次回用

物理学演習 III
(量子力学)
No.3
2016. 4. 26
1. 【角運動量の合成１】
2 つの角運動量演算子 Li と Si を合成した角運動量演算子 Ji = Li + Si を考える。
角運動量の大きさ l (l ≥ 1) の固有状態 |l, m⟩ (m = −l, −l + 1, · · · , l)
L2 |l, m⟩ = l(l + 1) |l, m⟩ ,
L3 |l, m⟩ = m |l, m⟩ ,
と角運動量の大きさ 1 の固有状態 |1, s⟩ (s = −1, 0, 1)
S 2 |1, s⟩ = 1(1 + 1) |1, s⟩ = 2 |1, s⟩ ,
S3 |1, s⟩ = s |1, s⟩ ,
を合成し、固有状態 |J, M ⟩⟩
J 2 |J, M ⟩⟩ = J(J + 1) |J, M ⟩⟩ ,
J3 |J, M ⟩⟩ = M |J, M ⟩⟩ ,
を定義する。
(1) |l + 1, l + 1⟩⟩, |l, l⟩⟩, |l − 1, l − 1⟩⟩ を |l, m⟩ と |1, s⟩ を用いて表せ。
(2) 昇降演算子 L± は
L± |l, m⟩⟩ =
√
(l ∓ m)(l ± m + 1) |l, m ± 1⟩
を満たす。m′ < m のとき、以下の式が成り立つことを示せ。
v
u
u (l + m′ )! · (l − m)!
′
′
|l, m ⟩ = t
(L− )m−m |l, m⟩ .
′
(l − m )! · (l + m)!
(3) J = l + 1 のとき、以下の式が成り立つことを示せ。
√
|l + 1, M ⟩⟩ =
1
(l + 1)(2l + 1)
[√
(l + M + 1)(l + M )
|l, M − 1⟩ |1, 1⟩
2
√
+ (l + M + 1)(l − M + 1) |l, M ⟩ |1, 0⟩
√
]
(l − M )(l − M + 1)
|l, M + 1⟩ |1, −1⟩ .
+
2
(補足) 同様にして、J = l と J = l − 1 のとき、以下の式が示せる。
√
|l, M ⟩⟩ =
[
√
1
−
l(l + 1)
(l + M )(l − M + 1)
|l, M − 1⟩ |1, 1⟩
2
√
+M |l, M ⟩ |1, 0⟩ +
]
(l − M )(l + M + 1)
|l, M + 1⟩ |1, −1⟩ ,
2
√
|l − 1, M ⟩⟩ =
1
l(2l + 1)
[√
(l − M + 1)(l − M )
|l, M − 1⟩ |1, 1⟩
2
√
− (l + M )(l − M ) |l, M ⟩ |1, 0⟩
√
]
(l + M )(l + M + 1)
|l, M + 1⟩ |1, −1⟩ .
+
2
2. 【角運動量の合成２】
前問の |J, M ⟩⟩ (J = l+1, l, l−1) に角運動量演算子 S3 を作用させたものを、|J, M ⟩⟩
の線形結合で表しなさい。
3. 【Clebsch-Gordan 係数】
2 つの角運動量の固有状態 |j1 , m1 ⟩、|j2 , m2 ⟩ の合成
|j1 , j2 , m1 , m2 ⟩ = |j1 , m1 ⟩ ⊗ |j2 , m2 ⟩
を考える。合成後の角運動量の固有状態はそれぞれの角運動量の大きさ j1 、j2 の
固有状態でもあるが、ここでは表記の見易さを優先して
|J, M ⟩ = |j1 , j2 , J, M ⟩
と書くことにする。これらの状態は正規直交基底をなしているので、
⟨j1′ , j2′ , m′1 , m′2 |j1 , j2 , m1 , m2 ⟩ = δj1′ ,j1 δj2′ ,j2 δm′1 ,m1 δm′2 ,m2 ,
⟨J ′ , M ′ |J, M ⟩ = δJ ′ ,J δM ′ ,M ,
(1)
(2)
および、
|J, M ⟩ =
∑
|j1 , j2 , m1 , m2 ⟩ ⟨j1 , j2 , m1 , m2 |J, M ⟩ ,
(3)
m1 +m2 =M
|j1 , j2 , m1 , m2 ⟩ =
j1∑
+j2
|J, m1 + m2 ⟩ ⟨J, m1 + m2 |j1 , j2 , m1 , m2 ⟩ ,
(4)
J=|j1 −j2 |
を満たす。このとき、これら二つの正規直交基底の変換則を与える係数
⟨j1 , j2 , m1 , m2 |J, M ⟩ ,
は Clebsch-Gordan 係数と呼ばれる。
(1) 次の式を導出せよ。
δJ ′ ,J δM ′ ,M =
∑
⟨J ′ , M ′ |j1 , j2 , m1 , m2 ⟩⟨j1 , j2 , m1 , m2 |J, M ⟩ , (5)
m1 +m2 =M
δj1′ ,j1 δj2′ ,j2 δm′1 ,m1 δm′2 ,m2
=
j1∑
+j2
⟨j1′ , j2′ , m′1 , m′2 |J, m1 + m2 ⟩⟨J, m1 + m2 |j1 , j2 , m1 , m2 ⟩ . (6)
J=|j1 −j2 |
(2) Clebsch-Gordan 係数に関する以下の漸化式を導出せよ。
√
(J ∓ M )(J ± M + 1)⟨j1 , j2 , m1 , m2 |J, M ± 1⟩
√
=
(j1 ± m1 )(j1 ∓ m1 + 1)⟨j1 , j2 , m1 ∓ 1, m2 |J, M ⟩
√
(7)
+ (j2 ± m2 )(j2 ∓ m2 + 1)⟨j1 , j2 , m1 , m2 ∓ 1|J, M ⟩ .
(3) 漸化式 (7) と式 (5) を用いて、すべての Clebsch-Gordan 係数 ⟨j1 , j2 , m1 , m2 |J, M ⟩
を求めることができることを証明せよ。

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