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統計学
講義
第 12 回標準正規分布 Part-2
2016 年 5 ⽉ 27 ⽇（⾦）1 限
担当教員：
唐渡広志（からと・こうじ）
研究室:
経済学研究棟4階432号室
email:
website:
[email protected]
http://www3.u-toyama.ac.jp/kkarato/
1
お知らせ
 中間試験
⽇時と場所：5⽉31⽇（⽕）3 限，13:00 – 14:30，
D11教室
持ち込み：⾃筆のノート（A4の紙1枚，表裏），電
卓（平⽅根が計算できるもの）
パソコンや通信機器の使⽤は禁⽌
範囲：第 2 回から第 12 回まで
 配布物と演習問題
ホームページからダウンロード
2
講義の目的
 代表的な確率分布である正規分布の特徴につい
て理解します。
keywords:正規分布，標準正規分布，臨界値，有意
な値
参考書
⽩砂 pp.115 – 125
⿃居 pp. 77 – 92
⼤屋 pp. 116 – 126
3
【復習】正規分布の標準化
X を標準化 Z 
X 
すると, 必ず Z ~ N 0,1

0.2
0.3
標準化
0.1
N 0,1
N 10, 4
0.0
f(x)
0.4
0.5
0.6
「標準」正規分布と普通の正規分布
-10
0
10
20
30
x
⾯積はどちらも 1
4
【復習】標準正規分布表
確率 Pr (0 ≦ Z ≦ A) あるいは Pr (0 < Z < A) を⽰した表
例．Z が0以上1.73以下である確率
N(0,1)
標準正規分布
Standard Normal Dis tribution
-4
-2
0
2
4
z
5
例
3 : Pr Z  1.96  0.025
1 : Pr 0  Z  1.96  0.4750
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
z
4
4 : Pr Z  1.96  0.025
2 : Pr Z  1.96  0.975
-2
2
z
z
-4
0
2
4
-4
-2
0
2
4
z
6
練習問題 (1)
1 Pr  1.96  Z  1.96
2 Pr  1.75  Z  0.56
7
練習問題 (2)
[1] X ~ N 30, 32 とする。Pr 25.95  X  28.05を求めなさい。
[ 2] X ~ N 30, 32 とする。Pr  X  26.25を求めなさい。
8
臨界値と有意な値 (1)
例題. X ~ N 170,49 とする．
Pr  X  C   0.025 を満たす C はどのような値か ?
⾯積（確率）
＝ 0.025 (2.5%)
Pr  X  C   Pr  Z  1.96   0.025 なので
C  170 

Pr  X  C   Pr  Z 
 より
7 

C  170
 1.96 であるから,
7
C  170  1.96  7  183.72
150
160
170
180
190
C  183.72
Pr  Z  1.96   0.025
-4
-2
0
2
4
1.96
（上側2.5%臨界値）
9
臨界値と有意な値 (2)
 臨界値と確率
 「きわめて稀な値」であると判断される境界の値のことを臨界値(Critical
Value)とよぶ。
 臨界値より⼤きい値は，分布においてきわめて⼤きな値である．
 したがって，臨界値を定めている確率（きわめて稀であると判断される確
率）は⾮常に⼩さな値である（5%, 2.5%, 1%, 0.1%など）
 有意な値
 分布の右裾において，（上側）臨界値より⼤きい値のことを有意な値とよ
ぶ。
 分布の左裾において，（下側）臨界値より⼩さい値のことを有意な値とよ
ぶ。
 そのようにめったに起こらないほど⼤きい値であることを「有意に⼤き
い」と表現する。または，「有意である」と表現する。
10
0.4
臨界値と有意な値 (3)
0.04
0.2
0.3
N  0, 1 
-2
0
2
C = 183.72
0.00
0.1
0.0
1.96
-4

0.02
0.025

N 170, 7 2
4
140
150
160
170
180
190
200
X
Z = 0.42 は有意でない
（めずらしくない値）
Z = 2.86 は有意である
（めずらしい値）
有意な値
X = 173 は有意でない
（めずらしくない値）
X = 194 は有意である
（めずらしい値）
有意な値
分布の左裾においても同様に有意な値を考えることができる。
11
臨界値と有意な値 (4)
例題. X ~ N 170,49 とする。
Pr  X  C   0.025 を満たす C はどんな値か ?
Pr  X  C   Pr  Z  1.96   0.025 なので
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4
C  170  1.96  7  156.28
Pr  Z  1.96   0.025
f(x)
C  170 

Pr  X  C   Pr  Z 
 より
7 

C  170
 1.96 であるから,
7
-4
⾯積（確率）
＝ 0.025 (2.5%)
-2
0
2
4
x
−1.96（下側2.5%臨界値）
12
練習問題 (3): 臨界値 C を求める
X ~ N 10,4 とする。
Pr  X  C   0.025 を満たす C の値を求めなさい。
X ~ N 0,9 とする。
Pr  X  C   0.025 を満たす C の値を求めなさい。
13
練習問題 (4)
X ~ N 20, 9 とする。
Pr  X  C   0.975 を満たす C の値を求めなさい。
X ~ N 200, 10 2  とする。
Pr  X  C   0.025 を満たす C の値を求めなさい。
14
練習問題 (5)
X ~ N 20, 9  とする．
Pr a  X  b   0.95 を満たす a, b の値を求めなさい。
X ~ N 10, 4  とする．
Pr a  X  b   0.95 を満たす a, b の値を求めなさい。
15
練習問題 (6)
先⽇ある公務員の採⽤試験が⾏われ，採⽤予定⼈数が 25 名のとこ
ろ1000 名の受験者があった。試験は筆記と⾯接を合わせて600点満
点であり，採点の結果，平均点が 365 点，標準偏差が 50 点で，得
点の分布はほぼ正規分布をしていることがわかった。
［問］合格者を25名とするときの合格最低点は何点か？
16
N (365, 502) において1000人中25番目の人の点数


0.004
0.006
X ~ N 365, 50 2
0.000
0.002
2.5%
(1000⼈中25⼈)
0
100
200
300
x
400
500
600
365 + 50×1.96 = 463 [点]
17
練習問題 (7)
T⼤学理系学部の⼤学⼊試は，受験室を確保するためにセン
ター試験の⾜切（⾨前払い）を実施する。3000⼈の受験者の
うち2次試験を⾏うのは600⼈である。センター試験は 900 点
満点であり，志願者の平均は 659 点，標準偏差は 83 点であっ
た。分布はほぼ正規分布であるという。
［問］⾜切の点数は約何点になるか。
18
中間試験について
試験の項⽬
演習問題
データの記述統計
2, 3
データの変換
4, 5
階級別データ
6
確率変数の期待値と分散
8
⼆項分布
7
正規分布
10, 11
そのほか
宿題1
19

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