1 n を自然数とする．数字 1が書かれたカードが n 枚

1
n を自然数とする．数字 1 が書かれたカードが n 枚，数字 4 が書かれたカードが 1 枚，4 が書かれたカー
ドが 1 枚，合計 n + 2 枚のカードがある．これら n + 2 枚のカードから 2 枚のカードを同時に引き，カー
ドに書かれた数字の合計を得点とするが，引いたカードの中に 4 が書かれたカードが含まれる場合には，
得点は 0 点とする．
(1) 得点が 0 点となる確率，得点が 2 点となる確率，得点が 5 点となる確率をそれぞれ求めよ．
(2) 得点の期待値を求めよ．
(3) (2) で求めた期待値を an とおくとき，an+1 ¡ an の符号を調べることにより，an が最大になる n をすべ
て求めよ．
（大阪府立大学 2015 ）
2
数直線上の座標 x に点 P があるとき，表と裏がそれぞれ
1
の確率で出る硬貨 2 枚を 1 回投げて，点 P の
2
位置を次のように決める．
‘ 2 枚とも表が出たときは，座標 x + 1 に移動する．
’ 2 枚とも裏が出たときは，座標 x ¡ 1 に移動する．
“ 表と裏が 1 枚ずつ出たときは，移動しない．
点 P の最初の位置を座標 0 とする．硬貨 2 枚を 5 回投げ終わったときに，点 P が次の位置にある確率をそ
れぞれ求めよ．
(1) 座標 4
(2) 座標 3
(3) 座標 0
（大阪府立大学 2014 ）
3
実数 t #0 5 t 5
5
; に対し，座標平面上の点 P(2t ¡ 5; 0) と Q(t; t2 ) を考える．
2
(1) 放物線 y = x2 の 0 5 x 5 t の部分と線分 OP および線分 PQ で囲まれた部分の面積を求めよ．ただし，O
は原点を表す．
5
(2) t が 0 5 t 5
の範囲を動くとき，(1) で求めた面積の最大値を求めよ．
2
（大阪府立大学 2012 ）
4
四面体 OABC が与えられており，各辺の長さが
OA = 2;
OB = 3;
OC = 3;
AB = 3;
BC = 2;
CA = 3
であるとする．また，点 O，A，C を通る平面を ®，点 O，A，B を通る平面を ¯ とし，点 B を通り平面 ®
に垂直な直線を g，点 C を通り平面 ¯ に垂直な直線を h とする．
¡! ¡! ¡! ¡! ¡! ¡!
(1) 内積 OA ¢ OB，OB ¢ OC，OA ¢ OC を求めよ．
¡! ¡! ¡!
¡! ¡!
(2) 直線 g と平面 ® の交点を P，直線 h と平面 ¯ の交点を Q とするとき，OA，OB，OC を用いて，OP，OQ
を表せ．
¡! ¡! ¡!
(3) 直線 g と直線 h は交わることを示せ．また，直線 g と直線 h の交点を R とするとき，OA，OB，OC を
¡!
用いて，OR を表せ．
（大阪府立大学 2015 ）
5
a; b; p; q を実数の定数（ただし a < b ）とする．2 次方程式
(¤)
x2 ¡ px + q = 0
について以下の問いに答えよ．
(1) (¤) が実数解をもち，それらがともに a 以上 b 以下であるための必要十分条件を p; q についての連立不
等式で表せ．
(2) (1) で導いた p; q についての連立不等式を満たす座標平面上の点 (p; q) 全体の集合を D とするとき，
a; b を用いて D の面積を表せ．
（大阪府立大学 2015 ）
6
a は正の定数とし，曲線 C1 : y = ax2 (0 5 x 5 1) と C2 : y =
1
(x ¡ 1)2 (0 5 x 5 1) および x 軸で
a
囲まれる部分の面積を S(a) とする．
(1) C1 と C2 の交点の x 座標を求めよ．
(2) S(a) を求めよ．
(3) a がすべての正の実数を動くとき，S(a) の最大値とそれを与える a の値を求めよ．
（大阪府立大学 2014 ）
7
数列 fan g の初項 a1 から第 n 項 an までの和 Sn が
Sn = 2an + n 2 ¡ n
(n = 1; 2; 3; Ý)
をみたすとする．
(1) a1 と a2 を求めよ．
(2) an+1 ¡ 2an を n の式で表せ．
(3) bn = an+1 ¡ an ¡ 2 (n = 1; 2; 3; Ý) とおくと，数列 fbn g は等比数列となることを示し，初項 b1 と
公比を求めよ．
(4) an を n の式で表せ．
（大阪府立大学 2014 ）

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