T. Conde, J. Meinel,
D. Seus, S. Thelin,
R. Tielen, A. Wünsch
3. Gruppenübung zur Vorlesung
M. Künzer
M. Stroppel
Höhere Mathematik 1
Wintersemester 2016/17
Präsenzübungen
Aufgabe P 7. Lineare Unabhängigkeit und Untervektorräume
−1
8
2
1
−1
−1
3
0
4
Gegeben seien v1 =
0 , v2 = 0 , v3 = 6 , v4 = −1 ∈ R .
−1
0
0
0
Entscheiden und begründen Sie:
(a) Sind v1 , v2 linear unabhängig? Bilden diese Vektoren eine Basis von R4 ?
(b) Sind v1 , v2 , v3 , v4 linear unabhängig? Bilden diese Vektoren eine Basis von R4 ?
(c) Sind v1 , 0, v2 linear unabhängig?
(d) Sind v1 , −v1 linear unabhängig?
(e) Bilden die Vektoren v1 , v2 , v3 , v4 , v4 + v1 eine Basis von R4 ?
(f) Bilden die Vektoren v1 + v4 , v2 + v4 , v3 + v4 , v4 eine Basis von R4 ?
(g) Liegt v2 in der Ebene L (v1 , v3 )?
(h) Ist {v2 + x | x ∈ L (v1 , v3 )} ein Untervektorraum von R4 ?
Aufgabe P 8. Standardskalarprodukt in R2
Gegeben seien die folgenden Vektoren in R2 .
1
1
1
−1
,
, v2 =
, u2 =
, v1 =
u1 =
−1
1
2
2
u3 =
−1
−3
.
, v3 =
1
3
(a) Zeichnen Sie uj , vj , uj + vj für j ∈ {1, 2, 3} in je ein Standardkoordinatensystem
ein. In welchen Fällen ist |uj + vj | < |uj | + |vj |?
(b) In welchen Fällen ist h uj | vj i2 < h uj | uj i h vj | vj i ?
Aufgabe P 9.
R1
Für f, g ∈ C 0 ([0, 1]) ist ein Skalarprodukt definiert durch h f | gi := f (t)g(t) dt.
0
Sei f1 : [0, 1] → R : x 7→ x + 1. Sei f2 : [0, 1] → R : x 7→ x2 .
(a) Bestimmen Sie h f1 | f2 i.
(b) Bestimmen Sie α ∈ R so, dass h f1 | f2 + αf1 i = 0 ist.
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3. Gruppenübung
Höhere Mathematik 1
Hausübungen (Abgabe in der nächsten Gruppenübung):
Aufgabe H 7. Lineare Unabhängigkeit und Untervektorräume
Gegeben seien in R5 die Vektoren
0
1
0
0
0
0
2
1
0
−1
−1
1
, v2 = 3 , v3 = −3 , v4 = 1 , p = 1 , q = 3 .
0
v1 =
4
1
0
−2
2
2
0
1
0
0
0
0
(a) Geben Sie zwei verschiedene Basen von L (v1 , v2 , v3 ) an.
(b) Geben Sie zwei verschiedene Basen von L (v1 , v3 , v4 ) an.
(c) Betrachten Sie die Ebene E = L (v1 , v4 ) in R5 .
Liegt p in E ? Ist {p + x | x ∈ E} ein Untervektorraum von R5 ?
(d) Liegt q in E ? Ist {q + x | x ∈ E} ein Untervektorraum von R5 ?
Aufgabe H 8. Unterschied zwischen Teilmengen und Untervektorräumen
Untersuchen Sie, ob diese Teilmengen von R2 Untervektorräume bilden:
0
2
1
1
3
2
,
, U4 =
+R
,
U3 = R
, U2 = R r R
U1 = R
0
0
1
0
1
x
x
2 2
2
2
∈R x +y =1 ,
U5 =
∈R x>0 ,
U6 =
y
y
x
x
2
2 2
2
∈ R x + 4xy + 4y = 0 .
U8 =
∈ R −3x + 9y = 0 ,
U7 =
y
y
Welche zwei dieser Teilmengen stimmen überein?
Aufgabe H 9. Abstände mittels Skalarprodukt
R1
Für f, g ∈ C 0 ([−2, 1]) ist ein Skalarprodukt definiert durch h f | gi := f (t)g(t) dt.
−2
Der Abstand von f und g sei d(f, g) := h f − g | f − gi1/2 .
Sei b : [−2, 1] → R : x 7→ |x|. Sei fj : [−2, 1] → R : x 7→ xj für j ∈ N0 .
(a) Bestimmen Sie d(f2 , f1 ) und d(f1 , b).
(b) Bestimmen Sie α ∈ R derart, dass d(f0 + αf1 , b) minimal wird. Skizzieren Sie für
dieses α die Graphen von f0 + αf1 und von b in ein Koordinatensystem.
Online-Aufgabe.
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