1 4ABC において,ÎA,ÎB,ÎC の大きさをそれぞれ A; B; C とするとき,次の等式が 成り立つとする. sin A sin B = 5 3 また,A; B; C のうち最も大きな角は 120± であるとする.このとき,cos A,cos B,cos C の値をそれぞれ求めよ. ( 千葉大学 2014 ) 2 a を実数とする.2 次関数 f(x) = x2 ¡ ax + 1 の区間 0 5 x 5 1 における最大値を M(a),最小値を m(a) と表す. (1) 2 つの関数 b = M(a) と b = m(a) のグラフをかけ. (2) b を実数とする.2 次方程式 x2 ¡ ax + 1 ¡ b = 0 が区間 0 5 x 5 1 において少なくとも 1 つの解を持つような点 (a; b) 全体の集合を,(1) を用いて斜線で図示せよ. ( 慶應義塾大学 2014 ) 3 サイコロを 3 回投げて出た目の数を順に p1 ,p2 ,p3 とし,x の 2 次方程式 2p1 x2 + p2 x + 2p3 = 0 ÝÝ (¤) を考える. (1) 方程式 (¤) が実数解をもつ確率を求めよ. (2) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち,かつ ®¯ = 1 が成り立つ確率を求 めよ. (3) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち,かつ ®¯ < 1 が成り立つ確率を求 めよ. ( 東北大学 2015 ) 4 s; t; u を実数,i を虚数単位とし,! = p ¡1 + 3i とする.方程式 2 f(x) = x4 + sx3 ¡ tx2 + ux + 1 = 0 が ! を解にもつとき,以下の問いに答えなさい. (1) ¡t = s + 1; u = s であることを示しなさい. (2) f(!2 ) = 0 であることを示しなさい. (3) 方程式 f(x) = 0 が !,!2 と異なる解 ® を 2 重解にもつような s と ® の組 (s; ®) をす べて求めなさい. ( 首都大学東京 2014 ) 5 座標平面上に,原点を中心とする半径 1 の円と,その円に外接し各辺が x 軸または y 軸に ¼ 平行な正方形がある.円周上の点 (cos µ; sin µ)(ただし 0 < µ < )における接線と 2 正方形の隣接する 2 辺がなす三角形の 3 辺の長さの和は一定であることを示せ.また,そ の三角形の面積を最大にする µ を求めよ. ( 千葉大学 2014 ) 6 次の問いに答えよ. (1) log10 3 は無理数であることを示せ. 6 1 (2) < log10 3 < が成り立つことを示せ. 13 2 (3) 326 の桁数を求めよ. ( 新潟大学 2012 ) 7 次の問いに答えなさい. (1) 次の等式が成り立つことを示しなさい. cos 3µ = 4 cos3 µ ¡ 3 cos µ (2) cos 54± の値を求めなさい. (3) 頂点と重心との距離が r の正五角形の面積を求めなさい. ( 福島大学 2015 ) 8 a; b は定数で,ab > 0 とする.放物線 C1 : y = ax2 + b 上の点 P(t; at2 + b) における 接線を ` とし ,放物線 C2 : y = ax2 と ` で囲まれた図形の面積を S とする.次の問いに 答えよ. (1) ` の方程式を求めよ. (2) ` と C2 のすべての交点の x 座標を求めよ. (3) 点 P が C1 上を動くとき,S は点 P の位置によらず一定であることを示せ. ( 金沢大学 2015 ) 9 数列 fan g を次の条件 ‘ および ’ をみたすように定める. ‘ a1 = 0,a2 = 3 ’ 3 以上の自然数 n に対して,第 (n ¡ 1) 項 an¡1 の値が初項 a1 から第 (n ¡ 2) 項 an¡2 ま でのどの項の値とも等しくないときは an = an¡1 ¡ 1 であり,第 (n ¡ 1) 項 an¡1 の値が初 項 a1 から第 (n ¡ 2) 項 an¡2 までのどれかの項の値と等しいときは an = an¡1 + 6 である. 次の問いに答えよ. (1) 数列 fan g の第 3 項から第 10 項までの各項の値を求めよ. (2) 数列 fan g の第 50 項の値を求めよ. (3) 数列 fan g の初項から第 50 項までの和を求めよ. ( 新潟大学 2015 ) 10 4ABC と,A を通り BC に平行な直線 ` を考える.k を正の数とし ,直線 ` 上に点 P を ¡! ¡! AP = kBC となるようにとる.また直線 ` 上に点 Q を,線分 PB と線分 QC が 1 点で交わ ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡! るようにとる.その交点を R とする.AB = b ,AC = c とおき,また m を AQ = mAP により定める.以下の問いに答えよ. ¡! ¡ ! ¡ ! (1) AR を b ; c ; k; m を用いて表せ. ¡ ! ¡ ! ¡! ¡! 3 (2) b = 1, c = 2,cos ÎBAC = ,m = ¡1 とする.BR と CR が直交するとき, 4 k の値を求めよ. ( 熊本大学 2016 )
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