x2 ¡ ax + 1 の区間 0 ≦ x ≦ 1 と b = m(a) x2 ¡ ax + 1

1
4ABC において，ÎA，ÎB，ÎC の大きさをそれぞれ A; B; C とするとき，次の等式が
成り立つとする．
sin A
sin B
=
5
3
また，A; B; C のうち最も大きな角は 120± であるとする．このとき，cos A，cos B，cos C
の値をそれぞれ求めよ．
（千葉大学 2014 ）
2
a を実数とする．2 次関数
f(x) = x2 ¡ ax + 1
の区間 0 5 x 5 1 における最大値を M(a)，最小値を m(a) と表す．
(1) 2 つの関数 b = M(a) と b = m(a) のグラフをかけ．
(2) b を実数とする．2 次方程式
x2 ¡ ax + 1 ¡ b = 0
が区間 0 5 x 5 1 において少なくとも 1 つの解を持つような点 (a; b) 全体の集合を，(1)
を用いて斜線で図示せよ．
（慶應義塾大学 2014 ）
3
サイコロを 3 回投げて出た目の数を順に p1 ，p2 ，p3 とし，x の 2 次方程式
2p1 x2 + p2 x + 2p3 = 0
ÝÝ (¤)
を考える．
(1) 方程式 (¤) が実数解をもつ確率を求めよ．
(2) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ = 1 が成り立つ確率を求
めよ．
(3) 方程式 (¤) が実数でない 2 つの複素数解 ®; ¯ をもち，かつ ®¯ < 1 が成り立つ確率を求
めよ．
（東北大学 2015 ）
4
s; t; u を実数，i を虚数単位とし，! =
p
¡1 + 3i
とする．方程式
2
f(x) = x4 + sx3 ¡ tx2 + ux + 1 = 0
が ! を解にもつとき，以下の問いに答えなさい．
(1) ¡t = s + 1; u = s であることを示しなさい．
(2) f(!2 ) = 0 であることを示しなさい．
(3) 方程式 f(x) = 0 が !，!2 と異なる解 ® を 2 重解にもつような s と ® の組 (s; ®) をす
べて求めなさい．
（首都大学東京 2014 ）
5
座標平面上に，原点を中心とする半径 1 の円と，その円に外接し各辺が x 軸または y 軸に
¼
平行な正方形がある．円周上の点 (cos µ; sin µ)（ただし 0 < µ <
）における接線と
2
正方形の隣接する 2 辺がなす三角形の 3 辺の長さの和は一定であることを示せ．また，そ
の三角形の面積を最大にする µ を求めよ．
（千葉大学 2014 ）
6
次の問いに答えよ．
(1) log10 3 は無理数であることを示せ．
6
1
(2)
< log10 3 <
が成り立つことを示せ．
13
2
(3) 326 の桁数を求めよ．
（新潟大学 2012 ）
7
次の問いに答えなさい．
(1) 次の等式が成り立つことを示しなさい．
cos 3µ = 4 cos3 µ ¡ 3 cos µ
(2) cos 54± の値を求めなさい．
(3) 頂点と重心との距離が r の正五角形の面積を求めなさい．
（福島大学 2015 ）
8
a; b は定数で，ab > 0 とする．放物線 C1 : y = ax2 + b 上の点 P(t; at2 + b) における
接線を ` とし，放物線 C2 : y = ax2 と ` で囲まれた図形の面積を S とする．次の問いに
答えよ．
(1) ` の方程式を求めよ．
(2) ` と C2 のすべての交点の x 座標を求めよ．
(3) 点 P が C1 上を動くとき，S は点 P の位置によらず一定であることを示せ．
（金沢大学 2015 ）
9
数列 fan g を次の条件 ‘ および ’ をみたすように定める．
‘ a1 = 0，a2 = 3
’ 3 以上の自然数 n に対して，第 (n ¡ 1) 項 an¡1 の値が初項 a1 から第 (n ¡ 2) 項 an¡2 ま
でのどの項の値とも等しくないときは an = an¡1 ¡ 1 であり，第 (n ¡ 1) 項 an¡1 の値が初
項 a1 から第 (n ¡ 2) 項 an¡2 までのどれかの項の値と等しいときは an = an¡1 + 6 である．
次の問いに答えよ．
(1) 数列 fan g の第 3 項から第 10 項までの各項の値を求めよ．
(2) 数列 fan g の第 50 項の値を求めよ．
(3) 数列 fan g の初項から第 50 項までの和を求めよ．
（新潟大学 2015 ）
10 4ABC と，A を通り BC に平行な直線 ` を考える．k を正の数とし，直線 ` 上に点 P を
¡!
¡!
AP = kBC となるようにとる．また直線 ` 上に点 Q を，線分 PB と線分 QC が 1 点で交わ
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡!
¡!
るようにとる．その交点を R とする．AB = b ，AC = c とおき，また m を AQ = mAP
により定める．以下の問いに答えよ．
¡! ¡
! ¡
!
(1) AR を b ; c ; k; m を用いて表せ．
¡
!
¡
!
¡! ¡!
3
(2) b = 1， c = 2，cos ÎBAC =
，m = ¡1 とする．BR と CR が直交するとき，
4
k の値を求めよ．
（熊本大学 2016 ）

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