AC - SUUGAKU.JP

年番号
1
氏名
一辺の長さが 1 の正方形 ABCD が平面上にある．ただし，頂点 A，B，C，D は，この順に反時
4
計回りに並んでいるものとする．このとき，次の各問に答えよ．
¡! ¡! ¡!
¡! ¡!
(1) 内積 AC ¢ AD とベクトルの大きさ AB ¡ AC ¡ AD の値をそれぞれ求めよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡!
(2) 点 P を平面上の点とするとき，PA + PC = PB + PD を証明せよ．
¡! ¡
! ¡
! ¡
! ¡
! ¡! ¡! ¡!
(3) 点 P が平面上を動くとき，PA ¢ PB + PB ¢ PC + PC ¢ PD + PD ¢ PA の最小値を求めよ．また，
¡! ¡! ¡!
その最小値を与える点 P について，AP を AB と AD を用いて表せ．
(1) 複素数 c = 1 + i について，c と共役な複素数 c および c 2 をそれぞれ求めよ．
1
が実数であることを証明せよ．
(2) 複素数 z が z = 1 を満たすとする．このとき，z +
z
(3) ®; ¯ を複素数として ® の実部と虚部がともに正であるとする．また， ® = ¯ = 1 とする．
i
複素数 i®;
; ¯ で表される複素数平面上の 3 点が，ある正三角形の 3 頂点であるとき，®; ¯
®
をそれぞれ求めよ．
（静岡大学 2016 ）
（静岡大学 2016 ）
2
c は c > 1 を満たす定数とする．数列 fan g を次の条件によって定める．
a1 = 1;
c(an+1 )n = (an )n+1 ;
an > 0
5
(n = 1; 2; 3; Ý)
i を虚数単位とするとき，次の各問に答えよ．
関数 f(x) = x3 ¡ 9x2 + 24x について，次の問いに答えよ．
(1) f(x) の増減，極値を調べて，グラフの概形をかけ．
(2) k を定数とするとき，曲線 y = f(x) と直線 y = kx の共有点の個数を調べよ．
このとき，次の各問に答えよ．
1
log an とする（ n = 1; 2; 3; Ý ）．ただし，log は自然対数を表す．このとき，数列
n
fbn g の一般項を求めよ．
(3) 曲線 y = f(x) と直線 y = 6x で囲まれた図形の面積 S を求めよ．
(1) bn =
(2) 数列 fan g の一般項を求めよ．
n
n
P
P
(3) 和
ak と
k log ak をそれぞれ求めよ．
k=1
（静岡大学 2015 ）
6
k=1
（静岡大学 2016 ）
p
¡
! ¡
!
¡! ¡
! ¡! ¡
!
¡
!
¡
!
4ABC において，AB = b ，AC = c とおき，j b j = 1，j c j = 3， b ¢ c = 1 であるとす
る．辺 BC を 1 : 2 に内分する点を D，線分 AD に関して B と対称な点を E，直線 AE と辺 BC
の交点を F とする．このとき，次の問いに答えよ．
3
次の各問に答えよ．
log x
(x > 0) の増減，凹凸を調べ，そのグラフの概形をかけ．ただし，log は自
x
log x
然対数を表す．また，等式 lim
= 0 は証明なしに用いてよい．
x
x!1
(1) 関数 y =
(2) a を正の実数とする．このとき，ax = xa を満たす正の実数 x の個数を調べよ．
Z pe
log x
(3) 定積分
dx を求めよ．ただし，e は自然対数の底である．
x
1
（静岡大学 2016 ）
(1) 4ABC の面積 S1 を求めよ．
¡! ¡
! ¡
!
(2) AE を b ; c を用いて表せ．
¡! ¡
! ¡
!
(3) AF を b ; c を用いて表せ．
(4) DF : BC を求めよ．
(5) 4DEF の面積 S2 を求めよ．
（静岡大学 2015 ）

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