解析学 I 第 5回略解

解析学 I
第5回
略解
[5-1] (1) 定義に従って確かめる．(2) x ∈ X をとり A = f −1 ({f (x)}) とすると A ∈ M かつ A ̸= ∅ だ
から A = X ．これは f が定数関数であることを意味する．
[5-2] (1) 十分大きい n ∈ N に対して，直接計算により

0 (x < −4)




(
)


k−1
(k − 1)2
k2

∃
n+1

−4 ≤ x < 0 かつ
− 4 ≤ x < 2n − 4 , k ∈ {1, 2, . . . 2
}

 2n
22n
2
fn (x) =
(
)

(k − 1)2 ∃
k−1
k2

n+1

0 ≤ x < 4 かつ 4 − 2n ≤ x < 4 −
, k ∈ {1, 2, . . . 2
}



2n
2
22n



 0 (4 ≤ x)
を得る．非負単関数に対する積分の定義により，
∫
R
fn (x) µ(dx) = 2
n+1
2∑
k=1
2
= 3n
2
(
(
)
(k − 1)2
k − 1 k2
−
2n
22n
22n
)
2n+1 n+1
n+2
n n+1
(2
− 1)(2
− 1) − 2 (2
− 1) .
3
∫
(2) 上記 (1) より， lim
n→∞
R
fn (x) µ(dx) =
32
を得る．
3
· · · かつ
[5-3] 非負単関数列 {fn }∞
n=1 として，任意の x ∈ X に対して 0 ≤ f1 (x) ≤ f2 (x) ≤
∫
lim fn (x) = f (x) となるものをとる．(左辺) ≤ (右辺) は，任意の n ∈ N に対して
fn dµ ≤
n→∞
X
(右辺) 及び非負可測関数に対する積分の定義より従う．(左辺) ≥ (右辺) は積分の定義及び講義
ノート補題 3.3 より従う．
[5-4] 実数 α ∈ R に対して，α ≤ 0 のときは f −1 ([α, +∞)) = [0, 1)．α > 9 のときは f −1 ([α, +∞)) = ∅．
0 < α ≤ 9 のときは，α 以上の最小の自然数を N = N (α) とおくと，
f −1 ([α, +∞)) =
∞
∪
{
}
x = 0.x1 x2 · · · xn−1 xn · · · | xk ̸= N, ∀ k ∈ {1, 2, . . . n − 1 かつ xn = N }
n=1
より，講義ノート命題 2.2 から Borel 可測関数であると分かる．また，µ を Lebesgue 測度として
{
µ( x = 0.x1 x2 · · · xn−1 xn · · · | xk ̸= 9,
∀
}
9n−1
k ∈ {1, 2, . . . n − 1} かつ xn = 9 ) =
10n
と計算されるため，
µ(f
−1
({9})) = µ(f
−1
∞
∑
9n−1
([9, +∞))) =
= 1.
10n
n=1
よって，f は Lebesgue 測度 µ に関して定数関数 g(x) = 9 とほとんど至るところ等しい．
1
[5-5] 数列 {aj }j∈N を aj =
1
とおき，集合族 {Ej }j∈N を E1 = {x ∈ X | f (x) ≥ a1 } として
j
Ej =
{
}
j−1
∑
x ∈ X | f (x) ≥ aj +
ak 1Ek (x)
(j > 1)
k=1
と帰納的に定めればよい（ lim aj = 0 かつ
j→∞
∞
∑
aj = +∞ に注意）．
j=1
（別解）f の標準的な単関数近似を {fn }∞
n=1 とし，f0 (x) = 0 とすると，
f (x) = lim fN (x) = lim
N →∞
N →∞
N
∑
(fn+1 (x) − fn (x)).
n=0
各 fn+1 − fn は非負単関数だから，これを整理すればよい．
以上
2

Download Report