Analysis I
Die Mitarbeiter von http://mitschriebwiki.nomeata.de/
22. Juli 2016
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
3
I. Vorwort
I.1. Über dieses Skriptum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.2. Wer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
I.3. Wo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
5
II. Eingeführte Begriffe
II.1. Mengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.2. Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
II.3. Logik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
7
7
7
1. Reelle Zahlen
9
2. Natürliche Zahlen
13
3. Folgen, Abzählbarkeit
17
4. Wie Sie Wollen
19
5. Wurzeln und rationale Exponenten
21
6. Konvergente Folgen
23
7. Wichtige Beispiele
27
8. Häufungswerte und Teilfolgen
31
9. Oberer und unterer Limes
33
10.Das Cauchy-Kriterium
37
11.Unendliche Reihen
39
12.Konvergenzkriterien
43
13.Umordnungen und Produkte von Reihen
47
14.Potenzreihen
53
15.g-adische Entwicklungen
55
16.Grenzwerte bei Funktionen
59
17.Stetigkeit
63
3
Inhaltsverzeichnis
18.Eigenschaften stetiger Funktionen
65
19.Funktionsfolgen und -reihen
69
20.Gleichmäßige Stetigkeit
73
21.Differenzierbarkeit
75
22.Höhere Ableitungen
83
23.Das Riemann-Integral
87
24.Uneigentliche Integrale
103
25.Funktionen von beschränkter Variation
105
26.Das Riemann-Stieltjes-Integral
107
A. Satz um Satz (hüpft der Has)
111
Stichwortverzeichnis
114
B. Credits für Analyis I
117
4
I. Vorwort
I.1. Über dieses Skriptum
Dies ist ein erweiterter Mitschrieb der Vorlesung „Analysis I“ von Herrn Schmoeger im Wintersemester 04/05 an der Universität Karlsruhe (TH). Die Mitschriebe der Vorlesung werden mit
ausdrücklicher Genehmigung von Herrn Schmoeger hier veröffentlicht, Herr Schmoeger ist für
den Inhalt nicht verantwortlich.
I.2. Wer
Gestartet wurde das Projekt von Joachim Breitner. Beteiligt am Mitschrieb sind ausser Joachim
noch Manuel Holtgrewe, Wenzel Jakob, Pascal Maillard und Jonathan Picht.
I.3. Wo
Alle Kapitel inklusive LATEX-Quellen können unter http://mitschriebwiki.nomeata.de abgerufen werden. Dort ist ein Wiki eingerichtet und von Joachim Breitner um die LATEX-Funktionen
erweitert. Das heißt, jeder kann Fehler nachbessern und sich an der Entwicklung beteiligen. Auf
Wunsch ist auch ein Zugang über Subversion möglich.
5
II. Eingeführte Begriffe
II.1. Mengen
Durchschnitt, Vereinigung, Differenz, Leere Menge: ∅, M ⊆ N , M ⊂ N , a ∈ M , a ∈
/M
II.2. Funktionen
M ,N Mengen, M, N 6= ∅; f : M → N
II.3. Logik
• ⇒ Implikation
• ⇔ Äquivalenz
• := per Definition gleich
• :⇔ per Definiton äquivalent
• ∀ Abkürzung für „für jedes“, „für alle“
• ∃ Abkürzung für „es gibt“, „es existiert“
7
1. Reelle Zahlen
Die Reellen Zahlen sind eine Erfindung des menschlichen Geistes, sie haben von Natur aus
keine Eigenschaften. Wie Schachfiguren haben sie nur eine Bedeutung im Rahmen der Regeln.
Diese Regeln heißen hier Axiome, das sind Forderungen, die wir an etwas stellen, und aus denen
wir dann weitere Erkenntnisse erlangen.
Die Grundmenge der Analysis ist R, die Menge der reellen Zahlen: Diese Menge führen wir
axiomatisch ein, durch die folgenden 15 Axiome.
In R sind zwei Verknüpfungen „+“und „·“gegeben, die jedem Paar a, b ∈ R genau ein a + b ∈ R
und genau ein ab := a · b ∈ R zuordnen.
Axiom (Körperaxiome)
(A1) a + (b + c) = (a + b) + c ∀a, b, c ∈ R
(A2) a(bc) = (ab)c ∀a, b, c ∈ R
(A3) a + b = b + a ∀a, b ∈ R
(A4) ab = ba ∀a, b ∈ R
(A5) ∃0 ∈ R : a + 0 = a ∀a ∈ R
(A6) ∃1 ∈ R \ {0} : a · 1 = a ∀a ∈ R
(A7) ∀a ∈ R ∃ − a ∈ R : a + (−a) = 0
(A8) ∀a ∈ R \ {0} ∃a−1 ∈ R : aa−1 = 1
(A9) a(b + c) = ab + ac ∀a, b, c ∈ R
Dabei nennt man A1 und A2 Assoziativgesetze, A3 und A4 Kommutativgesetze und A9
Distributivgesetz,
Alle Regeln der Grundrechenarten lassen sich aus (A1) bis (A9) herleiten. Diese Regeln seien
von nun an bekannt.
Beispiele:
(1) Behauptung: Es gibt genau ein 0 ∈ R mit a + 0 = a ∀a ∈ R.
Beweis: Die Existenz folgt direkt aus (A5). Der Beweis der Eindeutigkeit: Es sei 0̃ ∈ R
mit a + 0̃ = a ∀a ∈ R. Daraus folgt 0 + 0̃ = 0 ⇒ 0 = 0 + 0̃ = 0̃ + 0 = 0̃, also 0 = 0̃.
(Aufgabe: Beweise die Eindeutigkeit von 1, −a, ...)
(2) Behauptung: a · 0 = 0 ∀a ∈ R
9
1. Reelle Zahlen
Beweis: Sei a ∈ R und b := a · 0. Dann b = a(0 + 0) = a · 0 + a · 0 = b. Aus (A7) folgt
dann 0 = b + (−b) = (b + b) + (−b) = b + (b + (−b)) = b + 0 = b.
(3) Behauptung: Aus ab = 0 folgt a = 0 oder b = 0. Beweis zur Übung
Schreibweisen: Für a, b ∈ R : a − b := a + (−b); ist b 6= 0 :
a
b
:= ab−1 .
Axiom (Anordnungsaxiome)
In R ist eine Relation „≤“ gegeben. Es sollen gelten:
(A10) für a, b ∈ R gilt a ≤ b oder b ≤ a.
(A11) aus a ≤ b und b ≤ a folgt a = b.
(A12) aus a ≤ b und b ≤ c folgt a ≤ c.
(A13) aus a ≤ b und c ∈ R folgt a + c ≤ b + c.
(A14) aus a ≤ b und 0 ≤ c folgt ac ≤ bc.
Alle Regeln für Ungleichungen lassen sich aus (A1) bis (A14) herleiten. Diese Regeln seinen
von nun an bekannt.
Schreibweisen:
(1) a < b :⇔ a ≤ b und a 6= b
(2) a > b :⇔ b < a
(3) a ≥ b :⇔ b ≤ a
Definition (Betrag) (
a
falls a ≥ 0
Für a ∈ R heißt |a| :=
.
−a falls a < 0
|a| wird der Betrag von a genannt und entspricht dem „Abstand“ von a und 0. |a − b| entspricht
dem „Abstand“ von a und b.
Satz 1.3 (Betragssätze)
(1) |a| ≥ 0 ∀a ∈ R; |a| = 0 ⇔ a = 0
(2) |a − b| = |b − a| ∀a, b ∈ R
(3) |ab| = |a| · |b| ∀a, b, ∈ R
(4) ±a ≤ |a|
(5) |a + b| ≤ |a| + |b| ∀a, b ∈ R
(6) ||a| − |b|| ≤ |a − b| ∀a, b ∈ R
10
Beweis
(5) Fall 1: a + b ≥ 0 ⇔ |a + b| = a + b ≤ |a| + |b|
Fall 2: a + b < 0 ⇔ |a + b| = −(a + b) = −a + (−b) ≤ |a| + |b|
(6) |a| = |(a − b) + b| ≤ |a − b| + |b| ⇒ |a| − |b| ≤ |a − b|, analog |b| − |a| ≤ |b − a| = |a − b|.
Definition (Intervall)
Seien a, b ∈ R, a < b:
(1) (a, b) := {x ∈ R : a < x < b}: offenes Intervall
(2) [a, b] := {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}: abgeschlossenes Intervall
(3) (a, b] := {x ∈ R : a < x ≤ b}: halboffenes Intervall
(4) [a, ∞) := {x ∈ R : a ≤ x}
Entsprechend: [a, b), (−∞, a], (a, ∞), (−∞, a), (−∞, ∞) := R.
Definition (Beschränkte Menge)
Es sei ∅ =
6 M ⊆ R. M heißt nach oben (unten) beschränkt genau dann, wenn es ein γ ∈ R, so
dass alle x ∈ M kleiner gleich (größer gleich) γ sind. In diesem Fall heißt γ obere Schranke
(OS) (untere Schranke (US)) von M .
Ist γ eine OS (US ) von M und gilt γ ≤ γ̃ (γ ≥ γ̃) für jede weitere OS (US ) γ̃ von M , so heißt
γ das Supremum (Infimum) von M und man schreibt γ = sup M (γ = inf M ).
Ist γ = sup M ∈ M (γ = inf M ∈ M ), so heißt γ das Maximum (Minimum) von M :
γ = max M (γ = min M ).
Beispiele:
(1) aus M = (1, 2) folgt: 2 = sup M , M hat kein Maximum
(2) aus M = (1, 2] folgt: 2 = sup M = max M
(3) aus M = [3, ∞) folgt: M ist nicht nach oben beschränkt, 3 = inf M
Axiom (Vollständigkeitsaxiom)
(A15) Ist ∅ =
6 M ⊆ R und ist M nach oben beschränkt, so existiert sup M .
Anmerkung: M = {x ∈ Q : x > 0, x2 < 2} hat kein Supremum in Q, also sind die rationalen
Zahlen keine Menge, die unsere Anforderungen an die reellen Zahlen erfüllt.
Satz 1.5 (Vollständigkeit von R bezüglich dem Infimum)
Sei ∅ =
6 M ⊆ R und sei M nach unten beschränkt, dann existiert inf M
11
1. Reelle Zahlen
Beweis
Sei M̃ := {−x : x ∈ M }. Sei γ eine untere Schranke von M . d.h. γ ≤ x ∀x ∈ M =⇒ −x ≤
−γ ∀x ∈ M =⇒ M̃ ist nach oben beschränkt, −γ ist eine obere Schranke von M̃ . (A15)
=⇒ ∃s := sup M̃ =⇒ s ≤ −γ. −x ≤ s ∀x ∈ M =⇒ −s ≤ x ∀x ∈ M =⇒ −s ist eine untere
Schranke von M . Aus s ≤ −γ =⇒ γ ≤ −s, daher ist −s = inf M .
Satz 1.6 (Existenz des Supremum)
Sei ∅ =
6 M ⊆ R, M sei nach oben beschränkt, γ sei eine obere Schranke von M .
γ = sup M ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃x ∈ M : x > γ − ε
Beweis
„ =⇒ “: Sei γ = supM und ε > 0 =⇒ γ − ε ist keine obere Schranke von M =⇒ ∃x ∈ M :
x > γ − ε.
„⇐“: (A15) =⇒ ∃s = sup M . Annahme: γ 6= s =⇒ s < γ =⇒ ε = γ − s > 0. Laut
Vorausetzung gilt: ∃x ∈ M : x > γ − ε = γ − (γ − s) = s, Widerspruch zu x ≤ s.
Analog gilt: Sei ∅ =
6 M ⊆ R, M sei nach unten beschränkt, γ sei eine untere Schranke von M .
γ = inf M ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃x ∈ M : x < γ + ε
Definition (Beschränktheit von Mengen)
Sei ∅ =
6 M ⊆ R. M heißt beschränkt: ⇐⇒ M ist nach oben und nach unten beschränkt
⇐⇒ ∃c > 0 : |x| ≤ c ∀x ∈ M . Beweis als Übung
12
2. Natürliche Zahlen
Definition (Induktionsmengen)
Sei M ⊆ R. M heißt eine Induktionsmenge (IM ) : ⇐⇒
(1) 1 ∈ M
(2) Aus x ∈ M folgt stets x + 1 ∈ M
Beispiel
R, [1, ∞], und {1} ∪ [2, ∞] sind Induktionsmengen.
\
J := {A ⊆ R : A ist eine IM }; N :=
A heißt die Menge der natürlichen Zahlen.
A∈J
Satz 2.1 (Induktionsmengen)
(1) N ∈ J
(2) N ⊆ A ∀A ∈ J
(3) N ist nicht nach oben beschränkt.
(4) ∀x ∈ R ∃n ∈ N : n > x
(5) Prinzip der vollständigen Induktion: Ist A ⊆ N und A ∈ J =⇒ A = N
Beweis
(1) 1 ∈ A ∀A ∈ J =⇒ x + 1 ∈ A ∀xinA ∀A ∈ J =⇒ x + 1 ∈ N ∀xinN
(2) folgt aus der Definition von N
(3) Annahme: N ist nach oben beschränkt. (A15): s := sup N. 1.3 =⇒ ∃n ∈ N : n > s − 1;
(1) =⇒ n + 1 ∈ N =⇒ n + 1 > s; Widerspruch
(4) folgt aus (3)
Vor. (2)
(5) A ⊆ N ⊆ A =⇒ A = N
Satz 2.2 (Beweisverfahren durch vollständige Induktion)
Für jedes n ∈ N sei eine Aussage A(n) gemacht. Es gelte: (I) A(1) ist wahr und (II) aus
n ∈ N und A(n) wahr folgt stets A(n + 1) ist wahr.
Behauptung: A(n) ist wahr für jedes n ∈ N.
13
2. Natürliche Zahlen
Beweis
A := {n ∈ N : A(n) ist wahr}. Dann: A ⊆ N, aus (I) und (II) folgt A ∈ J.
Beispiele:
(1) A(n) := n ≥ 1. A(n) ∀n ∈ N. Beweis (induktiv):
Induktionsanfang (IA): 1 ≥ 1, also ist A(1) wahr.
Induktionsvorausseztung (IV): Sei n ∈ N und A(n) wahr (also n ≥ 1)
(IV )
Induktionsschritt (IS, n y n + 1): n + 1 ≥ 1 + 1 ≥ 1, also A(n + 1) wahr.
(2) Für n ∈ N sei An := (N ∩ [1, n]) ∪ [n + 1, ∞).
Behauptung: An ist eine Induktionsmenge ∀n ∈ N
|
{z
}
A(n)
(3) Sei n ∈ N, x ∈ R und n < x < n + 1. Behauptung: x ∈
/ N. Beweis: Annahme: x ∈ N. Sei
Am wie im oberen Beispiel (2) =⇒ Am ∈ J =⇒ N ⊆ Am =⇒ x ∈ Am =⇒ x ≤ m
oder x ≥ m + 1, Widerspruch!
(4) Behauptung: 1 + 2 + · · · + n =
|
{z
A(n)
n(n + 1)
∀n ∈ N
2 }
Beweis: (induktiv)
IA: 1+1
2 = 1 =⇒ A(1) ist wahr.
IV: Sei n ∈ N und 1 + 2 + · · · + n =
IS: (n y n + 1)
1 + 2 + · · · + n + (n + 1)
A(n+1) ist wahr
n(n+1)
.
2
(IV ) n(n+1)
=
2
+ (n + 1)(IV ) = (n + 1)( n2 + 1) =
(n+1)(n+2)
2
=⇒
Definition (Summen- und Produktzeichen)
(1) Seien a1 , a2 , . . . , an ∈ R, n ∈ N.
n
X
ak := a1 + a2 + . . . + an
k=1
n
Y
ak := a1 · a2 · . . . · an
k=1
(2) N0 := N ∪ {0},
Z := N0 ∪ {−n : n ∈ N} (ganze Zahlen),
Q = { pq : p ∈ Z, q ∈ N} (rationale Zahlen).
Satz 2.3 (Ganze Zahlen)
Sei ∅ =
6 M ⊆ R.
(1) Ist M ⊆ N, so existiert min M
(2) Ist M ⊆ Z nach oben beschränkt, so existiert max M ; ist M ⊆ Z nach unten beschränkt, so existiert min M .
(3) Ist a ∈ R, so existiert genau ein k ∈ Z : k ≤ a < k + 1. Bezeichnung: [a] := k.
14
Beweis
(1) 1 ≤ n ∀n ∈ M =⇒ M ist nach unten beschränkt. 1.2 =⇒ ∃α = inf M mit α + 1
ist keine untere Schranke von M . =⇒ ∃m ∈ M : m < α + 1. Sei n ∈ M . Annahme:
n < m =⇒ n < m < α + 1 ≤ n + 1 =⇒ n < m < n + 1. Da n ∈ N: Widerspruch.
(2) Zur Übung
(3) M := {z ∈ Z : z ≤ a}. Annahme: M = ∅ =⇒ z > a ∀z ∈ Z =⇒ −n > a ∀n ∈ N =⇒
n < −a ∀n ∈ N. Widerspruch zu 2.1(3); also: M 6= ∅. (2) =⇒ ∃k := max M .
Satz 2.4 (Zwischen zwei reellen Zahlen liegt stets eine rationale)
Sind x, y ∈ R und x < y, so existiert ein r ∈ Q : x < r < y.
Beweis
y − x > 0 2.1(4) =⇒ ∃n ∈ N : n >
1
1
1
=⇒
< y − x =⇒ x + < y
y−x
n
n
:=r
m
m+1
m 1
1
m+1
m := [nx] ∈ Z =⇒ m < nx < m+1 =⇒
≤x<
= + ≤ x+ =⇒ x <
<y
n
n
n n
n
n
15
3. Folgen, Abzählbarkeit
Definition (Eigenschaften von Funktionen)
Seien A, B nichtleere Mengen und f : A → B eine Funktion. f (A) := {f (x) : x ∈ A} ⊆ B heißt
Bildmenge von f .
f heißt surjektiv : ⇐⇒ f (A) = B
f heißt injektiv : ⇐⇒ aus x1 , x2 ∈ A und f (x1 ) = f (x2 ) folgt stets x1 = x2
f heißt bijektiv : ⇐⇒ f ist injektiv und surjektiv
Definition (Folgen)
Eine Funktion a : N → B heißt eine Folge in B. Schreibweisen: an statt a(n) (mit n ∈ N) ist
das n-te Folgenglied. (an ) oder (an )∞
n=1 oder (a1 , a2 , . . .) statt a. Ist B = R, so heißt (an ) eine
reelle Folge.
Beispiele:
(1) an :=
1
n
(n ∈ N), (an ) = (1, 12 , 13 , . . .)
(2) a2n := 0, a2n−1 := 1 (n ∈ N), (an ) = (1, 0, 1, 0, 1, . . .).
Definition (Endlich, unendlich, abzählbar, überabzählbar)
Sei B eine nichtleere Menge.
(1) B heißt endlich : ⇐⇒
B = {f (1), . . . , f (n)}.
∃n ∈ N und eine surjektive Funktion f : {1, . . . , n} → B, also
(2) B heißt unendlich : ⇐⇒ B ist nicht endlich.
(3) B heißt abzählbar : ⇐⇒ ∃(an ) ∈ B : B = {a1 , a2 , a3 , . . .} ( ⇐⇒ ∃a : N → B mit a
surjektiv).
„Die Elemente von B können mit natürlichen Zahlen durchnummeriert werden.“
Beachte: Endliche Mengen sind abzählbar!
(4) B heißt überabzählbar : ⇐⇒ B ist nicht abzählbar.
Beispiele:
(1) N ist abzählbar, denn N = {a1 , a2 , . . .} mit an := n (n ∈ N)
(2) Z ist abzählbar, denn Z = {a1 , a2 , a3 , . . .} mit a1 := 0, a2n := n, a2n+1 := −n
(3) N × N := {(n, m) : n, m ∈ N} ist abzählbar.
Beweis: Sei g : N × N → N mit g(n, m) := n + 21 (n + m − 1)(n + m − 2). g ist bijektiv
(Übung! ), dann ist g −1 : N → N × N ebenfalls bijektiv.
(4) Q ist abzählbar
n
, f ist surjektiv.
Beweis: Q+ := {x ∈ Q : x > 0}, f : N × N → Q+ mit f (n, m) := m
−1
+
bn := f (g (n)) (n ∈ N). Dann: Q = {b1 , b2 , b3 , . . .}. a1 := 0, a2n := bn , a2n+1 :=
−bn =⇒ Q = {a1 , a2 , a3 , . . .}
17
3. Folgen, Abzählbarkeit
(5) Sei B die Menge der Folgen in {0, 1}. Also (an ) ∈ B ⇐⇒ an ∈ {0, 1} ∀n ∈ N. B ist
überabzählbar.
Beweis: Annahme: B ist abzählbar,
also B = {f1 , f2 , f3 , . . .} mit fj = (aj1 , aj2 , aj3 , . . .)
(
1, falls ann = 0
und ajk ∈ {0, 1}. Setze an :=
. Es ist (an ) ∈ B.
0, falls ann = 1
∃m ∈ N : (an ) = fm = (am1 , am2 , . . .) = (a1 , a2 , . . .) =⇒ an = amn ∀n ∈ N =⇒ am =
amm , Widerspruch!
Satz
(1) Sei ∅ =
6 B ⊆ A und A sei abzählbar. Dann ist B abzählbar.
(2) Seien B1 , B2 , B3 , . . . abzählbar viele Mengen und jedes Bj sei abzählbar.
∞
[
Bj ist ab-
j=1
zählbar.
Beweis
(1) A = {a1 , a2 , . . .}, sei b ∈ B fest gewählt.
(
an
bn :=
b
falls an ∈ B
falls an ∈
/B
Also C := {b1 , b2 , . . .} ⊆ B. ∀x ∈ B =⇒ x ∈ A =⇒ ∃m ∈ N : x = am =⇒ am ∈
B =⇒ bm = am =⇒ x = bm =⇒ x ∈ C =⇒ B ⊆ C =⇒ B = C.
(2) Siehe Übungsblatt 2
18
4. Wie Sie Wollen
Definition (Potenz, Fakultät, Binominalkoeffizienten)
(1) Für a ∈ R und n ∈ N gilt an := a · a · a · a · . . . · a (n Faktoren) und heißt die n-te Potenz
von a
a0 := 1
Für a 6= 0 gilt: a−n = a1n
(2) Für n ∈ N gilt n! := 1 · 2 · 3 · . . . · n und heißt die Fakultät von n, 0! := 1.
n!
(3) Für n ∈ N, k ∈ N0 und k ≤ n gilt nk := k!(n−k)!
(„n über k“)
Satz 4.1
von Binomialkoeffizienten)
(Eigenschaften
n
n
(1) 0 = n = 1 ∀n ∈ N
n
= n+1
(2) Für n, k ∈ N, k ≤ n gilt nk + k−1
k
(3) Für a, bP∈ R, n ∈ N gilt an+1 − bn+1 = (a − b)(an + an−1 b + an−2 b2 + . . . + bn ) =
(a − b) nk=0 an−k bk
Satz 4.2 (Folgerung)
Für b = 1 und x = a liefert 4.1 (3):
Für x ∈ R und n ∈ N gilt:
n
X
xk = 1 + x + x2 + . . . + xn =
k=0
(
n+1
1−xn+1
1−x
falls x = 1
.
falls x =
6 1
Satz 4.3 (Bernoullische Ungleichung (BU))
Ist x ≥ −1, so gilt: (1 + x)n ≥ 1 + nx ∀n ∈ N.
Beweis
√
n = 1: 1 + x ≥ 1 + x
19
4. Wie Sie Wollen
n ⇒ n + 1:
(1 + x)n ≥ 1 + nx
(IV)
n
(1 + x)(1 + x) ≥ (1 + nx)(1 + x)
(1 + x)n+1 ≥ 1 + nx + x + |{z}
nx2 ≥ 1 + nx + x = 1 + (n + 1)x
≥0
n+1
=⇒ (1 + x)
≥ 1 + (n + 1)x.
Satz 4.4 (Der binomische Satz)
Seien a, b ∈ R. Dann gilt:
n
(a + b) =
n X
n
k=0
k
an−k bk ∀n ∈ N
Beispiel
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
Beweis n = 1: 10 a +
1
1
b=a+b
√
n −→ n + 1:
(a + b)n+1
=(a + b)(a + b)n
n X
n n−k k
a
b
(IV)
=(a + b)
k
k=0
n n X
n n+1−k k X n n−k k+1
=
a
b +
a
b
k
k
k=0
k=0
n n−1 n n+1 X n n+1−k k X n n−k k+1
n n+1
=
a
+
a
b +
a
b
+
b
0
k
k
n
k=1
k=0
n n X
n + 1 n+1
n n+1−k k X
n
n + 1 n+1
n−(k−1) k
=
a
+
a
b +
a
b +
b
0
k
k−1
n+1
k=1
k=1
n n + 1 n+1 X n + 1 n+1−k k
n + 1 n+1
=
a
+
a
b +
b
(4.1 (2))
0
k
n+1
k=1
n+1
X n + 1
=
an+1−k bk .
k
k=0
20
5. Wurzeln und rationale Exponenten
Hilfssatz 5.1
(1) Sind x, y ∈ R, x, y ≥ 0 und n ∈ N, so gilt: x ≤ y ⇔ xn ≤ y n
(2) Ist β > 0 ⇒ ∃m ∈ N :
1
m
<β
Beweis
(1) „⇒“(induktiv)
√
I.A. n = 1
I.V. Sei n ∈ N und xn ≤ y n
I.S. xn+1 = xn x ≤ y n x ≤ y n y = y n+1
wie oben
„⇐“: Annahme: y < x =====⇒ y k < xk ∀k ∈ N, Wid.
(2) 2.1(4) ⇒ ∃m ∈ N : m >
1
β
⇒
1
m
< β.
Definition 5.2 (Wurzeln)
Sei a ∈ R, a ≥ 0 und n ∈ N. Dann existiert genau ein x ∈ R mit: x ≥ 0 und xn = a. Dieses x
√
√
√
heißt die n-te Wurzel aus a und wird mit n a bezeichnet ( a := 2 a).
√
√
√
Bemerkung: (1) n a ≥ 0 (Beispiel: 4 = 2, 4 6= −2; die Gleichung x2 = 4 hat zwei
Lösungen)
√
(2) b2 = |b| ∀b ∈ R
Beweis
5.1(1)
Eindeutigkeit: Sei x, y ≥ 0 und xn = a = y n ===⇒ x = y
Existenz: O.B.d.A.: a > 0 und n ≥ 2
M := {y ∈ R : y ≥ 0, y n < a}, M 6= ∅, denn 0 ∈ M
BU
5.1(1)
Sei y ∈ M ⇒ y n < a < 1 + na ≤ (1 + a)n ===⇒ y < 1 + a. M ist nach oben beschränkt.
(A15) ⇒ ∃x := sup M . Wir zeigen: xn = a
Annahme: xn < a. Sei m ∈ N :
n n n X
1 4.4 X n n−k 1
n n−k 1
1 X n n−k
n
n
(x + ) =
x
=x +
x
≤x +
x
m
k
k
m
k
mk
mk
|{z}
k=0
k=1
k=1
{z
}
|
≤1
m
α
2
1 n
α
1
α
⇒ (x + m
) ≤ xn + m
. 4.1(2) =⇒ ∃m ∈ N : m
< a−x
=⇒ x2 + m
< a. Dann
α
1 n
α
1
1
1
(x + m
) ≤ xn + m
< a =⇒ x + m
∈ M =⇒ x + m
≤ x =⇒ m
< 0. Widerspruch
=⇒ xn ≥ a
BU
1 n
1
1 n
n
1
Annahme: xn > a. (x− m
) = (x(1− mx
))n = xn (1− mx
) ≥ xn (1− mx
) falls − mx
≥ −1,
1
1 n
1
n
n
also falls m ≤ x. Also: (x − m ) ≥ x (1 − mx ) für m ∈ N mit m ≤ x. [Nebenrechnung:
n
n
1
1
1
xn (1 − mx
) > a ⇐⇒ m
< x(xnx−a)
=: α] 5.1(2) =⇒ ∃m ∈ N mit m
≤ x und m
≤ α.
n
21
5. Wurzeln und rationale Exponenten
5.1(1)
1 n
1
1
Dann (x− m
) > a. x− m
ist keine obere Schranke von M =⇒ ∃y ∈ M : y > x− m
===⇒
1 n
n
n
y > (x − m ) > a. Also y > a. Widerspruch, denn y ∈ M .
Daraus folgt: xn = a.
Satz 5.3 (Eindeutigkeit von rationalen Potenzen)
√
√
p
m
p
n
q
Sei a ≥ 0, m, n, p, q ∈ N und es sei m
n = q . Dann ( a) = ( a) .
Beweis
√
√
x := ( n a)m , y := ( q a)p . Wegen 5.1(1) genügt es zu zeigen: xq = y q . Es ist mq = np.
√ mq
√ np
√ pq
xq = n a = n a = ap = q a = y q
Definition (Rationale Potenzen)
(1) Sei a ∈ R, a ≥ 0 und r ∈ Q+ = {x ∈ Q : x > 0}. Dann existiert m, n ∈ N : r =
√ m
ar := n a . (Wegen 5.3 ist ar wohldefiniert).
(2) Sei a > 0, r ∈ Q und r < 0. ar =
1
a−r
Es gelten die Rechenregeln (ar+s = ar as ,. . . ) als bekannt.
22
m
n.
Es sei
6. Konvergente Folgen
Definition (Umgebung)
Sei a ∈ R und ε > 0: Uε (a) : {x ∈ R : |x − a| < ε} heißt ε-Umgebung von a.
x ∈ Uε (a) ⇐⇒ −ε < x − a < ε ⇐⇒ a − ε < x < a + ε ⇐⇒ x ∈ (a − ε, a + ε)
Also gilt: Uε (a) = (a − ε, a + ε)
Definition („für fast alle“)
Für jedes n ∈ N sei eine Aussage A(n) gemacht. A(n) gilt für fast alle ( ffa ) n ∈ N ⇐⇒
∃m ∈ N so dass A(n) wahr ist für alle n ≥ m. Ein Beispiel ist n2 ≥ n + 17 gilt ffa n ∈ N.
Vereinbarung: Alle vorkommenden Folgen seien Folgen in R.
Definition (Beschränkte Folgen)
(an ) heißt beschränkt (nach oben beschränkt)/(nach unten beschränkt) : ⇐⇒ {a1 , a2 , a3 , . . .}
ist beschränkt (nach oben beschränkt)/(nach unten beschränkt).
Ist (an ) nach oben beschränkt, so setze
∞
sup an := sup an := sup an := sup {a1 , a2 , a3 , . . .}
n=1
n∈N
n≥1
Ist (an ) nach unten beschränkt, so setze
∞
inf an := inf an := inf an := inf {a1 , a2 , a3 , . . .}
n=1
n∈N
n≥1
Beachte: (an ) ist beschränkt ⇐⇒ ∃c > 0 : |an | ≤ c ∀n ∈ N.
Definition (Konvergente Folge)
Sei (an ) eine Folge. (an ) heißt konvergent : ⇐⇒ ∃a ∈ R, so dass es für jedes ε > 0 ein n0 =
n0 (ε) ∈ N gibt, so dass |an − a| < ε ∀n ≥ n0 gilt. In diesem Fall heißt a der Grenzwert (GW)
oder Limes von (an ) und man schreibt: limn→∞ (an ) = a oder lim an = a oder an → a (n → ∞)
oder an → a. Ist (an ) nicht konvergent, so heißt (an ) divergent.
Also: an → a (n → ∞)
⇐⇒
∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) ∈ N : |an − a| < ε ∀n ≥ n0
⇐⇒
∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) ∈ N : an ∈ Uε (a) ∀n ≥ n0
⇐⇒
∀ε > 0 gilt: an ∈ Uε (a) ffa n ∈ N.
Satz 6.1 (Grenzwert und Beschränktheit konvergenter Folgen)
(an ) sei konvergent.
(1) Dann ist der Grenzwert von (an ) eindeutig bestimmt.
(2) (an ) ist beschränkt.
23
6. Konvergente Folgen
Beweis
(1) Es gelte an → a und an → b.
Annahme: a 6= b, etwa a < b.
ε := b−a
2 > 0. Dann Uε (a) ∩ Uε (b) = ∅ (∗)
an → a =⇒ an ∈ Uε (a) ffa n ∈ N, an → b =⇒ an ∈ Uε (b) ffa n ∈ N =⇒ an ∈
Uε (a) ∩ Uε (b) ffa n ∈ N. Widerspruch zu (∗), also a = b.
(2) Sei a := lim(an ). Zu ε = 1 existiert ein n ∈ N : |an − a| < 1 ∀n ≥ n0 . Dann: |an | =
|an − a + a| ≤ |an − a| + |a| < 1 + |a| =: c1 ∀n ≥ n0 . c2 := max{|a1 |, |a2 |, . . . , |an0 −1 |},
c := max{c1 , c2 }. Dann: |a1 | ≤ c ∀n ∈ N.
Bemerkung (Endlich viele Elemente sind egal): Sind (an ) und (bn ) Folgen und gilt an =
bn ffa n ∈ N, so gilt (an ) konvergent ⇐⇒ (bn ) konvergent. Im Konvergenzfall: lim(an ) =
lim(bn ).
Beispiele:
(1) Sei c ∈ R und an = c ffa n ∈ N. Dann: |an − c| = 0 ffa n ∈ N, d.h. lim an = c.
(2) an = n1 . Behauptung: an → 0 (Nullfolge). Beweis: Sei ε > 0. 2.1(4) =⇒ ∃n0 ∈ N : n0 >
1
1
1
1
ε =⇒ n0 < ε. Für n ≥ n0 : |an − 0| = n ≤ n0 < ε.
6.1(2)
(3) an = n. 2.1(3) =⇒ (an ) ist nicht beschränkt. ===⇒ (an ) ist divergent.
(4) an = (−1)n , also (an ) = (−1, 1, −1, · · · ) |an | = 1 ∀n ∈ N =⇒ an ist beschränkt.
Annahme: (an ) ist konvergent. Sei a := lim an . ∃n0 ∈ N : |an − a| < 12 ∀n ≥ n0 . Dann:
2 = |an0 − an0 +1 | = |an0 − a + a − an0 +1 | ≤ |an0 − a| + |an0 +1 − a| < 21 + 12 = 1 Widerspruch!
Also: (an ) ist divergent.
2
2
2
n
n +1
1
(5) an = n2n+1 . Behauptung: an → 1. |an − 1| = | 1+n
2 − n2 +1 | = 1+n2 ≤
Bsp(2) =⇒ ∃n0 ∈ N : n1 < ε ∀n ≥ n0 =⇒ |an − 1| < ε ∀n ≥ n0 .
(6) an =
≤
1
n.
Sei ε > 0.
√
√ √
√
( n+1− n)( n+1+ n)
1 √
√
√
= √n+1+
≤ √1n . D.h. |an −0| = an ≤ √1n .
n+1+ n
n
∃n0 ∈ N : n0 > ε12 =⇒ √1n0 < ε. Sei n ≥ n0 : |an − 0| ≤ √1n ≤
√
√
n + 1− n. an =
Sei ε > 0. 2.1(4) =⇒
√1
n0
1
n2
≤ ε. D.h. an → 0.
Bemerkung: Sei p ∈ Z fest. Eine Funktion a : {p, p + 1, p + 2, . . .} → R heißt ebenfalls Folge
∞
∞
in R. Schreibweise: a = (an )n≥p = (an )∞
n=p . Beispiele: (an )n=0 , (an )n=−1 = (a−1 , a0 , a1 , . . .)
Satz 6.2 (Konvergenzsätze)
(an ), (bn ), (cn ) seien Folgen in R.
(1) an → a (n → ∞) ⇐⇒ |an − a| → 0 (n → ∞)
(2) Sei a ∈ R und es gelte |an − a| ≤ bn ffa n ∈ N und bn → 0. Dann: an → a.
(3) Es gelte an → a, bn → b.
(i) gilt an ≤ bn ffa n ∈ N =⇒ a ≤ b
(ii) gilt a = b und an ≤ cn ≤ bn ffa n ∈ N =⇒ cn → a.
24
(iii) |an | → |a|
(iv) an + bn → a + b
(v) αan → αa ∀α ∈ R
(vi) an · bn → a · b
(vii) Ist b 6= 0, so existiert ein m ∈ N: bn 6= 0 ∀n ≥ m und die Folge ( b1n )n≥m
konvergiert gegen 1b
Beweis
(1) folgt aus der Definition der Konvergenz
(2) ∃m ∈ N: |an − a| ≤ bn ∀n > m. Sei ε > 0. ∃n1 ∈ N : bn ≤ ε ∀n > n1 . m0 := max{m, n1}.
Dann: |an − a| ≤ bn < ε ∀n ≥ n0 .
(3)
(i) Annahme: b < a. ε := a−b
2 . an → a =⇒ an ∈ Uε (a) ffa n ∈ N =⇒ an > a − ε
ffa n ∈ N. bn → b =⇒ bn ∈ Uε (b) ffa n ∈ N =⇒ bn < b + ε ffa n ∈ N =⇒
bn < b + ε = a − ε < an ffa n ∈ N. Widerspruch zur Voraussetzung =⇒ an < bn
ffa n ∈ N.
(ii) Sei ε > 0. an → a, bn → a =⇒ a − ε < an ≤ cn ≤ bn < a + ε ffa n ∈ N =⇒ cn ∈
Uε (a) ffa n ∈ N.
(iii) ||an | − |a|| ≤ |an − a| =⇒ |an | → |a|
(iv) Zur Übung
(v) Zur Übung
(vi) |an bn −ab| = |an bn −an b+an b−ab| = |an (bn −b)+b(an −a)| ≤ |an ||bn −b|+|b||an −a|.
6.1(2) =⇒ ∃c > 0 : |an | ≤ c ∀n ∈ N =⇒ |an bn − ab ≤ c · |bn − b| + |b||an − a| =: αn .
(2)
(iv),(v) =⇒ αn → 0 =⇒ an bn → ab.
(vii) (iii) =⇒ |bn | → b =⇒ |b| > 0. ε := |b|
2 ; |bn | → |b| =⇒ |bn | ∈ Uε (|b|) ffa n ∈
|b|
N =⇒ |bn | > |b − ε| = 2 ffa n ∈ N: bn 6= 0 ∀n > m. Für n > m: | b1n − 1b | =
n
| b−b
bn ·b | =
|b−bn |
|bn ||b|
≤
2
|b
|b|2 n
(2)
− b| =: βn . βn → 0 =⇒
1
bn
→ | 1b |.
Beispiel
1+
n2 + 3n + 5
an = 2
=
n − 3n + 8
1−
3
n
3
n
+
+
5
n2
8
n2
→ 1 (n → ∞)
Definition (Monotonie)
• (an ) heißt monoton wachsend : ⇐⇒ an+1 ≥ an ∀n ∈ N
• (an ) heißt streng monoton wachsend : ⇐⇒ an+1 > an ∀n ∈ N
25
6. Konvergente Folgen
• (an ) heißt monoton fallend : ⇐⇒ an+1 ≤ an ∀n ∈ N
• (an ) heißt streng monoton fallend : ⇐⇒ an+1 < an ∀n ∈ N
• (an ) heißt monoton : ⇐⇒ (an ) ist monoton wachsend oder fallend.
• (an ) heißt streng monoton : ⇐⇒ (an ) ist streng monoton wachsend oder fallend.
Satz 6.3 (Monotoniekriterium)
(an ) sei monoton wachsend (fallend ) und sei nach oben (unten) beschränkt. Dann ist (an )
∞
∞
n=1
n=1
konvergent. lim an = sup an ( inf an ).
n→∞
Beweis
∞
a := sup an = sup{a1 , a2 , . . .}. a − ε ist keine obere Schranke von {a1 , a2 , . . .} =⇒ ∃n0 ∈ N :
n=1
an0 > a − ε. Für n > n0 : a − ε < an0 ≤ an ≤ a < a + ε =⇒ |an − a| < ε ∀n ≥ n0 .
Beispiel
√
√
a1 := 3 6, an+1 := 3 6 + an (n ∈ N)
√
√
3
3
a2 := √
6 + a1 > √
6 = a1 (wegen Satz 5.1 (1))
3
a3 := 6 + a2 > 3 6 + a1 = a2
Behauptung: an+1 > an ∀n ∈ N
Beweis
n = 1: s.o.
n −→ n + 1: an+2 =
√
3
IV
6 + an+1 >
√
3
6 + an = an+1 .
Also: (an ) ist streng monoton wachsend.
√
3
a1 = √
6<2
√
a2 = 3 6 + a1 < 3 8 = 2
Behauptung: an < 2 ∀n ∈ N
Beweis
n = 1: s.o.
n −→ n + 1: an+1 =
√
3
IV
6 + an <
√
3
6 + 2 = 2.
Also: (an ) ist nach oben beschränkt. Aus 6.3 folgt: (an ) ist konvergent.
a := lim√
n→∞ an
an+1 = 3 6 + an =⇒ a3n+1 = 6 + an =⇒ a3 = 6 + a
=⇒ 0 = a3 − a − 6 = (a − 2)(a2 + 2a + 3) = (a − 2) ((a + 1)2 + 2) =⇒ a = 2
|
{z
}
>0
26
7. Wichtige Beispiele
Satz 7.1 (Konvergenzsatz für Wurzeln)
6.2
Sei (an ) eine konvergente Folge, an ≥ 0. Es sei a := lim an ( =⇒ a ≥ 0) und p ≥ 2. Dann:
√
√
p a → p a.
n
Beweis
5.1 √
Fall 1: a = 0 Sei ε > 0. an → 0 =⇒ ∃n0 ∈ N : an < εp ∀n > n0 =⇒ p an < ε ∀n ≥ n0
√
√
√
=⇒ | p an − 0| = p an < ε ∀n ≥ n0 =⇒ p an → 0
√
√
4.2
Fall 2: a > 0 |an −a| = |( p an )p −( p an )p | = |xp −y p | = |x−y|·|xp−1 +xp−2 y+. . .+xy p−2 +y p−1
|{z}
|{z}
=:x
p
=:y
√
p
≥ |x − y| · y − 1 = |x − y| · c = | an −
| {z }
=:c
√
p
√
√
1
√
√
an | · c =⇒ | p an − p a| ≤ |an − a| =⇒ p an → p a
c
| {z }
→0
Beispiel 7.2
Sei x ∈ N und an := xn (n ∈ N).
Fall 1: x = 0 =⇒ (an ) ist konvergent und an → 0
Fall 2: x = 1 =⇒ (an ) ist konvergent und an → 1
Fall 3: x = −1 =⇒ (an ) ist divergent.
Fall 4: |x| > 1: ∃δ > 0 : |x| = 1 + δ =⇒ |an | = |xn | = |x|n = (1 + δ)n ≥ 1 + nδ ≥ nδ =⇒ an ist
nicht beschränkt. 6.1(2) =⇒ (an ) ist divergent.
1
1
Fall 5: 0 < |x| < 1: Dann |x|
> 1 =⇒ ∃η > 0 : |x|
= 1 + η =⇒
1
1 + nη ≥ nη =⇒ |an | ≤ nη ∀n ∈ N =⇒ an → 0
1
|an |
=
1
|xn |
1 n
= ( |x|
) = (1 + η)n ≥
Beispiel 7.3
Sei x ∈ R und sn := 1 + x + x2 + . . . + xn =
n
X
xk
k=0
§4 =⇒ sn =
(
n+1
1−xn+1
1−x
falls x = 1
falls x =
6 1
7.2 =⇒ (sn ) ist konvergent ⇐⇒ |x| < 1. In diesem Fall: sn →
1
1−x
(n → ∞)
27
7. Wichtige Beispiele
√
Satz 7.4 (Satz über n n)
√
Es gilt: n n → 1 (n → ∞)
Beweis
√
√
an := n n − 1 =⇒ an > 0 ∀n ∈ N. Zu zeigen ist: an → 0. Für n ≥ 2: n n = 1 + an =⇒ n =
n X
n k
n 2
1
2
n
(1 + an ) =
an ≥
an = (n)(n − 1)a2n =⇒ a2n ≤
∀n ≥ 2 =⇒ |{z}
0 < an <
k
2
2
n−1
k=0
→0
√
2
√
=⇒ an → 0
n−1
| {z }
→0
Beispiel 7.5 (Konvergenz von Wurzeln)
√
Sei c > 0. Dann: n c → 1 (n → ∞).
Beweis
√ 7.4 √
√
Fall 1: c ≥ 1 ∃m ∈ N : m ≥ c =⇒ 1 ≤ c ≤ n ∀n ≥ m =⇒ n n ≤ n n =⇒ n c → 1
|{z}
→1
r
√
1
6.2(vii)
Fall 1 n
→ 1 ====⇒ n c → 1
Fall 2: c < 1 =⇒ 1c > 1 ===⇒
c
|{z}
=
1
√
n
c
Satz 7.6 (Satz und Definition von e)
n
X 1
1
1
1
1
=1+1+ +
+ ... +
(n ∈ N0 )
an := (1 + )n (n ∈ N); bn :=
n
k!
2 2·3
n!
k=0
(an ) und (bn ) sind konvergent und es gilt lim an = lim bn .
n→∞
n→∞
1 n
Definition: e := lim (1 + ) heißt eulersche Zahl. (2 < e < 3, e ≈ 2, 718)
n→∞
n
Beweis
In der großen Übung wurde gezeigt: a ≤ an < an+1 < 3 ∀n ∈ N. 6.3 =⇒ (an ) ist konvergent,
a := lim an .
1
bn+1 = bn + (n+1)!
> bn =⇒ (bn ) ist monoton wachsend.
bn = 1 + 1 +
1
1
1
1
+
+
+... +
2
2
·
3
2
·
3
·
4
2
·
3
·
|{z} |{z} | {z }
|
{z. . . · n}
≤
1
21
<
1
22
<
1
23
<
1
2n−1
n
1 − 12
1 n−1
1 12
1n
< 1 + (1 + +
+ ... +
)=1+
=
1
+
2(1
−
)<3
2 2
2
2
1 − 21
=⇒ (bn ) ist nach oben beschränkt. 6.3 =⇒ (bn ) ist konvergent, b := lim bn
Zu zeigen: a = b.
28
Für n ≥ 2:
n 1 n X n 1
an = (a + ) =
n
k nk
k=0
n
X
1
1
2
k−1
=1+1+
(1 − )(1 − ) · · · (1 −
)
k! |
n
n{z
n }
k=2
(∗)
<1
n
X
1
<1+1+
= bn
k!
k=2
Also: an < bn ∀n ≥ 2 =⇒ a ≤ b.
Sei j ∈ N, j ≥ 2 (fest) und n > j. Aus (∗) folgt:
j
X
1
1
2
k−1
an ≥ 1 + 1 +
(1 − )(1 − ) · · · (1 −
) = c(j)
n
k! |
n
n{z
n }
k=2
→1(n→∞)
=⇒ c(j)
n →1+1+
j
X
k=2
n→∞
1
= bj
k!
(n → ∞)
=⇒ an ≥ c(j)
n ===⇒ a ≥ bj .
j→∞
Also: bj ≤ a ∀j ≥ 2 ===⇒ b ≤ a.
29
8. Häufungswerte und Teilfolgen
Erinnerung: an → a ⇐⇒ ∀ε > 0 gilt: an ∈ Uε (a) ffa n ∈ N.
Definition (Häufungwerte)
(an ) sei eine Folge und α ∈ R. α heißt ein Häufungswert (HW) von (an ) : ⇐⇒ ∀ε > 0 gilt:
an ∈ Uε (α) für unendlich viele n ∈ N. H (an ) := {α ∈ R : α ist ein Häufungswert von (an )}.
Beispiele:
(1) an = (−1)n . a2n = 1, a2n−1 = −1. Sei ε > 0 : a2n ∈ Uε (1) ∀n ∈ N ⇒ an ∈ Uε (1)
für unendlich viele n ∈ N ⇒ 1 ∈ H (an ). Analog: an ∈ Uε (−1) für unendlich viele
n ∈ N ⇒ −1 ∈ H (an ). Sei α ∈ R und 1 6= α 6= −1. Wähle ε > 0 so, dass 1, −1 6∈ Uε (α) ⇒
an 6∈ Uε (α) ∀n ∈ N ⇒ α 6∈ H (an ). Fazit: H (an ) = {1; −1}.
(2) an = n. Sei α ∈ R und ε > 0. ∃n0 ∈ N : n0 > α + ε ⇒ n > α + ε ∀n ≥ n0 ⇒ an 6∈
Uε (α) ∀n ≥ n0 ⇒ an ∈ Uε (α) für höchstens endlich viele n ∈ N. ⇒ α 6∈ H (an ). Fazit:
H (an ) = ∅.
(3) Q ist abzählbar. Also: Q = {a1 , a2 , . . .}.
Behauptung: H (an ) = R.
ε
Beweis: Sei α ∈ R und ε > 0. αn := α + n+1
(n ∈ N), αn ∈ Uε (α) ∀n ∈ N.
2.4 ⇒ ∃r ∈ Q : α2 < r < α1 (dann: r ∈ Uε (α)); ∃n1 ∈ N : r = an1 .
Also: an1 ∈ Uε (α). 2.4 ⇒ ∃n2 ∈ N : α3 < an2 < α2 . Dann: n2 6= n1 . 2.4 ⇒ ∃n3 ∈ N : α4 <
anr < α3 und n3 6= n2 , n3 6= n1 . Etc.
Wir erhalten so eine Folge von Indices (n1 , n2 , n3 , . . .) in N mit ank ∈ Uε (α) und nk 6= nj
für k 6= j.
⇒ an ∈ Uε (α) für unendlich viele n ∈ N ⇒ α ∈ H (an ).
Definition (Teilfolge)
Sei (an ) eine Folge in R und (n1 , n2 , . . .) sei eine Folge in N mit: n1 < n2 < n3 < . . . Dann heißt
(ank ) = (an1 , an2 , . . .) eine Teilfolge (TF) von (an ).
Beispiele:
(1) nk = 2k : (a2 , a4 , a6 , · · · ) ist eine Teilfolge von (an ).
(2) nk = 2k − 1 : (a1 , a3 , a5 , · · · ) ist eine Teilfolge von (an ).
(3) nk = k 2 : (a1 , a4 , a9 , · · · ) ist eine Teilfolge von (an ).
(4) (a1 , a3 , a2 , a4 , a5 , a7 , · · · ) ist keine Teilfolge.
Satz 8.1 (Sätze zu Teilfolgen)
(1) Sei (an ) eine Folge und α ∈ R. Dann: α ∈ H (an ) ⇐⇒ Es existiert eine TF (ank )
von (an ) mit: ank → α (k → ∞)
31
8. Häufungswerte und Teilfolgen
(2) Ist α ∈ R, so existert eine Folge (rk ) in Q: rk → α (k → ∞)
(3) Ist (an ) konvergent und a := lim an =⇒ H (an ) = {a}. Ist (ank ) eine Teilfolge von
(an ), so ist (ank ) konvergent und ank → a (k → ∞)
Beweis
(1) „ =⇒ “: Sei α ∈ H (an ). Zu ε = 1 existiert n1 ∈ N: an1 ∈ U1 (α).
Zu ε = 21 existiert n2 ∈ N: an2 ∈ U 1 (α) und n2 > n1
2
Zu ε = 13 existiert n2 ∈ N: an3 ∈ U 1 (α) und n3 > n2 . etc
3
Wir erhalten so eine Teilfolge von (ank ) von (an ) mit ank ∈ U 1 (α) ∀k ∈ N, also: |ank −α| <
1
k
k
∀k ∈ N =⇒ ank → α (k → ∞).
„⇐“: Sei (ank ) eine Teilfolge von (an ) und ank → α (k → ∞). Sei ε > 0 =⇒ ∃k0 ∈ N:
ank ∈ Uε (α) ∀k > k0 =⇒ an ∈ Uε (α) für unendlich viele n ∈ N =⇒ α ∈ H (an )
(1)
(2) Sei Q = {a1 , a2 , . . .}. Bekannt: H(an ) = R. Also: α ∈ H (an ) =⇒ Behauptung.
(3) Klar: a ∈ H (an )
Sei (ank ) eine Teilfolge von (an ) und ε > 0. a = lim an =⇒ an ∈ Uε (a) ffa n ∈ N =⇒
ank ∈ Uε (a) ffa k ∈ N =⇒ ank → a (k → ∞). Aus (1) folgt noch H(an ) = a.
Hilfssatz (Monotone Teilfolge)
Sei (an ) eine Folge. Dann enthält (an ) eine monotone Teilfolge.
Beweis
m ∈ N heißt niedrig (für (an )) : ⇐⇒ an ≥ am ∀n ≥ m.
Fall 1: Es existieren unendlich viele niedrige Indices n1 , n2 , n3 , . . .. etwa: n1 < n2 < n3 < . . .
(s. 2.3!). Sei k ∈ N: nk ist niedrig. nk+1 > nk =⇒ ank+1 ≥ ank =⇒ die Teilfolge (ank ) ist
monoton wachsend.
Fall 2: Es gibt höchstens endlich viele niedrige Indices =⇒ ∃m ∈ N: m, m + 1, m + 2, . . . sind
alle nicht niedrig =⇒ n3 > n2 : an3 < an2 etc.
Wir erhalten so eine mononte Teilfolge (ank ).
Satz 8.2 (Satz von Bolzano-Weierstraß)
(an ) sei eine beschränkte Folge. Dann H(an ) 6= ∅.
Beweis
∃c > 0 : |an | ≤ c ∀n ∈ N. Hilfssatz =⇒ (an ) enthält eine monotone Teilfolge (ank ). |ank | ≤
c ∀k ∈ N. (ank ) ist aber schränkt. 6.3 =⇒ (ank ) ist konvergent. α := limk→∞ ank . 8.1(1)
=⇒ α ∈ H (an ).
32
9. Oberer und unterer Limes
Vereinbarung: In diesem Paragraphen sei (an ) stets eine beschränkte Folge in R. 8.2 =⇒
H (an ) 6= 0.
Satz 9.1 (Beschränktheit und Abgeschlossenheit der Häufungswerte)
H (an ) ist beschränkt. Weiter existieren max H (an ) und min H (an )
Beweis
∃c > 0 : |an | ≤ c ∀n ∈ N. Sei α ∈ H (an ). 8.1 =⇒ ∃TF(ank ) von (an ) mit ank → α (k → ∞),
k→∞
6.2 =⇒ |ank | → |α| (k → ∞); |ank | ≤ c ∀k ∈ N ===⇒ |α| ≤ c. Also: |α| ≤ c ∀α ∈
H (an ). H (an ) ist also beschränkt. Sei s := sup H (an ), z.Z.: s ∈ H (an ) (analog zeigt man:
inf H (an ) ∈ H (an ))
Sei ε > 0. Dann ist s − ε keine obere Schranke von H (an ) =⇒ ∃α ∈ H (an ) : α > s − ε.
Wähle δ > 0 so, dass Uδ (α) ⊆ Uε (s) =⇒ an ∈ Uδ (α) für unendlich viele n ∈ N =⇒ an ∈ Uε (s)
für unendlich viele n ∈ N =⇒ s ∈ H (an ).
Definition
lim sup an := lim sup an := max H (an ) heißt oberer Limes oder Limes superior von (an )
n→∞
lim inf an := lim inf an := min H (an ) heißt unterer Limes oder Limes inferior von (an )
n→∞
Beachte: lim inf an ≤ α ≤ lim sup an ∀α ∈ H (an ).
Beispiele:
8.1
(1) Ist (an ) konvergent =⇒ H (an ) = {lim an } =⇒ lim sup an = lim inf an = lim an .
7.6
(2) an = (−1)n (1 + n1 )n ; |an | = (1 + n1 )n ≤ 3 =⇒ (an ) ist beschränkt.
8.1
1 2n
a2n = (a + 2n
) =⇒ (a2n ) ist eine Teilfolge von (an ) und von der Folge ((1 + n1 )n ) =⇒
1
a2n → e (n → ∞). Analog: a2n−1 = −(1 + 2n−1
)2n−1 → −e. Also: e, −e ∈ H (an ). Sei
α ∈ R : e 6= α 6= −e.
Wähle ε > 0 so, dass: (Uε (e) ∪ Uε (−e)) ∩Uε (α) 6= ∅ (∗)
|
{z
}
=:U
Etwa ε := 12 min{|α − e|, |α + e|}. a2n → e =⇒ an ∈ Uε (e) ffa gerade n. a2n−1 →
−e =⇒ an ∈ Uε (−e) ffa ungerade n. =⇒ an ∈ U ffa n ∈ N =⇒ an ∈ Uε (α) für
höchstens endlich viele n ∈ N =⇒ α 6= H (an ). Fazit: H (an ) = {e, −e}, lim sup an = e,
lim inf an = −e.
33
9. Oberer und unterer Limes
Satz 9.2 (Eigenschaften des Limes superior und inferior)
Sei α ∈ R. Dann:
α = lim inf an ⇐⇒ ∀ε > 0 gilt:
(1) α − ε < an ffa n ∈ N
(2) an < α + ε für unendlich viele n ∈ N.
α = lim sup an ⇐⇒ ∀ε > 0 gilt:
(1) α − ε < an für unendlich viele n ∈ N
(2) an < α + ε ffa n ∈ N.
Beweis
nur für lim inf.
„ =⇒ “: Sei α = lim inf an . Sei ε > 0. α ∈ H (an ) =⇒ an ∈ Uε (α) für unendlich viele
n ∈ N =⇒ (ii).
Annahme: (i) gilt nicht. D.h.: an ≤ α − ε für unendlich viele n, etwa für n1 , n2 , n3 , . . . mit n1 <
n2 < n3 < . . .. Dann ist ank eine Teilfolge von (an ) mit ank ≤ α − ε ∀k ∈ N. ank ist beschränkt.
8.2
=⇒ (ank ) enthält eine konvergente Teilfolge (ankj ); β := lim ankj . (ankj ) ist auch eine Teilfolge
j→∞
j→∞
8.1
von (an ) =⇒ β ∈ H (an ) =⇒ α ≤ β. ankj ≤ α − ε ∀j ∈ N ===⇒ β ≤ α − ε =⇒ α ≤ α − ε,
Widerspruch!
(i),(ii)
„⇐“: für jedes ε > 0 gelte (i) und (ii). Sei ε > 0 ===⇒ α − ε < an < α + ε für unendlich viele
n =⇒ an ∈ Uε (α) für unendlich viele n =⇒ α ∈ H (an ). Sei β < α. Zu zeigen: β 6= H (an ).
=⇒ β + ε = α − ε. (i) =⇒ an > α − ε = β + ε ffa n ∈ N =⇒ an ∈ Uε (β) für
ε := α−β
2
höchstens endlich viele n =⇒ β 6= H (an ).
Satz 9.3 (Äquivalenzaussagen zur Konvergenz)
Die folgende Aussagen sind äquivalent:
(1) lim inf an = lim sup an
(2) (an ) hat genau einen Häufungswert
(3) (an ) ist konvergent
Beweis
(1) (1) ⇐⇒ (2) Klar.
(2) (3) =⇒ (2) 8.1.
(3) (2) =⇒ (3) Sei H (an ) = {α} =⇒ lim sup an = lim inf an = α.
9.2
Sei ε > 0 =⇒ α − ε < an < α + ε ffa n ∈ N =⇒ |an − α| < ε ffa n ∈ N =⇒ an →
α (n → ∞).
34
Folgerung 9.4
Sei (bn ) eine Folge in R. (bn ) ist konvergent genau dann, wenn (bn ) beschränkt ist und genau
einen Häufungswert hat. Beweis „ =⇒ “: 6.1, 9.3; „⇐“: 9.3
Beispiel
auf die Voraussetzung „(bn ) beschränkt“kann in 9.4 nicht verzichtet werden!
Beispiel: (bn ) = (1, 0, 3, 0, 5, 0, . . .)
Satz 9.5 (Rechenregeln für den Limes superior und inferior)
Sei (bn ) eine weitere beschränkte Folge in R.
(1) aus an ≤ bn ffa n ∈ N folgt lim sup an ≤ lim sup bn
aus an ≤ bn ffa n ∈ N folgt lim inf an ≤ lim inf bn
(2) lim sup(an + bn ) ≤ lim sup an + lim sup bn
lim inf(an + bn ) ≥ lim inf an + lim inf bn
(3) lim sup(αan ) = α lim sup an ∀α ≥ 0
lim inf(αan ) = α lim inf an ∀α ≥ 0
(4) lim sup(−an ) = − lim inf an
lim inf(−an ) = − lim sup an
Beweis: Übung
35
10. Das Cauchy-Kriterium
Motivation: Sei (an ) eine konvergente Folge, a := lim an . Sei ε > 0. Dann existiert ein n0 =
n0 (ε) ∈ N: |an − a| < 2ε ∀n ≥ n0 .
Für n, m ≥ n0 : |an − am | = |an − a + a − am | ≤ |an − a| + |am − a| < 2ε + 2ε ≤ ε.
Eine konvergente Folge (an ) hat also die folgende Eigenschaft:
(∗)∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) ∈ N ∀n, m ≥ n0 : |an − am | < ε
Definition (Cauchy-Folge)
Hat (an ) die Eigenschaft (∗), so heißt (an ) eine Cauchyfolge (CF). Beachte: (an ) ist eine
Cauchyfolge ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃n0 ∈ N : |an − am | < ε ∀n > m ≥ n0 ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃no ∈ N :
|an − an+p | < ε ∀n ≥ n0 ∀p ∈ N.
Beispiel
sn := 1 +
1
2
+
1
3
+ ... +
1
n
=
n
X
1
(n ∈ N)
k
k=1
1
2
1
3
1
n
1
1
s2n − sn = 1 + + + . . . + + n+1
+ . . . + 2n
− (1 + 21 + . . . + n1 ) =
1
1
1
≥
+
+...+
n+1 n+2
2n
|{z}
| {z } | {z }
1
≥ 2n
n·
1
2n
=
1
2
=⇒ |s2n − sn | ≥
1
2
1
≥ 2n
1
≥ 2n
∀n ∈ N =⇒ (sn ) ist keine Cauchyfolge!
Satz 10.1 (Cauchy-Kriterium)
(an ) ist konvergent ⇐⇒ (an ) ist eine Cauchyfolge.
Beweis
„⇒“: siehe oben
„⇐“: Zu ε = 1 existiert no ∈ N : |an − an0 | < 1 ∀n ≥ n0 . Für n ≥ n0 : |an | = |an − an0 + an0 | ≤
|an − an0 | + |an0 | < 1 + |an0 | =: c =⇒ (an ) ist beschränkt.
9.3
Annahme: (an ) ist divergent =⇒ α := lim inf an < lim sup an =: β
ε :=
β−α
3 ;
∃n0 ∈ N : |an − an0 | < ε ∀n, m ≥ n0
α ∈ H(an ) =⇒ ∃n ∈ N : an ∈ Uε (α) und n ≥ n0 =⇒ an < α + ε
β ∈ H(an ) =⇒ ∃m ∈ N : am ∈ Uε (β) und m ≥ n0 =⇒ am < β − ε
=⇒ am > an =⇒ |am − an | = am − an > β − ε − (α + ε) = β − α − 2ε = 3ε − 2ε = ε. `
Folgerung 10.2
1
1 1
Die Folge (sn ) mit sn := 1 + + + · · · +
2 3
n
(n ∈ N) ist divergent.
37
11. Unendliche Reihen
Definition
Sei (an ) eine Folge in R.
Die Folge (sn ) mit sn := a1 +a2 +. . .+an (n ∈ N) heißt (unendliche)
P∞
Reihe und wird mit n=1 an bezeichnet
P∞ (oder mit a1 + a2 + . . . + an ).
P∞
sP
heißt
die
n-te
Teilsumme
von
n
n=1 an und an heißt n-tes Reihenglied von
n=1 an .
∞
n=1
P an heißt konvergent (divergent) : ⇐⇒ (sn ) konvergiert (divergiert).
Ist P∞
die Reihensumme und wird
n=1 an konvergent, so heißt limn→∞ sn der Reihenwert oder P
∞
a
bezeichnet
(Im
Konvergenzfall
hat
also
das
Symbol
mit ∞
n=1 an zwei Bedeutungen).
n=1 n
Bemerkung:
∞
X
(1)
an =
n=1
∞
X
ai =
i=1
∞
X
ak
k=1
(2) Sei p ∈ Z und (an )n≥pP
eine Folge. Dann definiert man entsprechend sn := ap + ap+1 +
. . . + an (n ≥ p) und ∞
n=p an . Meist gilt: p = 1 oder p = 0.
∞
Beispiele:
X
1
(1) Die harmonische Reihe
:
n
n=1
an =
Also:
1
n , sn
∞
X
n=1
1
2
1
3
= 1 + + + ... +
1
divergiert.
n
∞
X
(2) Die geometrische Reihe
1
n
xn
10.2
==⇒ (sn ) divergiert.
(x ∈ R) :
n=0
7.3
1
(n → ∞).
=⇒ (sn ) konvergiert ⇐⇒ |x| < 1. In diesem Fall: sn → 1−x
∞
∞
X
X
1
Also:
xn ist konvergent ⇐⇒ |x| < 1. In diesem Fall:
xn =
1−x
n=0
(3)
P∞
(4)
P∞
1
n=0 n! .
n=0
§7 =⇒
P∞
1
n=0 n!
1
1
n=1 n(n+1) , an = n(n+1)
1
1
( n1 − n+1
) = 1 − n+1
→1
ist konvergent und
In := (an −
ε
1
n=0 n!
= e.
1
1
= n1 − n+1
=⇒ sn = (1 − 12 ) + ( 12 − 13 ) + . . . + ( n−1
− n1 ) +
P∞
P
1
1
(n → ∞). n=1 n(n+1)
ist konvergent, ∞
n=1 n(n+1) = 1
(5) Q = {a1 , a2 , · · · } Sei ε > 0.
ε
P∞
∞
[
, an + 2n+1 ). an ∈ In ∀n ∈ N =⇒ Q ⊆
In .
n=1
P
P∞ ε
ε
ε
Länge von In := |In |; ∞
n=1 |In | =
n=1 2n ; sn = 2 + 22 + · · · +
2n+1
ε
2n
= 2ε (1 +
1
2
+ ··· +
P
∞
( 21 )n−1 ) = 2ε (
) → ε (n → ∞) (Unendliche geometrische Reihe). D.h.
n=1 |In |
P∞
ist konvergent und
n=1 |In | = ε. Die Rationalen Zahlen können so mit abzählbaren
Intervallen überdeckt werden, dass die Summe der Intervalle beliebig klein ist.
1−( 21 )n
1− 21
39
11. Unendliche Reihen
Satz 11.1 (Cauchy- und Monotoniekriterium sowie Nullfolgeneigenschaft)
(an ) sei eine Folge in R und sn := a1 + a2 + . . . + an .
P
(1) Cauchy-Kriterium: ∞
n=1 an konvergiert ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃n0 := n0 (ε) ∈ N :
n
X
|
ak | < ε ∀n > m ≥ n0 .
k=m+1
|
{z
=sn −sm
}
(2) P
Monotoniekriterium: Sind alle an ≥ 0 und ist (sn ) beschränkt, so folgt daraus:
∞
n=1 an konvergiert.
P∞
(3)
n=1 an sei konvergent. Dann:
(i) an → 0 (n → ∞)
P∞
P
(ii) Für ν ∈ N ist ∞
n=ν+1 an
n=ν+1 an = aν+1 +aν+2 +. . . konvergent und für rν :=
gilt: rν → 0 (ν → ∞)
Beweis
(1) Wende Cauchy-Kriterium (10.1) auf (sn ) an.
Vor.
(2) sn+1 = a1 +a2 +. . .+an +an+1 = sn +an+1 ≥ sn =⇒ sn ist monoton wachsend =⇒ (sn )
6.3
konvergiert.
(3) Sei s := lim sn , also
P∞
n=1 an
= s.
(i) sn − sn−1 = an =⇒ an → s − s = 0 (n → ∞)
(ii) Für
=⇒
=⇒
=⇒
n ≥ ν + 1 : σn := aν+1 + aν+2 + . . . + an = sn − (a1 + . . . + aν ) = sn − sν
σ
Pn∞→ s − sν (n → ∞)
n=ν+1 an konvergiert und rν = s − sν
rν → 0 (ν → ∞)
Satz 11.2
bei Reihen)
P
P (Rechenregeln
P∞
b
seienP
α, β ∈ R. Dann ist ∞
Seien ∞
a
und
n
n
n=1
n=1 (αan + βbn )
P∞ n=1 konvergent.PWeiter
∞
konvergent und n=1 (αan + βbn ) = α ∞
a
+
β
b
.
n=1 n
n=1 n
Beweis
klar.
DefinitionP
P∞
Die Reihe ∞
n=1 an heißt absolut konvergent : ⇐⇒
n=1 |an | ist konvergent.
40
Satz
(Dreiecksungleichung fürPReihen)
P11.3
∞
Ist n=1 an absolut konvergent, so ist ∞
n=1 an konvergent und
|
∞
X
an | ≤
n=1
∞
X
|an |
n=1
Beweis
Sei ε > 0. Aus der Voraussetzung und Satz 11.1(1) folgt:
n
X
∃n0 ∈ N :
|ak | < ε ∀n > m ≥ n0
k=m+1
n
X
=⇒ |
11.1(1)
ak | ≤
k=m+1
∞
X
====⇒
n
X
|ak | < ε ∀n > m ≥ n0
k=m+1
an ist konvergent.
n=1
sn := a1 + a2 + . . . + an ; σn := |a1 | + |a2 | + . . . + |an | =⇒ |sn | ≤ σn
∞
∞
X
X
n→∞
===⇒ |
an | ≤
|an |.
n=1
n=1
Beispiel
P∞
n+1 1 .
Die alternierende Harmonische Reihe
n=1 (−1)
n
P
∞
n+1 1 . |a | = 1 =⇒
a
konvergiert
nicht absolut.
Hier: an = (−1)P
n
n
n=1
n
n
P∞
a
a
ist
konvergent.
(Später:
Behauptung: ∞
n=1 n = log 2)
n=1 n
Beweis: sn = a1 + a2 + . . . + an .
1
1
s2n+2 = s2n +a2n+1 +a2n+2 = s2n +
−
=⇒ (s2n ) ist monoton wachsend. Analog:
2n + 1 2n + 2
|
{z
}
>0
(s2n−1 ) ist monoton fallend. s2n = s2n−1 + a2n = s2n−1 −
1
2n
(∗)
(∗)
1
Dann gilt s2 ≤ s4 ≤ . . . ≤ s2n = s2n−1 − 2n
< s2n−1 ≤ . . . ≤ s3 ≤ s1 =⇒ (s2n )
und (s2n−1 ) sind beschränkt. 6.3 =⇒ (s2n ) und (s2n−1 ) sind konvergent. Aus (∗) folgt dann
lim s2n = lim s2n−1 . A16 =⇒ (sn ) hat genau einen Häufungswert. 9.3 =⇒ (sn ) ist konvergent.
41
12. Konvergenzkriterien
Satz 12.1 (Leibnizkriterium)
P
Sei (bn ) eine monoton fallende Nullfolge und an := (−1)n+1 bn . Dann ist ∞
n=1 an konvergent.
Beweis P
n+1 1 . Von (b ) = ( 1 ) wurde nur benutzt: 1 ist eine fallende Nullfolge.
Wie bei ∞
n
n=1 (−1)
n
n
n
P∞
Bemerkung:
Gilt an = bn ffa n ∈ N, so gilt:
n=1 an ist genau dann konvergent, wenn
P∞
b
konvergent
ist.
n=1 n
Satz 12.2 (Majoranten- und Minorantenkriterium)
P
(1) Majorantenkriterium:
Gilt |an | ≤ bn ffa n ∈ N und ist ∞
n=1 bn konvergent, so gilt:
P∞
a
ist
absolut
konvergent.
n=1 n
P
(2) Minorantenkriterium:
Gilt an ≥ bn ≥ 0 ffa n ∈ N und ist ∞
n=1 bn divergent, so
P∞
gilt: n=1 an ist divergent.
Beweis
(1) sn := b1 + b2 + . . . + bn , σn := |a1 | + . . . + |an | ∀n ∈ N. O.b.d.A.: |an | ≤ bn ∀n ∈ N.
6.1
(sn ) ist konvergent =⇒ (sn ) ist beschränkt =⇒ ∃c ≥ 0 : an ≤ c ∀n ∈ N =⇒ 0 ≤
σn = |a1 | + |a2 | + . . . + |an | ≤ b1 + b2 + . . . bn = sn ≤ c ∀n ∈ N =⇒ (σn ) ist beschränkt
11.1(1)
====⇒ (σn ) konvergent.
(2) Annahme:
P∞
n=1 an
(1)
ist konvergent =⇒
Beispiele:
P∞
(1)
n=1
gent
(2)
P∞
1
1
, an = (n+1)
2
(n+1)2
12.2(2) P∞
====⇒
n=1 an ist
1
n=1 n2 −n+ 1
8
, an =
=
1
n2 +2n+1
≤
P∞
n=1 bn
1
n2 +2n
≤
konvergent. Folgerung:
1
n2 −n+ 81
, bn :=
1 an
,
n2 bn
=
ist konvergent. Widerspruch!
1
n(n+1)
=: bn . Bekannt:
P∞
1
n=1 n2
n2
n2 −n+ 18
P∞
n=1 bn
konver-
ist konvergent.
→ 1 (n → ∞) =⇒ ∃m ∈ N :
an
bn
≤
2 ∀n ≥ m =⇒ an ≤ 2bn ∀n ≥ m (|an | = an )
P∞
12.2(1) P∞
===⇒
n=1 2bn ist konvergent =
n=1 an ist konvergent.
(3) Sei α ∈ (0, 1] ∩ Q:
(4) Sei α ≥ 2, α ∈ Q:
1
nα
1
nα
≥
≤
1
n
∀n ∈ N ====⇒
12.2(2)
P∞
ist divergent.
1
n2
∀n ∈ N ====⇒
12.2(1)
P∞
ist konvergent.
1
n=1 nα
1
n=1 nα
43
12. Konvergenzkriterien
P
1
(5) In der Übung gezeigt: Ist α > 0, α ∈ Q: ∞
n=1 nα ist konvergent genau dann, wenn α > 1.
x
Bemerkung:
P∞ Ist1 später die allgemeine Potenz a (a > 0, x ∈ R) bekannt, so zeigt man
analog: n=1 nα ⇐⇒ α > 1 ∀α ∈ R.
Definition (∞ als Limes Superior)
Ist (αn ) eine Folge und αn ≥ 0 ∀n ∈ N und ist (αn ) nicht nach oben beschränkt, so setzte
lim sup αn := lim supn→∞ αn := ∞.
Vereinbarung: x < ∞ ∀x ∈ R
Satz 12.3 (Wurzelkriterium)
p
Sei (an ) eine Folge und α := lim sup n |an |.
P∞
(1) Ist α < 1 =⇒
n=1 an absolut konvergent
P∞
(2) Ist α > 1 =⇒
n=1 an divergent
(3) Ist α = 1, so ist keine allgemeine Aussage möglich.
Beweis
p
(1) α < 1. Sei ε > 0 so, dass x := α + ε < 1. 9.2 =⇒ n |an | < α + ε = x ffa n ∈ N =⇒
P
12.1(1)
n
===⇒ Behauptung.
|an | < xn ffa n ∈ N. ∞
n=1 x ist konvergent =
p
(2) (i) α > 1, α < ∞: Sei ε > 0 so, dass α−ε > 1. 9.2 =⇒ n |an | > α−ε > 1 für unendlich
11.1 P∞
viele n ∈ N =⇒ |an | > 1 für unendlich viele n ∈ N =⇒ an → 0 ==⇒
n=1 an ist
divergent.
p
wie eben P∞
(ii) α = ∞ =⇒ n |an | > 1 für unendlich viele n ∈ N =====⇒
n=1 an ist divergent.
(3) Siehe Beispiele
Beispiele:
P∞
(1)
n=1
(2)
P∞
(3)
P∞
1
n
1
n=1 n2
ist divergent.
q
n
ist konvergent.
1
n
=
q
n
1
n2
1
√
nn
→ 1, also α = 1.
=(
1 2
√
n n)
→ 1, also α = 1.
p
1
2
+ )−n . n |an | = (1 + n1 )−n =
{z n
}
n
n=1 (−1) (1
|
1
1 n
(1+ n
)
→
1
e
< 1 =⇒
P∞
n=1 an
ist absolut
=:an
konvergent.
(
1
für n gerade
n
(4) Sei (an ) eine Folge und x ∈ R mit an := 2 n
.
n·x
für n ungerade
(
1
p
P∞
für n gerade
Betrachte n=1 an . αn := n |an | = 2√
.
n
n|x| für n ungerade
√
α2n = 21 → 12 . α2n−1 = 2n−1 2n − 1 · |x| → |x|. A16 =⇒ H (αn ) = { 21 , |x|}.
p
P
n
Ist |x| < 1 =⇒ lim sup p
|an | < 1 =⇒ P∞
n=1 an konvergiert absolut.
∞
n
Ist |x| > 1 =⇒ lim sup |an | > 1 =⇒
n=1 an divergiert.
P∞
2n−1
Sei |x| = 1: |a2n−1 | = |(2n − 1)x
| = 2n − 1 =⇒ an 9 0 =⇒
n=1 an ist divergent.
44
(5) Sei p ∈ N und q ∈ R und |q| < 1. Behauptung: limn→∞ np q n = 0. Beweis: an := np q n .
p
√
√
12.3 P∞
n
|an | = n np |q| = ( n n)p |q| → |q| < 1 ==⇒
n=1 an ist absolut konvergent =⇒ an →
0.
Satz 12.4 (Quotientenkriterium)
Sei (an ) eine Folge in R und an 6= 0 ffa n ∈ N. αn := an+1
an (ffa n ∈ N).
P∞
(1) Ist |αn | ≥ 1 ffa n ∈ N =⇒
n=1 an ist divergent.
(2) Es sei (αn ) beschränkt, β := lim inf |αn | und α := lim sup |αn |.
P∞
(i) Ist β > 1 =⇒
n=1 an ist divergent.
P∞
(ii) Ist α < 1 =⇒
n=1 an ist absolut konvergent.
(iii) Ist α = β = 1, so ist keine allgemeine Aussage möglich.
Beweis
O.B.d.A.: an 6= 0 ∀n ∈ N
(1) Dann: |a2 | ≥ |a1 | > 0, |a3 | ≥ |a2 | ≥ |a1 | > 0, . . . allgemein: |an | ≥ |a1 | > 0 ∀n ∈ N =⇒
an 9 0 =⇒ die Behauptung.
(2)
(i) Sei β > 1, Sei ε > 0 so, dass β − ε > 1. 9.2 =⇒ |αn | > β − ε > 1 ffa n ∈ N =⇒
die Behauptung.
(ii) Sei α < 1. Sei ε > 0 so, dass x := α + ε < 1. 9.2 =⇒ |αn | < α + ε = x ffa n ∈ N.
Dann: |a2 | ≤ |a1 |x, |a3 | ≤ |a2 |x ≤ |a1 |x2 ,. . . allgemein: |an | ≤ |an 1|xn−1 ffa n ∈ N.
P∞
12.2 P∞
n−1 ist konvergent =
=⇒
n=1 an ist absolut konvergent.
n=1 |a1 |x
(iii) siehe Beispiele
Beispiele:
P∞
(1)
n=1
(2)
P∞
1
n
1
n=1 n2
ist divergent. an+1
an =
n
n+1
an+1 ist konvergent. an =
→ 1, also α = β = 1.
n2
(n+1)2
→ 1, also α = β = 1.
Beispiel 12.5 (Exponentialfunktion)
Für x ∈ R betrachte die Reihe
∞
X
xn
n=0
n!
=1+x+
x2
x3 x4
++ +
+ ...
2!
3!
4!
Für welche x ∈ R konvergiert diese Reihe (absolut)?.
Klar: für x = 0 konvergiert die Reihe.
n
Sei x 6= 0 und an = xn! ;
an+1 xn+1
n! |x|
=
an (n + 1)! · xn = n + 1 → 0 (n → ∞) (also α = β = 0)
45
12. Konvergenzkriterien
xn
n=0 n!
P∞
ist absolut konvergent für alle x ∈ R.
P
xn
Also wird durch E(x) := ∞
(x ∈ R) eine Funktion E : R → R definiert. Diese Funktion
n=0 n!
E heißt die Exponentialfunktion.
P
1
E(0) = 1, E(1) = ∞
n=0 n! = e.
12.4 =⇒
Bemerkung: Später zeige wir: E(r) = er ∀r ∈ Q. Dann definieren wir ex := E(x) (x ∈ R).
P∞
Motivation: bn := (−1)n (n ∈ N), bn 9 0 =⇒
n=1 bn =
Pb∞1 + b2 + . . . ist divergent.
a1 := b1 + b2 , a2 := b3 + b4 , . . . also: an = 0 ∀n ∈ N =⇒
n=1 an = (b1 + b2 ) + (b3 + b4 ) +
. . . ist konvergent. Also: „Im Allgemeinen darf man Klammern in konvergenten Reihen nicht
weglassen.“
SatzP12.6 (In konvergenten Folgen darf man Klammern setzen)
∞
Sei
n=1 an konvergent und es seien n1 , n2 , . . . ∈ N mit n1 < n2 < . . .. Setze b1 :=
bk := ank−1 +1 + . . . + ank (k ≥ 2). Dann
. . . + an2 , allgemein:
a1 +
P∞
P. . . + an1 , b2 := an1 +1 + P
∞
a
.
b
=
b
konvergent
und
ist ∞
n
n
n
n=1
n=1
n=1
Beweis
sn := a1 + a2 + . . . + an ; σk := b1 + b2 + . . . bk . Es ist σk = a1 + a2 + . . . + ank = snk =⇒ σk
8.1(3)
ist eine Teilfolge von sn ===⇒ (σk ) konvergent und limk→0 σk = limn→∞ sn .
46
13. Umordnungen und Produkte von Reihen
Definition (Umordnung)
Sei
P∞(an ) eine Folge und φ : N → N bijektiv.
P∞ Setzt man bn := aφ(n) (n ∈ N), so heißt (bn )
( n=1 bn ) eine Umordnung von (an ) ( n=1 an ).
Beispiel
(a1 , a3 , a2 , a4 , a5 , a7 , a6 , a8 ) ist eine Umordnung von (an ) (aber keine Teilfolge!).
Hilfssatz
(1) Sei φ : N → N bijektiv und m0 ∈ N. Dann gilt: φ(n) ≥ m0 ffa n ∈ N
(2) (b
von (bn )
P∞
P∞ (an ) ist eine Umordnung
Pn∞) ist eine Umordnung von (an ) ⇐⇒
⇐⇒
bn ist eine Umordnung von
n=1 an ist eine Umordnung von
n=1 an
Pn=1
∞
b
n
n=1
Beweis
(1) A := {n ∈ N : φ(n) < m0 }. z.z.: A ist endlich.
Annahme: A ist unendlich, etwa A = {n1 , n2 , n3 , . . .} mit n1 < n2 < n3 < . . . ; φ bijektiv
=⇒ φ(A) ist unendlich.
n ∈ φ(A) =⇒ n = φ(nk ), nk ∈ A =⇒ n < m0 =⇒ φ(A) ⊆ {1, 2, . . . , m0 − 1},
Widerspruch!
(2) Es sei bn = aφ(n) und φ : N → N bijektiv, φ−1 : N → N bijektiv. bφ−1 (n) = aφ(φ−1 (n)) =
an =⇒ (an ) ist eine Umordnung von (bn ).
Satz 13.1 (Riemannscher Umordnungssatz)
(bn ) sei eine Umordnung von (an ).
(1) Ist (an ) konvergent, dann gilt: (bn ) ist konvergent und lim bn = lim an .
P∞
P∞
(2) P
Ist
absolut konvergent, dann gilt:
n=1 an
n=1 bn ist absolut konvergent und
P
∞
∞
b
=
a
.
n=1 n
n=1 n
P
(3) Riemannscher Umordnungssatz: ∞
n=1 an sei konvergent aber nicht absolut konvergent.
P
(i) Es gibt divergente Umordnungen von ∞
n=1 an .
P
(ii) Ist s ∈ R, so existiert eine Umordnung von ∞
n=1 an mit Reihenwert s.
Beweis
Für (1) und (2) sei φ : N → N bijektiv und bn = aφ(n) .
47
13. Umordnungen und Produkte von Reihen
(1) Sei a := lim an . Sei ε > 0, ∃m0 ∈ N : |an − a| < ε ∀n ≥ m0 .
Aus Hilfssatz (1) folgt: ∃n0 ∈ N : φ(n) ≥ m0 ∀n ≥ n0 . Für n ≥ n0 : |bn − a| = |aφ(n) − a| <
ε.
P
P
(2) Wir schreiben
statt ∞
n=1 .
Fall 1: an ≥ 0 ∀n ∈ N
sn := a1 + a2P
+ . . . + an , σn := b1 + b2 + . . . + bn .an ≥ 0 =⇒ (sn ) ist wachsend, sei
s := lim sn (= an ). Es gilt: sn ≤ s ∀n ∈ N.
Sei n ∈ N und j := max{φ(1), φ(2), . . . , φ(n)}. Dann: {φ(1), φ(2), . . . , φ(n)} ⊆ {1, 2, . . . , j} =⇒
σn = b1 + b2 + . . . + bn = aφ(1) + aφ(2) + . . . + aφ(n) ≤ a1 + a2 + . . . + aj = sj ≤ s =⇒ (σn )
ist wachsend und beschränkt.
P
P
6.3 =⇒ (σP
Weiter:
lim
σ
≤
s,
d.h.
b
≤
an . Vertauschung der
n ) ist konvergent.
n
n
P
P
P
Rollen von
an und
bn liefert:
an ≤ bn .
P
P
Fall 1 P
Fall 2,
Fall:
|bn |Pist eineP
Umordnung von
|an | =⇒
|bn | konvergiert
Pder allgemeine
P
und
|bn | =
|an |. Noch z.z.:
bn = an .
P
P
P
αn := an + |an |, βn := bn +
|b
|.
Dann:
α
,
β
≥
0
∀n
∈
N.
α
,
β
konvergieren,
βn
n
n
n
n
n
P
P
P
ist eine Umordnung von
αn . Fall 1 =⇒
βn = αn .
P
P
P
P
P
P
P
P
Dann:
an = (αn − |an |) = αn − |an | =
βn − |bn | =
(βn − |bn |) = bn .
(3) ohne Beweis.
P∞
P∞
Vereinbarung:
Für
seien
n=0
n=0 an und
P
P gegeben:
P
P bn . Wir
P
P∞den Rest des Paragraphen
an und
bn konvergent, s := ( an )( bn ).
schreiben
statt n=0 . Weiter sei, falls
Definition P
P
P
∞
an und
bn : ⇐⇒ {p0 , p1 , p2 , . . .} =
Eine Reihe
n=0 pn heißt eine Produktreihe von
{aj bk : j = 0, 1, . . . ; k = 0, 1, . . .} und jedes aj bk kommt in (pn )∞
n=0 genau einmal vor.
Satz P
13.2 (Alle
PProduktreihen sind Umordnungen
P
Pvoneinander)
P
SindP pn und
qn zwei Produktreihen von
an und
bn , so ist
pn eine Umordnung
von
qn .
Beweis
Übung.
Satz P
13.3 (Absolute
Konvergenz geht auf Produktreihen
über)
P
P
P
Sind
an undP bn absolut konvergent, und
pn eine Produktreihe von
an und
P
Pist
bn , dann ist
pn absolut konvergent und
pn = s.
48
Beweis
σP
|p1 | + . . . + |pn | (n ∈ N). Sei n ∈ N0 . Dann existiert ein m ∈ N : σn ≤
n = |p0 | +P
m
|a
|)(
( m
k=0 |bk |).
k=0 k
P
α
|ak |, (αk ) ist wachsend =⇒ αk ≤
k ) konvergiert und αk →
Pk := |a0 | + |a1 | + . . . +P|ak |, (αP
|an | =⇒ 0 ≤ σn ≤ ( |an |)( |bn |) ∀n ∈ N0 =⇒ (σn ) ist beschränkt (und wachsend).
P
P
6.3 =⇒ (σn ) konvergiert =⇒
pn ist absolut konvergent. Noch z.z.:
pn = s.
P
Dazu betrachten wir eine spezielle Produktreihe
qn („Anordnung nach Quadraten “):
q0 := a0 b0 , q1 := a0 b1 , q2 := a1 b1 , q3 := a1 b0 , q4 := a0 b2 , q5 := a1 b2 , . . .
sn := q0 + q1 + . . . + qn
P
Nach dem schon Bewiesenen konvergiert
qn , also auch (sn ).
Nachrechnen: (a0 + a1 + . . . + an ) (b0 + b1 + . . . + bn ) = sn2 +2n ∀n ∈ N
|
{z
}|
{z
}
P
P
→
n→∞
=⇒ s =
P
→
an
bn
qn .
Aus 13.1 und 13.2 folgt:
P
pn =
P
an
P
bn = s.
Definition P
(Cauchyprodukt)
Setze cn := nk=0 ak bn−k = a0 bn + a1 bn−1 + . . . + an b0 (n ∈ N0 ), also: c0 = a0 b0 , c1 = a0 b1 +
a1 b0 , . . .
P
P
P∞
an und
bn .
n=0 cn heißt Cauchyprodukt von
Satz P
13.4 (Cauchyprodukt
absolut konvergierender Folgen konvergiert)P
P
Sind
a
und
b
absolut
konvergent, so konvergiert ihr Cauchyprodukt
cn und
n
n
P
cn = s.
Beweis
P
P
P
Sei pn die Produktreihe von an und bn , die durch „Anordnung nach Diagonalen“entsteht.
(p0 = a0 b0 , p1 = a0 b1 , p2 = a1 b0 , pP
3 = a0 b2 , p4 = a1 b1 , pP
5 = a0 b3 , . . .). Dann: c0 = a0 b0 =
p0 , c1 = p1 + p2 , c2 = p3 + p4 + p5 .
cn ensteht also aus
pn durch Setzen vom Klammern.
P
P
12.6
13.3 =⇒
pn konvergiert absolut und
pn = s ==⇒ Behauptung.
Beispiel
P∞ n
P
1
n
Für x ∈ R mit |x| < 1 ist ∞
n=0 x = 1−x . Für |x| < 1 :
n=0 x absolut konvergent und
P
P
P
P
P
∞
∞
n
n
1
n
n 13.4
k n−k =
n
n
=( ∞
n=0 x )( n=0 x ) =
n=0 cn , wobei cn =
k=0 x x
k=0 x = (n+1)x .
(1−x)2
=⇒
P∞
n=0 (n
+ 1)xn =
1
.
(1−x)2
Satz 13.5 (E(r) = P
er ∀r ∈ Q)
xn
Erinnerung: E(x) = ∞
n=0 n! (x ∈ R)
(1) E(x + y) = E(x)E(y) ∀x, y ∈ R; allgemein: E(x1 + x2 + . . . + xn )
E(x1 )E(x2 ) · · · E(xn ) ∀x1 , x2 , . . . , xn ∈ R.
=
49
13. Umordnungen und Produkte von Reihen
(2) E(x) > 1 ∀x > 0.
(3) E(x) > 0 ∀x ∈ R, E(−x) =
1
E(x)
∀x ∈ R.
(4) Aus x < y folgt: E(x) < E(y).
(5) E(r) = er ∀r ∈ Q.
∞
∞
∞
Beweis
X
xn X y n 13.4 X
(1) E(x)E(y) = (
)(
) =
cn mit
n!
n!
n=0
n=0
cn =
n
X
xk
k=0
=⇒ E(x)E(y) =
n=0
n (x + y)n
y n−k
1 X n k n−k
x y
=
·
=
.
k! (n − k)!
n!
k
n!
k=0
∞
X
(x + y)n
n=0
n!
= E(x + y).
x2
(2) x > 0 : E(x) = 1 + x +
+ . . . > 1.
2!
|
{z
}
>0
(1)
(3) 1 = E(0) = E(x + (−x)) = E(x)E(−x). Wir wissen: E(x) > 0 ∀x > 0.
Sei x < 0 =⇒ −x > 0 =⇒ E(−x) > 0 =⇒ E(x) > 0.
(2)
(1)
(3) E(y)
E(x)
(4) Sei x < y =⇒ y − x > 0 =⇒ 1 < E(y − x) = E(y)E(−x) =
=⇒ E(x) < E(y).
(1)
(5) Seien n, m ∈ N. E(n) = E(1 + . . . + 1) = E(1)n = en .
| {z }
n mal
√
1
1
1
e = E(1) = E(n · n1 ) = E( + . . . + ) = E( n1 )n =⇒ E( n1 ) = e n (= n e).
|n {z n}
n mal
m
1
1
1 (1)
1 m
r
n m
n
E( m
n ) = E( n + . . . + n ) = E( n ) = (e ) = e . Also: E(r) = e ∀r ∈ Q mit r ≥ 0.
|
{z
}
m mal
(3)
Sei r ∈ Q und r < 0. Dann: −r > 0 =⇒ E(−r) = e−r =⇒ E(r) = er .
Definition (ex )
ex := E(x) (x ∈ R).
Hilfssatz 13.6
1
lim √
= 0.
n
n!
n→∞
50
Beweis
1
αn = √
, 0 ≤ αn ≤ 1 ∀n ∈ N, (αn ) ist also beschränkt. α = lim sup αn . Wegen 9.3 genügt
n
n!
P
n
es zu zeigen: α = 0. Annahme: α > 0. Setze x := α2 ; an = xn! =⇒
an ist konvergent.
p
p
P
12.3
|x|
n
n
|an | = √
an ist divergent,
= |x| · αn =⇒ lim sup |an | = |x| · α = 2 > 1 ==⇒
n
n!
Widerspruch!
Beispiel 13.7
Behauptung: Die Reihen
∞
X
(−1)n ·
n=0
und
∞
X
(−1)n ·
n=0
x2n
x2 x4
=1−
+
+ ...
(2n)!
2!
4!
x2n+1
x3 x5
=x−
+
− ...
(2n + 1)!
3!
5!
konvergieren absolut für alle x ∈ R.
Definition (Kosinus und Sinus)
cos x :=
∞
X
(−1)n ·
x2n
(x ∈ R) (Kosinus)
(2n)!
(−1)n ·
x2n+1
(x ∈ R) (Sinus)
(2n + 1)!
n=0
sin x :=
∞
X
n=0
Beweis
Nur für die erste Reihe:
an := (−1)n ·
p
x2n
x2
x2
13.6
=⇒ n |an | =
=
→ 0 (n → ∞) (wegen 12.3).
1
1
(2n)!
((2n)!) n
(((2n)!) 2n )2
51
14. Potenzreihen
Definition (Potenzreihe)
P∞
n
2
Sei (an )∞
n=0 eine Folge in R. Eine Reihe der Form
n=0 an x = a0 + a1 x + a2 x + . . . heißt
P∞
n
eine Potenzreihe (PR). Die Menge {x ∈ R : n=0 an x konvergent} heißt der Konvergenzbereich (KB) der Potenzreihe. Klar: Die Potenzreihe konvergiert für x = 0.
Erinnerung: Ist (xn ) eine Folge, die nicht nach oben beschränkt ist und xn ≥ 0 ∀n ∈ N, so
war lim sup xn = ∞.
1
Vereinbarung: „ 01 := ∞“, „ ∞
:= 0“
Satz
P∞ 14.1n (Konvergenz von Potenzreihen)p
n
|an | und r :=
n=0 an x sei eine Potenzreihe, ρ := lim sup
und r = ∞ falls ρ = 0).
1
ρ
(also r = 0, falls ρ = ∞
(1) Ist r = 0, so konvergiert die Potenzreihe nur für x = 0
(2) Ist r = ∞, so konvergiert die Potenzreihe absolut ∀x ∈ R
(3) Ist 0 < r < ∞, so konvergiert die Potenzreihe absolut für |x| < r und sie divergiert
für |x| > r (Im Falle |x| = r, also für x = r und x = −r ist keine allgemeine Aussage
möglich).
Die Zahl r heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe. Der Konvergenzbereich der Potenzreihe hat also folgende Form: {0}, falls r = 0; R falls r = ∞ und (−r, r), (−r, r], [−r, r)
oder [−r, r] wenn 0 < r < ∞.
Beweis
p
(1) r = 0 =⇒ ρ = ∞ =⇒ n |an | ist nicht nach oben beschränkt. Sei x ∈ R, x 6= 0.
p
p
p
12.3 P
( n |an xn |) = ( n |an ||x|) =⇒ ( n |an xn |) ist nicht nach oben beschränkt =⇒
an xn
divergent.
p
p
12.3
(2) P
Sei r = ∞ =⇒ ρ = 0. x ∈ R : lim sup n |an xn = lim sup n |an ||x| = ρ|x| = 0 < 1 =⇒
an xn
p
(3) 0 < r < ∞, x ∈ R : lim sup n |an xn | = ρ|x| = |x|
r < 1 ⇐⇒ |x| < r. Behauptung folgt aus
12.3.
Beispiele:
P∞ n
P n
(1)
x konvergent ⇐⇒ |x| < 1
n=0 x (an = 1∀ n ∈ N0 ) =⇒ r = ρ = 1.
p
P∞ xn
1
1
n
(2)
|an | = ( √
n n)2 → 1(ρ = 1 = r). Die Potenzreihe
n=1 n2 (a0 = 0, an = n2 (n ≥ 1))
P 1
konvergiert absolut für |x| < 1, sie divergiert für |x| > 1. x = 1 :
konvergent;
n2
P∞ (−1)n
x = −1 : n=1 n2 konvergent (Leibniz!)
53
14. Potenzreihen
xn
n=1 n ,
P∞
ρ = r = 1. Die Potenzreihe konvergiert absolut für |x| < 1, sie divergiert für
P1
P (−1)n
|x| > 1. x = 1 :
konvergent
n divergent; x = −1 :
n
√
p
√
P∞
n
4
2
n
n
4
4
4
(4)
|an | ≤ 3( n n)4 =⇒
n=0 (n + 2n ) x ; 1 ≤ an ≤ n + 2n = 3n ∀ n ∈ N =⇒ 1 ≤
| {z }
| {z }
:=an
→1
p
n
|an | → 1 =⇒ r = ρ = 1 Die Potenzreihe konvergiert für |x| < 1 absolut, sie divergiert
für |x| > 1. Für |x| = 1: |an xn | = |an ||xn | 9 0 =⇒ divergent in x = 1, x = −1.
p
P∞ n n
n n |a | = n =⇒ ρ = ∞ =⇒ r = 0
(5)
n
n=0 n x ; an := n
(
p
P∞
0
n gerade
n
(6)
. A16 =⇒ H ( n |an |) = {0, 2} =⇒ ρ = 2 =⇒
n=0 an x mit an :=
n
n2
n ungerade
1
r = 2 . Die Potenzreihe konvergiert absolut für |x| < 12 , sie divergiert für |x| > 12 . Sei
|x| = 12 . |an xn | = |an | 21n = n falls n ungerade =⇒ an xn 9 0 =⇒ die Potenzreihe
divergiert für |x| = 12 .
(3)
Die folgenden
den Konvergenzradius r = ∞ :
P∞ xn Potenzreihen
P∞ haben njeweils
x2n+1
x
e = n=0 n! , sin x = n=0 (−1) (2n+1)! ,
P∞
P
P∞
n
n x2n
n−1 , falls f (x) =
0
cos x = ∞
n=0 an x KR r = ∞ hat.
n=0 (−1) (2n)! , f (x) =
n=0 an nx
Definition
cosh x := 12 (ex + e−x ) (x ∈ R) (Cosinus Hyperbolikus)
sinh x := 12 (ex − e−x ) (x ∈ R) (Sinus Hyperbolikus)
P
P∞ x2n+1
x2n
Nachrechnen: cosh x = ∞
n=0 (2n)! , sinh x =
n=0 (2n+1)! (x ∈ R)
Vereinbarung: Sei R̃ := R ∪ {∞}. Seien a, b ∈ R und a < b.
(a − r, b + r) 
:= (−∞, ∞) = R falls r = ∞ Sei r1 , r2 ∈ R̃ und r1 = ∞ oder r2 = ∞.

∞ falls r1 = ∞ = r2
min{r1 , r2 } := r2 falls r2 < ∞, r1 = ∞


r1 falls r1 < ∞, r2 = ∞
Satz
von Cauchyprodukten)
P∞
P∞ 14.2n (Konvergenzradien
n seien Potenzreihen mit den Konvergenzradien r bzw. r .
b
x
a
x
und
1
2
n=0 n
n=0 n
Pn
a
b
(n
∈
N
)
und
r
sei
der
Konvergenzradius
der
Potenzreihe
Sei
c
:=
0
n
k
n−k
k=0
P∞
P∞
n =
cn xn . RP:= min{r1 , r2 }. Dann: R ≤ r und für x ∈ (−R, R) :
n=0 cn x
Pn=0
∞
∞
( n=0 an xn )( n=0 bn xn )
Beweis
P
P
13.4 P∞
Sei x ∈ (−R, R) : ( ∞
an xn )( ∞
bn xn ) =
n=0
n=0
n=0 dn wobei
Pn
k
n−k
n
d
bn−k x
=P
x cn =⇒ R ≤ r und
n =
k=0 ak xP
P
∞
n = ( ∞ a xn )( ∞ b xn ).
c
x
n=0 n
n=0 n
n=0 n
(an )∞
n=0
P∞
Bemerkung: Sei
eine Folge und x0 ∈ R. Eine Reihe der Form (∗) n=0 an (x − x0 )n
heißt ebenfalls eine Potenzreihe (x0 heißt Entwicklungspunkt
der Potenzreihe). Substitution
P
n . Sei r der Konvergenzradius dieser
t := x − x0 , dann erhält man die Potenzreihe ∞
a
t
n
n=0
Potenzreihe. Dann: ist r = 0, so konvergiert die Potenzreihe in (∗) nur in x = x0 . Ist r = ∞, so
konvergiert die Potenzreihe absolut ∀ x ∈ R. Ist 0 < r < ∞, so konvergiert die Potenzreihe in
(∗) absolut für |x − x0 | < r, sie divergiert für |x − x0 | > r.
54
15. g-adische Entwicklungen
Vereinbarung: Stets in diesem Paragraphen: g ∈ N, g ≥ 2, G := {0, 1, . . . , g − 1}.
Satz 15.1 (Konvergenz g-adischer Entwicklungen)
P ∞ zn
(1) Sei (zn )n≥1 eine Folge in G =⇒
n=1 g n ist konvergent.
(2) Ist m ∈ N =⇒
Beweis
(1) |zgnn| =
(2)
zn
gn
≤
P∞
g−1
n=m g n
g−1
gn
=
P∞
g−1
n=m g n
∀n ∈ N.
g−1
gm
+
g−1
g m+1
=
1
g m−1
P∞
g−1
n=1 g n
+ ... =
12.2
ist konvergent ==⇒ Behauptung.
g−1
gm
· (1 +
1
g
+
1
g2
+ . . .) =
g−1
gm
·
1
1− g1
=
1
.
g m−1
Definition
Sei (zn )n≥1 einePFolge in G und es gelte (∗)zn 6= g − 1 für unendlich viele n ∈ N. Dann heißt
zn
0, z1 z2 z3 . . . := ∞
n=1 g n ein g-adischer Bruch oder eine g-adische Entwicklung.
Beispiele:
P
(1) g = 10 (Dezimalentwicklung); 0, 333 . . . = ∞
n=1
(2) g = 2 (Dualentwicklung); 0, 111000 . . . =
Bemerkung:
1
2
+
1
4
3
10n
+
1
8
= 31 .
= 78 .
(1) Die Negation von (∗) lautet: zn = g − 1 ffa n ∈ N.
(2) Ist 0, z1 z2 z3 . . . ein g-adischer Bruch und existiert ein m ∈ N : zn = 0 für n > m, so
schreibt man: 0, z1 z2 z3 . . . zm
P∞
P∞
P
≤ bn ∀n ∈ N
=⇒
(3) P∞
n=1 an ≤
n=1 bn seien konvergent und es gelte an P
n=1 an und
P∞
∞
∞
n=1 bn . Gilt zusätzlich an < bn für ein n ∈ N, so gilt
n=1 an <
n=1 bn (Beweis in
Übung).
Satz 15.2 (Eindeutigkeit der g-adischen Entwicklung)
Sei a = 0, z1 z2 z3 . . . ein g-adischer Bruch.
(1) a ∈ [0, 1)
(2) Ist 0, w1 w2 w3 . . . eine weitere g-adische Entwicklung von a, so gilt zn = wn ∀n ∈ N.
Beweis
P
(1) 0 ≤ a = ∞
n=1
zn
gn
(∗),Bem.(2)
<
g−1 15.1
=
n=1 g n
P∞
1.
55
15. g-adische Entwicklungen
(2) Annahme: ∃n ∈ N : zn 6= wn . Sei m der kleinste solche Index, also zm 6= wm und zj = wj
z −w ∈Z
m
für j = 1, . . . , m − 1. Etwa zm < wm =⇒ zm − wm < 0 m =⇒
zm − wm ≤ −1.
∀n ∈ N : zn − wn ≤ zn ≤ g − 1. ∃ν ∈ N mit ν ≥ m + 1 und zν − wν < g − 1.
(andererenfalls zν − wν = g − 1 ∀ν ≥ m + 1 =⇒ zν = wν + g − 1 ∀ν ≥ m + 1 =⇒
wν = 0 ∀ν ≥ m + 1 =⇒ zν = g − 1 ∀ν ≥ m + 1. Widerspruch zu (∗)). Dann:
∞
∞
∞
∞
X
X
z n X wn X z n − wn
z n − wn
0=a−a=
−
=
=
n
n
n
g
g
g
gn
n=m
n=1
n=1
n=1
∞
∞
X
X
1
z n − wn
z m − wm
g−1
<
−
+
=
+
=0
gm
gn
gm
gn
n=m+1
| {z } n=m+1
|
{z
}
|
{z
}
≤− g1m
P
< ∞
n=m+1
g−1
gn
15.1
=
1
gn
=⇒ 0 < 0 Widerspruch.
Satz 15.3 (Existenz der g-adischen Entwicklung)
Ist a ∈ [0, 1), so lässt sich a eindeutig als g-adischer Bruch darstellen.
Beweis
Eindeutigkeit siehe 15.2.
Existenz: Definiere (zn )n≥1 wie folgt: z1 := [a · g], zn+1 := [(a − zg1 − zg2 − · · · − zgn ) · g n+1 ] (n ≥ 1).
In der Übung: zn ∈ G ∀n ∈ N
z1
z2
zn
z2
zn
z1
+ 2 + ··· n ≤ a <
+ 2 + · · · n + g1n ∀n ∈ N =⇒ sn ≤ a < sn + g1n ∀n ∈
g
g
g
g
g
g
|
{z
}
|
{z
}
=:sn
=:sn
P
n→∞
zn
N ===⇒ a = ∞
n=1 g n .
Es gilt: (∗∗)
Noch zu zeigen ist: zn 6= g − 1 für unendlich viele n. Annahme: ∃m ∈ N : zn = g − 1 ∀n ≥ m.
m−1
∞
X zn X
P
g−1
1
n =
z
g
Dann: a = ∞
=⇒ a = sm−1 + gm−1
+
Widerspruch zu (∗∗). n
n=1
n
n
g
g
n=m
n=1
| {z } | {z }
=sm−1
=
1
g m−1
Bemerkung: Ist a ∈ R, a ≥ 0, so lässt sich a eindeutig in der Form a = [a] + 0, z1 z2 z3 . . .
darstellen. Ist g = 10, so schreibt man dafür a = [a], z1 z2 z3 . . .. Beispiel: 1, 333 . . .
Satz 15.4 (R ist überabzählbar)
Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar.
Beweis
Es genügt zu zeigen: [0, 1) ist überabzählbar.
Annahme: [0, 1) ist abzählbar, also [0, 1) = {a1 , a2 , . . .}, aj 6= ak für j 6= k. Für j ∈ N sei
(j) (j) (j)
(j)
aj = 0, z1 z2 z3 . . . die 3-adische Entwicklung von aj . (zk ∈ {0, 1, 2}).
(
(k)
1 falls zk ∈ {0, 2}
zk :=
(k)
0 falls zk = 1
56
(k)
Dann: zk 6= zk
∀k ∈ N, zk 6= g − 1 ∀k ∈ N. a := 0, z1 z2 z3 . . . =
(m) (m) (m)
[0, 1) =⇒ ∃m ∈ N : a = am =⇒ 0, z1 z2 z3 . . . = 0, z1 z2 z3
N =⇒ zm =
(m)
zm .
Widerspruch!
P∞
zn
n=1 g n .
15.2 =⇒ a ∈
(m)
. . .. 15.2 =⇒ zj = zj
∀j ∈
57
16. Grenzwerte bei Funktionen
Definition (Häufungspunkt)
Sei D ⊆ R und x0 ∈ R. x0 heißt ein Häufungspunkt (HP) von D : ⇐⇒ ∃ Folge xn in D\{x0 }
mit xn → x0 .
Beispiele:
(1) Ist D endlich, so hat D keine Häufungspunkte.
(2) D = (0, 1]. x0 ist Häufungspunkt von D ⇐⇒ x0 ∈ [0, 1].
(3) D = { n1 : n ∈ N}. D hat genau einen Häufungspunkt: x0 = 0
(4) D = Q. 8.1(2) =⇒ jedes x0 ∈ R ist ein Häufungspunkt von Q.
Bemerkung: Unterscheide zwischen „x0 ist Häufungswert von (an )“und „x0 ist Häufungspunkt
von {a1 , a2 , . . .}“. Beispiel: an = (−1)n . H (an ) = {1, −1}, {a1 , a2 , . . .} = {−1, 1} hat keine
Häufungspunkte.
Zur Übung: Sei D ⊆ R, x0 ∈ R. x0 ist Häufungspunkt von D
(Uε (x0 )\{x0 }) 6= ∅
⇐⇒
∀ε > 0 gilt: D ∩
Vereinbarung: Ab jetzt sei in dem Paragraphen gegeben: ∅ 6= D ⊆ R. x0 ist Häufungspunkt
von D und f : D → R eine Funktion.
Definition
lim f (x) exisitiert : ⇐⇒
x→x0
∃a ∈ R mit: für jede Folge (xn ) in D\{xo } mit xn → x0 gilt:
f (xn ) → a. In diesem Fall schreibt man: lim f (x) = a oder f (x) → a (x → x0 )
x→x0
Bemerkung:
(1) Existiert lim f (x), so ist obiges a eindeutig bestimmt. (Übung)
x→x0
(2) Falls x0 ∈ D, so ist der Wert f (x0 ) in obiger Definition nicht relevant.
Beispiele:
(1) D = (0, 1].
f (x) =


x2



1
2

1



0
falls
falls
falls
falls
x ∈ (0, 21 )
x = 21
x ∈ ( 12 , 1)
x=1
x0 = 0: Sei (xn ) eine Folge in D mit xn → 0. Dann xn <
x2 ffa n ∈ N =⇒ f (xn ) → 0, d.h. lim f (x) = 0.
1
2
ffa n ∈ N =⇒ f (xn ) =
x→0
x0 = 1: Analog: lim f (x) = 1.
x→0
59
16. Grenzwerte bei Funktionen
x0 = 12 : Sei (xn ) eine Folge in D\{ 12 } und xn < 12 ∀n ∈ N =⇒ f (xn ) = x2n → 14 .
Sei (zn ) eine Folge in D\{ 21 } und zn > 21 ∀n ∈ N =⇒ f (zn ) = 1 → 1 d.h.: lim f (x)
x→ 12
lim f (x) existiert und ist
existiert nicht. Aber:
x→ 12
1
4
und
x∈(0, 12 )
Dafür schreibt man: lim f (x) =
x→ 21 −
lim f (x) existiert und ist 1.
x→ 12
x∈( 12 ,1)
1
und lim f (x) = 1.
4
x→ 12 +
√
(2) D = [0, ∞), p ∈ N, f (x) = p x. Sei x0 ∈ D. Sei (xn ) Folge in D\{x0 } mit xn → x0 . 7.1
√
√
=⇒ f (xn ) = p xn → p x0 . Das heißt: lim f (x) = f (x0 ).
x→x0
Vereinbarung: Für δ > 0: Dδ (xn ) = D ∩ Uδ (x0 ). Ḋδ (x0 ) = Dδ (x0 )\{x0 }.
Satz 16.1 (Grenzwertsätze bei Funktionen)
(1) lim f (x) existiert ⇐⇒ für jede Folge (xn ) in D\{x0 } mit xn → x0 ist f (xn )
x→x0
konvergent.
(2) Für a ∈ R gilt: lim f (x) existiert und ist gleich a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ(ε) > 0 mit (∗)
x→x0
|f (x) − a| < ε ∀x ∈ Ḋδ (x0 ).
(3) Cauchykriterium: lim f (x) existiert ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0: |f (x) − f (x0 )| < ε∀x, x0 ∈
x→x0
Ḋδ (x0 )
Beweis
(1) „ =⇒ “: aus Definition.
„⇐ “: Seien (xn ), (zn ) Folgen in D\{x0 } mit xn → x0 , zn → x0 . Voraussetzung =⇒ es
existiert a := lim f (xn ) und b := lim f (zn ). Zu zeigen ist: a = b. Sei tn definiert durch
(tn ) := (x1 , z1 , x2 , z2 , . . .). (tn ) ist Folge in D\{x0 } mit tn → x0 , Voraussetzung =⇒
∃c := lim f (tn ). (f (xn )) ist Teilfolge von (f (tn )) =⇒ a = c, analog: b = c =⇒ a = b.
(2) „ =⇒ “: Sei ε > 0. Annahme: Es gibt kein δ > 0, so dass (∗) gilt. Das heißt: ∀δ > 0
exisistert ein xj ∈ Ḋδ (xj ): |f (xj ) − a| ≥ ε, also ∀n ∈ N ∃xn ∈ Ḋ 1 (x0 ) : |f (xn ) − a| ≥ ε.
n
Das heißt: (xn ) ist eine Folge in D\{x0 } mit xn → x0 und f (xn ) 9 a, Widerspruch.
„⇐ “: Sei xn eine Folge in D\{xn } mit xn → x0 . Zu zeigen ist: f (xn ) → a. Sei ε > 0.
∃δ > 0 so dass (∗) gilt. Dann: xn ∈ Ḋδ (x0 ) ffa n ∈ N =⇒ |f (xn ) − a| < ε ffa n ∈ N.
(3) In Übung.
Satz 16.2 (Rechnen mit Funktionsgrenzwerten)
Seien g, h : D → R zwei weitere Funktionen und es gelte f (x) → a, g(x) → b (x → x0 ).
(1) f (x) + g(x) → a + b, f (x) · g(x) → ab, |f (x)| → |a| (x → x0 )
(2) Ist a 6= 0 =⇒ ∃δ > 0 : f (x) 6= 0 ∀x ∈ Ḋδ (x0 ). Für
60
1
f
: Ḋδ (x0 ) → R gilt:
1
f (x)
→ a1 .
(3) Existiert ein δ > 0 mit f ≤ g auf Ḋδ (x0 ) =⇒ a ≤ b
(4) Existiert ein δ > 0 mit f ≤ h ≤ g auf Ḋδ (x0 ) und a = b =⇒ lim h(x) = a.
x→x0
Beweis
folgt aus 6.2
Zum Beispiel: (3) Sei (xn ) Folge in D\{x0 } und xn → x0 . Dann: xn ∈ Ḋδ (x0 ) ffa n ∈ N =⇒
5.2
f (xn ) ≤ g(xn ) ffa n ∈ N =⇒ a = lim f (xn ) ≤ lim g(xn ) = b.
Definition
(1) Sei (an ) eine Folge in R.
lim an = ∞ (oder an → ∞) : ⇐⇒ ∀c > 0 ∃n0 = n0 (c) ∈ N : an > c∀n ≥ n0 .
lim an = −∞ (oder an → −∞) : ⇐⇒ ∀c < 0 ∃n0 = n0 (c) ∈ N : an < c∀n ≥ n0 .
(2) lim f (x) = ∞ (oder f (x) → ∞ (x → x0 )) : ⇐⇒ für jede Folge (xn ) in D\{x0 } und
x→x0
xn → x0 gilt: f (xn ) → ∞.
lim f (x) = −∞ (oder f (x) → −∞ (x → x0 )) : ⇐⇒ für jede Folge (xn ) in D\{x0 } und
x→x0
xn → x0 gilt: f (xn ) → −∞.
(3) Sei D nicht nach oben beschränkt. lim f (x) = a (oder f (x) → a) : ⇐⇒ für jede Folge
x→∞
(xn ) in D mit xn → ∞ gilt: f (xn ) → a (a = ±∞ zugelassen).
Sei D nicht nach unten beschränkt. lim f (x) = a (oder f (x) → −∞) : ⇐⇒ für jede
x→−∞
Folge (xn ) in D mit xn → −∞ gilt: f (xn ) → a (a = ±∞ zugelassen).
Beispiele:
(1) an := xn (x > 1). Behauptung: xn → ∞ (n → ∞). Sei c > 0. c <
0 =⇒ x1n < 1c ffa n ∈ N =⇒ xn > c ffa n ∈ N.
1
xn
< 1 =⇒
1
xn
→
(2) Sei p ∈ N. Dann xp → ∞ (x → ∞). Siehe Übung.
(3)
1
x
→ ∞ (x → 0+),
1
x
→ −∞ (x → 0−).
Satz 16.3 (Grenzwerte der Exponentialfunktion)
ex =
∞
X
xn
n=0
(1) Für p ∈ N0 :
ex
xp
n!
(x ∈ R)
→ ∞ (x → ∞)
(2) ex → ∞ (x → ∞)
(3) ex → 0 (x → −∞)
Beweis
(1) ex = 1 + x +
Behauptung.
x2
2!
+ ··· +
xp +1
(p+1)!
+ ··· ≥
p+1
(p+1)!
∀x ≥ 0 =⇒
ex
xp
≥
x
(p+1)!
∀x > 0 =⇒
61
16. Grenzwerte bei Funktionen
(2) Folgt aus 1 mit p = 0.
(3) e−x =
62
1
ex
(2)
−−→ 0 (x → −∞) =⇒ ex → 0 (x → −∞).
17. Stetigkeit
Vereinbarung: In diesem Paragraphen seien stets: ∅ 6= D ⊆ R, x0 ∈ D und f : D → R eine
Funktion.
Definition
(1) f heißt stetig in x0 : ⇐⇒ für jede Folge (xn ) in D mit xn → x0 gilt: f (xn ) → f (x0 ).
(2) f heißt stetig auf D : ⇐⇒ f ist in jedem x ∈ D stetig.
(3) C(D) := {g : D → R : g ist stetig auf D}.

2

Beispiele:
x
(1) D := [0, 1] ∪ 2. f (x) := 0


1
für x ∈ [0, 1)
für x = 1
für x = 2
Klar: f ist stetig in jedem x ∈ [0, 1).
x0 = 1: xn = 1 − n1 =⇒ xn → 1. f (xn ) = (1 − n1 )2 → 1 6= 0 = f (1) =⇒ f ist in x0 = 1
nicht stetig.
x0 = 2: Sei (xn ) eine Folge in D mit xn → 2 =⇒ xn = 2 ffa n ∈ N =⇒ f (xn ) =
1 ffa n ∈ N =⇒ f (xn ) → 1 = f (2). Das heißt: f ist stetig in x0 = 2.
√
(2) D := [0, ∞), p ∈ N, f (x) := p x, §16 =⇒ f ∈ C[0, ∞).
Satz 17.1 (Stetigkeitssätze)
(1) f ist stetig in x0 ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) : |f (x) − f (x0 )| < ε ∀x ∈ Dδ (x0 ).
(2) Ist x0 Häufungspunkt von D, so gilt: f ist stetig in x0 ⇐⇒ lim f (x) existiert und
x→x0
ist gleich f (x0 ).
(3) Ist g : D → R eine weitere Funktion und sind f , g stetig in x0 , dann sind f + g, f g
und |f | stetig in x0 .
(4) Sei D̃ := {x ∈ D : f (x) 6= 0} und x0 ∈ D̃ und f sei stetig in x0 . Dann ist
stetig in x0 .
1
f
: D̃ → R
Beweis
(1) Wie bei 16.1
(2) Als Übung
(3) und
(4) wie bei 16.2
63
17. Stetigkeit
Satz
P∞ 17.2n (Stetigkeit der Potenzreihen)
x sei Potenzreihe mit dem Konvergenzradius r > 0. Es sei D = (−r, r) und
n=0 anP
n
f (x) := ∞
n=0 an x (x ∈ D). Dann: f ∈ C(D). Insbesondere gilt für x0 ∈ D :
lim
x→x0
∞
X
n
an x = lim f (x)
n=0
x→x0
17.1(2)
=
f (x0 ) =
∞
X
an xn0
=
n=0
∞
X
n=0
lim an xn
x→x0
Beweis
Später in §19
Beispiel 17.3
(1) ex , sin x, cos x sind auf R stetig.
(2) lim
x→0
sin x
= 1.
x
ex − 1
= 1.
x→0
x
(3) lim
ex0 +h − ex0
= e x0 .
h→0
h
(4) lim
Beweis
(1) Folgt aus 17.2
(2) Für x 6= 0:
1
1
x3 x5
x2 x4
17.2
sin x = · (x −
+
− ···) = 1 −
+
− · · · −−→ 1 (x → 0)
x
x
3!
5!
3!
5!
|
{z
}
Potenzreihe mit KR ∞, also stetig (in x=0)
(3) Für x 6= 0:
1
x2 x3
x
x2
ex − 1
17.2
= · (1 + x +
+
+ · · · − 1) = 1 + +
+ · · · −−→ 1 (x → 0)
x
x
2!
3!
| 2! {z3!
}
Potenzreihe mit KR ∞, also stetig (in x=0)
(4)
ex0 +h − ex0
eh − 1 (3) x0
= ex0
−−→ e · 1 = ex0 (h → 0)
h
h
Satz 17.4 (Stetigkeit von verketteten stetigen Funktionen)
Sei E ⊆ R, g : E → R eine Funktion und f (D) ⊆ E. f sei stetig in x0 ∈ D und g sei setig
in y0 := f (x0 ). Dann ist g ◦ f : D → R stetig in x0 .
Beweis
Sei (xn ) eine Folge in D mit xn → x0 . f ist stetig in x0 =⇒ f (xn ) → f (x0 ) = y0 . g stetig in
| {z }
=:yn
y0 =⇒ g(yn ) → g(y0 ) = g(f (x0 )) = (g ◦ f )(x0 ).
| {z }
=g(f (xn ))=(g◦f )(xn )
64
18. Eigenschaften stetiger Funktionen
Satz 18.1 (Zwischenwertsatz)
Sei a < b und f ∈ C[a, b] := C([a, b]), weiter sei y0 ∈ R und f (a) ≤ y0 ≤ f (b) oder
f (b) ≤ y0 ≤ f (a). Dann existiert ein x0 ∈ [a, b] mit f (x0 ) = y0
Beweis
O.B.d.A: f (a) < y0 < f (b), M := {x ∈ [a, b] : f (x) ≤ y0 }. M 6= ∅, denn a ∈ M . M ⊆
[a, b] =⇒ M ist beschränkt. x0 := sup M . ∀n ∈ N ist x0 − n1 keine obere Schranke von M
=⇒ ∀n ∈ N ∃ xn ∈ M : x0 − n1 < xn ≤ x0 =⇒ xn → x0 . xn ∈ [a, b] =⇒ x0 ∈ [a, b], f stetig in
x0 =⇒ f (xn ) → f (x0 ) =⇒ f (x0 ) ≤ y0 . Es ist x0 < b (anderenfalls: f (x0 ) ≤ y0 < f (b) = f (x0 )
| {z }
≤y0
Widerspruch!) zn := x0 + n1 ; zn ∈ [a, b] ffa n ∈ N; zn → x0 ; f stetig in x0 =⇒ f (zn ) → f (x0 ).
zn ∈
/ M =⇒ f (zn ) > y0 ∀n ∈ N =⇒ lim f (zn ) ≥ y0 =⇒ f (x0 ) ≥ y0
Satz 18.2 (Nullstellensatz von Bolzano)
Sei f ∈ C[a, b] und f (a) · f (b) < 0, dann existiert ein x0 ∈ [a, b] : f (x0 ) = 0. Beweis folgt
aus 18.1 und y0 = 0
Anwendung 18.3
Sei E(x) := ex (x ∈ R). Behauptung: E(R) = (0, ∞)
Beweis
13.3 =⇒ ex > 0∀x ∈ R =⇒ E(R) ⊆ (0, ∞). Sei y0 ∈ (0, ∞) z.z: ∃ x0 ∈ R : ex0 = y0 . 16.3
=⇒ ex → ∞(x → ∞) =⇒ ∃ b ∈ R : y0 < eb . 16.3 =⇒ ex → 0(x → −∞) =⇒ ∃ a ∈ R : ea <
e streng wachsend
y0 =⇒ ea < y0 < eb ===========⇒ a < b. 18.1 =⇒ ∃x0 ∈ [a, b] : ex0 = y0 .
Definition
A ⊆ R heißt abgeschlossen : ⇐⇒ für jede konvergente Folge (xn ) in A gilt: lim xn ∈ A
B ⊆ R heißt offen : ⇐⇒ ∀ x ∈ B ∃δ = δ(x) > 0 : Uδ (x) ⊆ B.
Beispiele:
(1) [a, b] ist abgeschlossen, aber nicht offen. (a, b) ist offen, aber nicht abgeschlossen.
(2) (a, b] und [a, b) sind weder abgeschlossen, noch offen
(3) R ist offen, abgeschlossen. ∅ ist offen, abgeschlossen
Hilfssatz
(1) A ⊆ R ist abgeschlossen ⇐⇒ jeder Häufungspunkt von A gehört zu A
65
18. Eigenschaften stetiger Funktionen
(2) B ⊆ R ist offen ⇐⇒ R\ B ist abgeschlossen
(3) D ⊆ R ist abgeschlossesn u. beschränkt ⇐⇒ jede Folge (xn ) in D enthält eine konvergente
Teilfolge (xnk ) mit lim xnk ∈ D. In diesem Fall existiert max D und min D.
Beweis
(1) Übung
(2) „ =⇒ “: Sei (xn ) eine konvergente Folge in R \ B und x0 := lim xn .Annahme: x0 ∈ B. B
offen =⇒ ∃δ > 0 : Uδ (x0 ) ⊆ B. xn → x0 =⇒ xn ∈ Uδ (x0 ) ⊆ B ffa n ∈ N, Widerspruch!
„⇐ “: Sei x ∈ B. Annahme: Uδ (x) * B∀δ > 0. =⇒ U 1 (x) * B∀n ∈ N =⇒ ∀n ∈ N∃xn ∈
n
U 1 mit: xn ∈ R \ B =⇒ (xn ) ist eine Folge in R \ B : xn → x. R \ B abgeschlossen
n
=⇒ x ∈ R \ B, Widerspruch!
(3) „ =⇒ “: Sei (xn ) Folge in D. D beschränkt =⇒ (xn ) beschränkt. 8.2 =⇒ (xn ) enthält
eine konvergente Teilfolge (xnk ). D abgeschlossen =⇒ lim xnk ∈ D. „⇐ “: Übung.
Sei D beschränkt und abgeschlossen. Sei s := sup D. z.z.: s ∈ D (analog zeigt man
inf D ∈ D). ∀n ∈ N ist s − n1 keine obere Schranke von s. =⇒ ∀n ∈ N∃ xn ∈ D mit
s − n1 < xn ≤ s =⇒ xn → s. D abgeschlossen =⇒ s ∈ D
Definition
Sei ∅ =
6 D ⊆ R. Eine Funktion f : D → R heißt beschränkt : ⇐⇒ f (D) ist beschränkt
( ⇐⇒ ∃ c ≥ 0 : |f (x)| ≤ c ∀x ∈ D).
Satz 18.4 (Eigenschaften von Bildmengen stetiger Funktionen)
Sei ∅ 6= D ⊆ R, sei D beschränkt, abgeschlossen und f ∈ C(D). Dann ist f (D) beschränkt
und abgeschlossen. Insbesondere ist f beschränkt und ∃ x1 , x2 ∈ D : f (x1 ) ≤ f (x) ≤
f (x2 ) ∀x ∈ D.
Beweis
Annahme: f ist nicht beschränkt. Dann: ∀n ∈ N ∃ xn ∈ D : |f (xn )| > n. HS(3) =⇒ (xn ) enthält
eine konvergente Teilfolge (xnk ) mit x0 := lim xnk ∈ D. f stetig =⇒ f (xnk ) → f (x0 ) =⇒
(f (xnk )) ist beschränkt, aber: |f (xnk )| > nk ∀ k ∈ N, Widerspruch! Sei (yn ) eine konvergente
Folge in f (D) und y0 := lim yn . z.z.: y0 ∈ f (D). ∃ Folge (xn ) mit f (xn ) = yn ∀n ∈ N.
HS(e) =⇒ (xn ) enthält eine konvergente Teilfolge (xnk ) mit x0 := lim xnk ∈ D. f stetig
=⇒ f (xnk ) → f (x0 ) . Aber auch: ynk → y0 = f (x0 ) ∈ f (D)
| {z }
=ynk
Sei I ⊆ R ein Intervall und f : I → R streng monoton wachsend (fallend ) =⇒ f ist auf I
injektiv. =⇒ ∃f −1 : f (I) → R. f −1 ist streng monoton wachsend (fallend ). Es gilt: f −1 (f (x)) =
x ∀x ∈ I, f (f −1 (y)) = y ∀y ∈ f (I) Übung: Sei M ⊆ R. M ist ein Intervall : ⇐⇒ aus a, b ∈ M
und a ≤ b folgt stets [a, b] ⊆ M .
Satz 18.5 (Bildintervalle und Umkehrbarkeit stetiger, montoner Funktionen)
Sei I ⊆ R ein Intervall und f ∈ C(I).
66
(1) f (I) ist ein Intervall
(2) Ist f streng monoton wachsend (fallend ) =⇒ f −1 ∈ C(f (I))
Beweis
(1) Übung (mit obiger Übung und 18.1)
(2) O.B.d.A: I = [a, b]. α := f (a), β := f (b)
(1)
=⇒
f wachsend
f −1 (yn )
f (I) = [a, b]. Sei x0 ∈ [α, β]. Sei
(yn ) eine Folge in f (I) und yn → y0 . z.z.:
→ f −1 (y0 ). xn := f −1 (yn), x0 :=
−1
f (y0 ) =⇒ x0 ∈ I, xn ∈ I∀n ∈ N. d.h. (xn ) ist beschränkt. z.z: xn → x0 . 8.2
=⇒ H (xn ) 6= ∅. Sei α ∈ H (xn ). ∃ eine Teilfolge (xnk ) von (xn ) mit xnk → α. I ist
abgeschlossen =⇒ α ∈ I. f stetig =⇒ f (xnk ) → f (α). Aber auch: ynk → y0 =
| {z }
=ynk
f injektiv
f (x0 ) =⇒ f (α) = f (x0 ) =====⇒ α = x0 . d.h. H (xn ) = {x0 }. Aus 9.3 folgt: xn → x0 Satz 18.6 (Der Logarithmus)
Sei I = R und f (x) = ex . Bekannt: f ∈ C(R), f ist streng monoton wachsend und f (I) =
f (R) = (0, ∞). Also existiert f −1 : (0, ∞) → R.
log x := ln x := f −1 (x) (x ∈ (0, ∞)) Logarithmus
Eigenschaften
(1) log 1 = 0, log e = 1
(2) log ex = x ∀x ∈ R, elogx = x ∀x ∈ (0, ∞)
(3) x 7→ log x ist stetig auf (0, ∞) und streng monoton wachsend
(4) log(xy) = log x + log y; log( xy ) = log x − log y ∀x, y > 0
(5) log x → ∞ (x → ∞); log x → −∞ (x → 0+ )
(6) log(ar ) = r log a ∀a > 0 ∀r ∈ Q d.h.
ar = er log a ∀a > 0 ∀r ∈ Q
Beweis
(1) klar (2) klar (3) 18.5
(4) elog xy = xy = elog x elog y = elog x+log y =⇒ log(xy) = log(x) + log(y)
(5) folgt aus 16.3
4
4
(6) Sei a > 0. n, m ∈ N. log(an ) = n log a. log(a−n ) = log( a1n ) = log 1 − log an = −n log a
1
1
1
log a = log((a n )n ) = n log a n =⇒ log a n = n1 log a
m
1
1
log(a n ) = log((a n )m ) = m log(a n ) = m
n log a
67
18. Eigenschaften stetiger Funktionen
Definition (Die allgemeine Potenz)
Sei a > 0. Motiviert durch 18.6(6): ax = ex log a (x ∈ R)
Eigenschaften
(1) x → ax ist auf R stetig
(2) ax+y = ax ay ; (ax )y = ax·y , a−x =
1
ax
∀x, y ∈ R.
(3) log(ax ) = x · log a
Beweis
(1) Klar
(2) ax+y = e(x+y) log a = ex log a · ey log a = ax ay
(3) log(ax ) = log(ex·log a ) = x · log a
In der Übung: lim (1 +
x→x0
68
1
1 x
) = lim(1 + t) t = e
t→0
x
19. Funktionsfolgen und -reihen
In diesem Paragraphen seien: ∅ =
6 D ⊆ R und
P (fn ) sei eine Folge von Funktionen.
Pf∞n : D → R.
sn = f1 + f2 + · · · + fn (n ∈ N). Unter ∞
f
versteht
man
die
Folge
(s
).
n
n=1 n
n=1 fn heißt
Funktionsreihe.
Definition
(fn ) heißt auf D punktweise konvergent : ⇐⇒ für jedes x ∈ D ist (fn (x))∞
n=1 konvergent. In
diesem Fall heißt f (x) := lim fn (x) die Grenzfunktion von fn .
n→∞
P∞
heißt auf D punktweise
(sn (x))∞
n=1 konvergent.
P∞ konvergent : ⇐⇒ für jedes x ∈ DPist
∞
In diesem Fall heißt f (x) := n=1 fn (x) die Summenfunktion von n=1 fn .
n=1 fn
Beispiele:
(1) D = [0, 1], fn (x) = xn (x ∈ D, n ∈ N)
(
0, falls x ∈ [0, 1)
lim fn (x) =
=: f (x)
n→∞
1, falls x = 1
(fn ) konvergiert punktweise auf D gegen f .
(2) D = (0, ∞), fn (x) =
nx
1+n2 x2
=
x
n
1
+x2
n2
→ 0 (n → ∞) ∀x ∈ D. Das heißt: (fn ) konvergiert
auf D punktweise gegen f (x) = 0.
Übung: 0 ≤ fn ≤ 21 ∀n ∈ N, fn ( n1 ) = 12 ∀n ∈ N.
P∞
n
(3) P
Sei
n=0 an x eine Potenzreihe mitPKonvergenzradius r > 0, D := (−r, r), f (x) =
∞
∞
n
n
n
n=0 an x konvergiert auf D punktweise gegen f )
n=0 an x (x ∈ D). (fn (x) = an x .
Konvergiert (fn ) auf D punktweise gegen f : D → R, so bedeutet dies: Ist ε > 0 und x ∈ D, so
existiert ein n0 = n0 (ε, x) ∈ N: |fn (x) − f (x)| < ε ∀n ≥ n0
Definition
(fn ) heißt auf D gleichmäßig (glm) konvergent : ⇐⇒ ∃ Funktion f : D → R mit ∀ε >
0 ∃n0 = n0 (ε) ∈ N: |fn (x) − f (x)| < ε ∀n ≥ n0 ∀x ∈ D.
P
∞
n=1 fn heißt auf D gleichmäßig (glm) konvergent : ⇐⇒ ∃ Funktion f : D → R mit
∀ε > 0 ∃n0 = n0 (ε) ∈ N: |sn (x) − f (x)| < ε ∀n ≥ n0 ∀x ∈ D.
Klar: gleichmäßige Konvergenz =⇒ punktweise Konvergenz. (⇐ im Allgemeinen falsch)
Bemerkung: (fn ) sei auf D punktweise konvergent gegen f : D → R
(fn ) konvergiert auf D gleichmäßig gegen f : ⇐⇒ ∃m ∈ N : fn −f ist auf D beschränkt ∀n ≥ m
und für Mn := sup{|fn (x) − f (x)| : x ∈ D} (n ≥ m) gilt Mn → 0 (n → ∞)
Beispiele:
(1) D, fn und f seien wie in obigem Beispiel (1). fn (
1
√
n
1
√
n
1
2
1
√
n
2
)=
D ∀n ∈ N. |fn ( 2 ) − f ( 2 )| = ∀n ∈ N =⇒ Mn ≥
konvergiert nicht gleichmäßig auf D.
1
2 ∀n ∈ N.
1
2 ∀n ∈ N
fn −f ist beschränkt auf
=⇒ Mn 9 0 =⇒ (fn )
69
19. Funktionsfolgen und -reihen
(2) Sei 0 < α < 1, D := [0, α], fn (x) = xn , (fn ) konvergiert auf D punktweise gegen f ≡ 0.
Sei x ∈ D = [0, α]. |fn (x) − f (x)| = xn ≤ αn =⇒ Mn = αn . α < 1 =⇒ αn → 0 =⇒
Mn → 0. Das heißt (fn ) konvergiert auf [0, α] gleichmäßig gegen f .
P∞ n
1
(3)
n=0 x konvergiert auf D = (−1, 1) punktweise gegen f (x) := 1−x . sn (x) = 1 + x + · · · +
n+1
x→1
xn = 1−x
|sn (x) − f (x)| = |x|1−x −−−→ ∞ =⇒ sn − f ist auf D nicht beschränkt
1−x . P
∞
n
∀n ∈ N =⇒
n=0 x konvergiert auf D nicht gleichmäßig.
n+1
Satz 19.1 (Funktionskonvergenzkriterien)
(1) fn konvergiert auf D punktweise gegen f : D → R. (fn ) konvergiert auf D gleichmäßig
gegen f : ⇐⇒ ∃ Nullfolge (αn ) ∈ R und ein m ∈ N : |fn (x)−f (x)| ≤ αn ∀n ≥ m ∀x ∈
D.
P
sei
(2) Kriterium von Weierstraß: Sei (cn ) eine Folge in R sei ∞
n=0 cn konvergent,
P
f
auf
m ∈ N und es gelte: (∗) |fn (x)| ≤ cn ∀n ≥ m ∀x ∈ D. Dann konvergiert ∞
n=0 n
D gleichmäßig.
P
n
(3) Sei ∞
n=0 an x eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0, D := (−r, r) und [a, b] ⊆
D. Dann konvergiert die Potenzreihe auf [a, b] gleichmäßig.
Beweis
(1) Klar
P∞
P∞
f
(x)
absolut
konvergent.
f
(x)
:=
(2) Aus (∗) und 12.2 folgt:
∀x
∈
D
ist
n
n=1 fn (x).
n=1
P∞
P∞
P∞
|fn (x) − f (x)| = | k=n+1 fk (x)| ≤ k=n+1 |fk (x)| ≤ k=n+1 ck =: αn ∀n ≥ m ∀x ∈ D.
(1)
11.1 =⇒ αn → 0 =⇒ Behauptung.
(3) Sei δ > 0 so, dass [a, b] ⊆ [−δ, δ] ⊆ D. Sei x ∈ [a, b] =⇒ |x| ≤ δ =⇒ |an xn | = |an ||xn | ≤
P
P
(2)
|an |δ n =: cn ∀n ∈ N.
cn = |an |δ n ist konvergent =⇒ Behauptung.
Satz 19.2 (Stetigkeit bei gleichmäßiger Konvergenz)
(fn ) konvergiert auf D gleichmäßig gegen f .
(1) Ist x0 ∈ D und sind alle fn stetig in x0 =⇒ f ist stetig in x0
(2) Gilt fn ∈ C(D) ∀n ∈ N =⇒ f ∈ C(D)
Bemerkung: Voraussetzung und Bezeichnungen wie in 19.2. Sei x0 auch noch Häufungspunkt
von D.
lim ( lim fn (x)) = lim f (x)
x→x0 n→∞
x→x0
13.1(1)
=
f (x0 ) = lim fn (x0 ) = lim ( lim fn (x))
n→∞
Beweis
(1) Sei ε > 0. ∃ m ∈ N : |fm (x) − f (x)| < 3ε ∀ x ∈ D (i).
17.1 =⇒ ∃ δ > 0 : |fm (x) − fm (x0 )| < 3ε ∀x ∈ D ∩ Uδ (x0 ) (ii).
70
n→∞ x→x0
Für x ∈ D ∩ Uδ (x0 ) : |f (x) − f (x0 )| = |f (x) − fm (x) + fm (x) − fm (x0 ) + fm (x0 ) − f (x0 )| ≤
|f (x) − fm (x)| + |fm (x) − fm (x0 )| + |fm (x0 ) − f (x0 )| < ε. 17.1 =⇒ f stetig in x0 .
|
{z
} |
{z
} |
{z
}
(i)
(ii)
≤ 3ε
≤
ε
3
(i)
≤ 3ε
(2) Folgt aus (1)
Beweis
(Nachtrag: Beweis von 17.2)
P∞
n
17.2:
n=0 an x sei eine Potenzreihen mit Konvergenzradius > 0, D := (−r, r). f (x) :=
P∞
an xn . Behauptung: f ∈ C(D). Sei x0 ∈ D. Sei [a, b] so, dass x0 ∈ [a, b] ⊆ D. 19.1(3)
n=0P
∞
n
=⇒
n=0 an x konvergiert auf [a, b] gleichmäßig. =⇒ f ∈ C[a, b] =⇒ f ist stetig in x0 .
x0 ∈ D beliebig =⇒ Behauptung
Satz 19.3 (Identitätssatz für Potenzreihen)
P∞
P∞
n
n und
a
x
Sei r > 0, D := (−r, r), (r = ∞ zugelassen).
n
n=0 bn x seien Potenzreihen,
n=0
P
P∞
∞
die auf D konvergieren. f (x) := n=0 an xn , g(x) := n=0 bn xn (x ∈ D) Weiter sei xk eine
Folge in D\{0} mit xk → 0 (k → ∞) und f (xk ) = g(xk ) ∀k ∈ N. Dann: an = bn ∀n ∈ N0
Beweis
P
P∞
17.2
n
n
h(x) := f (x)−g(x) = ∞
n=0 (an − bn ) x =
n=0 cn x . z.z: cn = 0∀n ∈ N0 . h(xk ) −−→ h(0) =
| {z }
| {z }
:=cn
=0
c0 =⇒ c0 = 0.
Annahme: ∃ n ∈ N : cn 6= 0. m := min{n ∈ N : cn 6= 0}. Also: cm 6= 0, c1 , · · · , cm−1 = 0 =⇒
17.2
2
h(x) = cm xm + cm+1 xm+1 + · · · . Für x ∈ D\{0} : h(x)
−−→
m + cm1 x + cm+2 x + · · ·
xm = c
{z
}
|
Potenzreihen, die auf D konvergieren
h(xk )
→ cm (k → ∞) =⇒ cm = 0, Widerspruch!
cm (x → ∞) =⇒
xm
k
| {z }
=0
71
20. Gleichmäßige Stetigkeit
Vereinbarung: In diesem Paragraphen seien stets: ∅ =
6 D ⊆ R, f : D → R eine Funktion.
Erinnerung: Sei f ∈ C(D), x0 ∈ D und ε > 0. 17.1 =⇒ ∃δ = δ(ε, x0 ) mit: (∗) |f (x)−f (x0 )| <
ε ∀x ∈ D mit |x − x0 | < δ Im allgemeinen hängt δ von ε und x0 ab.
Definition
f heißt auf D gleichmäßig stetig : ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : (∗∗) |f (x) − f (z)| < ε ∀x, z ∈
D mit |x − z| < δ.
Beachte: Ist f gleichmäßig stetig auf D =⇒ f ∈ C(D); Die Umkehrung ist im allgemeinen
falsch.
Beispiel
D = [0, ∞), f (x) := x2 . Klar: f ∈ C(D). Annahme: f ist auf D gleichmäßig stetig. Dann
existiert zu ε = 1 ein δ > 0 : |x2 − z 2 | < 1 ∀x, z ∈ D mit |x − z| < δ. Sei x ∈ D. z := x + 2δ =⇒
2
|x − z| = 2δ =⇒ |x2 − z 2 | = |x + z||x − z| = (2x + 2δ ) 2δ = xδ + δ4 < 1 =⇒ xδ < 1 =⇒ δ < x1 .
x→∞
Also: δ < x1 ∀x > 0 ===⇒ δ ≤ 0, Widerspruch!
Definition
f heißt auf D Lipschitz stetig : ⇐⇒ ∃L ≥ 0 : |f (x) − f (z)| ≤ L|x − z| ∀x, z ∈ D
|
{z
}
(∗∗∗)
Satz 20.1 (Stetigkeitsstätze)
(1) Ist f auf D Lipschitz stetig =⇒ f ist auf D gleichmäßig stetig
(2) Ist D beschränkt und abgeschlossen und f ∈ C(D) =⇒ f ist auf D gleichmäßig
stetig (Satz von Heine).
Beweis
(1) Sei L ≥ 0 und es gelte (∗ ∗ ∗). O.B.d.A.: L 0. Sei ε > 0. δ :=
|x − z| < δ =⇒ |f (x) − f (z)| ≤ L|x − z| < Lδ = ε
ε
L.
Seien x, z ∈ D und
(2) Annahme: f ist auf D nicht gleichmäßig stetig =⇒ ∃ε > 0 : (∗∗) ist für kein δ > 0
richtig. =⇒ ∀δ > 0 ∃x = x(δ), z = z(δ) ∈ D : |x − z| < δ aber |f (x) − f (z)| ≥ ε.
=⇒ ∀n ∈ N ∃xn , zn : |xn − zn | < n1 , aber |f (xn ) − f (zn )| ≥ ε. D beschränkt =⇒
8.2
(xn ) beschränkt =⇒ (xn ) enthält eine konvergente Teilfolge (xnk ), x0 := lim xnk . D
abgeschlossen =⇒ x0 ∈ D. |xnk − znk | ≤ n1k ∀k ∈ N =⇒ znk − xnk → 0(k → ∞) =⇒
znk = znk − xnk + xnk → x0 . f stetig =⇒ |f (xnk ) − f (znk )| → |f (x0 ) − f (x0 )| = 0.
Widerspruch zu |f (xnk ) − f (znk )| ≥ ε ∀k ∈ N
73
20. Gleichmäßige Stetigkeit
Beispiel
√
√
D = [0, 1], f (x) := x. Satz =⇒ f ist auf D gleichmäßig stetig. Annahme: ∃L > 0 : | x −
√
√
√
x→0
z| ≤ L|x − z| ∀x, z ∈ [0, 1] =⇒ x ≤ Lx ∀x ∈ [0, 1] =⇒ 1 ≤ L x ∀x ∈ (0, 1] ==⇒ 1 ≤ 0,
Widerspruch!
74
21. Differenzierbarkeit
In diesem Paragraphen seien stets: I ⊆ R ein Intervall und f : I → R eine Funktion.
Definition
(x0 )
existiert
(1) f heißt in x0 ∈ I differenzierbar (db) genau dann, wenn der limx→x0 f (x)−f
x−x0
(x0 )
und ∈ R ist. ( ⇐⇒ ∃ limh→0 f (x0 +h)−f
und ist ∈ R). In diesem Fall heißt f 0 (x0 ) =
h
(x0 )
die Ableitung von f in x0 .
limx→x0 f (x)−f
x−x0
(2) f heißt auf I differenzierbar genau dann, wenn f in jedem x ∈ I differenzierbar ist. In
diesem Fall wird durch x 7→ f 0 (x) eine Funktion f 0 : I → R definiert, die Ableitung von
f auf I.
Beispiele:
(1) Sei c ∈ R und f (x) = c ∀x ∈ I. f ist differenzierbar auf I, f 0 (x) = 0 ∀x ∈ I.
xn −xn
§1
(x0 )
(2) Sei I = R, n ∈ N und f (x) = xn . Seien x, x0 ∈ R, x0 6= x. f (x)−f
= x−x00 =
x−x0
n−1
n−2
xn−1 + x0 x + xn−3 x2 + · · · + x0 xn−2 + xn−1 → nx0 (x → x0 ). f ist also differenzierbar
auf R und f 0 (x) = nxn−1 ∀x ∈ R. Kurz: (xn )0 = nxn−1 auf R.
(
1
x>0
(x0 )
(3) I = R, f (x) = |x|, x0 = 0. x 6= 0 : f (x)−f
= |x|
=⇒ f ist in x0 = 0
x−x0
x =
−1 x < 0
nicht differenzierbar. (Beachte: f ist stetig in x0 )
(4) I = R, f (x) = ex . 17.3 =⇒ limh→0
ex0 +h −ex0
h
= ex0 ∀x0 ∈ R. Kurz: (ex )0 = ex .
Satz 21.1 (Differenzierbarkeit und Stetigkeit)
Ist f differenzierbar in x0 ∈ I, so ist f stetig in x0
Beweis
f (x) − f (x0 ) =
f (x)−f (x0 )
(x
x−x0
x→x
0
f 0 (x0 ) · 0 = 0 (x → x0 ) =⇒ limx→x0 f (x) = f (x0 ) − x0 ) −−−→
Satz 21.2 (Ableitungsregeln)
g : I → R sei eine weitere Funktion, f und g ableitbar in x0 ∈ I.
(1) Für α, β ∈ R ist αf + βg differenzierbar in x0 und
(αf + βg)0 (x0 ) = αf 0 (x0 ) + βg 0 (x0 )
(2) f g ist differenzierbar in x0 und
(f g)0 (x0 ) = f 0 (x0 )g(x0 ) + f (x0 )g 0 (x0 )
75
21. Differenzierbarkeit
(3) Es sei g(x) 6= 0 ∀x ∈ I.
f
g
differenzierbar in x0 und
f
f 0 (x0 )g(x0 ) − f (x0 )g 0 (x0 )
( )0 =
g
g(x0 )2
Beweis
(1) Klar. Für (2) und (3) beachte: f (x) → f (x0 ), g(x) → g(x0 ) (x → x0 ) (wegen 21.1)
(2)
f (x)g(x)−f (x0 )g(x0 )
x−x0
(3) h :=
f
g
:
h(x)−h(x0 )
x−x0
f (x)−f (x0 )
0)
g(x)+ g(x)−g(x
f (x0 )
x−x0
x−x0
→ f 0 (x0 )g(x0 )+g 0 (x0 )f (x0 ) (x → x0 )
g(x)−g(x0 )
f (x)−f (x0 )
1
= g(x)g(x
g(x
)
−
f
(x
)
→ g(x10 )2 (f 0 (x0 )g(x0 ) −
0
0
x−x0
x→x0
0)
=
g 0 (x0 )f (x0 )) (x → x0 ).
Beispiele:
(1) f (x) = e−x =
1
ex ,
f 0 (x) =
−ex
(ex )2
= − e1x = −e−x ∀x ∈ R
(2) (cosh x)0 = ( 12 (ex + e−x ))0 = 12 (ex − e−x ) = sinh x auf R.
(sinh x)0 = ( 12 (ex − e−x ))0 = 21 (ex + e−x ) = cosh x auf R.
Satz 21.3 (Kettenregel)
Sei J ⊆ R ein Intervall, g : J → R eine Funktionen und g(J) ⊆ I. Weiter sei g differenzierbar
in x0 ∈ J und f differenzierbar in y0 := g(x0 ). Dann ist f ◦ g : J → R differenzierbar in x0
und (f ◦ g)0 (x0 ) = f 0 (g(x0 ))g 0 (x0 )
Beweis( f (y)−f (y0 )
y−y0
h(y) =
f 0 (y0 )
y0 ). 21.1 =⇒ g(x)
h(y)(y − y0 ) ∀y ∈ I
, y ∈ I\{y0 }
ist differenzierbar in y0 =⇒ h(y) → f 0 (y) = f 0 (g(x)) (y →
, y = y0
→ g(x0 ) = y0 (x → x0 ) =⇒ h(g(x)) → f 0 (g(x0 )) Es ist f (y) − f (y0 ) =
(g(x0 ))
0)
=⇒ f (g(x))−f
= h(g(x)) g(x)−g(x
→ f 0 (g(x))g 0 (x0 ) (x → x0 )
x−x0
x−x0
Beispiele:
(1) Sei I = R, a > 0, ax = ex log a = f (g(x)) mit f (x) = ex , g(x) = x log a =⇒ (ax )0 =
f 0 (g(x))g 0 (x) = ex log a log a = ax log a auf R
(2) I = [0, ∞), f (x) = x2 , f 0 (x) = 2x, f 0 (0) = 0
√
f −1 (x) = x (x ∈ [0, ∞)).
21.3, (∗), x0 = 0
Es gilt: x = f (f −1 (x))(∗) ∀x ≥ 0 Annahme: f −1 ist differenzierbar in x0 = 0 =========⇒
1 = f 0 (f −1 (0)) ·(f −1 )0 (0) = 0 Widerspruch!
| {z }
0
Das heißt f −1 (x0 ) ist in x0 = 0 nicht differenzierbar.
Satz 21.4 (Ableitung der Umkehrfunktion)
f ∈ C(I) sei streng monoton, f differenzierbar in x0 ∈ I und f 0 (x0 ) 6= 0. Dann ist f −1 :
1
f (I) → I differenzierbar in y0 := f (x0 ) und (f −1 )0 (y0 ) = f 0 (x
0)
76
Beweis
−1
−1 (y )
0
Sei (yn ) eine Folge in f (I)\{y0 } und yn → y0 und αn = f (yynn)−f
. Zu zeigen: αn →
−y0
−x0
1
−1
(yn ) =⇒ yn = f (xn ), xn ∈ I, ∀n ∈ N =⇒ αn = f (xxnn)−f
f 0 (x0 ) (n → ∞) xn := f
(x0 ) →
1
f 0 (x0 ) (n → ∞)
Beispiele:
(1) I = R, f (x) = ex , f −1 (y) = log y (y > 0). Sei y > 0, also y = ex (x ∈ R) =⇒ (f −1 )(y) =
1
1
1
1
0
f 0 (x) = ex = y . Kurz: (log x) = x auf (0, ∞).
(2) Sei α ∈ R und f (x) = xα (x > 0), dann: f (x) = eα log x =⇒ f 0 (x) = eα log x · (α log x)0 =
xα · αx = αxα−1 . Kurz: (xα )0 = αxα−1 auf (0, ∞)
√
(3) Für α = 21 liefert Beispiel (2): ( x)0 = 2√1 x auf (0, ∞)
Definition
Zu ∅ 6= M ⊆ R und x0 ∈ M . x0 heißt ein innerer Punkt von M genau dann, wenn es ein
δ > 0 gibt, so dass Uδ (x0 ) ⊆ M .
Beispiele:
(1) M ist offen genau dann, wenn jedes x ∈ M ein innerer Punkt von M ist.
(2) Sei a < b, M ∈ {[a, b], (a, b), [a, b), (a, b]}. x0 ∈ M ist innerer Punkt von M genau dann,
wenn xo ∈ (a, b)
(3) Q hat keine inneren Punkte
Definition
Sei ∅ 6= D ⊆ R, g : D → R und x0 ∈ D, g hat in x0 ein relatives Maximum : ⇐⇒ ∃δ > 0 :
g(x) ≤ g(x0 ) ∀x ∈ D ∩ Uδ (x0 ).
Sei ∅ 6= D ⊆ R, g : D → R und x0 ∈ D, g hat in x0 ein relatives Minimum : ⇐⇒ ∃δ > 0 :
g(x) ≥ g(x0 ) ∀x ∈ D ∩ Uδ (x0 ).
Ein relatives Extremum ist ein relatives Maximum oder Minimum.
Satz 21.5 (Erste Ableitung am relativen Extremum)
f sei differenzierbar in x0 ∈ I, f habe in x0 ein relatives Extremum und x0 sei ein innerer
Punkt von I. Dann gilt: f 0 (x0 ) = 0.
Beweis
f habe in x0 ein relatives Maximum. Dann existiert δ > 0 : Uδ (x0 ) ⊆ I und f (x) ≤ f (x0 ) ∀x ∈
Uδ (x0 ).
Sei x ∈ Uδ (x0 ) und x < x0 =⇒
>
Also: f 0 (x0 ) = 0.
f (x)−f (x0 )
x−x0
≥ 0 =⇒ f 0 (x0 ) (x → x0 −)
≤
(x → x0 +)
77
21. Differenzierbarkeit
Bemerkungen:
(1) Die Voraussetzung „x0 ist ein innerer Punkt von I“ ist wesentlich. Beispiel: f (x) = x, x ∈
[0, 1], x0 = 0 oder x0 = 1.
(2) Ist f differenzierbar in x0 und f 0 (x0 ) = 0, so muss f in x0 kein relatives Extremum haben.
Beispiel: f (x) = x3 , x0 = 0.
Satz 21.6 (Mittelwertsatz der Differenzialrechnung)
Sei I = [a, b] (a < b), f, g ∈ C(I) und f und g seien differenzierbar auf (a, b). Weiter sei
g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b).
(1) Satz von Rolle: Es sei f (a) = f (b). Dann existiert ξ ∈ (a, b) :
f 0 (ξ) = 0.
(2) Mittelwertsatz (MWS) der Differenzialrechnung:
∃ξ ∈ (a, b) :
f (b) − f (a)
= f 0 (ξ).
b−a
(3) Erweiteter Mittelwertsatz: Es ist g(b) 6= g(a) und ∃ξ ∈ (a, b) :
f 0 (ξ)
f (b) − f (a)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (ξ)
Beweis
(1) 18.3 =⇒ ∃s, t ∈ [a, b] : f (s) ≤ f (x) ≤ f (t) ∀x ∈ [a, b].
Fall 1: s, t ∈ {a, b} =⇒ f ist auf I konstant =⇒ f 0 = 0 auf I =⇒ Beh.
Fall 2: s ∈ (a, b) oder t ∈ (a, b). Etwa: s ∈ (a, b) =⇒ s ist ein innerer Punkt von I und f
hat in s ein Minimum. 21.5 =⇒ f 0 (s) = 0.
(2) folgt aus (3) mit g(x) = x.
(3) h(x) := (f (b) − f (a))g(x) − (g(b) − g(a))f (x) (x ∈ I). Dann gilt: h ∈ C(I), h ist differenzierbar auf (a, b).
(1)
h(a) = h(b) =⇒ ∃ξ ∈ (a, b) : 0 = h0 (ξ) = (f (b) − f (a))g 0 (ξ) − (g(b) − g(a))f 0 (ξ)
=⇒ (f (b) − f (a))g 0 (ξ) = (g(b) − g(a))f 0 (ξ).
Aus (1) folgt: g(a) 6= g(b) (sonst existierte x0 ∈ (a, b) mit g 0 (x0 ) = 0).
=⇒
f (b) − f (a)
f 0 (ξ)
= 0 .
g(b) − g(a)
g (ξ)
78
Folgerungen 21.7
f, g : I → R seien differenzierbar auf I.
(1) Ist f 0 = 0 auf I =⇒ f ist auf I konstant
≥
wachsend
≤
fallend
>
streng wachsend
<
streng fallend
(2) Ist f 0 = g 0 auf I =⇒ ∃c ∈ R : f = g + c auf I.
Beweis
(1) Seien x1 , x2 ∈ I und x1 < x2 . 21.6 (2) =⇒ ∃ξ ∈ (x1 , x2 ) : f (x2 ) − f (x1 ) = f 0 (ξ)(x2 −
x1 ) =⇒ Beh.
(1)
(2) h := f − g =⇒ h0 = 0 auf I =⇒ Beh.
Beispiele:
(1) Es existiert genau ein x0 ∈ R : e−x0 = x0 .
Beweis
f (x) := e−x − x (x ∈ R) f (0) = 1 > 0, f (1) =
f (x0 ) = 0, also: e−x0 = x0 .
1
e
− 1 < 0. 18.2 =⇒ ∃x0 ∈ (0, 1) :
21.7
f 0 (x) = −e−x − 1 < 0 ∀x ∈ R =⇒ f ist streng fallend =⇒ f hat genau eine Nullstelle,
nämlich x0 . =⇒ Beh.
(2) Ist f : R → R differenzierbar auf R und f 0 = f auf R =⇒ ∃c ∈ R : f (x) = cex (x ∈ R).
Beweis
h(x) := fe(x)
=⇒ h0 (x) =
x
Beh.
f 0 (x)ex −ex f (x)
(ex )2
21.7
= 0 ∀x ∈ R =⇒ ∃c ∈ R : h(x) = c ∀x ∈ R =⇒
Satz 21.8 (Die Regeln von de l’Hospital)
f, g : (a, b) → R seien auf (a, b) differenzierbar und es sei g 0 (x) 6= 0 ∀x ∈ (a, b) (a = −∞
f 0 (x)
oder b = ∞ zugelassen). Weiter existiere L := lim 0
(L = ±∞ zugelassen) und es gelte
x→a g (x)
x→b
(I) lim f (x) = lim g(x) = 0 oder
x→a
x→a
x→b
x→b
(II) lim f (x) = lim g(x) = ±∞.
x→a
x→a
x→b
x→b
Dann gilt: lim
x→a
x→b
f (x)
= L.
g(x)
Beweis
Nur unter der Voraussetzung (I) und nur für x → a.
79
21. Differenzierbarkeit
(I)
Fall 1: a ∈ R. f (a) := g(a) := 0 =⇒ f, g ∈ C[a, b).
21.1
Sei x ∈ (a, b). 21.6 (3) =⇒ ∃ξ = ξ(x) ∈ (a, x) :
dann auch ξ → a).
Fall 2: a = −∞. Substituiere x = 1t , also t =
1
x
ϕ(t) := f ( 1t ) = f (x), ψ(t) := g( 1t ) = g(x). z.z.:
f (x)
g(x)
=
f (x)−f (a)
g(x)−g(a)
=
f 0 (x)
g 0 (x)
→ L (für x → a, da
(x → a = −∞ ⇐⇒ t → 0−).
ϕ(t)
ψ(t)
→ L (t → 0−)
ϕ0 (t) = f 0 ( 1t )( −t1 2 ) = f 0 (x)(−x2 )
ψ 0 (t) = g 0 (x)(−x2 )
=⇒
ϕ0 (t)
ψ 0 (t)
=
f 0 (x)
g 0 (x)
Fall 1 ϕ(t)
ψ(t)
→ L (t → 0−) =⇒
→ L (t → 0−).
Beispiele:
ax − bx
ax log a − bx log b
(1) a, b > 0 : lim
= lim
= log a − log b
x→0
x→0
x
1
1
log x
= lim x = 0
x→∞ x
x→∞ 1
(2) lim
1
(3) lim x x = lim e
x→∞
log x
x
x→∞
= e0 = 1
log (1 + tz)
= lim
z→0
z→0
z
(4) lim
(5) Für t ∈ R : lim (1 +
x→∞
1
1+tz
1
·t
= t (t ∈ R)
t x
t
) = et (insbesondere lim (1 + )n = et , n ∈ N)
n→∞
x
n
Beweis
ϕ(x) := (1 + xt )x .
z= 1
limx→∞ log ϕ(x) = limx→∞ x log (1 + xt ) =x limx→∞
log (1+tz)
z
=t
=⇒ ϕ(x) → et (x → ∞).
Satz
(Ableitung von Potenzreihen)
P21.9
∞
Sei n=0 an (x − x0 )n eine Potenzreihe
mit Konvergenzradius r > 0, I := (x0 −r, x0 +r), (I =
P
a
(x
− x0 )n (x ∈ I)
R, falls r = ∞) und f (x) := ∞
n
n=0
P
n−1 hat den Konvergenzradius r.
(1) Die Potenzreihe ∞
n=0 nan (x − x0 )
P∞
0 (x) :=
n−1 ∀x ∈ I, also
(2) fPist auf I differenzierbar
und
f
n=0 nan (x − x0 )
P∞
∞
n
0
n
0
( n=0 an (x − x0 ) ) = n=0 (an (x − x0 ) )
Beweis
p
p
√ p
(1) lim sup n |nan | = lim sup n n n |an | = lim sup n |an | =⇒ Behauptung.
(2) Später
Beispiele:
P
P∞
n x2n
n x2n+1 0
(1) (sin x)0 = ∞
n=0 ((−1) (2n+1)! ) =
n=0 (−1) (2n)! = cos x auf R.
80
(2) (cos x)0 = − sin x
Satz 21.10 (Eigenschaften trigonometrischer Funktionen)
(1) ∀x ∈ R : cos2 x + sin2 x = 1, | cos x| ≤ 1, | sin x| ≤ 1, | sin x| ≤ |x|
(2) Additionstheoreme: ∀x, y ∈ R : sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y, cos(x + y) =
cos x cos y − sin x sin y
(3) sin x > x −
x3
3!
> 0 ∀x ∈ (0, 2); insbesondere: sin 1 > 65 .
(4) ∃ξ0 ∈ (0, 2) mit cos ξ0 = 0 und cos x 6= 0 ∀x ∈ [0, ξ0 ), π := 2ξ0 (Pi). Also: π ∈
(0, 4) (π ≈ 3, 14..), cos π2 = 0, cos x 6= 0 ∀x ∈ [0, π2 ).
(5) sin π2 = 1
(6) sin(−x) = − sin x, cos(−x) = cos x
sin(x + π2 ) = cos x, cos(x + π2 ) = − sin x
sin(x + π) = − sin x, cos(x + π) = − cos x
sin(x + 2π) = sin x, cos(x + 2π) = cos x
(7) Für x ∈ [0, π] : cos x = 0 ⇐⇒ x =
π
2
(8) sin x = 0 ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = kπ.
cos x = 0 ⇐⇒ ∃k ∈ Z : x = kπ + π2 .
Beweis
(1) f (x) := cos2 x + sin2 x − 1. f 0 (x) = 2 cos x(− sin x) + 2 sin x cos x = 0. 21.7 =⇒ f
p
√
ist auf R konstant. f (0) = 0 | cos x| = cos2 x ≤ cos2 x + sin2 x = 1, ObdA x 6= 0.
sin x = sin x − sin 0
MWS
=
| cos ξ| |x| ≤ |x|
| {z }
≤1
(2) Sei y ∈ R und f (x) := (sin(x + y) − sin x cos y − cos x sin y)2 + (cos(x + y) − cos x cos y +
sin x sin y)2 . Klar: f (0) = 0. Nachrechnen: f 0 = 0 auf R. 21.7 =⇒ f ≡ 0 auf R.
x3
x5 x7
(3) Für x ∈ (0, 2) : sin x = (x − ) + ( − ) + · · · =⇒ Behauptung.
| {z 3! } | 5! {z 7! }
>0
>0
(3)
(4) cos0 = 1 > 0. cos 2 = cos(1+1) = cos2 1−sin2 1 = cos2 1+sin2 1−2 sin2 1 = 1−2 sin2 1 <
(3)
0
1 − 2 25
36 < 0. 18.2 =⇒ ∃ξ0 ∈ (0, 2) : cos ξ0 = 0, In (0, 2): (cos x) = − sin x < 0 =⇒ cos x
ist in (0, 2) streng monoton fallend =⇒ cos x 6= 0 ∀x ∈ [0, ξ0 )
(5) sin2
π
2
= 1 − cos2
π
2
= 1 =⇒ sin π2 = ±1. (3) =⇒ sin π2 > 0 =⇒ sin π2 = 1.
(6) Die erste Behauptung mit kann mit Potenzreihen, der Rest mit den Additionstheoremen
bewiesen werden.
(4)
(7) „⇐“: klar, „⇒“: Sei x ∈ [0, π] und cos x = 0 =⇒ x ≥
(6)
(4)
cos y = cos(x + π) = − cos(−x) = − cos(x) =⇒ y ≤ π2 , x
π
2 , y :=
= π2 .
π − x, y ∈ [0, π2 ] und
81
21. Differenzierbarkeit
(8) In den gr. Übungen
Definition 21.11 (Tangens)
sin x
π
für x ∈ R \ {kπ + | k ∈ Z}.
cos x
2
π π
I := (− 2 , 2 ); f (x) := tan x (x ∈ I). Dann: f ∈ C(I). limπ f (x) = ∞, limπ f (x) = −∞,
tan x :=
x→ 2
2 x+sin2 x
f 0 (x) = cos cos
= cos12 x
2x
wachsend =⇒ ∃f −1 : R →
(f −1 )0 (y) =
1
f 0 (x)
x→− 2
sin2 x
cos2 x
= 1+
= 1 + tan2 x > 0 auf I =⇒ f ist auf I streng monoton
I, arctan x := f −1 (x)(x ∈ R) Arcustangens. Sei y = tan x (x ∈ I).
1
1
1
0
= 1+tan2 x = 1+y
2 . Also: (arctan x) = 1+x2 auf R.
Definition
Sei I ⊆ R ein Intervall; f : I → R eine Funktion und x0 ∈ I. f wird in einer
x0
P∞Umgebung von
n
durch eine Potenzreihe dargestellt :P
⇐⇒ ∃δ > 0 und ∃ eine Potenzreihe n=0 an (x − x0 ) mit
n
Konvergenzradius ≥ δ und f (x) = ∞
n=0 an (x − x0 ) ∀x ∈ I ∩ Uδ (x0 ).
Beispiele:
(1) I = (−∞, 1), f (x) =
für x ∈ (−1, 1)
(2) I = R, f (x) =
1
1+x2
1
1−x .
=
Bekannt:
1
1−(−x2 )
=
P∞
n=0 x
P∞
n
=
2 n
n=0 (−x )
1
1−x
=
für x ∈ (−1, 1). Also: f (x) =
P∞
n 2n
n=0 (−1) x
P∞
n=0 x
n
(x ∈ (−1, 1))
(3) I = (−1, ∞), f (x) = log(1 + x). Behauptung: (∗)
P
n xn+1
log(1 + x) = ∞
n=0 (−1) n+1 (x ∈ (−1, 1))
Beweis P
n+1
(−1)n xn+1 (x ∈ (−1, 1)) 21.9 =⇒ g ist auf (−1, 1) differenzierbar und
g(x) := ∞
n=0
P
1
1
n n
0
g 0 (x) = ∞
n=0 (−1) x = 1−(−x) = 1+x = f (x) ∀x ∈ (−1, 1). 21.7 =⇒ ∃c ∈ R : f (x) =
x=0
g(x) + c ∀x ∈ (−1, 1) ==⇒ 0 = f (0) = g(0) + c = c =⇒ f (x) = g(x) ∀x ∈ (−1, 1) =⇒
Behauptung. In den gr. Übungen wird gezeigt (Abelscher Grenzwert-Satz): (∗) gilt noch
P
n 1n+1 = 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·
für x = 1. Also: log 2 = ∞
n=0 (−1)
n
2
3
4
82
22. Höhere Ableitungen
Stets in diesem Paragraphen: I ⊆ R sei ein Intervall und f : I → R eine Funktion.
Definition
(1) f sei auf I differenzierbar und x0 ∈ I. f heißt in x0 zweimal differenzierbar genau dann,
wenn f 0 in x0 differenzierbar ist. In diesem Fall heißt f 00 (x0 ) = (f 0 )0 (x0 ) die zweite Ableitung von f in x0 .
(2) f heißt auf I zweimal differenzierbar genau dann, wenn f in jedem x ∈ I zweimal differenzierbar ist. In diesem Fall heißt f 00 = (f 0 )0 die zweite Ableitung von f auf I.
(3) Entsprechend definiert man (falls vorhanden): f 000 (x0 ), f (4) (x0 ), . . . bzw. f 000 , f (4) , . . ..
(4) Sei n ∈ N. f heißt auf I n-mal stetig differenzierbar genau dann, wenn f auf I n-mal
differenzierbar ist und f, f 0 , . . . , f (n) ∈ C(I).
(5) Sei n ∈ N. C n (I) := T
{g : I → R : g ist auf I n-mal stetig differenzierbar}, C 0 (I) := C(I),
(0)
∞
f := f , C (I) := n∈N C n (I).
Beispiele:
(1) (sin x)0 = cos x, (sin x)00 = − sin x, . . .
(2) (ex )(n) = ex auf R ∀n ∈ N0
(
x2
;x ≥ 0
(3) f (x) :=
. Für x > 0: f 0 (x) = 2x, für x < 0: f 0 (x) = −2x.
2
−x ; x < 0
x→0
2
(0)
Für x = 0: f (x)−f
= ±x
−−→ 0 =⇒ f ist in x = 0 differenzierbar und
x−0
x = ±x −
0
0
f (0) = 0. Also: f (x) = 2|x| ∀x ∈ R. Also ist f in x = 0 nicht zweimal differenzierbar.
( 3
x 2 sin( x1 ) ; x 6= 0
(4) f (x) :=
.
0
;x = 0
√
√
3
Für x ∈ (0, 1]: f 0 (x) = 32 x sin x1 + x 2 cos x1 (− x12 ) = 32 x sin x1 − √1x cos x1 .
√
x→0
(0)
Für x = 0: f (x)−f
= x sin x1 −−−→ 0. f ist also auf [0, 1] differenzierbar.
x−0
√
1
xn := nπ
(n ∈ N). Dann xn → 0 (n → ∞). f 0 (xn ) = (−1)n+1 nπ 9 0 (n → ∞) =⇒ f 0
ist nicht stetig in x = 0. Also f ∈
/ C 1 ([0, 1]). Für später: f 0 ist auf [0, 1] nicht beschränkt.
Satz
von Potenzreihen)
P22.1 (Differenzierbarkeit
n eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0, I := (x −r, x +r) (I =
Sei ∞
a
(x
−
x
)
0
0
0
n=0 n
P
n
R falls r = ∞) und f (x) = ∞
n=0 an (x − x0 ) (x ∈ I).
(1) f ∈ C ∞ (I)
(2) ∀x ∈ I ∀k ∈ N : f (k) (x) =
P∞
n=k
n(n − 1) . . . (n − k + 1) · an (x − x0 )n−k .
83
22. Höhere Ableitungen
(3) ak =
f (k) (x0 )
k!
∀k ∈ N0
Beweis
(1) und
(2) folgen induktiv aus 21.9.
(3) folgt aus (2) und x = x0
Motivation: Ist also f wie in 22.1, so gilt: f ∈ C ∞ (I) und f (x) =
I.
Definition
P
Sei f ∈ C ∞ (I) und x0 ∈ I. Die Potenzreihe ∞
k=0
gehörende Taylorreihe.
f (k) (x0 )
(x
k!
P∞
n=0
f (n) (x0 )
(x − x0 )n
n!
∀x ∈
− x0 )k heißt die zu f (und x0 )
Motivation: Frage: Wird f in einer Umgebung von x0 durch seine Taylorreihe dargestellt?
Antwort: Manchmal!
Beispiele:
(1) Ist f wie in 22.1, so lautet die Antwort: ja!
( 1
e− x2 , x 6= 0
(2) f (x) :=
.
0
,x = 0
Übungsblatt: f ∈ C ∞ (R) und f (n) (0) = 0 ∀n ∈ N0 .
P
f (k) (0) k
Dann: ∞
k=0
k! x = 0 6= f (x) ∀x ∈ R\{0}
Definition
P
Sei n ∈ N0 , f ∈ C n (I) und x0 ∈ I. Tn (x; x0 ) := nk=0
nom von f .
f (k) (x0 )
(x
k!
− x0 )k heißt das Taylorpoly-
Satz 22.2 (Satz von Taylor)
Voraussetzungen wie in obiger Definition. Weiter sei f n + 1-mal differenzierbar auf I und
x ∈ I. Dann existiert ein ξ zwischen x und x0 mit:
f (x) = Tn (x; x0 ) +
f (n+1) (ξ)
(x − x0 )n+1
(n + 1)!
Beweis
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit sei x0 = 0 und x > x0 .
=⇒ f (x) − Tn (x; 0) =
ρ := (f (x) − Tn (x; 0)) (n+1)!
xn+1
ρ
n+1
(n+1)! x
Zu zeigen ist: ∃ξ ∈ [0, x] : ρ = f (n+1) (ξ).
Definiere h : [0, x] → R durch f (x) = f (x) −
Pn
k=0
f (k) (t)
k! (x
f (n+1) (t)
(x − t)n .
n!
n
(n+1)
(0, x) =⇒ ρ (x−ξ)
= f n! (ξ) (x
n!
n+1
− t)k − ρ (x−t)
(n+1)! . Nachrechnen:
n
h(0) = h(x) und h0 (t) = ρ (x−t)
−
n!
0=
84
h(x)−h(0) MWS
=
x−0
h0 (ξ) ξ ∈
− ξ)n =⇒ ρ = f (n+1) (ξ).
Beispiele:
(1) Behauptung: e 6∈ Q
Beweis: Bekannt: 2 < e < 3.
x
Annahme: ∃m, n ∈ N : e = m
n . Dann: n ≥ 2 (Sonst: e = m ∈ N, Wid!) f (x) := e , x0 =
0, x = 1
Pn f (k) (0) f (n+1) (ξ)
+ (n+1)!
22.2 =⇒ ∃ξ ∈ (0, 1) mit m
k=0
n = e = f (1) =
k!
m
n
=1+1+
1
2!
+ ... +
1
n!
+
eξ
(n+1)!
| · n!.
n!
n!
eξ
m(n − 1)! = n! + n! +
+ ··· + +
=⇒
| {z }
2!
n!} n + 1
|
{z
| {z }
∈N
∈N
3
n+1
eξ
n+1
∈ N =⇒ 1 ≤
eξ
n+1
<
e
n+1
<
>0
n≥2
≤ 1. Wid!
P
(−1)k+1
(2) Behauptung: log 2 = ∞
k=1
k
Beweis: I = (−1, ∞), f (x) = log(1 + x), x0 = 0, x = 1. Durch vollständige Induktion
lässt sich zeigen:
(−1)k+1 (k − 1)!
f (k) (x) =
(k ∈ N)
(1 + x)k
Also gilt:
f (k) (0)
=
k!
(
0,
k=0
(−1)k+1
,
k
k∈N
Wegen dem Satz von Taylor folgt:
∀n ∈ N ∃ξn ∈ (0, 1) : log 2 = f (1) = Tn (1; 0) +
=
n
X
f (k) (0)
k=0
k!
f (n+1) (ξn )
(n + 1)!
∞
f (n+1) (ξn ) X (−1)k+1 f (n+1) (ξn )
+
=
+
(n + 1)!
k
(n + 1)!
k=1
| {z }
=:cn
zu zeigen: cn → 0 (n → ∞).
|cn | = |
(−1)n+2 n!
1
1
|=
·
=⇒ cn → 0 (n → ∞).
n+1
(n + 1)!(1 + ξn )
n + 1 (1 + ξn )n+1
|
{z
}
≤1
Satz 22.3 (Bestimmung von Extrema durch höhere Ableitungen)
Sei n ∈ N, n ≥ 2, f ∈ C n (I), x0 ∈ I und x0 sei ein innerer Punkt von I. Weiter gelte:
f 0 (x0 ) = f 00 (x0 ) = . . . = f (n−1) (x0 ) = 0 und f (n) (x0 ) 6= 0.
(1) Ist n gerade und f (n) (x0 ) > 0 =⇒ f hat in x0 ein relatives Minimum.
Ist n gerade und f (n) (x0 ) < 0 =⇒ f hat in x0 ein relatives Maximum.
(2) Ist n ungerade =⇒ f hat in x0 kein relatives Extremum.
85
22. Höhere Ableitungen
Beweis
f ∈ C n (I) =⇒ f (n) ∈ C(I), f (n) (x0 ) 6= 0. Damit folgt nach §18:
∃δ > 0 : Uδ (x0 ) ⊆ I und f (n) (x0 )f (n) (ξ) > 0 ∀ξ ∈ Uδ (x0 ). (∗)
Sei x ∈ Uδ (x0 )\{x0 }. Nach dem Satz von Taylor existiert ein ξ zwischen x und x0 mit:
f (x) = Tn−1 (x; x0 ) +
|
{z
}
f (n) (ξ)
f (n) (ξ)
(x − x0 )n = f (x0 ) +
(x − x0 )n .
n!
n!
Vor.
= f (x0 )
Zu (1): Sei n gerade, x 6= x0 =⇒ (x − x0 )n > 0. Aus f (n) (x0 ) > 0 folgt wegen (∗):
f (n) (ξ) > 0 =⇒
f (n) (ξ)
(x − x0 )n > 0 =⇒ f (x) > f (x0 )
n!
=⇒ f hat in x0 ein relatives Minimum. Analog: Aus f (n) (x0 ) < 0 folgt: f hat in x0 ein relatives
Maximum.
Zu (2): Sei n ungerade. Sei f (n) (x0 ) > 0. Aus x > x0 folgt:
(x − x0 )n > 0, f (n) (ξ) > 0 =⇒ f (x) > f (x0 ).
Analog: Aus x > x0 folgt: f (x) < f (x0 ) =⇒ f hat in x0 kein Extremum.
Analog: Ist f (n) (x0 ) < 0 =⇒ f (x) < f (x0 ) für x > x0 und f (x) > f (x0 ) für x < x0 .
Beispiel
Bemerkung: Dieses Beispiel zeigt, wann man den Satz nicht anwenden sollte.
(
2
e−1/x , x 6= 0
f (x) =
0,
x=0
Bekannt: f ∈ C ∞ (R), f (n) (0) = 0 ∀n ∈ N0 . f (x) ≥ 0 ∀x ∈ R, f (0) = 0 =⇒ f hat in x0 = 0
ein absolutes Minimum.
86
23. Das Riemann-Integral
In diesem Paragraphen gilt stets: a, b ∈ R, a < b, I = [a, b] und f : I → R sei beschränkt.
m := inf f (I), M := sup f (I).
Definition
Z = {x0 , x1 , . . . , xn } ⊆ I heißt eine Zerlegung von I : ⇐⇒ a = x0 < x1 < . . . < xn = b.
Ij := [xj−1 , xj ], |Ij | = xj − xj−1 , mj := inf f (Ij ), Mj := sup f (Ij ) (j = 1, . . . , n)
Pn
Dann gilt: m ≤ mj ≤ Mj ≤ M (j = 1, . . . , n),
j=1 |Ij | = b − a (= |I|)
P
sf (Z) := nj=1 mj |Ij | heißt die Untersumme von f bzgl. Z.
Pn
Sf (Z) := j=1 Mj |Ij | heißt die Obersumme von f bzgl. Z.
m ≤ mj ≤ Mj ≤ M =⇒ m|Ij | ≤ mj |Ij | ≤ Mj |Ij | ≤ M |Ij |
Durch Summation erhält man: m(b − a) ≤ sf (Z) ≤ Sf (Z) ≤ M (b − a).
Z := {Z : Z ist eine Zerlegung von I}. Sind Z1 , Z2 ∈ Z =⇒ Z1 ∪ Z2 ∈ Z. Gilt Z1 ⊆ Z2 , so
heißt Z2 eine Verfeinerung von Z1 .
Satz 23.1 (Zerlegungs-Verfeinerungen)
Seien Z1 , Z2 ∈ Z.
(1) Ist Z1 ⊆ Z2 =⇒ sf (Z1 ) ≤ sf (Z2 ), Sf (Z2 ) ≤ Sf (Z1 )
(2) sf (Z1 ) ≤ Sf (Z2 )
Beweis
(1) Übung (es genügt zu betrachten: Z2 = Z1 ∪ {t0 }, t0 ∈
/ Z1 )
(1)
(1)
(2) Z := Z1 ∪ Z2 . Dann: sf (Z1 ) ≤ sf (Z) ≤ Sf (Z) ≤ Sf (Z2 ).
Definition
Z b
f
dx
:=
- f (x)dx := sup{sf (Z) : Z ∈ Z} heißt unteres Integral von f
a
a
Z b
Z b
- f dx := - f (x)dx := inf{Sf (Z) : Z ∈ Z} heißt oberes Integral von f
Z
b
a
a
Rb
Sei Z ∈ Z. Dann: m(b − a) ≤ sf (Z) ≤ - a f dx
Rb
R- b
- a f dx ≤ a f dx ≤ M (b − a)
23.1(2)
≤
Sf (Z) ≤ M (b − a) =⇒ m(b − a) ≤
87
23. Das Riemann-Integral
Definition
Rb
Rb
f heißt (Riemann-)integrierbar über [a, b] : ⇐⇒ - a f dx = - a f dx. In diesem Fall heißt
Z b
Z b
Z b
Z b
f dx (= - f dx)
f (x)dx :=
f dx :=
a
a
a
a
das (Riemann-)Integral von f über [a, b].
R[a, b] := {g : [a, b] → R : g ist auf [a, b] beschränkt und integrierbar über [a, b]}
Beispiele:
(1) Sei c ∈ R und f (x) = c ∀x ∈ [a, b]. Sei Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z; mj = Mj = c (j =
Rb
P
1, . . . , n) =⇒ sf (Z) = Sf (Z) = nj=1 c|Ij | = c(b − a) =⇒ f ∈ R[a, b] und a cdx =
c(b − a).
(2)
(
1, x ∈ [a, b] ∩ Q
f (x) :=
0, x ∈ [a, b] \ Q
Sei Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z, P
mj = 0, Mj = 1 (j = 1, . . . , n)
=⇒ sf (Z) = 0, Sf (Z) = nj=1 |Ij | = b − a.
Rb
Rb
/ R[a, b].
=⇒ - a f dx = 0 6= b − a = - a f dx =⇒ f ∈
(3) [a, b] = [0, 1], f (x) = x. Sei n ∈ N und Z = {x0 , · · · , xn }, wobei xj := j n1 (j = 0, .., n).
mj , Mj , Ij wie immer. Dann: |Ij | = n1 .
n
X
1
1
1
1 (n − 1)n
n−1
mj = f (xj−1 ) = (j−1) . sf (Z) =
(j−1) 2 = 2 (0+1+· · ·+(n−1)) = 2
=
n
n
n
n
2
2n
j=1
n
X 1
1
1 n(n + 1)
n+1
j
j 2 = 2 (1 + · · · + n) = 2
=
Mj = f (xj ) = . Sf (Z) =
n
n
n
n
2
2n
j=1
Z 1
Z 1
1
n−1
n+1
1
xdx ≤ Sf (Z) =
= sf (Z) ≤ - xdx ≤
=⇒ f ∈ R[0, 1] und
xdx =
2n
2n
2
0
0
0
Z
Satz 23.2 (Rechenregeln für Integrale)
Es seien f, g ∈ R[a, b]
(1) Ist f ≤ g auf [a, b] =⇒
Rb
a
f dx ≤
Rb
a
gdx
(2) Sind α, β ∈ R =⇒ αf + βg ∈ R[a, b] und
Rb
a (αf
+ βg)dx = α
Rb
a
f dx + β
Rb
a
gdx
Beweis
(1) Übung.
Rb
Rb
(2) Übung: αf ∈ R[a, b] und a (αf )dx = α a f dx.
Rb
Rb
Rb
Zu zeigen: f + g ∈ R[a, b] und a (f + g)dx = a f dx + a gdx. Sei z = {x0 , · · · , xn } ∈
f
Z, mj , Mj , Ij wie immer. m
fj := inf g(Ij ), m
fj := inf(f + g)(Ij ). x ∈ Ij : (f + g)(x) =
88
Summation
f
f
f (x) + g(x) ≥ mj + m
fj =⇒ m
fj ≥ mj + m
fj =⇒ m
f |I | ≥ mj |Ij | + m
fj |Ij | ======⇒
R bj j
Sf +g (Z) ≥ Sf (Z) + Sg (Z) =⇒ Sf (Z) + Sg (Z) ≤ - a (f + g)dx ∀z ∈ Z (∗). Sei ε > 0 :
Rb
Rb
Rb
∃ Z1 , Z2 ∈ Z : Sf (Z1 ) > - a f dx − ε = a f dx − ε, sg (Z2 ) > a gdx − ε, Z := Z1 ∪ Z2 ∈
Z b
Z b
(∗) R
23.1
b
Z.
f dx +
gdx −2ε < Sf (Z1 ) + Sg (Z2 ) ≤ Sf (Z) + Sg (Z) ≤ a (f + g)dx. Also:
|a
{z a
}
=:A
Rb
Rb
Rb
ε→0+
A − 2ε ≤ a (f + g)dx ∀ε > 0 ===⇒ A ≤ - a (f + g)dx. Analog: - a (f + g)dx ≤ A =⇒
Rb
Rb
A = - a (f + g)dx = - a (f + g)dx
Satz 23.3 (Riemannsches Integrabilitätskriterium)
f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃Z ∈ Z : Sf (Z) − sf (Z) < ε.
Beweis
Rb
„⇐“: Sei ε > 0. Voraussetzung =⇒ ∃Z ∈ Z : Sf (Z) < sf (Z) + ε =⇒ - a f dx ≤ Sf (Z) <
Rb
Rb
Rb
Rb
Rb
ε→0+ R b
sf (z) + ε ≤ - a f dx + ε. Also: - a f dx < - a f dx ∀ε > 0 ===⇒ - a f dx ≤ - a f dx(≤ - a f dx) =⇒
f ∈ R[a, b].
Rb
Rb
„ =⇒ “: S := a f dx. Sei ε > 0. ∃Z1 , Z2 ∈ Z : sf (Z1 ) > - a f dx− 2ε = S − 2ε . Sf (Z2 ) < S + 2ε . Z :=
23.1
Z1 ∪ Z2 ∈ Z. Sf (Z) − sf (Z) ≤ Sf (Z2 ) − sf (Z1 ) < S +
ε
2
− (S − 2ε ) = ε.
Satz 23.4 (Integratibilität monotoner und stetiger Funktionen)
(1) Ist f auf [a, b] monoton =⇒ f ∈ R[a, b].
(2) C[a, b] ⊆ R[a, b].
Beweis
(1) f sei wachsend auf [a, b]. Sei n ∈ N und Z = {x0 , · · · , xn } sei die äquidistante Zerlegung
dann: |Ij | = b−a
von [a, b] mit n + 1 Teilpunkten. xj = a + j b−a
n (j = 0, · · · , n),
n . mj , Mj
Pn
Pn
b−a
(f
(x
)
f
(x
(
M
−
m
)|I
|
=
wie immer: Sf (Z) − sf (z) =
j
j
j
j −
j−1 )) n =
j=1
j=1
|{z}
|{z}
=f (xj )
f (xj−1 )
b−a
(f
(x
)
−
f
(x
)
+
f
(x
)
−
f
(x
)
+
·
·
·
+
f
(xn ) −
1
0
2
1
n
b−a
n (f (b) − f (a)) =: αn . Sei ε > 0, dann: ∃n ∈ N : αn
f (xn−1 )) =
b−a
n (f (xn )
− f (x0 )) =
23.3
< ε ==⇒ Behauptung.
ε
(2) Sei f ∈ C[a, b] und ε > 0. ∃δ > 0 : (∗) |f (t) − f (s)| < b−a
∀t, s ∈ [a, b] mit |t − s| < δ.
Sei Z = {x0 , · · · , xn } ∈ Z mj , Mj , |IJ | seien wie immer; z sei so gewählt, daß |Ij | <
δ (j = 1, · · · , n). Betrachte Ij : 18.3 =⇒ ∃sj , tj ∈ Ij : mj = f (sj ), Mj = f (tj ).
P
(∗)
ε
|tj − sj | < δ =⇒ f (tj ) − f (sj ) < b−a
=⇒ Sf (Z) − sf (Z) = nj=1 (Mj − mj )|Ij | <
{z
}
|
| {z }
=Mj −mj
ε
b−a
Pn
j=1 |Ij |
ε
≤ b−a
23.3
= ε ==⇒ f ∈ R[a, b]
Definition
Sei J ⊆ R ein Intervall und G, g : J → R seien Funktionen. G heißt eine Stammfunktion (SF)
von g auf J : ⇐⇒ G ist differenzierbar auf J und G0 = g auf J.
89
23. Das Riemann-Integral
Beachte:
21.7
(1) Sind G1 und G2 Stammfunktionen von g auf J ==⇒ ∃c ∈ R : G1 = G2 + c auf J.
(2) Sei I = [a, b]. Es gibt Funktionen, die auf [a, b] Stammfunktionen besitzen, aber über [a, b]
nicht integrierbar sind.
Beispiel
( 3
x 2 sin x1 , x ∈ (0, 1]
F (x) :=
0,
x=0
Bekannt: (§22): F ist auf [0, 1] differenzierbar und f := F 0 ist auf [0,1] nicht beschränkt.
Also: f ∈
/ R[0, 1], besitzt aber auf [0, 1] die Stammfunktion F .
(3) Sei I = [a, b]. Es gibt Funktionen in R[a, b], die auf [a, b] keine Stammfunktionen besitzen.
(
Beispiel
1 x ∈ [0, 1]
23.4
Sei [a, b] = [−1, 1], f (x) :=
. f ist monoton auf [−1, 1] ==⇒ f ∈ R[−1, 1].
0 x ∈ [−1, 0)
Annahme: f besitzt auf [−1, 1] die Stammfunktion F . Auf [0, 1] : F 0 (x) = f (x) = 1 =
21.7
21.7
(x)0 ==⇒ ∃c1 ∈ R : F (x) = x + c1 ∀x ∈ [0, 1]. Auf [−1, 0): F 0 (x) = f (x) = 0 ==⇒ ∃c2 ∈
R : F (x) = c2 ∀x ∈ [−1, 0). lim F (x) = c1 , lim F (x) = c2 . F stetig in x = 0 =⇒
x→0+
x→0−
x + c1 − c1
F (x) − F (0)
c2 − c1
F (x) − F (0)
= lim
= 1, lim
=
= 0,
c1 = c2 . lim
x→0+
x→0−
x→0+
x−0
x
x−0
x
Widerspruch zur Differenzierbarkeit von F in x0 = 0.
Satz 23.5 (1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Es sei f ∈ R[a, b] und f besitze auf [a, b] die Stammfunktion F . Dann:
Z
b
f (x)dx = F (b) − F (a) =: F (x)|ba =: [F (x)]ba
a
Beweis
Sei Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z; mj , Mj , Ij sei wie gehabt. Sei j ∈P{1, . . . , n}. MWSP =⇒ ∃ξj ∈
n
n
Ij : F (xj ) − F (xj−1 ) = F 0 (ξj )(xj − xj−1 ) = f (ξj ) · |Ij | =⇒
j=1 (F (xj ) −
j=1 f (ξj )|Ij | =
F (xj−1 ) = F (b) − F (a)
Z b
Summation
mj |Ij | ≤ f (ξj )|Ij | ≤ Mj |Ij | ======⇒ sf (Z) ≤ F (b) − F (a) ≤ Sf (Z) ∀Z ∈ Z =⇒ - f dx ≤
| a{z }
=
Z b
Rb
F (b) − F (a) ≤ - f dx =⇒ F (b) − F (a) = a f dx
| a{z }
=
Rb
a
Rb
a
f dx
f dx
Beispiele:
Rπ
(1) 02 cos xdx, cos x ist stetig auf [0, π2 ], also integrierbar. F (x) = sin x ist eine Stammfunkπ
Rπ
tion von cos x =⇒ 02 cos xdx = sin x|02 = 1.
90
R1
= arctan x|10 = arctan 1 − arctan 0 = π4
(
Beispiele:
1, x ∈ {q1 , . . . , qn }
(1) Sei Q∩[0, 1] = {q1 , q2 , . . .}, fn (x) =
, (n ∈ N). (fn ) konvergiert
0, x ∈ [0, 1]\{q1 , . . . , qn }
(
1, x ∈ Q ∩ [0, 1]
auf [0, 1] punktweise gegen f (x) =
. Bekannt: f ∈
/ R[0, 1]. In 23.10
0, x ∈ [0, 1]\Q
werden wir sehen: fn ∈ R[0, 1] ∀n ∈ N.
(2)
1
0 1+x2 dx
(2) Für x ∈ [0, 1], n ∈ N, n ≥ 3 sei fn wie in der Zeichnung:

2

x ∈ [0, n1 ]
n x,
fn (x) = 2n − n2 x, x ∈ ( n1 , n2 ]


0,
x ∈ ( n2 , 1]
R1
fn ∈ C[0, 1] =⇒ fn ∈ R[0, 1]. zur Übung: 0 fn dx = 1∀n ∈ N. (fn ) konvergiert auf [0, 1]
punktweise gegen
R 1 f (x) = 0.
R1
R1
Aber: limn→∞ 0 fn dx = 1 6= 0 = 0 f dx = 0 (limn→∞ fn (x))dx
Satz 23.6 (Integrierbarkeit gleichmäßig konvergierender Funktionsfolgen)
(fn ) sei eine Folge in R[a, b] und (fn ) konvergiert auf [a, b] gleichmäßig gegen f : [a, b] → R.
Dann ist f ∈ R[a, b] und
Z
b
lim
n→∞ a
(fn ) sei eine Folge in R[a, b] und
R. Dann ist f ∈ R[a, b] und
Z
fn (x)dx =
b
Z
f dx =
a
P∞
n=1 fn
∞ Z
X
b
( lim fn )dx
a
n→∞
konvergiert auf [a, b] gleichmäßig gegen f : [a, b] →
b
fn (x)dx =
n=1 a
Z bX
∞
fn (x)dx
a n=1
Beweis
1. Zu ε = 1 ∃m ∈ N: fm − 1 < f < fm + 1 auf [a, b]. fn beschränkt auf [a, b].
Rb
2. An := a fn dx (n ∈ N). Sei ε > 0. ∃n0 ∈ N : fn − ε < f < fn + ε auf [a, b] ∀n ≥ n0 =⇒ für
n ≥ n0 folgt (wie im Beweis von 23.2(1)):
Z b
Z b
Z b
Z b
f xds ≤ - (fn + ε)dx
- (fn − ε)dx ≤ - f dx ≤
a
a
a
|
{z
} | {z } | {z } | a {z
}
=An −ε(b−a)
=:A
=:B
=⇒ |An − A| ≤ ε(b − a), |An − B| ≤ ε(b − a)
∀n ∈ n0 =⇒ An → A, An → B (n → ∞) =⇒ A = B
Rb
=⇒ f ∈ R[a, b] und An → a f dx
=An +ε(b−a)
Beispiel
(
0, x = 0
g(x) =
1, x ∈ (0, 1]
91
23. Das Riemann-Integral
g ist monoton =⇒ g ∈ R[0, 1].


1, x = 0
f (x) = 0, x ∈ [0, 1]\Q

1
p
q , x = q , p, q ∈ N teilerfremd
Übungsblatt: f ∈ R[0, 1]
(
1, x ∈ Q ∩ [0, 1]
(g ◦ f )(x) =
∈
/ R[0, 1]
0, x ∈ [0, 1]\Q
Satz 23.7 (Integration von verketteten Funktionen)
Es sei f ∈ R[a, b], D := f ([a, b]) und h : D → R sei Lipschitzstetig auf D. Dann: h ◦ f ∈
R[a, b]
Beweis
g := h ◦ f . ∃L > 0. |h(t) − h(s)| ≤ L|t − s| ∀t, s ∈ D. O.B.d.A: L > 0. Sei Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z,
mj , Mj , Ij seien wie gehabt. m̃j := inf g(Ij ), M̃j := sup g(Ij ). Seien x, y ∈ Ij , etwa f (x) ≤ f (y):
g(x) − g(y) ≤ |g(x) − g(< y| = |h(f (x)) − h(f (y))| ≤ L|f (x) − f (y)| = L(f (y) − f (x)) ≤
L(M j − mj) =: cj =⇒ g(x) ≤ g(y) + c ∀x, y ∈ Ij =⇒ M̃j ≤ g(y) + cj ∀y ∈ Ij =⇒ M̃j − cj ≤
g(y) ∀y ∈ Ij =⇒ M̃j − cj ≤ m̃j =⇒ M̃j − m̃j ≤ cj = L(Mj − mj ) =⇒ Sg (Z) − sg (Z) =
Pn
Pn
23.3
=⇒ g ∈ R[a, b]
j=1 (Mj − mj )|Ij | = L(Sf (Z) − sf (Z)) ∀z ∈ Z =
j=1 (M̃j − m̃j )|Ij | ≤ L
Satz 23.8 (Weitere Rechenregeln für Integrale)
Es seien f, g ∈ R[a, b].
(1) |f | ∈ R[a, b] und |
Rb
a
f dx| ≤
Rb
a
|f |dx (Dreiecksungleichung für Integrale)
(2) f g ∈ R[a, b]
(3) Ist g(x) 6= 0 ∀x ∈ [a, b] und
1
g
beschränkt auf [a, b] =⇒
1
g
∈ R[a, b]
Beweis
(1) D := f ([a, b]), h(t) := |t| (t ∈ D). Dann: |f | = h ◦ f . Für t, s ∈ D: |h(t) − h(s)| =
§1
23.7
||t| − |s|| ≤ |t − s| ==⇒ |f | ∈ R[a, b]
Rb
Rb
Rb
Rb
±f ≤ |f | auf [a, b]. 23.2 =⇒ ± a f dx ≤ a |f |dx =⇒ | a f dx| ≤ a |f |dx
(2) 1. D := f ([a, b]), h(t) := t2 (t ∈ D). Dann: f 2 = h ◦ f .
∃γ > 0 : |f (x)| ≤ γ ∀x ∈ [a, b] =⇒ |t| < γ ∀t ∈ D Für t, s ∈ D: |h(t) − h(s)| = |t2 − s2 | =
23.7
|t + s||t − s| ≤ (|t| + |s|) · |t − s| ≤ 2γ|t − s| ==⇒ f 2 ∈ R[a, b]
2. f + g, f − g ∈ R[a, b] =⇒ (f + g)2 , (f − g)2 ∈ R[a, b] =⇒ 14 (f + g)2 − (f − g)2 ∈
R[a, b] =⇒ f · g ∈ R[a, b]
(3) D := g([a, b]), h(t) := 1t (t ∈ D). Dann: g1 = h ◦ g.
1
1
∃γ > 0 : |g(x)|
≤ γ ∀x ∈ [a, b] =⇒ |t|
≤ γ ∀t ∈ D. Für t, s ∈ D: |h(t) − h(s)| = | 1t − 1s | =
|t−s|
|t||s|
92
23.7
≤ γ 2 |t − s| ==⇒
1
g
∈ R[a, b]
Satz 23.9 (Aufteilung eines Integrals)
f : [a, b] → R sei beschränkt und c ∈ (a, b). Dann gilt:
f ∈ R[a, b] ⇐⇒ f ∈ R[a, c] und f ∈ R[c, b].
In diesem Fall ist:
b
Z
Z
Z
a
b
f dx
f dx +
f dx =
a
c
c
Beweis
„⇒“: Sei ε > 0. Aus 23.3 folgt: ∃Z1 ∈ Z : Sf (Z1 ) − sf (Z1 ) < ε.
Z := Z1 ∪ {c} ∈ Z. Sei Z = {x0 , . . . , xk , xk+1 , . . . , xn } mit xk = c. Z0 := {x0 , . . . , xk } ist
eine Zerlegung von [a, c]. Mj , mj , Ij seien wie immer. Dann gilt:
Pn
Pk
Sf (Z0 ) − sf (Z0 ) =
j=1 (Mj − mj )|Ij | = Sf (Z) − sf (Z) ≤
j=1 (Mj − mj )|Ij | ≤
23.3
Sf (Z1 ) − sf (Z1 ) < ε ==⇒ f ∈ R[a, c]. Analog: f ∈ R[c, b].
Rb
Rc
„⇐“: S := a f dx + R c f dx. Sei εR > 0 Dann gibt es
R c Zerlegungen Z1 von [a, c] und Z2 von
c
c
[c, b] : sf (Z1 ) = - a f dx − ε = a f dx, sf (Z2 ) > b f dx − ε.
Rb
Z := Z1 ∪ Z2 =⇒ Z ∈ Z und - a f dx ≥ sf (Z) = sf (Z1 ) + sf (Z2 ) > S − 2ε.
Rb
Rb
ε→0+
Also: S − 2ε < - a f dx ∀ε > 0 ===⇒ S ≤ - a f dx.
Rb
Rb
Analog: - a f dx ≤ S =⇒ f ∈ R[a, b], a f dx = S.
Satz 23.10 (Integral und Unstetigkeitsstellen)
f, g : [a, b] → R seien Funktionen.
(1) Ist f beschränkt auf [a, b] und A := {x ∈ [a, b] : f ist in x nicht stetig} endlich, dann
gilt: f ∈ R[a, b].
(2) Ist f ∈ R[a, b] und A := {x ∈ [a, b] : f (x) 6= g(x)} endlich, dann gilt: g ∈ R[a, b] und
Rb
Rb
a gdx = a f dx.
Beweis
(1) ∃γ ≥ 0 : |f (x)| ≤ γ ∀x ∈ [a, b]. Es genügt zu betrachten: A := {t0 } (wegen 23.9). O.B.d.A.:
t0 = a oder t0 = b. Etwa: t0 = a.
Sei ε > 0. Wähle α ∈ (a, b) mit 2γ(α − a) < ε/2.
23.3
f ∈ C[α, b] =⇒ f ∈ R[α, b] ==⇒ Es gibt eine Zerlegung Z1 von [α, b] mit:
Sf (Z1 ) − sf (Z1 ) < ε/2. Z := Z1 ∪ {a} =⇒ Z ∈ Z und es gilt:
93
23. Das Riemann-Integral
Sf (Z) − sf (Z) = sup f ([a, α]) − inf f ([a, α]))(α − 1) + Sf (Z1 ) − sf (Z1 )
|
{z
} |
{z
}
≤2γ
<ε/2
< 2γ(α − a) + ε/2 < ε/2 + ε/2 = ε
(1)
(2) Klar: g ist beschränkt. h := g − f. Dann: h(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]\A =⇒ h ∈ C([a, b]\A) =⇒
h ∈ R[a, b] =⇒ g = h + f ∈ R[a, b].
Rb
Rb
Rb
Noch zu zeigen: a hdx = 0. ϕ := |h|. Aus 23.8 folgt: ϕ ∈ R[a, b] und | a hdx| ≤ a ϕdx.
Sei Z := {x0 , . . . , xn } ∈ Z, mj := inf ϕ(Ij ), ϕ(x) = 0 ∀x ∈ [a, b]\A, ϕ(x) > 0 ∀x ∈ A =⇒
Rb
Rb
Rb
mj = 0 (j = 1, . . . , n) =⇒ sf (Z) = 0 =⇒ - a ϕdx = a ϕdx = 0 =⇒ a hdx = 0.
Satz 23.11 (Mittelwertsatz der Integralrechnung)
Es seien f, g ∈ R[a, b], g ≥ 0 (oder g ≤ 0) auf [a, b], m := inf f ([a, b]), M := sup f ([a, b])
(1) ∃µ ∈ [m, M ] :
Rb
a
f gdx = µ
Rb
a
gdx
(2) Ist f ∈ C[a, b] =⇒ ∃ξ ∈ [a, b] :
Rb
a
f dx = f (ξ)(b − a)
Beweis R
Rb
b
(1) α := a gdx, β := a f gdx. m ≤ f ≤ M auf [a, b] =⇒ mg ≤ f g ≤ M g auf [a, b] =⇒
mα ≤ β ≤ M α.
Es ist α ≥ 0. O.B.d.A.: α > 0. Dann gilt: m ≤
(2) Setze in (1) g ≡ 1 =⇒
f (ξ).
Rb
a
β
α
≤ M, µ := αβ .
f dx = µ(b − a) (µ ∈ [m, M ]). Aus 18.1 folgt: ∃ξ ∈ [a, b] : µ =
Der Riemannsche Zugang zum Integral Bemerkung: Wir haben bisher tatsächlich die Darbouxschen Integrale betrachtet. Hier wird nun die ursprüngliche Definition von Riemann vorgestellt.
f : [a, b] → R sei beschränkt. Sei Z := {x0 , . . . , xn } ∈ Z. mj , Mj , Ij seien wie immer.
Wählt man in jedem Ij einen P
Punkt ξj , so heißt ξ := (ξ1 , ξ2 , . . . , ξn ) ein zu Z passender Zwischenvektor und σf (Z, ξ) := nj=1 f (ξj )|Ij | eine Riemannsche Zwischensumme.
mj ≤ f (ξj ) ≤ Mj (j = 1, . . . , n) =⇒ sf (Z) ≤ σf (Z, ξ) ≤ Sf (Z)
Satz 23.12 (Äquivalenz der Riemannschen und Darbouxschen Integrale)
f : [a, b] → R sei beschränkt. Dann gilt: f ∈ R[a, b] genau dann, wenn es ein S ∈ R gibt
mit:
∀ε > 0 ∃Z ∈ Z : |σf (Z, ξ) − S| < ε für jedes zu Z passende ξ. (∗)
94
In diesem Fall gilt:
Z
S=
b
f dx.
a
Beweis R
b
„⇒“: S := a f dx. Sei ε > 0. Wie im Beweis von 23.3: ∃Z ∈ Z : sf (Z) > S − ε, Sf (Z) < S + ε.
Sei ξ passend zu Z =⇒ S−ε < sf (Z) ≤ σf (Z, ξ) ≤ Sf (Z) < S+ε =⇒ |σf (Z, ξ)−S| < ε.
„⇐“: Sei ε > 0. Nach Voraussetzung gibt es ein Z ∈ Z so, dass (∗) gilt. Sei Z := {x0 , . . . , xn }, mj , Mj , Ij
wie immer. Sei j ∈ {1, . . . , n} : ∃ξj , ηj ∈ Ij : f (ξj ) > Mj − ε, f (ηj ) < mj + ε, ξ :=
(ξ1 , . . . , ξn ), η = (η1 , . . . , ηn ) sind passend zu Z.
P
P
A := σf (Z, ξ), B := σf (Z, η). A = nj=1 f (ξj )|Ij | > nj=1 (Mj − ε)|Ij | = Sf (Z) − ε(b −
a) =⇒ Sf (Z) < A + ε(b − a). (i)
Analog: −sf (Z) < ε(b − a) − B. (ii)
Dann gilt: Sf (Z) − sf (Z) < A − B + 2ε(b − a) = A − S + S − B + 2ε(b − a) ≤ |A − S| +
(∗)
23.3
|B − S| + 2ε(b − a) < 2ε + 2ε(b − a) = ε(2 + 2(b − a)) ==⇒ f ∈ R[a, b].
(i)
(∗)
Rb
f dx = - a f dx ≤ Sf (Z) < A + ε(b − a) = A − S + S + ε(b − a) ≤ |A − S| + S + ε(b − a) <
ε + S + ε(b − a).
Rb
a
Rb
Rb
ε→0+
Also: a f dx < S + ε(1 + (b − a)) ∀ε > 0 ===⇒ a f dx ≤ S. Analog folgt mit (ii):
Rb
S ≤ a f dx.
Definition
Rb
Ra
Rc
Sei f ∈ R[a, b]. c f (x)dx := 0 und b f (x)dx =: − a f (x)dx
Bemerkung:
Rb
a
f (x)dx =
Rb
a
f (t)dt.
Satz 23.13 (2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung)
Rx
Sei f ∈ R[a, b] und F : [a, b] → R sei definiert durch F (x) := a f (t)dt.
(1) F ist auf [a, b] Lipschitzstetig, insbesondere F ∈ C[a, b]
(2) Ist f in x0 ∈ [a, b] stetig =⇒ F ist in x0 differenzierbar und F 0 (x0 ) = f (x0 )
(3) Ist f ∈ C[a, b] =⇒ F ∈ C 1 [a, b] und F 0 = f auf [a, b]
Beweis
Ry
23.9
(1) L
:=
sup{|f
(x)|
:
x
∈
[a,
b]}.
Sei
x,
y
∈
[a,
b],
etwa
x
≤
y.
F
(y)
=
=
a f (t)dt
Rx
Ry
Ry
Ry
a f (t)dt + x f (t)dt = F (x) + x f (t)dt =⇒ F (y) − F (x) = x f (t)dt =⇒ |F (y) −
23.8 R y
Ry
Ry
F (x)| = | x f (t)dt| ≤ x |f (t)| dt ≤ x Ldt = L(y − x) = L|y − x|
| {z }
≤L
95
23. Das Riemann-Integral
F (x0 + h) − F (x0 )
= f (x0 ) (analog zeigt man für
h
F (x0 + h) − F (x0 )
x0 ∈ (a, b] : lim
= f (x0 )) Sei also x0 ∈ [a, b), h > 0 und x0 + h < b.
h→0−
h
(x0 ) s.o.
(x0 )
=
− f (x0 )|. Zu zeigen: g(h) → 0 (h → 0+). Es ist F (x0 +h)−F
g(h) := | F (x0 +h)−F
h
h
R
R
R
x0 +h
1 x0 +h
1 x0 +h
1
1
f (t)dt, h x0
f (x0 )dt = h f (x0 )h = f (x0 ) =⇒ g(h) = h | x0 (f (t) −
h x0
23.8
R
x +h
f (x0 ))dt| ≤ h1 x00 |f (t) − f (x0 )|dt; s(h) := sup{|f (t) − f (x0 )| : t ∈ [x0 , x0 + h]} =⇒
R x +h
g(h) ≤ h1 x00 s(h)dt = h1 s(h)h = s(h). Also: 0 ≤ g(h) ≤ s(h). f stetig in x0 =⇒
f (t) → f (x0 ) (t → x0 ) =⇒ s(h) → 0 (h → 0+) =⇒ g(h) → 0 (h → 0+) =⇒ (∗)
(2) Sei x0 ∈ [a, b). Wir zeigen: (∗) lim
h→0+
(3) folgt aus (2)
Satz 23.14 (Anwendung des 2. Hauptsatzes auf stetige Funktionen)
Sei J ⊆ R
R xein beliebiges Intervall, f ∈ C(J) und ξ ∈ J (fest). F : J → R sei definiert durch
F (x) := ξ f (t)dt. Dann ist F ∈ C 1 (J) und F 0 = f auf J.
Beweis
Seien a, b ∈ J, a R< b und I := [a, b]. Es genügt zu zeigen: F ist differenzierbar auf I und F 0 = f
x
auf I. G(x) := a f (t)dt (x ∈ I). Sei ξ ≤ a (analoger Beweis für ξ ≥ b und ξ ∈ (a, b). Für
Rx
Ra
Rx
23.13
x ∈ [a, b] : F (x) = ξ · · · = ξ · · · + a · · · = F (a) + G(x) ===⇒ F ist differenzierbar auf I
und F 0 = G0 = f auf I.
Definition
Im folgenden seien I, J ⊆ R beliebige Intervalle.
(1) Sei g : I → R und x0 ∈ I. g(x)|x=x0 := g(x0 ).
Rb
(2) Ist f ∈ R[a, b], so heißt a f (x)dx auch ein bestimmtes Integral.
(3) RBesitzt G : I → R auf I eine Stammfunktion, so schreibt Rman für eine solche auch
g(x)dx (unbestimmtes Integral).
Form g(x)dx
= h(x) gelten bis
R "Gleichungen"der
R x
R
x
x
x
auf additive Konstanten! Beispiel: e dx = e , e dx = e + 7. g(x)dx = h(x) auf I
bedeutet: h ist eine Stammfunktion von g auf I.
Satz 23.15 (Partielle Integration)
(1) Es seien f, g ∈ R[a, b] und F, G seien Stammfunktionen von f bzw. g auf [a, b]. Dann:
b
Z
F gdx = F (x)G(x)|ba −
b
Z
f Gdx
a
a
(2) Sind f, g ∈ C 1 [a, b] =⇒
Z
a
96
b
f 0 gdx = f (x)g(x)|ba −
Z
a
b
f g 0 dx
(3) Sind f, g ∈ C 1 (I) =⇒ auf I gilt:
Z
Z
0
f gdx = f (x)g(x) − f g 0 dx
Beweis
Rb
Rb
Rb
23.5
(1) (F G)0 = F 0 G + F G0 = f G + F g =⇒ a F gdx + a f Gdx = a (F G)0 dx = F (x)G(x)|ba
(2) folgt aus (1)
R
(3) (f g)0 = f 0 g + f g 0 =⇒ f g = (f 0 g + f g 0 )dx
Beispiele:
R
R
R
(1) log xdx = |{z}
1 log x dx = x log x − x x1 dx = x log x − x auf (0, ∞).
| {z }
f0
sin2 xdx =
g
R
R
sin
x sin
x dx = − cos x sin x− − cos2 xdx = − cos x sin x+ (1−sin2 x)dx =
|{z}
|{z}
f0
R g 2
− cos x sin x + x − sin xdx
R
=⇒ sin2 dx = 12 (x − cos x sin x) auf R.
R
R
(3) |{z}
x |{z}
ex dx = 21 x2 ex − 21 x2 ex dx komplizierter!
0
g
R f
R x
x
x
x
x
x
e
|{z} |{z} = xe − e dx = xe − e
(2)
R
f
R
g0
Satz 23.16 (Substitutionsregeln)
Sei f ∈ C(I) und g ∈ C 1 (J) und g(J) ⊆ I.
(1) Ist J = [α, β] =⇒
Z
β
f (g(t))g 0 (t)dt =
α
Z
g(β)
f (t)dt
g(α)
(2) Auf J gilt:
Z
f (g(t))g 0 (t)dt =
Z
f (x)dx|x=g(t)
(3) g sei auf J streng monoton =⇒ auf I gilt:
Z
Z
f (x)dx = f (g(t))g 0 (t)dt|t=g−1 (x)
.
Merkregel
dy
Ist y = y(x) differenzierbar, so schreibt man für y 0 auch dx
. In 23.16 substituiere x = g(t) (fasse
„
=⇒
dx
=
g 0 (t)dt“.
also x als Funktion von t auf) =⇒ g 0 (t) = dx
dt
97
23. Das Riemann-Integral
Beweis
(2) Sei F eine Stammfunktion von f auf I. G(t) := F (g(t)) (t ∈ J). G0 (t) = F 0 (g(t))g 0 (t) =
f (g(t))g 0 (t) (t ∈ J) =⇒ G ist eine Stammfunktion von (f ◦ g)g 0 auf J =⇒ (2)
(1)
Rβ
(3)
R
α
23.5
23.5
f (g(t))g 0 (t)dt = G(β) − G(α) = F (g(β)) − F (g(α)) =
R g(β)
g(α)
f (x)dx.
f (g(t))g 0 (t)dt|t=g−1 (x) = G(g −1 (x)) = F (g(g −1 (x))) = F (x)
Beispiele:
R1√
(1) 0 1 − x2 dx (Substitution x = sin t, t = 0 =⇒ x = 0, t = π2 =⇒ x = 1, dx = cos tdt).
R π2
Rπ
Rπp
R π2
R1√
2
2 tdt = 2 (1−sin2 t)dt =
2 dx = 2
|
cos
t|
cos
tdt
=
cos
1
−
x
1
−
sin
t
cos
tdt
=
0
0
0
0
0
π
t − 21 (t − cos t sin t)|02 = π4 .
R 1
t
(2) x log
x dx (Substitution x = e , t = log x, dt =
log(log(x)) auf (1, ∞).
Definition
(1) Seien p und q Polynome und q 6= 0. Dann heißt
p
q
1
x dx).
R
1
x log x
=
R
1
t dt
= log t =
eine rationale Funktion.
p
q
hat eine Darstellung der Form pq = p1 + pq2 , wobei p1 , p2 Polynome und
chen rational, d.h.: Grad p2 < Grad q.
p2
q
echt gebro-
(2) Seien b, c ∈ R. Dann heißt das Polynom x2 + bx + c unzerlegbar über R : ⇐⇒ 4c − b2 >
0 ( ⇐⇒ x2 + bx + c 6= 0 ∀x ∈ R)
(3) Ein Partialbruch ist eine rationale Funktion der Form
A
(x − x0 )k
wobei A, x0 ∈ R, k ∈ N, oder
(x2
Ax + B
+ bx + c)k
wobei A, B, b, c ∈ R, k ∈ N und x2 + bx + c unzerlegbar über R.
Satz 23.17 (Integration von rationalen Funktionen)
Es seien b, c, x0 ∈ R, m ∈ N, m > 1, p(x) := x2 + bx + c und D := 4c − b2 > 0
Z
1
(1)
dx = log |x − x0 |
x − x0
Z
1
1
−1
dx =
·
(2)
(x − x0 )m
m − 1 (x − x0 )m−1
Z
1
2
2x + b
√
√
(3)
dx =
arctan
p(x)
D
D
Z
Z
1
1
2x + b
4m − 6
1
(4)
dx
=
·
+
dx
p(x)m
(m − 1)D p(x)m−1 (m − 1)D
p(x)m−1
Z
Z
x
1
b
1
dx = log (p(x)) −
dx
(5)
p(x)
2
2
p(x)
98
−1
1
b
x
dx =
·
−
m
m−1
p(x)
2(m − 1) p(x)
2
Z
(6)
Z
1
dx
p(x)m
Beweis
(1) klar
(2) klar
(3) p(x) = x2 + bx + c = x2 + bx +
D 2x+b
2
√
4 (( D )
=⇒
√2
D
R
+ 1) =
1
p(x) dx
arctan t =
D 2
4 (t
b2
4
+ 1), wobei t =
= (Substitution t =
√2
D
+c−
b2
4
2x+b
√ ,
D
2x+b
√ ,
D
= (x + 2b )2 +
√
also x =
D 4
4 ( D (x
=
+ 2b )2 + 1) =
Dt−b
2
√
dx =
D
4
D
4
2 dt) D
R
1
t2 +1
√
·
D
2 dt
=
√2
D
R
1
dt
1+t2
=
√ )
arctan( 2x+b
D
(4) Übung, partielle Integration
(5)
R
x
p(x) dx
=
1
2
R
2x+b−b
p(x) dx
=
1
2
R p0 (x)
R
dx − 2b
p(x)
| {z }
1
p(x) dx
log(p(x))
(6) Übung, partielle Integration
Definition
(1) Sei Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z, Ij = [xj−1 , xj ] (j = 1, . . . , n)
|Z| := max{|Ij | : j = 1, . . . , n} heißt das Feinheitsmaß von Z.
(2) Z∗ := {(Z, ξ) : Z ∈ Z, ξ ist passend zu Z}. Eine Folge ((Zn , ξ (n) )) in Z∗ heißt eine
Nullfolge : ⇐⇒ |Zn | → 0 (n → ∞)
Satz 23.18 (Folgen von Zerlegungen mit |Zn | → 0)
f : [a, b] → R sei beschränkt; sei γ ≥ 0 mit: |f (x)| ≤ γ ∀x ∈ [a, b].
(1) Sind Z1 , Z2 ∈ Z und Z1 ⊆ Z2 und enthält Z2 genau p Teilpunkte mehr als Z1 , dann
gilt:
sf (Z2 ) ≤ sf (Z1 ) + 2pγ|Z1 | und
Sf (Z2 ) ≥ Sf (Z1 ) − 2pγ|Z1 |.
(2) ∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀Z ∈ Z mit |Z| < δ:
Z b
Z b
sf (Z) > - f dx − ε, Sf (Z) < - f dx + ε.
a
a
(3) Ist (Zn ) eine Folge in Z mit |Zn | → 0, dann gilt:
Z b
Z b
sf (Zn ) → - f dx, Sf (Zn ) → - f dx.
a
a
99
23. Das Riemann-Integral
Beweis
(1) Übung, es genügt den Fall p = 1 zu betrachten.
Rb
(2) Beweis nur für Untersummen. Sei ε > 0. ∃Z1 ∈ Z : sf (Z1 ) > - a f dx − 2ε ; Z1 habe p
ε
Teilpunkte. δ := 4γp
.
Sei Z ∈ Z und |Z| < δ. Z2 := Z ∪ Z1 ∈ Z; Z2 hat höchstens p Teilpunkte mehr als
Rb
Z =⇒ sf (Z) = sf (Z) − sf (Z2 ) + sf (Z2 ) > −2pγ|Z| + sf (Z1 ) > − 2γpδ + - a f dx − 2ε =
| {z }
|
{z
} | {z }
> −2pγ|Z|
= 2ε
≥sf (Z1 )
(1)
Rb
- a f dx − ε.
Rb
(3) Nur für Untersummen. A := - a f dx, sn := sf (Zn ). Sei ε > 0. Aus (2) folgt dann: ∃δ > 0 :
sf (Z) > A − ε ∀Z ∈ Z mit |Z| < δ. ∃n0 ∈ N : |Zn | < δ ∀n ≥ n0 . Also: sn → A (n → ∞).
Beispiel
an :=
n √
X
j
2
. Behauptung : an →
3/2
3
n
j=1
Beweis
an =
n
X
j=1
r
√
j 1
, f (x) = x, x ∈ [0, 1].
n n
|{z}
j
)
=f ( n
Zn = {0, n1 , . . . , nn } =⇒ an = Sf (Zn )
R 1√
R1√
xdx = 0 xdx =
0
23.18(3)
n→∞
→
2
3
Satz 23.19 (Riemannsche Definition des Integrals mit Nullfolgen)
f : [a, b] → R sei beschränkt. f ∈ R[a, b] ⇐⇒ ∃S ∈ R : σf (Zn , ξ (n) ) → S (n → ∞) für jede
Rb
Nullfolge ((Zn , ξ (n) ))inZ∗ . In diesem Fall gilt: S = a f dx.
Beweis R
b
„⇒“: S := a f dx. Sei ((Zn , ξ (n) )) ∈ Z∗ eine Nullfolge. Dann:
sf (Zn ) ≤ σf (Zn , ξ (n) ) ≤ Sf (Zn ) ∀n ∈ N.
| {z }
| {z }
23.18
→ S
23.18
→ S
=⇒ σf (Zn , ξ (n) ) → S (n → ∞).
„⇐“: Sei ε > 0 und (Zn ) eine Folge in Z mit |Zn | → 0. Wie im Beweis von 23.12: ∀n ∈
N ∃ξ (n) , η (n) passend zu Zn mit:
Sf (Zn ) − ε < σf (Zn , ξ (n) ); σ(Zn , η (n) ) < sf (Zn ) + ε
Rb
Rb
ε→0+ R b
Aus 23.18(3) folgt für n → ∞ : - a f dx − ε ≤ S ≤ - a f dx + ε ∀ε > 0 ===⇒ - a f dx ≤
Rb
Rb
S ≤ - a f dx =⇒ f ∈ R[a, b] und a f dx = S.
100
Beispiel
Bemerkung: Dies ist ein Beispiel zum nächsten Satz, nicht zum vorherigen.
fn (x) =
1
n
sin(nx) (n ∈ N, x ∈ [0, π]); |fn (x)| = n1 | sin(nx)| ≤
1
n
∀x ∈ [0, π].
=⇒ (fn ) konvergiert gleichmäßig auf [0, π] gegen f ≡ 0.
fn0 (x) = cos(nx), fn0 (π) = cos(nπ) = (−1)n . Das heißt: (fn0 ) konvergiert auf [0, π] nicht punktweise.
Satz 23.20 (Gleichmäßige Konvergenz der Stammfunktion)
(fn ) sei eine Folge in C 1 [a, b], x0 ∈ [a, b] und es gelte:
(i) (fn (x0 )) konvergiert
(ii) (fn0 ) konvergiert gleichmäßig auf [a, b] gegen g : [a, b] → R.
Dann konvergiert (fn ) gleichmäßig auf [a, b] und für f (x) := limn→∞ fn (x) (x ∈ [a, b]) gilt:
f ∈ C 1 [a, b] und f 0 = g auf [a, b].
Also: (limn→∞ fn (x))0 = f 0 (x) = g(x) = limn→∞ fn0 (x) ∀x ∈ [a, b].
Beweis
Rx
O.B.d.A.: x0 = a und fn (a) → 0 (n → ∞). f (x) := a g(t)dt (x ∈ [a, b]). Aus 19.2 folgt:
g ∈ C[a, b].
Damit wegen 23.13: f ∈ C 1 [a, b] und f 0 = g auf [a, b].
23.5
Sei x ∈ [a, b] : fn (x) − fn (a) =
| {z }
Rx
a
23.6
fn0 (t)dt →
Rx
a
g(t)dt = f (x).
→0
=⇒ (fn ) konvergiert punktweise gegen f .
Für x ∈ [a, b] : |fn (x) − f (x)| = |fn (x) − fn (a) − f (x) + fn (a)| = |
Rb 0
Rx 0
a |fn − g|dt + |fn (a)| ≤ a |fn − g|dt + |fn (a)| =: cn
Rx
a
(fn0 (t) − g(t))dt + fn (a)| ≤
Wegen Voraussetzung (ii) konvergiert (|fn0 − g|) auf [a, b] gleichmäßig gegen 0. Wegen 23.6 folgt
Rb
damit: a |fn0 − g|dt → 0 (n → ∞) =⇒ cn → 0 (n → ∞) =⇒ (fn ) konvergiert gleichmäßig
auf [a, b] gegen f .
Wir können nun den Satz 21.9 beweisen.
Beweis
P
P
P
k−1
Sei a < b und [a, b] ⊆ I. fn (x) := nk=0 ak xk , fn0 (x) = nk=1 kak xk−1 , g(x) := ∞
k=1 kak x
Aus 19.1 folgt: (fn ) und (fn0 ) konvergieren auf [a, b] gleichmäßig gegen f bzw. g. Wegen unserem
neuen Satz 23.20 nun ist f auf [a, b] differenzierbar und f 0 = g auf [a, b]. [a, b] ⊆ I beliebig =⇒
Beh.
101
24. Uneigentliche Integrale
In diesem Paragraphen gelte stets: Ist I ⊆ R ein Intervall und ϕ : I → R eine Funktion, so gelte
ϕ ∈ R[a, b] für jedes Intervall [a, b] ⊆ I.
(I) 1. Typ uneigentlicher Integrale
Sei a ∈ R, β ∈ R ∪ {∞}, a < β und f : [a, β) → R. ExisRt
tiert der Grenzwert limt→β a f (x)dx und ist dieser Grenzwert reell, so heißt das uneigentliche
Rβ
Rβ
Rt
Rβ
Integral a f (x)dx konvergent und a f (x)dx := limt→β a f (x)dx. Ist das Integral a f dx
nicht konvergent, so heißt es divergent.
Beispiele:
(1)
Z 1
1
√
dx (a = 0, β = 1)
1 − x2
0
Rt 1
Für t ∈ (0, 1) : 0 √1−x
dx = arcsin |t0 = arcsin t →
2
konvergiert und hat den Wert π2 .
(2)
Z
∞
0
∞
1
(t → 1). Das heißt:
R1
0
√ 1
dx
1−x2
1
dx (a = 0, β = ∞)
1 + x2
Rt 1
t
Für t > 0 : 0 1+x
2 dx = arctan x|0 = arctan t →
π
und hat den Wert 2 .
(3) (wichtig) Sei α > 0. Übung:
Z
π
2
π
2
(t → ∞). Also:
R∞
0
1
dx
1+x2
konvergiert
1
dx konvergiert ⇐⇒ α > 1
xα
(II) 2. Typ uneigentlicher Integrale Sei α ∈ R ∪ {−∞}, a ∈ R, α < a und f : (α, a] → R
eine Funktion. Entsprechend
die Konvergenz bzw. Divergenz des
R a zum 1. Typ definiert Rman
a
uneigentlichen Integrals α f (x)dx (nämlich limt→α t f (x)dx).
Beispiele:
(1)
Z
0
−∞
Für t < 0 :
R0
1
t 1+x2 dx
1
dx
1 + x2
= arctan x|0t = − arctan t = arctan(−t) →
(2) (wichtig) Sei α > 0. Übung:
Z
0
1
π
2
(t → −∞)
1
dx konvergiert ⇐⇒ α < 1
xα
103
24. Uneigentliche Integrale
(III) 3. Typ uneigentlicher Integrale Sei α ∈ R ∪ {−∞}, β ∈ R ∪ {−∞}, α < β und
Rβ
f : (α, β) → R eine Funktion. Das uneigentliche Integral α f (x)dx ist konvergent, genau
Rc
Rβ
dann wenn es ein c ∈ (α, β) gibt mit: α f (x)dx konvergiert und c f (x)dx konvergiert. In
Rβ
Rc
Rβ
diesem Fall gilt: α f dx := α f dx + c f dx (Übung: diese Definition ist unabhängig von c)
Beispiele:
R∞ 1
(1) −∞ 1+x
2 dx konvergiert und hat den Wert π.
(2)
R∞
0
1
dx
x2
divergiert, denn
R1
1
0 x2 dx
divergiert.
Das Folgende formulieren wir nur für den Typ (I) (sinngemäß gilt alles auch für Typ (II), (III)):
Definition
Rβ
Rβ
a f dx heißt absolut konvergent : ⇐⇒ a |f |dx ist konvergent.
Satz
Sei g : [a, β) → R eine weitere Funktion.
(1)
Rβ
a
f dx konvergiert ⇐⇒ ∃c ∈ (a, β) :
In diesem Fall gilt:
Rβ
a
f dx =
Rc
a
Rβ
c
f dx +
f dx konvergiert.
Rβ
c
f dx.
Rv
Rβ
(2) Cauchykriterium: a f dx konvergiert ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃c = c(ε) ∈ (a, β) : | u f dx| <
ε ∀u, v ∈ (c, β)
Rβ
Rβ
Rβ
Rβ
Rβ
(3) Ist a f dx absolut konvergent, dann gilt: a f dx < a |f |dx und | a f dx| < a |f |dx.
(4) Majorantenkriterium: Ist |f | ≤ g auf [a, β) und
Rβ
a f dx absolut.
Rβ
a
(5) Minorantenkriterium: Ist f ≥ g ≥ 0 auf [a, β) und
Rβ
a f dx.
Beispiele:
R∞ x
(1) 1
dx, g(x) := x1 .
1 + x2
| {z }
f (x)
g(x)
=
x2
1+x2
gdx konvergent, dann konvergiert
Rβ
a
gdx divergent, dann divergiert
→ 1 (x → ∞).
=:f (x)
(x)
1
∀x ≥ c.
=⇒ ∃c ∈ (1, ∞) : fg(x)
≥ 21 ∀x ≥ c =⇒ f (x) ≥ 2x
R∞
R∞
=⇒ c f (x)dx divergiert =⇒ 1 f (x)dx divergiert.
R1
R1
(2) f (x) = √1x . 0 f (x)dx konvergiert, 0 f 2 (x)dx divergiert.
104
R∞
c
1
2x dx
divergiert
25. Funktionen von beschränkter Variation
Definition
P
Sei f : [a, b] → R und Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z. Vf (Z) := nj=1 |f (xj ) − f (xj−1 )| ist die Variation
von f bezüglich Z.
Beachte: Sind Z1 , Z2 ∈ Z und Z1 ⊆ Z2 =⇒ Vf (Z1 ) ≤ Vf (Z2 ). Mf = {Vf (Z) : Z ∈ Z}. f heißt
von beschränkter Variation, in Zeichen: f ∈ BV[a, b] : ⇐⇒ Mf ist nach oben beschränkt.
In diesem Fall heißt Vf [a, b] := sup Mf die Totalvariation von f (auf [a, b]).
Beispiel
(
x cos πx , x ∈ (0, 1]
f (x) :=
0,
x=0
1
1
1
}. Nachrechnen: Vf (Zn ) → ∞ (n →
, n−2
, . . . , n−(n−1)
f ∈ C[0, 1]. Sei n ∈ N. Zn := {0, n1 , n−1
∞). Also: f ∈
/ BV[0, 1].
Hilfssatz
Sei f : [a, b] → R differenzierbar auf [a, b] und f 0 sei auf [a, b] beschränkt. Dann ist f auf [a, b]
Lipschitzstetig.
Beweis
L := sup{|f 0 (x)| : x ∈ [a, b]}. Sei x, y ∈ [a, b], etwa x ≤ y. |f (x) − f (y)| = |f 0 (ξ)(x − y)| =
|f 0 (ξ)||x − y| ≤ L|x − y|, ξ ∈ [x, y].
Satz 25.1 (Varianzeigenschaften)
(1) Ist f ∈ BV[a, b] =⇒ f ist beschränkt auf [a, b].
(2) Ist f auf [a, b] Lipschitzstetig =⇒ f ∈ BV[a, b].
(3) Ist f differenzierbar auf [a, b] und f 0 beschränkt auf [a, b] =⇒ f ∈ BV[a, b]
(4) C 1 [a, b] ⊆ BV[a, b]
(5) Ist f monoton auf [a, b] =⇒ f ∈ BV[a, b] und Vf [a, b] = |f (b) − f (a)|
(6) BV[a, b] ist ein reeller Vektorraum
(7) Ist c ∈ (a, b), so gilt: f ∈ BV[a, b] ⇐⇒ f ∈ BV[a, c] und f ∈ BV[c, b]. In diesem Fall:
Vf [a, b] = Vf [a, c] + Vf [c, b].
Beweis
(1) Sei x ∈ [a, b] (beliebig, fest). Z := {a, x, b}, Vf (Z) = |f (x) − f (a)| + |f (b) − f (x)| ≤
Vf [a, b] =⇒ |f (x)| = |f (x) − f (a) + f (a)| ≤ |f (x) − f (a)| + |f (a)| ≤ Vf (Z) + |f (a)| ≤
Vf [a, b] + |f (a)|
105
25. Funktionen von beschränkter Variation
(2) ∃ L ≥ 0 : |fP
(x) − f (y)| ≤ L|x − y| ∀x,
Pny ∈ [a, b]. Sei Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z.
n
f (xj−1 )| ≤ j=1 L|xj − xj−1 | = L j=1 (xj − xj−1 ) = L(b − a)
Pn
j=1 |f (xj )
−
(3) folgt aus (2) und dem Hilfssatz
(4) folgt aus (3)
(5) fPsei wachsend auf [a, b]. Sei Z = {x0 , . . . , xn } ∈ Z. Vf (Z) =
n
j=1 f (xj ) − f (xj−1 ) = f (b) − f (a) = |f (b) − f (a)|
Pn
j=1 |f (xj )
− f (xj−1 )| =
(6) Übung.
(7) I := [a, b], I1 := [a, c], I2 := [c, b].
„⇒“: Sei Z1 eine Zerlegung von I1 und Z2 eine Zerlegung von I2 . Z := Z1 ∪Z2 =⇒ Z ∈ Z
und Vf (Z1 ), Vf (Z2 ) ≤ Vf (Z1 ) + Vf (Z2 ) = Vf (Z) ≤ Vf [a, b] =⇒ f ∈ BV(I1 ) und
f ∈ BV(I2 ) und Vf (I1 ) + Vf (I2 ) ≤ Vf [a, b]
„⇐“: Sei Z ∈ Z, Z̃ := Z ∪ {c}, Z1 := Z̃ ∩ I1 , Z2 := Z̃ ∩ I2 . Z1 und Z2 sind Zerlegungen von
s.o.
I1 bzw. I2 und Vf (Z) ≤ Vf (Z̃) = Vf (Z1 )+Vf (Z2 ) ≤ Vf (I1 )+Vf (I2 ) =⇒ f ∈ BV[I]
und Vf (I) ≤ Vf (I1 ) + Vf (I2 ).
Satz 25.2 (Eigenschaften Funktion von beschränkter Varianz)
(1) f ∈ BV[a, b] ⇐⇒ ∃ f1 , f2 : [a, b] → R mit: f1 , f2 sind wachsend auf [a, b] und
f = f1 − f2 .
(2) BV[a, b] ⊆ R[a, b].
(3) Ist f ∈ C 1 [a, b] =⇒ Vf [a, b] =
Rb
a
|f 0 |dx.
Beweis
(3) später in allgemeiner Form (Analysis II, §12 od. §13)
(2) folgt aus (1) und 23.4
(1) „⇒“: Vf [a, a] := 0, f1 (x) := Vf ([a, x]) (x ∈ [a, b]), f2 := f1 − f . Dann: f = f1 − f2 . Seien
c,d ∈ [a, b] und c < d. f1 (d) = Vf [a, d]
25.1(7)
=
Vf [a, c] + Vf [c, d] = f1 (c) + Vf [c, d] ≥
| {z }
≥0
f1 (c) =⇒ f1 ist wachsend. f (d) − f (c) ≤ |f (d) − f (c)| = Vf (Z̃) (wobei Z̃ = {c, d})
≤ Vf [c, d] = f1 (d) − f1 (c) =⇒ f2 (d) − f2 (c) ≥ 0 =⇒ f2 ist wachsend.
„⇐“: 25.1(5), (6)
106
26. Das Riemann-Stieltjes-Integral
Stets in diesem Paragraphen: f, g : [a, b] → R beschränkt. RS := Riemann-Stieltjes.
Definition
(1) Sei (Z, ξ) ∈ Z∗ .
σf (Z, ξ, g) :=
n
X
f (ξj )(g(xj ) − g(xj−1 ))
j=1
heißt eine Riemann-Stieltjes-Summe.
(2) f heißt Riemann-Stieltjes-integrierbar bzgl. g über [a, b] : ⇐⇒ ∃S ∈ R : σf (Zn , ξ (n) , g) →
S (n → ∞) für jede Nullfolge ((Zn , ξ (n) )) ∈ Z∗ .
Rb
Rb
In diesem Fall heißt a f dg := a f (x)dg(x) := S das Riemann-Stieltjes-Integral von
f bzgl. g und wir schreiben f ∈ Rg [a, b]. g heißt auch Integrator(funktion).
Beispiele:
Rb
Rb
(1) Ist g(x) = x, so ist Rg [a, b] = R[a, b] und a f dg = a f dx.
(2) Ist g auf [a, b] konstant =⇒ f ∈ Rg [a, b] und
Rb
a
f dg = 0.
(3) Sei τ ∈ (a, b).
(
0, x ∈ [a, τ )
g(x) =
1, x ∈ [τ, b]
Sei (Z, ξ) ∈ Z∗ , Z = {x0 , . . . , xn }, ξ = (ξ1 , . . . , ξn ). Es existiert genau ein j0 mit τ ∈
(xj0 −1 , xj0 ].
P
σf (Z, ξ, g) = nj=1 f (ξj )(g(xj ) − g(xj−1 )) = f (ξj0 )(g(xj0 ) − g(xj0 −1 )) = f (ξj0 ).
Ist f stetig in τ =⇒ f ∈ Rg [a, b] und
Rb
a
f dg = f (τ ).
Satz 26.1
(1) Rg [a, b] ist ein reeller Vektorraum und die Abbildung
Z
f 7→
b
f dg
a
ist linear.
(2) Sei h : [a, b] → R eine weitere beschränkte Funktion, α, β ∈ R, f ∈ Rg [a, b] und
Rb
Rb
Rb
f ∈ Rh [a, b]. Dann gilt: f ∈ Rαg+βh [a, b] und a f d(αg + βh) = α a f dg + β a f dh.
107
26. Das Riemann-Stieltjes-Integral
(3) Sei c ∈ (a, b) und f ∈ Rg [a, b] =⇒ f ∈ Rg [a, c], f ∈ Rg [c, b] und
Rb
c f dg.
Rb
a
f dg =
Rc
a
f dg +
Beweis
Übung.
Bemerkung zu 26.1(3): Ist f ∈ Rg [a, c] und f ∈ Rg [c, b], so gilt i.A. nicht: f ∈ Rg [a, b] (Beispiel:
Übungen).
Satz 26.2 (Partielle Integration)
Ist f ∈ Rg [a, b] =⇒ g ∈ Rf [a, b] und
Z
b
f dg =
f (x)g(x)|ba
Z
−
a
b
gdf.
a
Beweis
Sei (Z, ξ) ∈ Z∗ , Z = {x0 , . . . , xn }, ξ = (ξ1 , . . . , ξn ), ξ0 := a, ξn+1 := b.
Nachrechnen: σg (Z, ξ, f ) =
f (x)g(x)|ba −
|
{z
=:c
}
n
X
f (xj )(g(ξj+1 ) − g(ξj ))
j=0
{z
|
=:A
}
Die verschiedenen unter den Punkten ξ0 , . . . , ξn+1 definieren eine Zerlegung Z̃ ∈ Z mit |Z̃| ≤
2|Z|. Dann ist A eine RS-Summe σf (Z̃, η, g), wobei η geeignet zu wählen ist.
Also: σg (Z, ξ, f ) = c − σf (Z̃, η, g).
Sei ((Zn , ξ (n) )) ∈ Z∗ eine Nullfolge. Zu jeden (Zn , ξ (n) ) konstruiere (Z̃n , η (n) ) wie oben. Dann
ist ((Z̃n , η (n) )) eine Nullfolge in Z∗ und σg (Zn , ξ (n) , f ) = c − σf (Z̃n , η (n) , g) ∀n ∈ N. Aus der
Rb
Rb
Voraussetzung folgt: σf (Z̃n , η (n) , g) → a f dg =⇒ σg (Zn , ξ (n) , f ) → c − a f dg (n → ∞). Beispiel
Rb
26.2
f (x) = x, R[a, b] = Rf [a, b]. Sei g ∈ R[a, b] = Rf [a, b] ==⇒ f ∈ Rg [a, b] und a xdg =
Rb
xg(x)|ba − a gdx.
Satz 26.3
Sei f ∈ R[a, b], g sei differenzierbar auf [a, b] und g 0 ∈ R[a, b]. Dann: f ∈ Rg [a, b] und
Z
b
Z
f dg =
a
b
f g 0 dx.
a
Beweis
Sei (Z, ξ) ∈ Z∗ , Z = {x0 , . . . , xn }, ξ = (ξ1 , . . . , ξn ). mj , Mj , Ij seien wie immer und α > 0 sei
so, dass |g 0 (x)| ≤ α ∀x ∈ [a, b].
108
Aus dem Mittelwertsatz folgt: ∀j ∈ {1, . . . , n} ∃ηj ∈ Ij : g(xj ) − g(xj−1 ) = g 0 (ηj )|Ij |. Dann gilt:
σf (Z, ξ, g) =
n
X
f (ξj )(g(xj ) − g(xj−1 )) =
j=1
n
X
f (ξj )g 0 (ηj )|Ij |
j=1
n
n
X
X
0
=
(f (ξj ) − f (ηj ))g (ηj )|Ij | +
f (ηj )g 0 (ηj )|Ij | .
j=1
j=1
|
{z
}
=σf g0 (Z,η), η:=(η1 ,...,ηn )
Daraus folgt:
|σf (Z, ξ, g) − σf g0 (Z, η)| ≤
n
X
|f (ξj ) − g 0 (ηj )| |g 0 (ηj )| |Ij |
{z
} | {z }
|
j=1
≤α
≤Mj −mj
≤α
n
X
(Mj − mj )|Ij | = α(Sf (Z) − sf (Z)).
j=1
Sei ((Zn , ξ (n) )) eine Nullfolge. Zu jedem (Zn , ξ (n) ) konstruiere man η (n) wie oben. Dann gilt:
|σf (Zn , ξ (n) , g) − σf g0 (Zn , η (n) ) | ≤ α (Sf (Zn ) − sf (Zn ))
|
{z
}
{z
}
|
→
=⇒ σf (Zn , ξ (n) , g) →
Rb
a
Rb
a
f g 0 dx
→0
f g 0 dx.
Beispiel
R 1 x −x
R1 x
R1
−x
0 e d(e ) = 0 e (−e )dx = 0 (−1)dx = −1.
Satz 26.4 (Abschätzen des RS-Integrals mit Hilfe der Totalvarianz)
Sei g ∈ BV[a, b] und f ∈ Rg . Dann:
Z b
f dg ≤ γVg [a, b], wobei γ := sup{|f (x)| : x ∈ [a, b]}
a
Beweis
Sei (Z, ξ) ∈ Z∗ , Z = {x0 , . . . , xn }, ξ = (ξ1 , . . . , ξn ).
n
n
X
X
|σf (Z, ξ, g)| = |
f (ξj )(g(xj ) − g(xj−1 ))| ≤
|f (ξj )||g(xj ) − g(xj−1 )| ≤ γVg (Z) ≤ γVg [a, b]
j=1
j=1
Bezeichnungen
Sei
∈ Z. mj , Mj , Ij seien wie immer, dj := g(xj )−g(xj−1 ) (j = 1, . . . , n). s(Z) =
PnZ = {x0 , . . . , xn } P
n
j=1 mj dj , S(Z) =
j=1 Mj dj .
Hilfssatz 26.5
g sei wachsend ( =⇒ dj ≥ 0)
109
26. Das Riemann-Stieltjes-Integral
(1) s(Z1 ) ≤ S(Z2 ) ∀Z1 , Z2 ∈ Z.
(2) sup{s(z) : z ∈ Z} ≤ S(Z) ∀z ∈ Z.
Beweis
(1) Wie in 23.1
(2) folgt aus (1)
Satz 26.6 (Weiteres Kritierium zur RS-Integrierbarkeit)
Ist f ∈ C[a, b] und g ∈ BV[a, b] =⇒ f ∈ Rg [a, b].
Beweis
Wegen 25.2 und 26.1(2) O.B.d.A: g wachsend. c := g(b) − g(a) (≥ 0). O.B.d.A: c > 0.
1. Sei (Z, ξ), Z = {x0 , . . . , xn }, ξ = (ξ0 , . . . , ξn ).mj , Mj , Ij , dj seien wie oben. S := sup{s(z) :
z ∈ Z}, also S ≤ S(Z). α := S(Z) − s(Z)
dj ≥0
Es gilt: mj ≤ f (ξj ) ≤ Mj ===⇒ mj dj ≤ f (ξj )dj ≤ Mj dj =⇒ (∗) s(z) ≤ σf (Z, ξ, g) ≤ S(Z).
(∗)
(∗)
Dann: −α = s(z) − S(Z) ≤ S −
PS(Z) ≤ S − σf (Z, ξ, g) ≤ S(Z) − σf (Z, ξ, g) ≤ S(Z) − s(z) =
α =⇒ |s − σf (Z, ξ, g)| ≤ α = nj=1 (Mj − mj )dj .
Sei ε > 0. f ist auf [a, b] gleichmäßig stetig =⇒ ∃δ > 0 : |f (t) − f (s)| < εc ∀t, s ∈ [a, b] mit
n
X
|t − s| < δ. Sei |Z| < δ =⇒ Mj − mj < εc =⇒ |s − δf (Z, ξ, g)| < εc
dj = ε.
j=1
| {z }
=c
2. Sei ((Zn , ξ (n) )) eine Nullfolge in Z∗ . Sei ε > 0. Dann existiert ein δ > 0 wie in (1),
|Zn | → 0 =⇒ ∃n0 ∈ N : |Zn | < δ ∀n ≥ n0 =⇒ |s − σf (Zn , ξ (n) , g)| < ε ∀n ≥ n0 .
Also: σf (Zn , ξ (n) , g) → S (n → ∞).
110
A. Satz um Satz (hüpft der Has)
1.3. Betragssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Vollständigkeit von R bezüglich dem Infimum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.6. Existenz des Supremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1. Induktionsmengen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2. Beweisverfahren durch vollständige Induktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3. Ganze Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.4. Zwischen zwei reellen Zahlen liegt stets eine rationale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
4.1. Eigenschaften von Binomialkoeffizienten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.2. Folgerung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.3. Bernoullische Ungleichung (BU) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4.4. Der binomische Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5.2. Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.3. Eindeutigkeit von rationalen Potenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6.1. Grenzwert und Beschränktheit konvergenter Folgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6.2. Konvergenzsätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6.3. Monotoniekriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7.1. Konvergenzsatz für Wurzeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
√
7.4. Satz über n n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
7.6. Satz und Definition von e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8.1. Sätze zu Teilfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8.2. Satz von Bolzano-Weierstraß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9.1. Beschränktheit und Abgeschlossenheit der Häufungswerte . . . . . . . . . . . . . . . 33
9.2. Eigenschaften des Limes superior und inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.3. Äquivalenzaussagen zur Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9.5. Rechenregeln für den Limes superior und inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
111
A. Satz um Satz (hüpft der Has)
10.1. Cauchy-Kriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
11.1. Cauchy- und Monotoniekriterium sowie Nullfolgeneigenschaft . . . . . . . . . . . . . 40
11.2. Rechenregeln bei Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
11.3. Dreiecksungleichung für Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
12.1. Leibnizkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.2. Majoranten- und Minorantenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
12.3. Wurzelkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
12.4. Quotientenkriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
12.6. In konvergenten Folgen darf man Klammern setzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
13.1. Riemannscher Umordnungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
13.2. Alle Produktreihen sind Umordnungen voneinander . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.3. Absolute Konvergenz geht auf Produktreihen über . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
13.4. Cauchyprodukt absolut konvergierender Folgen konvergiert
. . . . . . . . . . . . . . 49
13.5. E(r) = er ∀r ∈ Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
14.1. Konvergenz von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
14.2. Konvergenzradien von Cauchyprodukten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
15.1. Konvergenz g-adischer Entwicklungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.2. Eindeutigkeit der g-adischen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
15.3. Existenz der g-adischen Entwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
15.4. R ist überabzählbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
16.1. Grenzwertsätze bei Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16.2. Rechnen mit Funktionsgrenzwerten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
16.3. Grenzwerte der Exponentialfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
17.1. Stetigkeitssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
17.2. Stetigkeit der Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
17.4. Stetigkeit von verketteten stetigen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
18.1. Zwischenwertsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
18.2. Nullstellensatz von Bolzano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
18.4. Eigenschaften von Bildmengen stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
112
18.5. Bildintervalle und Umkehrbarkeit stetiger, montoner Funktionen . . . . . . . . . . . 66
18.6. Der Logarithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
19.1. Funktionskonvergenzkriterien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
19.2. Stetigkeit bei gleichmäßiger Konvergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
19.3. Identitätssatz für Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
20.1. Stetigkeitsstätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
21.1. Differenzierbarkeit und Stetigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
21.2. Ableitungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
21.3. Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
21.4. Ableitung der Umkehrfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
21.5. Erste Ableitung am relativen Extremum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
21.6. Mittelwertsatz der Differenzialrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
21.8. Die Regeln von de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
21.9. Ableitung von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
21.10.Eigenschaften trigonometrischer Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
21.11.Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
22.1. Differenzierbarkeit von Potenzreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
22.2. Satz von Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
22.3. Bestimmung von Extrema durch höhere Ableitungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
23.1. Zerlegungs-Verfeinerungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
23.2. Rechenregeln für Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
23.3. Riemannsches Integrabilitätskriterium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
23.4. Integratibilität monotoner und stetiger Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
23.5. 1. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
23.6. Integrierbarkeit gleichmäßig konvergierender Funktionsfolgen . . . . . . . . . . . . . 91
23.7. Integration von verketteten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
23.8. Weitere Rechenregeln für Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
23.9. Aufteilung eines Integrals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
23.10.Integral und Unstetigkeitsstellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
113
A. Satz um Satz (hüpft der Has)
23.11.Mittelwertsatz der Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
23.12.Äquivalenz der Riemannschen und Darbouxschen Integrale . . . . . . . . . . . . . . . 94
23.13.2. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
23.14.Anwendung des 2. Hauptsatzes auf stetige Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
23.15.Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
23.16.Substitutionsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
23.17.Integration von rationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
23.18.Folgen von Zerlegungen mit |Zn | → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
23.19.Riemannsche Definition des Integrals mit Nullfolgen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
23.20.Gleichmäßige Konvergenz der Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
25.1. Varianzeigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
25.2. Eigenschaften Funktion von beschränkter Varianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
26.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
26.2. Partielle Integration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
26.3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
26.4. Abschätzen des RS-Integrals mit Hilfe der Totalvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
26.6. Weiteres Kritierium zur RS-Integrierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
114
Stichwortverzeichnis
g-adische Entwicklung, 55
g-adischer Bruch, 55
n-mal stetig differenzierbar, 83
(unendliche) Reihe, 39
überabzählbar, 17
Fakultät, 19
Feinheitsmaß, 99
Folge von Funktionen, 69
Folgen, 17
Funktionsreihe, 69
abgeschlossene Menge, 65
abgeschlossenes Intervall, 11
Ableitung, 75
absolut konvergent, 40, 104
abzählbar, 17
alternierende Harmonische Reihe, 41
Anordnungsaxiome, 10
aquidistante Zerlegung, 89
Arcustangens, 82
Assoziativgesetze, 9
Ganze Zahlen, 14
geometrische Reihe, 39
gleichmäßig (glm) konvergent, 69
gleichmaßig stetig, 73
Grenzwert, 23
beschränkt, 12
beschrankter Variation, 105
bestimmtes Integral, 96
Betrag, 10
Betragssätze, 10
bijektiv, 17
Binominalkoeffizienten, 19
Cauchyfolge, 37
Cauchykriterium, 104
bei Funktionsgrenzwerten, 60
Cauchyprodukt, 49
Differenzierbarkeit, 75
Distributivgesetz, 9
divergent, 23, 39, 103
Dreiecksungleichung für Integrale, 92
echt gebrochen rational, 98
endlich, 17
Entwicklungspunkt, 54
Exponentialfunktion, 46
Extremum
relatives, 77
für fast alle, 23
Häufungspunkt, 59
Häufungswert, 31
halboffenes Intervall, 11
harmonische Reihe, 39
Heine, Satz von, 73
Induktionsmenge, 13
Infimum, 11
injektiv, 17
innerer Punkt, 77
Integral, 88
Integrator(funktion), 107
integrierbar, 88
Intervall, 11
Körperaxiome, 9
Kommutativgesetze, 9
konvergent, 23, 39, 103, 104
Konvergenzbereich, 53
Konvergenzradius, 53
Kosinus, 51
Limes, 23
Limes inferior, 33
Limes superior, 33
Lipschitz stetig, 73
Majorantenkriterium, 43, 104
Maximum, 11
relatives, 77
Minimum, 11
115
Stichwortverzeichnis
relatives, 77
Minorantenkriterium, 43, 104
monoton, 26
monoton fallend, 26
monoton wachsend, 25
natürlichen Zahlen, 13
Nullfolge, 24, 99
obere Schranke, 11
oberer Limes, 33
oberes Integral, 87
Obersumme, 87
offene Menge, 65
offenes Intervall, 11
Partialbruch, 98
Potenz
allgemeine, 68
natürliche, 19
rationale, 22
Potenzreihe, 53
Produktzeichen, 14
rationale Funktion, 98
Reellen Zahlen, 9
Reihenglied, 39
Reihensumme, 39
Reihenwert, 39
relatives
Extremum, 77
Maximum, 77
Minimum, 77
Riemann-Stieltjes-Integral, 107
Riemann-Stieltjes-integrierbar, 107
Riemann-Stieltjes-Summe, 107
Riemannsche Zwischensumme, 94
Riemannscher Umordnungssatz, 47
Sinus, 51
Stammfunktion, 89
streng monoton, 26
streng monoton fallend, 26
streng monoton wachsend, 25
Summenzeichen, 14
Supremum, 11
surjektiv, 17
Taylorpolynom, 84
Taylorreihe, 84
Teilfolge, 31
116
Teilsumme, 39
Totalvariation, 105
Umgebung, 23
Umordnung, 47
unbestimmtes Integral, 96
uneigentliche Integral, 103
unendlich, 17
untere Schranke, 11
unterer Limes, 33
unteres Integral, 87
Untersumme, 87
unzerlegbar, 98
Variation, 105
Verfeinerung, 87
vollständige Induktion, 13
Vollständigkeitsaxiom, 11
Weierstraß, Kriterium von, 70
Wurzel, 21
Zerlegung, 87
Zwischenvektor, 94
B. Credits für Analyis I
Abgetippt haben die folgenden Paragraphen:
§ 1: Reelle Zahlen: Joachim Breitner
§ 2: Natürliche Zahlen: Joachim Breitner
§ 3: Folgen, Abzählbarkeit: Joachim Breitner
§ 4: Wie Sie Wollen: Joachim Breitner, Pascal Maillard
§ 5: Wurzeln und rationale Exponenten: Jonathan Picht, Joachim Breitner
§ 6: Konvergente Folgen: Joachim Breitner, Pascal Maillard
§ 7: Wichtige Beispiele: Joachim Breitner
§ 8: Häufungswerte und Teilfolgen: Joachim Breitner, Manuel Holtgrewe
§ 9: Oberer und unterer Limes: Joachim Breitner
§ 10: Das Cauchy-Kriterium: Joachim Breitner, Pascal Maillard
§ 11: Unendliche Reihen: Pascal Maillard
§ 12: Konvergenzkriterien: Joachim Breitner
§ 13: Umordnungen und Produkte von Reihen: Pascal Maillard
§ 14: Potenzreihen: Wenzel Jakob
§ 15: g-adische Entwicklungen: Joachim Breitner
§ 16: Grenzwerte bei Funktionen: Joachim Breitner
§ 17: Stetigkeit: Joachim Breitner
§ 18: Eigenschaften stetiger Funktionen: Wenzel Jakob, Joachim Breitner
§ 19: Funktionsfolgen und -reihen: Joachim Breitner und Wenzel Jakob
§ 20: Gleichmäßige Stetigkeit: Wenzel Jakob
§ 21: Differenzierbarkeit: Joachim Breitner, Pascal Maillard und Wenzel Jakob
§ 22: Höhere Ableitungen: Joachim Breitner, Pascal Maillard
§ 23: Das Riemann-Integral: Pascal Maillard, Wenzel Jakob und Joachim Breitner
§ 24: Uneigentliche Integrale: Pascal Maillard
§ 25: Funktionen von beschränkter Variation: Wenzel Jakob
§ 26: Das Riemann-Stieltjes-Integral: Pascal Maillard und Wenzel Jakob
117

Blatt 6

Aufgaben zu Vorrechnen in den ¨Ubungen 19./20. April. Aufgabe 1

Definitionen Grenzwert Stetigkeit - feuerbachers

Summe der unendlichen geometrischen Reihe

Serie 10

Blatt3 + Musterlösung

Blatt 8

Merkzettel „Folgen und Reihen“

Merkzettel „Folgen und Reihen“ II

Die Regel von l`Hospital