 𝑎 < 1 のとき log 0 𝑥- < log 0 𝑥& ⟺ 𝑥- > 𝑥&
となります．底が 1 より小さい場合には，不等号の向きが逆転することに注意して下さい！
𝑥𝑥
＜解説＞
（はじめに）で述べたように，まず最初に絶対守らなければならない条件である真数条件と底の条件と
をチェックします．
真数条件より 𝑥 − 3 > 0 かつ 2𝑥 − 3 > 0 ，すなわち 𝑥 > 3 でなければなりません．
次に底の条件についてですが，問題文に「𝑎を 1と異なる正の実数とする」とありますが
これは底の条件そのものですよね！？ですから底の条件については，改まって考える必要はありません．
よって 𝑥 > 3 …① という条件のもとで，与えられた不等式を解きます．
log 0 𝑥 − 3 と log 03 2𝑥 − 3 とでは，底がそれぞれ 𝑎と𝑎 & と異なりますので
（1），
（2）と同様に底の変換公式：log 0 𝑥 =
:;<= +
:;<= 0
（ただし 𝑎，𝑏 は 1 でない正の数）を用いて底を統一
します．
そこで 𝑎と𝑎 & の 2 つの底のうち，どちらに統一するか！？ということになりますが
普通に考えて 𝑎 に統一した方が，数式処理がラクそうですよね！？
ですから，底を 𝑎 に統一します．（途中で log 0 X W = 𝑝 log 0 X であることを用います）
log 03 2𝑥 − 3 =
:;<X &+Y(
:;<X 03
=
:;<X &+Y(
& :;<X 0
=
:;<X &+Y(
&
-
= log 0 2𝑥 − 3 = log 0 2𝑥 − 3
&
D
3
= log 0 2𝑥 − 3
② ＜補足 2＞
よって与えられた不等式は log 0 𝑥 − 3 < log 0 2𝑥 − 3 と表せます．
ここで（前置き）で述べたように，底と 1 との大小について考えます．
𝑎 > 1 のとき log 0 𝑥- < log 0 𝑥& ⟺ 𝑥- < 𝑥& ですから
𝑎 > 1 のとき log 0 𝑥 − 3 < log 0 2𝑥 − 3 ⟺ 𝑥 − 3 < 2𝑥 − 3 となります．
ここで①より 𝑥 > 3 ですので 𝑥 − 3 < 2𝑥 − 3 は両辺ともに正ですから，2 乗しても不等号の向きは変
わりませんよね！？
&
両辺を 2 乗して 𝑥 − 3 & < 2𝑥 − 3
両辺を展開して整理すると 𝑥 & − 8𝑥 + 12 < 0
𝑥−2 𝑥−6 <0
∴2<𝑥<6
ここで（2）でも述べたように，この 2 < 𝑥 < 6 が絶対守らなければならない条件である真数条件と底
の条件とをみたしているか！？どうか！？をチェックします．
真数および底の条件は①より 𝑥 > 3 ですから，真数および底の条件をみたすためには
𝑥 は 2 < 𝑥 < 6 かつ 𝑥 > 3 ，すなわち 3 < 𝑥 < 6 でなければなりません．
つまり 𝑎 > 1 のとき与えられた不等式をみたす 𝑥 の範囲は 3 < 𝑥 < 6 です．
次に 0 < 𝑎 < 1 のとき log 0 𝑥- < log 0 𝑥& ⟺ 𝑥- > 𝑥& ですから
0 < 𝑎 < 1 のとき log 0 𝑥 − 3 < log 0 2𝑥 − 3 ⟺ 𝑥 − 3 > 2𝑥 − 3 と不等号の向きが逆転します．
𝑎 > 1 のときを参考に両辺を 2 乗して整理すると
𝑥−2 𝑥−6 >0
∴ 𝑥 < 2または𝑥 > 6
そして 𝑎 > 1 のときと同様に絶対守らなければならない条件である真数および底の条件は
①より 𝑥 > 3 ですから
「𝑥 < 2または𝑥 > 6」の範囲のうち 𝑥 > 3 をみたす 𝑥 について考えると 𝑥 > 6 となります．
つまり 0 < 𝑎 < 1 のとき与えられた不等式をみたす 𝑥 は 𝑥 > 6 です．
よって，求める 𝑥 の範囲は 𝑎 > 1 のとき 3 < 𝑥 < 6
0 < 𝑎 < 1 のとき
𝑥 > 6 となります．
＜補足 1＞log 0 𝑥- < log 0 𝑥& ⟺ 𝑥- < 𝑥& とは log 0 𝑥- < log 0 𝑥& ならば 𝑥- < 𝑥& が成り立ち
同時に 𝑥- < 𝑥& ならば log 0 𝑥- < log 0 𝑥& が成り立つということです．
（“ならば”を記号で表したモノが⇒です）
＜補足 2＞②において，真数部分が√（ルート）になることを避けるために②における数式処理を
log 03 (2𝑥 − 3) = log 0 (2𝑥 − 3) にとどめ，これを与えられた不等式に代入し
-
&
log 0 (𝑥 − 3) < log 0 (2𝑥 − 3)
&
そして両辺に 2 をかけて 2 log 0 (𝑥 − 3) < log 0 (2𝑥 − 3)
∴ log 0 (𝑥 − 3)& < log 0 (2𝑥 − 3) とする方法もあります．
（※）参考までに底を 𝑎 & に統一した場合
log 0 𝑥 − 3 =
:;<X3 +Y(
:;<X3 0
=
:;<X3 +Y(
D
:;<X3 03 3
=
:;<X3 +Y(
D
:;<X3 03
3
=
:;<X3 +Y(
D
3
= 2 log 03 𝑥 − 3 = log 03 𝑥 − 3
&
よって，与えられた不等式は log 03 𝑥 − 3 & < log 03 2𝑥 − 3 と表せます．
（ア）𝑎 & > 1 すなわち 𝑎 > 1 のとき 𝑥 − 3 & < 2𝑥 − 3 より
𝑥 & − 8𝑥 + 12 < 0
∴2<𝑥<6
これと①とから
3<𝑥<6
（イ）0 < 𝑎 & < 1 すなわち 0 < 𝑎 < 1 のとき 𝑥 − 3 & > 2𝑥 − 3 より
𝑥 & − 8𝑥 + 12 > 0
∴ 𝑥 < 2または𝑥 > 6
これと①とから
𝑥>6
以上，（ア），（イ）より求める 𝑥 の範囲は
𝑎 > 1 のとき 3 < 𝑥 < 6
0 < 𝑎 < 1 のとき
𝑥 > 6 となります．
（まとめ）
このように対数に関する不等式を扱う問題では
まず最初に絶対守らなければならない条件である真数条件と底の条件をチェックし
それを解答用紙の冒頭に書き
次に，底と 1 との大小を（頭の中で）チェックすることを強くお勧めします！
あと，求めた値（あるいは求めた範囲）が，真数条件と底の条件をみたしているか！？どうか！？
をチェックすることを絶対忘れてはならないことに注意して下さい！！

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