Fakult¨at Physik, Technische Universit¨at Dortmund Prof. Dr. G. Hiller ¨ Ubungen zur Quantenfeldtheorie im SoSe 15 — Blatt 1 Abgabe bis Dienstag, den 21. April 2015, 11:00 Uhr Aufgabe 1: “Lorentztransformationen” (5 Punkte) Die Aufgabe dient der Auffrischung des Umgangs mit Lorentztransformationen. Eine homogene Lorentztransformation eines Vierervektors xµ lautet x0µ = Λµν xν . Hierbei gilt die Summenkonvention, d.h. es wird u ¨ber ν = 0, 1, 2, 3 summiert. a) Warum gilt |det Λ| = 1? Zeigen Sie dies explizit. b) Zeigen Sie: Die zeitliche Ordnung zweier Ereignisse x1 und x2 mit zeitartigem“ ” Abstand (x1 − x2 )2 > 0 bleibt unter eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen [Transformationen mit det Λ = 1 und Λ00 > +1] erhalten, bei Ereignissen mit raumartigem“ Abstand (x1 −x2 )2 < 0 hingegen nicht notwendigerweise. ” [Die Metrik ist diag(+1, −1, −1, −1)]. Hinweis: Man kann ohne Einschr¨ankung an die Allgemeinheit y = 0 annehmen. Begr¨ unden Sie geometrisch. Aufgabe 2: “Kanonische Quantisierung eines reellen Skalarfeldes” (10 Punkte) In der Vorlesung wurde das quantisierte reelle Skalarfeld mit Masse m eingef¨ uhrt, Z p (1) ϕ(~x, t) = d˜ p ap e−ipx + a†p eipx , p0 = Ep = p~2 + m2 , p mit der Normierung d˜ p = d3 p/[(2π)3 2Ep ]. Das kanonisch konjugierte Feld ist definiert durch Π(~x, t) = ∂ϕ(~x, t)/∂t. Die Quantentheorie gen¨ ugt folgender Vertauschungsrelation: [ϕ(~x, t), Π(~y , t)] = iδ (3) (~x − ~y ) (2) und verschwindet ansonsten. a) Welchen Vertauschungsrelationen m¨ ussen die Operatoren ap und a†p gen¨ ugen, um die obigen Relationen zu erf¨ ullen? b) Was passiert, wenn man stattdessen Z p ϕ(~x, t) = d˜ p ap e−iEp t+i~p·~x + bp e+iEp t+i~p·~x , Ep = p~2 + m2 , (3) ansetzt? Erf¨ ullt der Ansatz die Klein-Gordon-Gleichung? Wann liefert der Ansatz ein reelles Feld? Bitte wenden! Aufgabe 3: “Quantenfelder” (5 Punkte) In der Vorlesung wurde eine Theorie nichtrelativistischer Quantenfelder mit Hamiltonoperator Z H = d3 x a† (~x)(−∇2 /2m + U (~x))a(~x) (4) R diskutiert. Der Teilchenzahloperator lautet N = d3 xa† (~x)a(~x). Warum gilt [H, N ] = 0? Wechselwirkungen welcher Art in H w¨ urden einen nichtverschwindenden Kommutator ergeben? Webseite zur Vorlesung: http://www.physik.tu-dortmund.de/~ghiller/SS15QFT.html