年 番号 1 氏名 次の問いに答えよ. (1) f(t) を 0 5 t 5 1 で連続な関数とする.tan x = t とおいて, Z ¼ 4 0 f(tan x) dx = cos2 x Z 1 f(t) dt 0 であることを示せ. Z (2) (1) を用いて,0 以上の整数 n に対し, 0 Z 0 ¼ 4 tann x dx 5 ¼ 4 tann x dx の値を求めよ.また, cos2 x 1 n+1 を示せ. (3) 0 以上の整数 n と 0 5 x 5 ¼ を満たす x に対し, 4 1 ¡ tan2 x + tan4 x ¡ Ý + (¡1)n tan2n x = 1 ¡ (¡1)n+1 tan2(n+1) x cos2 x であることを示せ. (4) (2) と (3) を用いて, lim n P (¡1)k n!1 k=0 1 の値を求めよ. 2k + 1 ( 金沢大学 2012 ) 2 以下の問いに答えなさい. p p p (1) s を 0 5 s 5 2 を満たす実数とする.直線 y = x と直線 y = ¡x + 2s の交点を P とする.直線 y = ¡x + 2s と曲線 y = ¡x2 + 2x の交点で x 座標が 1 以下である点を Q とし,Q の x 座標を t と する.このとき,点 P と点 Q の距離および s を,t を用いて表しなさい. (2) 直線 y = x と曲線 y = ¡x2 + 2x で囲まれた図形を直線 y = x のまわりに回転させてできる立体の体積を求めなさい. ( 首都大学東京 2010 ) 3 xy 平面上の曲線 C : y = log x および直線 ` : y = x に対して,以下の問いに答えよ.ただし log x は自然対数とし,その底を e とする.また O は xy 平面上の原点とする. (1) 点 P を第 1 象限にある ` 上の点とし,線分 OP の長さを s とする.P で ` と直交する直線が C と交わる点を Q(t; log t) とする.このとき s を t を用いて表せ. ds (2) s を変数 t の関数と考えたとき,導関数 を求めよ. dt (3) 線分 PQ の長さ PQ を t を用いて表せ.ただし,t > 0 のとき t > log t であることは既知としてよい. (4) 次の定積分の値を求めよ. I1 = Z e 1 t log t dt; I2 = Z e 1 (log t)2 dt; I3 = Z e 1 (log t)2 dt t (5) ` に垂直で C 上の点 A(e; 1) を通る直線を `0 とする.曲線 C および 3 直線 `; `0 ; y = ¡x + 1 とで囲まれる図形を D とする.D を直線 ` のまわりに回転してできる立体の体積 V を求めよ. ( 電気通信大学 2006 ) 4 放物線 C : y = 1 2 x 上の 2 つの点 P(2p; p2 ),Q(2q; q2 ) (p < q) における接線をそれぞれ `1 ,`2 とし,`1 と `2 の交点を R とする. 4 (1) ÎPRQ = µ とおくとき,cos µ を p; q を用いて表せ. 3 ¼ であるように P と Q が C 上を動くとき,R が描く曲線の方程式を求めよ. (2) ÎPRQ = µ が常に 4 (3) (2) の R が描く曲線と x 軸で囲まれた領域の面積を求めよ.なお,積分の計算をする際に,必要ならば x = B 2 #t ¡ 1 ; (t > 0) とおいて置換積分せよ. t ( 大阪府立大学 2006 ) 5 a; b を正の定数とする. Z 2¼ a sin x + b cos x dx を求めよ. 2k¼ 2n Z n P k ; a sin nx + b cos nx dx を求めよ. (2) lim 2(k¡1)¼ #log n n!1 k=n+1 n (1) 0 ( 早稲田大学 2013 ) 6 e で自然対数の底を表す.関数 f(x) を C f(x) = log(x + x2 + e) で定めるとき,以下の問いに答えよ. (1) 関数 f(x) を微分せよ.また f0 (x) が偶関数であることを示せ. (2) 定積分 Z 1 ¡1 f(x) cos # ¼ x; dx 2 を求めよ. (3) 数列 fan g を an = Z 1 ¡1 x2n f(x) cos # ¼ x; dx (n = 1; 2; 3; Ý) 2 で定める.n を 2 以上とするとき,an と an¡1 の間に成り立つ関係式を求めよ. ( 三重大学 2013 ) 7 x = 0 において連続関数 f(x) が不等式 f(x) 5 a + Z x 0 2tf(t) dt 2 をみたしているとする.g(x) = aex とするとき,下の問いに答えよ.ただし,a は 0 以上の定数である. Zx (1) 等式 g(x) = a + 2tg(t) dt を示せ. Zx 0 2 2 (2) h(x) = e¡x 2tf(t) dt とするとき,x > 0 において不等式 h0 (x) 5 2axe¡x が成り立つことを示せ. 0 (3) x = 0 において不等式 f(x) 5 g(x) が成り立つことを示せ. ( 東京学芸大学 2013 ) 8 区間 0 5 x 5 ¼ において,関数 f(x) と関数 g(x) を f(x) = 1 cos x; 2 g(x) = cos x +c 2 と定義する.c は定数である.次の問いに答えよ. (1) 区間 0 5 x 5 ¼ において,2 曲線 y = f(x) と y = g(x) が x = 0 以外の点で接するように c の値を定め,接点 (p; q) を求めよ.また,そのとき,区間 0 5 x 5 ¼ における関数 f(x) と関数 g(x) の 大小関係を調べよ. (2) 定数 c と接点 (p; q) は (1) で求めたものとする.そのとき,区間 0 5 x 5 p において,y 軸および 2 曲線 y = f(x),y = g(x) によって囲まれた図形を D とする.D を y 軸のまわりに 1 回転してで きる立体の体積 V を求めよ. ( 長崎大学 2014 ) 9 xy 平面上に動点 P(t; 2t),Q(t ¡ 1; 1 ¡ t) がある.ただし,0 5 t 5 1 とする.次の問いに答えよ. (1) 実数 k に対して直線 x = k と直線 PQ との交点を求めよ. (2) 閉区間 [¡1; 1] 内の定数 a に対し,直線 x = a と線分 PQ との交点の y 座標のとり得る範囲を a で表せ. (3) t が 0 から 1 まで動くとき,線分 PQ が動く領域 S の面積を求めよ. (4) S を x 軸の周りに 1 回転させた回転体の体積を求めよ. ( 名古屋市立大学 2014 )
© Copyright 2024 ExpyDoc