年 番号 1 氏名 一辺の長さが 1 の正方形 ABCD が平面上にある.ただし,頂点 A,B,C,D は,この順に反時 4 計回りに並んでいるものとする.このとき,次の各問に答えよ. ¡! ¡! ¡! ¡! ¡! (1) 内積 AC ¢ AD とベクトルの大きさ AB ¡ AC ¡ AD の値をそれぞれ求めよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡! (2) 点 P を平面上の点とするとき,PA + PC = PB + PD を証明せよ. ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡ ! ¡! ¡! ¡! (3) 点 P が平面上を動くとき,PA ¢ PB + PB ¢ PC + PC ¢ PD + PD ¢ PA の最小値を求めよ.また, ¡! ¡! ¡! その最小値を与える点 P について,AP を AB と AD を用いて表せ. (1) 複素数 c = 1 + i について,c と共役な複素数 c および c 2 をそれぞれ求めよ. 1 が実数であることを証明せよ. (2) 複素数 z が z = 1 を満たすとする.このとき,z + z (3) ®; ¯ を複素数として ® の実部と虚部がともに正であるとする.また, ® = ¯ = 1 とする. i 複素数 i®; ; ¯ で表される複素数平面上の 3 点が,ある正三角形の 3 頂点であるとき,®; ¯ ® をそれぞれ求めよ. ( 静岡大学 2016 ) ( 静岡大学 2016 ) 2 c は c > 1 を満たす定数とする.数列 fan g を次の条件によって定める. a1 = 1; c(an+1 )n = (an )n+1 ; an > 0 5 (n = 1; 2; 3; Ý) i を虚数単位とするとき,次の各問に答えよ. 関数 f(x) = x3 ¡ 9x2 + 24x について,次の問いに答えよ. (1) f(x) の増減,極値を調べて,グラフの概形をかけ. (2) k を定数とするとき,曲線 y = f(x) と直線 y = kx の共有点の個数を調べよ. このとき,次の各問に答えよ. 1 log an とする( n = 1; 2; 3; Ý ).ただし,log は自然対数を表す.このとき,数列 n fbn g の一般項を求めよ. (3) 曲線 y = f(x) と直線 y = 6x で囲まれた図形の面積 S を求めよ. (1) bn = (2) 数列 fan g の一般項を求めよ. n n P P (3) 和 ak と k log ak をそれぞれ求めよ. k=1 ( 静岡大学 2015 ) 6 k=1 ( 静岡大学 2016 ) p ¡ ! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡! ¡ ! ¡ ! ¡ ! 4ABC において,AB = b ,AC = c とおき,j b j = 1,j c j = 3, b ¢ c = 1 であるとす る.辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D,線分 AD に関して B と対称な点を E,直線 AE と辺 BC の交点を F とする.このとき,次の問いに答えよ. 3 次の各問に答えよ. log x (x > 0) の増減,凹凸を調べ,そのグラフの概形をかけ.ただし,log は自 x log x 然対数を表す.また,等式 lim = 0 は証明なしに用いてよい. x x!1 (1) 関数 y = (2) a を正の実数とする.このとき,ax = xa を満たす正の実数 x の個数を調べよ. Z pe log x (3) 定積分 dx を求めよ.ただし,e は自然対数の底である. x 1 ( 静岡大学 2016 ) (1) 4ABC の面積 S1 を求めよ. ¡! ¡ ! ¡ ! (2) AE を b ; c を用いて表せ. ¡! ¡ ! ¡ ! (3) AF を b ; c を用いて表せ. (4) DF : BC を求めよ. (5) 4DEF の面積 S2 を求めよ. ( 静岡大学 2015 )
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