Analysis 2 - Universität Leipzig

Universität Leipzig
10.06.2016
Analysis 2
Sommersemester 2016
Aufgaben, Blatt Nr. 10
Abgabe: Dienstag, 21.06.2016 vor der Vorlesung, bitte Namen,
Matrikelnummer und Übungsgruppenzeit angeben!
10-1 Gegeben ist die Funktion F : R2 → R mit F (x, y) = x3 + y 3 − 6xy.
Zeigen Sie, daß es eine stetig differenzierbare Funktion g : (−, ) → R
gibt, so daß g(0) = 1 und F (x, g(x)) = 1 für alle x ∈ (−, ) und
berechnen Sie g 0 (0).
10-2 Sei f : Rn −→ Rn eine stetig differenzierbare Funktion, für die es eine
Konstante θ ∈ (0, 1) gibt, so dass für die Norm der Ableitung für alle
Punkte x ∈ Rn gilt: kdfx k ≤ θ .
Zeigen Sie, dass die Abbildung g : Rn −→ Rn ; g(x) = x + f (x) surjektiv ist.
10-3 Sei U = {(x, y, z) ∈ R3 , x + y + z 6= −1} und
x
y
z
3
f : U −→ R ; f (x, y, z) =
,
,
.
1+x+y+z 1+x+y+z 1+x+y+z
(a) Bestimmen Sie die Ableitung df(x,y,z) .
(b) Zeigen Sie, dass die Abbildung f injektiv ist, bestimmen Sie das
Bild f (U ) und die Umkehrabbildung f −1 : f (U ) −→ U.
(c) Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung f −1 differenzierbar ist und
bestimmen Sie die Ableitung.
10-4 Sei f : R3 −→ R3 , f (x, y, z) = (x + y + z, xy + yz + zx, xyz) .
(a) Zeigen Sie, dass f in (x1 , y1 , z1 ) lokal invertierbar ist genau dann,
wenn (x1 − y1 )(y1 − z1 )(z1 − x1 ) 6= 0.
(b) Bestimmen Sie die Jacobimatrix der Umkehrabbildung in f (x1 , y1 , z1 ).
Information der Fachschaft:
Der FSR Mathematik lädt herzlich zum alljährlichen Sommerfest am 15.6.2016
ab 15 Uhr in den Friedenspark ein. Wir werden gemeinsam mit den Informatikern feiern. Freut euch wie jedes Jahr auf Sport, lecker Gegrilltes, gute
Gespräche und günstiges Bier. Den genauen Standort im Park findet ihr
hier
http://www.math.uni-leipzig.de/fachschaft/
oder auf unserer facebook-Seite.
Prof. Dr. Hans-Bert Rademacher
www.math.uni-leipzig.de/~rademacher/Analysis2.html

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