Hesse-Normalform einer Ebene

Hesse-Normalform einer Ebene
Der Ortsvektor ~x eines Punktes X auf einer Ebene durch P orthogonal zu
einem Normalenvektor n~ erfüllt
~x · n~ = d,
~
n; j~
nj
d = p~ · n~ .
=1
~
n
X
P
PSfrag replaements
O
Hesse-Normalform einer Ebene
1-1
Bei der Normalform wird dabei |~
n| = 1 und d ≥ 0 angenommen. In diesem
Fall ist d der Abstand der Ebene zum Ursprung. Der Normalenvektor zeigt
vom Ursprung in Richtung der Ebene.
Hesse-Normalform einer Ebene
1-2
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~◦ = (2, 2, 1)t /3
Hesse-Normalform einer Ebene
2-1
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~◦ = (2, 2, 1)t /3
Normierung: n~◦ = σ~
n/|~
n| = σ(2, 2, 1)t /3
Hesse-Normalform einer Ebene
2-2
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~◦ = (2, 2, 1)t /3
Normierung: n~◦ = σ~
n/|~
n| = σ(2, 2, 1)t /3
Wahl des Vorzeichens σ so, dass
 
 
1
2
1 
◦


2 =σ·3
0 ≤ d = |~
p · n~ | = 2 · σ
3
3
1
d.h. σ = 1 und d = 3
Hesse-Normalform einer Ebene
2-3
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~◦ = (2, 2, 1)t /3
Normierung: n~◦ = σ~
n/|~
n| = σ(2, 2, 1)t /3
Wahl des Vorzeichens σ so, dass
 
 
1
2
1 
◦


2 =σ·3
0 ≤ d = |~
p · n~ | = 2 · σ
3
3
1
d.h. σ = 1 und d = 3
Hesse-Normalform E : ~x · n~◦ = d, d.h.
E:
2
1
2
x1 + x2 + x3 = 3
3
3
3
Hesse-Normalform einer Ebene
2-4
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~◦ = (2, 2, 1)t /3
Normierung: n~◦ = σ~
n/|~
n| = σ(2, 2, 1)t /3
Wahl des Vorzeichens σ so, dass
 
 
1
2
1 
◦


2 =σ·3
0 ≤ d = |~
p · n~ | = 2 · σ
3
3
1
d.h. σ = 1 und d = 3
Hesse-Normalform E : ~x · n~◦ = d, d.h.
E:
2
1
2
x1 + x2 + x3 = 3
3
3
3
X = (4, 0, 1) ∈ E , denn ~x · n~◦ = 13 (8 + 0 + 1) = d
Hesse-Normalform einer Ebene
2-5
Beispiel:
Ebene E durch P = (1, 2, 3) mit Normalenvektor n~◦ = (2, 2, 1)t /3
Normierung: n~◦ = σ~
n/|~
n| = σ(2, 2, 1)t /3
Wahl des Vorzeichens σ so, dass
 
 
1
2
1 
◦


2 =σ·3
0 ≤ d = |~
p · n~ | = 2 · σ
3
3
1
d.h. σ = 1 und d = 3
Hesse-Normalform E : ~x · n~◦ = d, d.h.
E:
2
1
2
x1 + x2 + x3 = 3
3
3
3
X = (4, 0, 1) ∈ E , denn ~x · n~◦ = 13 (8 + 0 + 1) = d
X = (0, 0, 0) ∈
/ E , denn ~x · n~◦ = 0 6= d
Hesse-Normalform einer Ebene
2-6
Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen:
Hesse-Normalform einer Ebene
3-1
Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen:
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren u~, ~v :
Hesse-Normalform einer Ebene
3-2
Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen:
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren u~, ~v :
Parameterdarstellung
E : ~x = p~ + s u~ + t~v ,
s, t ∈ R
Hesse-Normalform einer Ebene
3-3
Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen:
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren u~, ~v :
Parameterdarstellung
E : ~x = p~ + s u~ + t~v ,
s, t ∈ R
~ = p~ + u~, ~r = p~ + ~v
weitere Punkte Q, R ∈ E : q
Drei-Punkte-Form
~ − p~, ~r − p~] = 0
E : [~x − p~, q
Hesse-Normalform einer Ebene
3-4
Beispiel:
Umrechnen von Ebenendarstellungen:
(i) Ebene durch den Punkt P, aufgespannt durch zwei nicht parallele
Vektoren u~, ~v :
Parameterdarstellung
E : ~x = p~ + s u~ + t~v ,
s, t ∈ R
~ = p~ + u~, ~r = p~ + ~v
weitere Punkte Q, R ∈ E : q
Drei-Punkte-Form
~ − p~, ~r − p~] = 0
E : [~x − p~, q
normierter Normalenvektor
n~◦ = σ
u~ × ~v
|~
u × ~v |
mit σ ∈ {−1, 1} so gewählt, dass d = p~ · n~◦ ≥ 0
Hesse-Normalform E : ~x · n~◦ = d
Hesse-Normalform einer Ebene
3-5
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden:
Hesse-Normalform einer Ebene
3-6
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden:
Drei-Punkte-Form
~ − p~, ~r − p~ = 0
E : ~x − p~, q
Hesse-Normalform einer Ebene
3-7
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden:
Drei-Punkte-Form
~ − p~, ~r − p~ = 0
E : ~x − p~, q
Vektoren, die E aufspannen
−→
u~ = PQ,
−→
~v = PR
Hesse-Normalform einer Ebene
3-8
(ii) Ebene durch drei Punkte P, Q und R, die ein echtes Dreieck bilden:
Drei-Punkte-Form
~ − p~, ~r − p~ = 0
E : ~x − p~, q
Vektoren, die E aufspannen
−→
u~ = PQ,
−→
~v = PR
Konstruktion der Hesse-Normalform wie in (i)
Hesse-Normalform einer Ebene
3-9
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n~:
Hesse-Normalform einer Ebene
3-10
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n~:
Hesse-Normalform
E : ~x · n~0 = d,
d = p~ · n~0 ≥ 0
mit n~0 = σ · n~/|~
n| und σ ∈ {−1, 1}
Hesse-Normalform einer Ebene
3-11
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n~:
Hesse-Normalform
E : ~x · n~0 = d,
d = p~ · n~0 ≥ 0
mit n~0 = σ · n~/|~
n| und σ ∈ {−1, 1}
Vektoren, die E aufspannen
u~ = n~ × ~x ,
~v = n~ × u~
mit ~x 6= λ~
n
Hesse-Normalform einer Ebene
3-12
(iii) Ebene durch einen Punkt P und einen Normalvektor n~:
Hesse-Normalform
E : ~x · n~0 = d,
d = p~ · n~0 ≥ 0
mit n~0 = σ · n~/|~
n| und σ ∈ {−1, 1}
Vektoren, die E aufspannen
u~ = n~ × ~x ,
~v = n~ × u~
mit ~x 6= λ~
n
Konstruktion der Drei-Punkte-Form wie in (i)
Hesse-Normalform einer Ebene
3-13
Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0),
Q = (1, −6, 2),
R = (−1, −8, 3)
Hesse-Normalform einer Ebene
4-1
Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0),
Q = (1, −6, 2),
R = (−1, −8, 3)
Drei-Punkte-Form

         
7
1
7
−1
7
E : ~x − 2 , −6 − 2 , −8 − 2 = 0
0
2
0
3
0
Hesse-Normalform einer Ebene
4-2
Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0),
Q = (1, −6, 2),
R = (−1, −8, 3)
Drei-Punkte-Form

         
7
1
7
−1
7
E : ~x − 2 , −6 − 2 , −8 − 2 = 0
0
2
0
3
0
Differenzen der Ortsvektoren
Richtungen, die die Ebene
aufspannen
 


−6
−8
−→  
−→ 
u~ = PQ = −8 , ~v = PR = −10
2
3
Hesse-Normalform einer Ebene
4-3
Beispiel:
Ebene durch die Punkte
P = (7, 2, 0),
Q = (1, −6, 2),
R = (−1, −8, 3)
Drei-Punkte-Form

         
7
1
7
−1
7
E : ~x − 2 , −6 − 2 , −8 − 2 = 0
0
2
0
3
0
Differenzen der Ortsvektoren
Richtungen, die die Ebene
aufspannen
 


−6
−8
−→  
−→ 
u~ = PQ = −8 , ~v = PR = −10
2
3
Parameterdarstellung der Ebene
 
 


7
−6
−8
E : ~x = 2 + s −8 + t −10 , s, t ∈ R
0
2
3
Hesse-Normalform einer Ebene
4-4
Normalenvektor

  
−24 + 20
−4
n~ = u~ × ~v = −16 + 18 =  2 
60 − 64
−4
Hesse-Normalform einer Ebene
4-5
Normalenvektor

  
−24 + 20
−4
n~ = u~ × ~v = −16 + 18 =  2 
60 − 64
−4
Normierung:
 
−4
σ
n~0 =  2 
6
−4
mit σ ∈ {−1, 1} so gewählt, dass
 


7
−2/3
0 ≤ d = p~ · n~0 = 2 · σ  1/3  = σ(−4)
0
−2/3
d.h. σ = −1 und d = 4
Hesse-Normalform einer Ebene
4-6
Normalenvektor

  
−24 + 20
−4
n~ = u~ × ~v = −16 + 18 =  2 
60 − 64
−4
Normierung:
 
−4
σ
n~0 =  2 
6
−4
mit σ ∈ {−1, 1} so gewählt, dass
 


7
−2/3
0 ≤ d = p~ · n~0 = 2 · σ  1/3  = σ(−4)
0
−2/3
d.h. σ = −1 und d = 4
Hesse-Normalform
E:
2
1
2
x1 − x2 + x3 = 4
3
3
3
Hesse-Normalform einer Ebene
4-7

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