(1) 方程式 25x + 9y = 1

1
AB = 2，BC = 3，CD = 6，DA = 5 である四角形 ABCD があり，この四角形は円 O に内接
4
している．
(1) 方程式 25x + 9y = 1 の整数解をすべて求めよ．
(1) cos ÎB = ¡
(2) 円 O の半径は
ア
イ
であり，AC =
エ
(2) 方程式 25x + 9y = 33 の整数解をすべて求めよ．さらに，これらの整数解のうち， x + y の
である．
D
ク
キ
(3) 四角形 ABCD の面積は
ウ
値が最小となるものを求めよ．
オ
カ
C
サ
C
シ
ケ
コ
である．
(3) 2 つの方程式 25x + 9y = 33，xy = ¡570 を同時に満たす整数解をすべて求めよ．
である．
(4) 四角形 ABCD は，ある円に外接している．この円の半径は
ス
セ
D
ソ
である．
5
2
次の問いに答えよ．
関数
1 つのさいころを 3 回投げる．1 回目に出る目の数，2 回目に出る目の数，3 回目に出る目の数を
f(x) =
それぞれ X1 ; X2 ; X3 とし，5 つの数
2;
5;
2 ¡ X1 ;
5 + X2 ;
X3
からなるデータを考える．以下の問いに答えよ．
(1) データの範囲が 7 以下である確率を求めよ．
(2) X3 がデータの中央値に等しい確率を求めよ．
B
B
2 sin x ¡ 2 cos x ¡ sin 2x
に対して，以下の問いに答えなさい．
¼
; とおくとき，f(x) を t の式で表しなさい．
4
(2) f(x) の最大値と最小値を求めなさい．
(1) t = cos #x +
(3) 方程式 f(x) = a が 0 5 x < 2¼ の範囲で相異なる 2 つの解をもつための実数 a の条件を求め
なさい．
(3) X3 がデータの平均値に等しい確率を求めよ．
(4) データの中央値と平均値が一致するとき，X3 が中央値に等しい条件付き確率を求めよ．
3
xy 平面上に原点を出発点として動く点 Q があり，次の試行を行う．
1 枚の硬貨を投げ，表が出たら Q は x 軸の正の方向に 1，裏が出たら y 軸の正の方向に 1 動く．
ただし，点 (3; 1) に到達したら Q は原点に戻る．
この試行を n 回繰り返した後の Q の座標を (xn ; yn ) とする．次の問いに答えよ．
(1) (x4 ; y4 ) = (0; 0) となる確率を求めよ．
(2) (x8 ; y8 ) = (5; 3) となる確率を求めよ．
(3) x8 + y8 5 4 となる確率を求めよ．
(4) x4n + y4n 5 4k となる確率を n と k で表せ．ここで k は n 以下の自然数とする．
6
放物線 C : y = 4 ¡ x2 と x 軸とで囲まれた部分を D とし，D の面積を S とする．
(1) S を求めよ．
(2) 点 (¡2; 0) を通り傾き
S
4
の直線と C とで囲まれた部分の面積を T とする．T と
の大小
5
2
を判定せよ．
4
であり D の面積を 2 等分する直線を L とする．L の方程式を求めよ．
(3) 傾きが
5
7
数列 fan g を
a1 = 2;
an+1 =
an + 2
2an + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
で定める．また，数列 fbn g は
bn =
an ¡ 1
an + 1
(n = 1; 2; 3; Ý)
を満たす．次の問いに答えよ．
(1) bn+1 を bn を用いて表せ．
(2) 数列 fbn g の一般項を求めよ．
(3) 数列 fan g の一般項を求めよ．
8
四角形 ABCD が円に内接しており，4 辺の長さが
AB = 2;
BC = 1;
CD = DA =
B
6
である．
(1) ÎBAD = µ とおくと，ÎBCD = ¼ ¡ µ であることから
C
D
BD =
10
11
;
cos µ =
13
12
14
¡! ¡!
¡! ¡!
となる．さらに，BA と BD の内積は BA ¢ BD =
(2) E を BE が直径となる円周上の点とすると，
¡! ¡!
BA ¢ BE =
16
;
¡! ¡!
BD ¢ BE =
17
である．したがって，
¡!
BE =
である．
18
19
20
¡!
BA +
21
22
23
24
¡!
BD
15
である．

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