Blatt 10

Grundbildung Analysis
Blatt 10
WiS 2016/17 — H. Kiechle, S. Koch
Präsenzaufgaben
d
(mx
dx
53. Zeigen Sie mit Hilfe der Definition
54.
♦
Bestimmen Sie
+ b) = m.
d
(x |x|).
dx
55. Skizzieren Sie den Graphen der ersten Ableitung zur Funktion mit dem folgenden Graphen. Wie
sieht die Ableitung dieser Ableitungsfunktion aus?
y
3
2
1
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
x
-1
-2
56. Wahr oder falsch?
(a) sin ist differenzierbar, cos aber nicht.
(b) Die Wurzelfunktion hat im Nullpunkt eine senkrechte Tangente.
(c) Der natürliche Logarithmus hat keine Ableitung.
(d) In einer Polstelle ist eine Funktion nicht differenzierbar.
bitte wenden!
Hausaufgaben
d n
x
dx
= nxn−1 zunächst für n ∈ N0 mit Induktion, dann für alle n ∈ Z.
d √
n
Folgern Sie daraus
x = ...
dx
57. Zeigen Sie
58. Der Tangens und seine Umkehrfunktion
(24 Punkte)
sin x
.
cos x
(a) Bestimmen Sie den maximalen Definitionsbereich D von tan.
Wir definieren die Tangens-Funktion durch tan x :=
(b) Zeigen Sie, dass tan(x + π) = tan(x), d. h., die Tangens-Funktion ist π -periodisch.
(c) Zeigen Sie
d
dx
tan(x) = 1 + (tan x)2 .
(d) Skizzieren Sie den Graphen im Intervall − π2 , π .
(e) Geben Sie eine geometrische Deutung des Funktionswertes für einen Winkel (gemessen im
Bogenmass) am rechtwinkeligen Dreieck und am Einheitskreis (analog zu den bekannten
Deutungen für sin und cos). Können Sie sich den Namen erklären?
(f) Zeigen Sie, dass tan : − π2 , π2 → R streng monoton wachsend und surjektiv ist.
Hinweis: (20.16)
(g) Folgern Sie die Existenz der Umkehrfunktion arctan : R → − π2 , π2 and bestimmen Sie die
Ableitung dieser Funktion.
(h) Bestimmen Sie die Tangenten t0 und t1 an den Graphen von arctan in den Punkten
(0, arctan(0)) und (1, arctan(1)).

Download Report