Blatt 7 - Fachbereich Mathematik

Prof. Dr. I. Steinwart
Dr. R. Walker
Dr. D. Zimmermann
M.Sc. A. Reiswich
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 7
Höhere Mathematik II
03.06.16
el, kyb, mecha, phys
Gruppenübungen
Abgabe der schriftlichen Aufgaben und Besprechung der Votieraufgaben am 03.06.2016 in den
Übungsgruppen.
Aufgabe 31. (schriftlich)
(a) Die folgenden Vektoren bilden eine Orthonormalbasis eines Untervektorraumes W $ R5 :
 
 
 
−1
0
0
0
1
−1
 
 
1 
 , v2 = √1 0 , v3 = 1  1  .
2
v1 = 



3
2
2
−2
0
1
0
1
1
Bestimmen Sie dasjenige Element y ∈ W , das zu x = (1, 2, 3, 4, 5)> den geringsten Abstand
besitzt.
(b) Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren von A ∈ Cn×n , wobei
2 −1
A=
.
1 2
Aufgabe 32. Es sei V $ R4 ein Untervektorraum mit Basis w1 , w2 , w3 , wobei
 
 
 
−1
1
0
0
1
−1

 
 
w1 = 
 1  , w2 = 0 , w3 =  1  .
0
0
1
Verwenden Sie das Schmidt’sche Orthonormalisierungsverfahren, um eine Orthonormalbasis v1 , v2 , v3
von V zu bestimmen.
1
Aufgabe 33. Gegeben seien die Vektoren w1 = (2, 1, −2)> , w2 = (1, 0, 1)> sowie die Ebene
E = {rw1 + sw2 : r, s ∈ R} . Weiter sei P : R3 → R3 die Orthogonalprojektion auf E .
(a) Geben Sie eine Orthonormalbasis (v1 , v2 ) von E an.
(b) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix
P
E3 ME3 .
(c) Bestimmen Sie einen Vektor v3 so, dass B := (v1 , v2 , v3 ) eine Orthonormalbasis von R3
bildet.
(d) Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix B MPB .
Aufgabe 34. Es sei V ein endlichdimensionaler K-Vektorraum mit Basis B und W j V ein
Untervektorraum. P sei die Orthogonalprojektion auf W . Zeigen Sie:
(a) Ist λ ein Eigenwert von B MPB , so ist λ ∈ {0, 1}.
(b) Ist 0 kein Eigenwert von B MPB , so ist P = id.
Aufgabe

4

(a) 0
0
35. Bestimmen Sie die Eigenwerte


0 9
−1


4 2
1
(b)
0 2
2
der folgenden Matrizen in Cn×n .


2 7
2 0


1 −1
2 3
1 −4
(c) 
1 4
0 0
0 0
2

0 7 −6
0 −2 5 

1 3
8

0 2 −2
0 5
4

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