Dr. Andreas Maurischat
Aachen, 26. September 2016
b) Das Gleichungssystem lautet
3n = 2k
Lineare Algebra – Übungen mit Lösungen
Vorkurs Mathematik 2016, R W T H Aachen
5n = 3k + 17,
in Standardform
3n − 2k = 0
5n − 3k = 17.
— Aufgaben zum 1. Kapitel (Lineare Gleichungssysteme, Gauß-Verfahren) —
1. Übung
Aufgabe 1
Übersetzen Sie jeweils die Textaufgabe in ein lineares Gleichungssystem und lösen Sie es
mit dem Additionsverfahren und/oder Einsetzungsverfahren.
Löst man die erste Gleichung nach k auf, erhält man k = 32 n. Dies in die zweite
Gleichung eingesetzt ergibt: 5n = 92 n + 17 ⇒ 12 n = 17 ⇒ n = 34. Daraus erhält man:
k = 32 · 34 = 51.
Eine Probe zeigt, dass ( nk ) = 34
51 auch wirklich beide Gleichungen erfüllt.
c) Sind x1 die Anzahl der Züge auf der Strecke Mannheim–Weinheim, x2 für die Strecke
Heidelberg–Mannheim und x3 für die Strecke Heidelberg–Weinheim, erhält man
x1 + x2
= 38 (Züge aus/nach Mannheim)
x1
+ x3 = 33 (Züge aus/nach Weinheim)
x2 + x3 = 45 (Züge aus/nach Heidelberg)
a) Vor drei Jahren war Monika dreimal so alt wie Peter. In vier Jahren ist Monika nur noch
doppelt so alt wie Peter. Wie alt sind Peter und Monika?
b) Drei normale Brötchen kosten so viel wie zwei Körnerbrötchen. Fünf normale Brötchen
sind um 17 Cent teurer als drei Körnerbrötchen. Wie viel kosten normale Brötchen und
Körnerbrötchen?
c) Bei Zählungen am Gleisdreieck Mannheim-Friedrichsfeld wird festgestellt, dass in dem
beobachteten Zeitraum 38 Züge nach Mannheim fuhren oder aus Mannheim kamen, 33
Züge passierten das nördliche Ende Richtung Weinheim bzw. von Weinheim kommend,
und 45 Züge fuhren nach Heidelberg oder kamen aus Heidelberg. Wie viele Züge fuhren
auf der Strecke Mannheim–Weinheim, wieviele auf der Strecke Heidelberg–Mannheim
und wie viele auf der Strecke Heidelberg–Weinheim?
Lösung:
a) Das Gleichungssystem lautet
und x3 = 45 − 25 = 20. Eine Probe zeigt, dass
Gleichungen erfüllt.
x1
x2
x3
=
13
25
20
auch wirklich alle drei
Aufgabe 2
Geben Sie jeweils ein (möglichst einfaches) Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit
drei Gleichungen und drei Unbekannten an,
a) das genau eine Lösung hat,
m − 3 = 3( p − 3)
m + 4 = 2( p + 4),
in Standardform
Zieht man die zweite von der ersten Gleichung ab, erhält man x2 − x3 = 38 − 33 = 5.
Addiert man diese Gleichung zur dritten Gleichung erhält man 2x2 = 45 + 5 = 50, also
x2 = 25. Dies in die erste bzw. dritte Gleichungeingesetzt
x1 = 38 − 25 = 13
ergibt:
m − 3p = −6
m − 2p = 4.
Multipliziert man die erste Gleichung mit −1 und addiert dann die Gleichungen, erhält
man
3p − 2p = 6 + 4 ⇒ p = 10.
b) das unendliche viele Lösungen hat,
c) das keine Lösung hat.
Lösung:
Zum Beispiel
a)
x1 = 1
x2 = 2
x3 = 3
b)
x1 = 1
x1 = 1
x2 + x3 = 1
In die erste Gleichung eingesetzt:m − 3 · 10 = −6, also m = 30 − 6 = 24.
Eine Probe zeigt, dass ( mp ) = 10
24 auch wirklich beide Gleichungen erfüllt.
1
2
c)
x1 = 1
x1 = 0
x2 + x3 = 1
Aufgabe 3
In Abb. 3 sind verschiedene (sphärische) Polyeder abgebildet.
Für jeden solchen Polyeder gilt, dass die Anzahl k der Kanten genau um 2 kleiner ist als die
Summe der Eckenanzahl e und der Flächenanzahl f . Bestehen alle Flächen aus Dreiecken,
so ist das Doppelte der Kantenanzahl gleich dem Dreifachen der Flächenanzahl (zählt man
nämlich für jedes Dreieck die Kanten, je 3, so hat man am Ende jede Kante doppelt gezählt,
weil jede Kante zu zwei Seitenflächen gehört). Ähnlich erhält man einen Zusammenhang
zwischen der Eckenanzahl und der Kantenanzahl, wenn an jeder Ecke gleich viele Kanten
enden.
a) Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem für k, e und f für den Fall des Oktaeders
(lauter Dreiecke und an jeder Ecke enden 4 Kanten) auf, und lösen Sie dieses.
Ausrechnen wie oben: Lösung ist e = 12, f = 20 und k = 30 (Ikosaeder).
c)
e + f −k = 2
5 f −2k = 0
3e
−2k = 0
Fast das gleiche LGS. Lediglich die Rollen von e und f sind vertauscht. ⇒ (Ohne
nochmal etwas zu rechnen) Lösung ist e = 20, f = 12 und k = 30 (Dodekaeder).
d)
e + f −k = 2
3 f −2k = 0
6e
−2k = 0
b) Stellen Sie entsprechend ein lineares Gleichungssystem auf für einen Polyeder, dessen
Seitenflächen lauter Dreiecke sind und bei dem an jeder Ecke fünf Kanten enden. Lösen
Sie auch dieses.
Löst man hier die zweite und dritte Gleichung nach f bzw. e auf und setzt in die erste
ein, erhält man
1
2
3 k + 3 k − k = 2,
c) Stellen Sie entsprechend ein lineares Gleichungssystem auf für einen Polyeder, dessen
Seitenflächen lauter Fünfecke sind und bei dem an jeder Ecke drei Kanten enden.
Also 0 · k = 2, was nicht erfüllbar ist.
Es gibt daher kein solches Polyeder.
d) Gibt es ein Polyeder aus lauter Dreiecken, bei dem an jeder Ecke sechs Kanten enden?
e) Gibt es ein Polyeder aus lauter Fünfecken, bei dem an jeder Ecke vier Kanten enden?
e)
e + f −k = 2
5 f −2k = 0
4e
−2k = 0
Hier erhält man nach obigem Schema die Gleichung
1
2
2k + 5k − k
Abbildung 1: Verschiedene Polyeder
1
= 2 ⇒ − 10
k = 2 ⇒ k = −20.
Das Gleichungssystem ist lösbar mit Lösung k = −20, e = −10 und f = −8. Da die
Anzahlen aber natürliche Zahlen sein müssen, ergibt das keine Lösung für das Problem.
Lösung:
a)
e + f −k = 2
3 f −2k = 0
4e
−2k = 0
Zweite Gleichung nach f auflösen und dritte nach e. Dann beides in erste Gleichung
einsetzen liefert k = 12. Anschließend rechnet man mit zweiter und dritter Gleichung
aus, dass f = 8 und e = 6 sind.
Probe nicht vergessen!
Aufgabe 4
Bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge der folgenden linearen Gleichungssysteme.
a)
2x1 − x2 =
4
x1 + 12 x2 = −2
b)
3x1 +2x2 = 1
x1 −2x2 = 11
−2x1 + x2 = 5
3
x +3y +z = 1
3x +9y +4z = 0
x +3y +2z = 3
Lösung:
b)
e + f −k = 2
3 f −2k = 0
5e
−2k = 0
c)
a)
L=
0
−4
,
b) L = ∅,
4
a) L =
n
−3r −1
r
2
o
r ∈ R
Lösung:
Alle angegebenen Umformungen sind diejenigen, die man erhält, wenn man dem in der
Vorlesung angegebenen Gauß-Verfahren streng folgt.
2. Übung
Aufgabe 5
Es seien folgende lineare Gleichungssysteme gegeben. Geben Sie jeweils die zugehörige
Koeffizientenmatrix und erweiterte Koeffizientenmatrix an:
a)
3x1 − 7x2 + x3 + 2x4 = 3
5x1 + 4x3 − x4 = 0
−3x2 + 5x3 + x4 − 1 = 1
a) Umformungen:
Einzige Lösung ( mp ) =
3 −2 | 0
5 −3 | 17
1 1 0 | 38 c)
→
2x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 0
5x4 − x1 − x5 + x2 − 2 = 0
Lösung:
Die Koeffizientenmatrix beziehungsweise erweiterte Koeffizientenmatrix lauten
a)
3 −7 1 2
3 −7 1 2 | 3
5 0 4 −1 beziehungsweise 5 0 3 −1 | 0
0 −3 5 1
0 −3 5 1 | 2
Einzige Lösung
1
2 1 −3
2 1 −3 | 0
4 −3 1 beziehungsweise 4 −3 1 | 0
1 6
3
1 6
3 | 0
c)
2 2 3 4 0
−1 1 0 5 −1
beziehungsweise
2 2 3 4 0 | 0
−1 1 0 5 −1 | 2
Aufgabe 6
Lösen Sie die in Aufgabe 1 aufgestellten linearen Gleichungssysteme mit dem GaußVerfahren.
5
→
.
1 0 | 38
0 −1 1 | −5
0 1 1 | 45
x2
x3
→
=
1 −3 | −6
0 1 | 10
!
1 0 | 38
0 1 −1 | 5
0 −1 −1 | −45
→
→
1
→
→
→
1 1
1 0 | 24
0 1 | 10
2
1 −3 | 0
0 1 | 51
→
→
1 0 | 34
0 1 | 51
.
1
x1 2
1 −3 | 0
1
0 3 | 17
2
1 −3 | 0
5 −3 | 17
34
51
→
13 25
20
1 1 0 | 38 0 1 0 | 25
0 0 1 | 20
→
0 | 38
0 1 −1 | 5
0 0 −2 | −40
1 0 0 | 13 1 1
0 | 38
0 1 −1 | 5
0 0 1 | 20
0 1 0 | 25
0 0 1 | 20
.
Geben Sie jeweils an, durch welche elementare Zeilenumformung die Matrix A in die
Matrix B transformiert werden kann.
2 −1 1
1
1 2
a) A = 0
2 4 und B = 0
2 4
b)
24
10
Aufgabe 7
c) Umformungen:
1 0 1 | 33
0 1 1 | 45
Einzige Lösung ( nk ) =
2x1 − 3x3 + x2 = 0
x3 + 4x1 − 3x2 = 0
6x2 + x1 + 3x3 − 1 = −1
1 −3 | −6
1 −2 | 4
b) Umformungen:
b)
1 2
2 −1 1
2 −1 1
2 −1
b) A = 0
2 4 und B = 0
1
1
1 2
1
1
2 −1 1
5 2 7
c) A = 0
2 4 und B = 0 2 4
1
1 2
1 1 2
Lösung:
a) Vertauschen der ersten und dritten Zeile,
1
2
2
b) Multiplikation der zweiten Zeile mit 21 ,
c) Addition des Dreifachen der dritten Zeile zur ersten.
6
Die Matrix B wird wie folgt umgeformt:
Aufgabe 8
Geben Sie für jede der folgenden Matrizen an, ob sie in (Zeilen-)Stufenform bzw. sogar
reduzierter Stufenform ist.
1 4 0
3
0 1 3 4
0 0 0 0
0 0 1 5
0 0 1 5
0 0 1 −3
A=
B=
C=
,
,
,
0
0 0 0 1
0 0 0 1
0 0 0
0 0 0 0
0 1 3 4
0 0 0
0
1 8
0 6
1 0 0 0
0 0 0 0
1 0 −1 3
0 1 0 0
0 0 0 0
D=
E=
F=
,
,
.
0 0
0 0
0 0 1 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 1
0 0 0 0
Lösung:
In Stufenform sind die Matrizen A, C, E und F, aber nicht B und D. Die Matrizen C, E und
F sind sogar in reduzierter Stufenform.
0 1 −2 6
−1 1
−1 1 −3 2 −→ 0 1
2 0 2 10
2 0
1 −1
−→ 0 1
0 0
1 −1
−→ 0 1
0 0
Die Matrix C wird wie folgt umgeformt:
2
1
0
1
Aufgabe 9
Transformieren Sie die nachfolgenden Matrizen jeweils durch elementare Umformungen in
eine Matrix in reduzierter Stufenform.
−1 −2 1
0 1 −2 6
A= 2
B = −1 1 −3 2 ,
4
1 ,
3
6 −1
2 0
2 10
2 4
0 −2
1 2 10
0 13
2
1 11
1 3 −3
0 1 4
C=
D=
,
.
0 4 −12 13
4 1 12 −1 11
1 1
5
4
3 0 6
1 15
−1 −2 1
1
2
4
1 −→ 2
3
6 −1
3
1
−→ 0
0
2 −1
1 2 −1
1 2 −1
1 2 −1
4 1 −→ 0 0 3 −→ 0 0 1 −→ 0 0 1 (ZSF)
6 −1
0 0 2
0 0 2
0 0 0
2 0
(red. ZSF).
0 1
0 0
7
4 0 −2
1
1
3 −3 2
−→
4 −12 13
0
1 5
4
1
1
0
−→
0
0
1
0
−→
0
0
2 0 −1
1
0
3 −3 2
−→
4 −12 13
0
1 5
4
0
1
2 0 −1
0
1 −3 3
−→
0 2
8
0
0
0 0
1
2 0 0
1
0
1 −3 0
−→
0 1 0
0
0 0 1
0
−1 3 −2
1 −1 3 −2
1 −2 6 −→
0 1 −2 6
0
2 10
0 2 −4 14
−1 3 −2
1 −2 6 (ZSF)
0
0
1
0 1 0
(red.ZSF).
1 −2 0
0 0 1
2
0 −1
1
0
1 −3 3
−→
4 −12 13
0
−1 5
5
0
2 0 −1
1 −3 3
(ZSF)
0 1
4
0 0
1
2 0 0
1
0
1 0 0
−→
0 1 0
0
0 0 1
0
2 0 −1
1 −3 3
0 0
1
0 2
8
0
1
0
0
Die Matrix D schließlich wird wie folgt umgeformt:
1
0
4
3
Lösung:
Die Matrix A formt man wie folgt um:
−3 2
1
−2 6 −→ 0
2 10
2
3 −2
1
−2 6 −→ 0
0
2
0
3 0
1
−2 0 −→ 0
0 1
0
2
1
1
0
10 0
4 1
12 −1
6 1
1
0
−→
0
0
2
1
0
0
10
4
0
0
1 2
13
0 1
11
−→
11
0 −7
0 −6
15
0 13
1 0
0 1
1 11
−→
1 6
0 0
7 42
0 0
1 2 10
10
0
13
0 1 4
4
1
11
−→
−28 −1 −41
0 0 0
−24 1 −24
0 0 0
2 −2 −9
1 0 2
0 1 4
4 1 11
(ZSF)−→
0 1
6
0 0 0
0 0
0
0 0 0
0
1
6
7
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
(red. ZSF).
0
1
13
11
36
42
3
5
(red. ZSF).
6
0
Aufgabe 10
Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren.
a)
x + 3y + z = 1
3x + 9y + 4z = 5
x + 3y + 2z = 3
b)
2x1 − x2 + 6x3 − x4 = 0
− x1 + x2 − 4x3 + x4 = 0
3x1 − 2x2 + 10x3 − 2x4 = 0
8
c)
x + 2y + z = 1
2y + 2z = 0
2x + 5y + 3z = 1
Lösung:
b) Gleichungssystem:
a)
Aufgabe 11
−3p−1 p∈R ,
p
2
(
b)
−2p
2p−q
p
q
a+b+c+d= 1
!
)
p, q ∈ R ,
Lösung: a = p −
Lösen Sie jeweils das lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren.
a)
x+y−z= 1
2x + 6y + 3z = 8
x − 7y − 4z = 3
c)
x + 2z = 1
x+y+z= 3
3x + y + 5z = 6
e)
x1 + 2x3 + 3x4
2x1 + x2 + 5x3 + 5x4
− x1 + x2 − 2x3 + x4
2x2 + x3 + 4x4
=0
=0
=0
=0
b)
2x + 8y = 0
6x + 24y + 3z = 0
2x + 8y + z = 0
d)
2x1 + x2 + 5x3 + x4 = 3
x1 + x2 + 3x3 = 1
2x1 + 2x2 + 6x3 + x4 = 5
f)
3a + 2b + c = −1
c) ∅
2x1 + 2x2 + 8x4
x1 + x2 + x3 + 6x4
2x3 + 4x4 + x5
x1 + x2 + 2x3 + 8x4
=0
=0
=0
=0
3
2
−a + b − c + d = 1
und b = − p + 1 sowie c = − p +
3
2
und d = p für beliebiges p ∈ R
c) Dass die Gerade y = 3x ein Tangente an den Graphen von f an der Stelle x = 1 ist, ist
äquivalent zu f (1) = 3 · 1 = 3 und f 0 (1) = 3. Die Bedingung, dass 1 die Wendestelle
ist, ist äquivalent zu f 00 (1) = 0 und f 000 (1) = 6a 6= 0 (d.h. a 6= 0). Somit hat man das
Gleichungssystem
a+b+c+d= 3
3a + 2b + c = 3
6a + 2b = 0
sowie die Zusatzbedingung a 6= 0.
Lösung: a = − p und b = 3p sowie c = −3p + 3 und d = p für beliebiges p ∈ R \ {0}
*Aufgabe 13
Gegeben sei das folgende Gleichstromnetz:
Lösung:
a)
{(4
d)
f)
− 1 2)T },
{(−2p − 1
{(− p − 4q
− p+2
p
b)
p
{(−4p
p
0)T | p ∈ R},
3)T | p ∈ R},
− 2q q 0)T | p, q ∈ R}.
e)
R1
c) ∅,
I1
{(0 0 0 0)T },
R3
U
Aufgabe 12
I2
Bestimmen Sie jeweils alle Parameter a, b, c, d ∈ R, für die die Funktion f : R → R,
x 7→ ax3 + bx2 + cx + d die gewünschten Bedingungen erfüllt.
R2
a) Es gilt f (1) = 1 und f (2) = 2 sowie f (−1) = 5.
b) Es gilt f (1) = 1 und f 0 (1) = −1 sowie f (−1) = 1.
c) Die Gerade mit der Gleichung y = 3x ist die Wendepunkttangente des Graphen von f ,
und die Wendestelle ist 1.
Lösung:
a) Gleichungssystem:
a+b+c+d= 1
8a + 4b + 2c + d = 2
Lösung: a =
p
2
−a + b − c + d = 5
R4
I4
In einem Gleichstromnetz gelten die Kirchhoffschen Regeln. Die Knotenregel besagt, dass in
jedem Knoten im Netz die Summe der Ströme, deren Pfeil auf den Knoten hinweist, gleich
der Summe der Ströme ist, deren Pfeil vom Knoten wegweist. Die Maschenregel besagt,
dass, wenn man einen geschlossenen Weg durch das Netz läuft und dabei die Produkte
± Rk Ik an den durchlaufenen Widerständen aufsummiert (mit positivem Vorzeichen, wenn
der Weg in Pfeilrichtung verläuft, und mit negativem Vorzeichen, wenn der Weg entgegen
der Pfeilrichtung verläuft), man die Summe der Spannungen der Spannungsquellen auf
diesem Weg erhält. Berechnen Sie mit diesen Regeln die Stromstärken in obigem Netz,
wenn die Spannungsquelle 36 V hat und für die Widerstände R1 = 200 Ω sowie R2 = 400 Ω
und R3 = 300 Ω sowie R4 = 200 Ω gilt.
− 1 und b = − p + 3 sowie c = − 2p − 1 und d = p für beliebiges p ∈ R
9
I3
10
Lösung:
Die Knotenregel liefert die Bedingungen I3 + I4 = I1 (oberer Knoten) und I2 = I3 + I4
(unterer Knoten), und aus der Maschenregel erhält man R2 I2 + R3 I3 + R1 I1 = U (linke
Masche gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen) sowie R4 I4 − R3 I3 = 0 (rechte Masche
gegen den Uhrzeigersinn durchlaufen). Man hat also in Standardform (und ohne Einheiten)
das Gleichungssystem
I1 − I3 − I4 = 0
I2 − I3 − I4 = 0
Lösung:
a) lösbar genau für a = 1 oder a = −2, b) lösbar genau für a = 0,
c) lösbar genau für a 6= 0, d) lösbar genau für a 6= −1
Aufgabe 16
Untersuchen Sie jeweils in Abhängigkeit von a ∈ R, ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine, genau eine oder unendlich viele Lösungen hat.
a)
200I1 + 400I2 + 300I3 = 36
−300I3 + 200I4 = 0
Lösung: I1 = 0,05 und I2 = 0,05 sowie I3 = 0,02 und I4 = 0,03 (jeweils in Ampere)
2x + 4y + az = 5
3x + ( a + 5)y + z = 7
x + 2y + az = 3
b)
ax + y + z = a
ax + ( a + 2)y + (2a + 1)z = a − 2
( a2 + a)y + (3a2 − 1)z = −2
Lösung:
a) für a = 0 unlösbar, für a = 1 unendlich viele Lösungen, sonst genau eine Lösung
b) für a = −1 unlösbar, für a ∈ {0, 1} unendlich viele Lösungen, sonst genau eine Lösung
3. Übung
Aufgabe 17
Bestimmen Sie aus dem Ergebnis von Aufgabe 10 a) die Lösungsmenge von
Aufgabe 14
Untersuchen Sie jeweils, ob das gegebene lineare Gleichungssystem keine, genau eine oder
unendlich viele Lösungen hat.
a)
2x + y − 5z = 10
2x + 4y + z = 1
2y + 4z = −6
b)
x + 3y + 5z = 0
x+y+z= 0
x + 5y + 15z = 0
c)
2x − 3y + z = 5
4x − 5y + 4z = 14
2x − 2y + 3z = 14
Lösung:
a) Zeilenstufenform hat (bei drei Variablen) zwei Treppenstufen und eine (0 = 0)-Zeile ⇒
unendlich viele Lösungen
b) Zeilenstufenform hat (bei drei Variablen) drei Treppenstufen ⇒ genau eine Lösung
c) Zeilenstufenform hat zwei Treppenstufen und eine (0 = 5)-Zeile ⇒ keine Lösung
Aufgabe 15
Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme in Abhängigkeit von a ∈ R auf
Lösbarkeit.
a)
c)
x + ay + 3z = a
y − az = 1
x + ( a − 2)y + (2a + 3)z = − a2
b)
2x + 4y = −2a
x + ( a + 2) y = 1 − a
d)
11
x+z= 0
x + y + ( a + 1) z = 2
3x + y + ( a + 3)z = a + 2
x + a2 y = 1
a2 x + y = a
x + 3y + z = 0
3x + 9y + 4z = 0
x + 3y + 2z = 0
(ohne erneutes Lösen eines Gleichungssystems).
Lösung:
{
−3p
p
0
| p ∈ R}
Aufgabe 18
Untersuchen Sie jeweils für die gegebene Matrix A, ob das Gleichungssystem A · x = b für
alle b ∈ R3 lösbar ist.
1 2
1 3 −1
2 −1
3
4
a) A = 1 5
b) A = 4 −2
c) A = 3 4 .
5 ,
6
7 ,
2 7
1
−4
4 −6 −12
5 6
Lösung:
a) Zeilenstufenmatrix zu A hat genau 2 Treppenstufen ⇒ das Gleichungssystem ist nicht
für alle b ∈ R3 lösbar
b) Zeilenstufenmatrix zu A hat genau 3 Treppenstufen ⇒ das Gleichungssystem ist für
alle b ∈ R3 lösbar
c) Matrix A hat nur zwei Spalten ⇒ Zeilenstufenmatrix zu A hat höchstens 2 Treppenstufen
⇒ Gleichungssystem nicht für alle b ∈ R3 lösbar
12
— Aufgaben zum 2. Kapitel (Vektorrechnung) —
Aufgabe 19
Im R3 sind die Punkte P = (1; 2; 1), Q = (0; 2; 12 ), R = (−2; 0; −1) gegeben.
a) Bestimmen Sie die Ortsvektoren ~p, ~q und ~r der drei Punkte, sowie sämtliche Verbin−→ −→ −→
dungsvektoren PQ, QP, PR etc.
b) Welche dieser neun Vektoren sind Vielfache voneinander?
c) Rechnen Sie nach, dass für diese Vektoren die Gleichung
Lösung:
−→
~ = ~a + 12 AB =
a) m
−→ −→
~q + 3QP = RP
gilt.
Lösung: 1
a) ~p = 2 , ~q =
1
−→
PQ =
−1
0
−1/2
0
2
1/2
, ~r =
−2 0
−1
, sowie
−→
−→ , QP = − PQ =
1
0
1/2
−
−→ −→ → 3
, RP = 2 = − PR, RQ =
2
2
2
3/2
−→
= − QR.
−→
−→
−→
b) Außer den generellen Vielfachen PQ = − QP etc. gilt in diesem Fall noch ~r = 2 · PQ.
1 3 −
0+3
−→ 0 →
2+0
2
+3· 0 =
= 2 = RP.
c) ~q + 3 · QP =
1/2
1/2
1/2+3/2
+ 12
−→
~ + 13 MC = 8/3
b) ~s = m
7/3 .
Im R2 sind die Punkte A = (1; 1), B = (5; 2) und C = (2; 4) gegeben.
a) Berechnen Sie die Koordinaten des Mittelpunktes M der Strecke AB.
b) Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes S auf der Strecke MC, der von C doppelt so
weit entfernt ist wie von M.
5−1
2−1
=
3
3/2
,
→
~ 0 = ~b + 1 −
c) m
= 7/2
und
2 BC 3
−
−
→
~ 0 + 1 M0 A = 8/3 = ~s.
m
3
7/3
−
→
1
~ 00 = ~a + AC = 3/2 und
d) m
2
5/2
−−→ ~ 00 + 1 M00 B = 8/3 = ~s.
m
3
7/3
e)* Diese Aussage gilt allgemein, denn
1
1 −→
1
~ = ~a + AB = ~a + (~b −~a) = (~a + ~b).
m
2
2
2
2
Aufgabe 20
1
1
Und daher
1
1
2
1
~s = m
~ + (~c − m
~ ) = ~c + m
~ = (~c +~a + ~b).
3
3
3
3
~
Letzter Ausdruck bleibt derselbe, wenn man ~a, b und ~c vertauscht, weshalb die Aussagen
c) und d) in jedem Dreieck gelten.
Bemerkung: S ist der sogenannte Schwerpunkt des Dreiecks ABC.
c) Zeigen Sie, dass S auch auf der Strecke zwischen A und dem Mittelpunkt M0 der Strecke
BC liegt, und zwar doppelt so weit von A entfernt wie von M0 .
Aufgabe 21
d) Zeigen Sie, dass S auch auf der Strecke zwischen B und dem Mittelpunkt M00 der
Strecke AC liegt, und zwar doppelt so weit von B entfernt wie von M00 .
a) Bestimmen Sie den Punkt Q0 , den man erhält, wenn man Q an P spiegelt.
e*) Sind c) und d) spezielle Eigenschaften der drei gewählten Punkte, oder gelten Sie für
beliebige Punkte A, B und C?
Im R3 sind die Punkte P = (1; 2; 1), Q = (0; 2; 12 ), R = (−2; 0; −1) gegeben.
b) Bestimmen Sie den Punkt R0 , den man erhält, wenn man R an P spiegelt.
−−→
−→
c) Rechnen Sie nach, dass Q0 R0 = − QR gilt.
d*) Zeigen Sie, dass c) für beliebige Punkte P, Q und R gilt.
13
14
Lösung:
−−→
−→
a) PQ0 = − PQ, also
a) (1; 0; 1) und (5; 2; −1) sowie (1; −3; 0),
−−→
→ 1
~q0 = ~p + PQ0 = ~p − −
PQ = 2 −
1
0−1 2−2
1
2 −1
=
2
2
3
2
−2−1
−→ 1 4
b) ~r 0 = ~p − PR = 2 − 0−2
= 4 .
1
−−→
c) Q0 R0 =
2
2
3
2
3
−1−1
−→
und QR =
−2 −2
− 32
.
d)* Nach Rechnung gilt allgemein:
−−0→0
−→
Q R = ~r 0 − ~q0 = (~p − (~r − ~p)) − (~p − (~q − ~p)) = −~r + ~q = − QR.
b) (3; 2; 2) und (4; 3; 3) sowie (4; 3; 4),
n 1 2 o
1
c) (0; 1; 0) und
0 +s
s ∈ R ,
−2
1
Lösung:
4 0 2 0
n 1 o
n 1 o
1
2
+ s −3 r, s ∈ R oder auch
+ s 3 r, s ∈ R ,
a)
0 +r
0 +r
−2
−1
−1
1
1
1
1
n 3 1
o
n 1 0
1
o
b)
0 + r 1 + s 0 r, s ∈ R ,
2 + r 1 + s 1 r, s ∈ R oder auch
2
0
2
1
1
1
n 0 1 2 o
1
c)
1 + r −1 + s
r, s ∈ R ,
0
−2
1
Aufgabe 25
4. Übung
Aufgabe 22
Bestimmen Sie jeweils eine Parameterform der Geraden durch die gegebenen Punkte.
a)
(2; 2; −3) und (4; 0; 1),
b)
(7; 8; 3) und (5; 5; 2),
c)
(2; 1) und (2; 4).
Lösung:
n 2 2 o
n 2 1 o
2
2
a)
+ r −2 r ∈ R oder auch
+ r −1 r ∈ R ,
−3
−3
4
2
n 1 2
o
−2 7
−3 r ∈ R oder auch
−1 + r 3 r ∈ R .
8 +r
b)
3
c) z.B.
2
1
−1
+r
0
1
0
1
|r∈R .
Aufgabe 23
Untersuchen Sie jeweils, ob die drei Punkte auf einer Geraden liegen.
a) (3; 2; −4) und (1; 1; 0) sowie (7; 4; 8),
−2
2
Lösung:
a) linear unabhängig,
−2
0
b) linear abhängig,
−2
3
c) linear abhängig,
3
1
d) linear abhängig.
Aufgabe 26
Untersuchen Sie jeweils durch Lösen eines linearen Gleichungssystems, ob die gegebenen
Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.
1 −1 4 1 −1 4 0 1 2
a)
, 7 ,
b)
, 7 ,
c)
3 , 4 , 5 .
0 ,
0 ,
1
1
2
Lösung:
a) linear unabhängig,
2
1
3
b) linear abhängig,
6
43
3
7
8
c) linear abhängig.
Untersuchen Sie jeweils durch Lösen eines linearen Gleichungssystems, ob der dritte Vektor
linear abhängig von den ersten beiden Vektoren ist.
1 −1 0 2 −1 4 2 1 1 4
3 ,
a)
, 4 ,
b)
, 7 ,
c)
, −10 .
1 ,
1 ,
3
1
c) (2; −5; 2) und (1; −2; 4) sowie (3; −7; 6).
b) ja,
−2
Aufgabe 27
b) (1; 1; 0) und (3; −3; 2) sowie (4; −5; 3),
Lösung:
a) nein,
Untersuchen Sie jeweils, ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig
sind.
3 −1 1 0
2 −3 1 0 1
0
4
1
a)
, 3 ,
b)
c)
, −6 , d)
, 1 , 1 .
0 , 0 ,
2
c) nein.
3
5
Lösung:
a) nicht linear abhängig,
Aufgabe 24
0
1
b) nicht linear abhängig,
Bestimmen Sie eine Parameterform der Ebene, welche die angegebenen Punkte bzw.
Geraden enthält.
15
16
2
3
−1
c) linear abhängig.
9
Aufgabe 28
Argumentieren Sie möglichst geschickt, ob die gegebenen Vektoren linear abhängig oder
linear unabhängig sind.
2 6 −2 0 2 0 2
1
6
3
3
a)
, −2 , −3 ,
b)
,
,
c)
.
2 , −1 ,
−1
−1
0
7
3
−2
3
3
1
Lösung:
a) dritter Vektor ist das Negative des ersten Vektors ⇒ linear abhängig
b) Das homogene lineare Gleichungssystem, dessen Lösungen die Koeffiziententupel
sind, mit denen sich die drei gegebenen Vektoren zum Nullvektor linearkombinieren,
hat zwei Gleichungen und drei Unbekannte. Da es sich um ein homogenes lineares
Gleichungssystem handelt, ist es lösbar. Eine Zeilenstufenform der (erweiterten) Koeffizientenmatrix hat höchstens zwei Treppenstufen, so dass mindestens ein Parameter zur
Beschreibung der Lösungsmenge notwendig ist. Also gibt es unendlich viele Lösungen
dieses Gleichungssystems, und darunter ist sicherlich ein Koeffiziententupel, welches
von Null verschiedene Einträge hat. Also sind die gegebenen Vektoren linear abhängig.
c) Wir nehmen an, dass die Linearkombination der gegebenen Vektoren mit Koeffizienten
r, s, t der Nullvektor ist. Aufgrund der ersten Einträge der Vektoren ist dann s = 0.
Es spielen also nur der erste und der dritte Vektor eine Rolle. Ihre dritten Einträge
implizieren t = 0. Aus dem zweiten Eintrag des ersten Vektors folgt dann auch r = 0.
Also sind die gegebenen Vektoren linear unabhängig.
a) P = (3; 2; −4), Q = (1; 1; 0) und R = (7; 4; 8),
b) P = (1; 1; 0) , Q = (3; −3; 2) und R = (4; −5; 3),
c) P = (2; −5; 2), Q = (1; −2; 4) und R = (3; −7; 6).
Lösung:
Genau die gleiche Rechnung wie in Aufgabe 23. Lösungen sind also:
a) nein,
b) ja,
c) nein.
Aufgabe 31
Untersuchen Sie jeweils, ob die vier Punkte in einer Ebene liegen.
a) (0; 0; 1) und (1; −1; −3) sowie (4; 2; 0) und (−3; 1; 8),
b) (1; 3; −2) und (3; 1; −1) sowie (4; 5; 2) und (2; −2; −2),
c) (2; 1; 3) und (1; −1; 0) sowie (3; −5; 2) und (−1; 9; 1).
Lösung:
a) ja,
b) nein,
c) ja.
5. Übung
Aufgabe 32
— Aufgaben zum 3. Kapitel (Lagebestimmungen) —
Aufgabe 29
Untersuchen Sie jeweils, ob der Punkt (1; −1; 2) auf der Geraden bzw. Ebene liegt.
o
n 5 2 −1 + r
0
a)
r ∈ R ,
−3
−4
1 −1
−4 + s 2 s ∈ R ,
b)
−4
3
1 o
+s
+ t −1 s, t ∈ R ,
2
n 9 1
2 o
d)
2 + r 3 + s −1 r, s ∈ R .
c)
n −3 4
1
1
9
2
−1
−1
Lösung:
a) ja (für p = −2),
0
b) nein,
c) nein,
d) ja (für p = −2 und q = −3).
Aufgabe 30
Untersuchen Sie jeweils, ob der Punkt P auf der Geraden QR liegt.
17
Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Geraden (sind gleich; sind
nicht gleich, aber parallel; haben genau einen Schnittpunkt; sind windschief) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
n 3 2
o
n 4 −1 o
−1 + q
a)
1 + p 2 p ∈ R und
0
q ∈ R ,
1
−9
1
3
n 4 2 o
n 2 −4 o
−3 + q
b)
0 + p −3 p ∈ R und
6
q ∈ R ,
5
−2
1
4
n 4 1
o
n 7 3 o
−2 + s −1 s ∈ R ,
c)
6 + r 2 r ∈ R und
1
1
2
2
n 1 3 o
n 6 4 o
6
d)
+ r −3 r ∈ R und
1 + s −4 s ∈ R ,
−2
8
6
8
4
o
o
n 1 n −2 2
2
e)
+ t 3 t ∈ R und
+u 5 u ∈ R ,
2
−5
1
1
3
o
n 3 2
o
n −1 −1 6 + t 4 t ∈ R und
+u 3 u ∈ R .
f)
8
1
5
0
2
Lösung:
a) schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in (1; −1; 0)
b) parallel, aber nicht gleich
18
Aufgabe 35
c) schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in (1; 0; −2)
Ein Parallelogramm ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten jeweils parallel sind.
Bestimmen Sie zu den Punkten A = (1; 2; 0), B = (−1; 3; 1) und D = (2; 1; 1) einen vierten
Punkt C so, dass die vier Punkte ein Parallelogramm ABCD bilden, indem Sie die Gerade
durch B, welche parallel zu AD ist, mit der Geraden durch D, welche parallel zu AB ist,
schneiden.
d) gleich
e) windschief
f) schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in (1; 2; −4)
Aufgabe 33
Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der
Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene, ist aber parallel zu ihr; Gerade und Ebene haben
genau einen Schnittpunkt) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
n 4 1 o
n 7 1 3
o
8
1
a)
+ s 1 s ∈ R und
+ q 4 + r 1 q, r ∈ R ,
−4
−7
−2
−2
3
n 0 1 o
n 1 1
−1 o
−2 + r
2
−1 + s 1 + t
b)
0
r ∈ R und
s, t ∈ R ,
−2
2
16
3
0
n 14 2 o
n 3 4 1
o
−5 + r
3
c)
+ p 1 p ∈ R und
+ s 1 r, s ∈ R .
4
6
−8
−2
1
3
Lösung:
a) schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in (2; −1; −3),
2
b) schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in (2; 2; 12),
c) die Gerade liegt in der Ebene.
*Aufgabe 36
Aufgabe 34
Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der gegebenen Ebenen (sind gleich; sind
nicht gleich, aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge) und bestimmen Sie gegebenenfalls die Schnittgerade.
n 1 1
−1 o
n 6 3
1 o
0
−1 + p 1 + q
a)
2 +r 2 +s
0
p, q ∈ R und
r, s ∈ R ,
−1
6
5
2
3
0
n 1 1
−1 o
n 9 1
4 o
1
−1 + r 1 + s
b)
2 +t 2 +u
0
r, s ∈ R und
t, u ∈ R ,
−1
3
2
1
3
0
n 1 1
−1 o
n 3 0
2 o
1
−1 + q 1 + r
c)
1 +s 1 +t
0
q, r ∈ R und
s, t ∈ R ,
−1
5
2
4
3
0
−1 n 1 1
o
n 2 5
6
o
−1 + t 1 + u
d)
1 + r 4 + s 5 r, s ∈ R .
0
t, u ∈ R und
0
2
2
3
5
Lösung:
o
n 2 1
a) haben eine Gerade als Schnittmenge:
0 +t 2 t ∈ R ,
2
7
o
n 1 5
b) haben eine Gerade als Schnittmenge:
0 +x 3 x ∈R ,
5
c) sind gleich,
Lösung:
Erste Parallele (d.h. Gerade BC) ist {~b + r (d~ − ~a) | r ∈ R} und zweite Parallele (d.h.
Gerade DC) ist {d~ + s(~b − ~a) | s ∈ R}. Durch Berechnung des Schnittpunktes, oder
genau hinschauen, erhält man, dass man den Schnittpunkt für r = s = 1 bekommt (im
Allgemeinen, sowie im Zahlenbeispiel), also
0
~c = d~ + ~b −~a = 2 .
0
d) sind nicht gleich, aber parallel.
19
7
Seien A, B, C und D im R3 vier Punkte, die in einer gemeinsamen Ebene liegen.
Definitionsgemäß ist das Viereck ABCD ein Parallelogramm, wenn gegenüberliegende Seiten
zueinander parallel sind, wenn also AB parallel zu CD und AD parallel zu BC ist.
−→ −→
−→ −
→
a) Zeigen Sie, dass für ein Parallelogramm ABCD sogar AB = DC und AD = BC gelten
(vgl. Aufg. 35).
−→ −→
−→ −
→
b) Zeigen Sie, dass genau dann AB = DC ist, wenn AD = BC erfüllt ist.
c) Zeigen Sie, dass in einem Parallelogramm der Schnittpunkt der Diagonalen genau der
Mittelpunkt beider Diagonalen ist.
d) Zeigen Sie, dass jedes Viereck dessen Diagonalen sich in ihren Mittelpunkten schneiden,
ein Parallelogramm ist.
Lösung:
a) Im Parallelogramm gilt ~c = ~b + d~ −~a (vgl. Lösung zu Aufg. 35).
−→
−→
⇒ AB = ~b −~a = ~c − d~ = DC
und
−→ ~
−
→
AD = d −~a = ~c − ~b = BC.
b) Beide Gleichungen sind äquivalent zu ~c = ~b + d~ −~a.
20
~ = 21 (~a +~c) (vgl. Aufg. 20 bzw. Vorlesung) und
c) Mittelpunkt M von AC hat Ortsvektor m
1 ~
0
0
~
Mittelpunkt M von BD hat m = 2 (b + d~). Nach Gleichung in a) ist damit M = M0 .
d) Wenn die Mittelpunkte gleich sind, gilt also 21 (~a +~c) = 12 (~b + d~).
Berechnen Sie jeweils die Länge des Vektors.
→ −→
−→ −
→
a) −
⇒ ~c = ~b + d~ −~a ⇒ AB = DC und AD = BC.
a)
Also AB parallel zu CD und AD parallel zu BC.
Lösung:
a) 2, b) 13,
— Aufgaben zum 4. Kapitel (Skalarprodukt, Längen und Winkel) —
Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
c) 41 , −41 ,
a) 21 , 13 ,
b) −32 , 23 ,
c) 0,
3
4
d)
,
3
4
.
d) 25.
Aufgabe 38
Berechnen Sie jeweils das Skalarprodukt der beiden Vektoren.
2 1
3 1 1 3 1
a)
, 2 ,
b) −2 , −1 ,
c) 9 , −1 .
−3
Lösung:
a) 1, b) 0,
1
−1
5
5
4
2
0
,
b)
c) 3,
5
0
12
d) 3,
,
e)
c)
√
3,
1
2
2
,
d)
2
−1
2
,
e)
1
−1
−1
,
f)
8
11
−16
.
f) 21.
Aufgabe 41
Lösung:
Die Seitenlängen sind
q
√
√
−→
d( A, B) = k ABk = (2 − 1)2 + (1 − 0)2 + (5 − 3)2 = 1 + 1 + 4 = 6,
q
√
√
−→
d( A, C ) = k AC k = (−1 − 1)2 + (1 − 0)2 + (5 − 3)2 = 4 + 1 + 4 = 9 = 3,
q
√
−
→
d( B, C ) = k BC k = (−1 − 2)2 + (1 − 1)2 + (5 − 5)2 = 9 = 3.
Das Dreieck ist also gleichschenklig mit Schenkeln AC und BC, aber nicht gleichseitig.
Aufgabe 42
c) 14.
Die drei Punkte A = (2; −1; 3), B = (−1; 3; 2) und C = (3; 2; −1) bilden ein Dreieck.
Untersuchen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist (d.h. zwei Seiten gleich lang sind)
oder sogar gleichseitig ist (d.h. alle drei Seiten gleich lang sind).
6. Übung
Lösung:
Die Seitenlängen sind
Aufgabe 39
Seien ~a, ~b ∈ Rm mit ~a •~a = 5, ~a • ~b = 10 und ~b • ~b = 21. Berechnen Sie
a) ~a • (~a + 3 · ~b),
0
Die drei Punkte A = (1; 0; 3), B = (2; 1; 5) und C = (−1; 1; 5) bilden ein Dreieck. Untersuchen Sie, ob das Dreieck ABC gleichschenklig ist (d.h. zwei Seiten gleich lang sind) oder
sogar gleichseitig ist (d.h. alle drei Seiten gleich lang sind).
Aufgabe 37
Lösung:
a) 5, b) 0,
Aufgabe 40
b) 3 · (~a + ~b) • (~a − ~b),
c) (5 ·~a + 2 · ~b) • (3 ·~a − 4 · ~b).
Lösung:
Aufgrund des Kommutativ- und Distributivgesetzes für das Skalarprodukt gilt
a) a • ( a + 3 · b) = a • a + 3 · a • b = 5 + 3 · 10 = 35,
b) 3 · ( a + b) • ( a − b) = 3 · ( a • a − a • b + b • a − b • b) = 3 · ( a • a − b • b) = 3 · (5 − 21) =
−48,
c) (5 · a + 2 · b) • (3 · a − 4 · b) = 15 · a • a − 20 · a • b + 6 · b • a − 8 · b • b = 15 · a • a − 14 ·
a • b − 8 · b • b = 15 · 5 − 14 · 10 − 8 · 21 = 75 − 140 − 168 = −233.
21
q
√
√
−→
d( A, B) = k ABk = (−1 − 2)2 + (3 + 1)2 + (2 − 3)2 = 9 + 16 + 1 = 26,
q
√
√
−
→
d( B, C ) = k BC k = (3 + 1)2 + (2 − 3)2 + (−1 − 2)2 = 16 + 1 + 9 = 26,
q
√
√
−→
d(C, A) = kCAk = (2 − 3)2 + (−1 − 2)2 + (3 + 1)2 = 1 + 9 + 16 = 26,
Das Dreieck ist also gleichseitig.
22
Aufgabe 43
7. Übung
Welche der folgenden Vektoren sind zueinander senkrecht?
2 1
5 10 ~u = 3 , ~v = 0 , w
~ = −4 , ~z = 1 .
−1
2
−2
Aufgabe 47
23
Lösung:
~u ist zu allen drei anderen senkrecht. Außerdem sind w
~ und ~z zueinander senkrecht.
Aufgabe 44
Bestimmen Sie jeweils alle s ∈ R, für die v und w senkrecht aufeinander stehen.
2 s 2 s −2 1
a) v = 2 , w = 2 , b) v = −1 , w = s−1 , c) v = s+1 , w = s−1 .
Lösung:
a) s = 2,
s +1
s
−3
b) s = −1,
−1
3
2
c) s ∈ {3, −1}.
Bestimmen Sie jeweils alle s ∈ R, für die u senkrecht auf v und w steht.
s 1 1
1
0
s
a) u = s , v = 0 , w = 2 ,
b) u = 1 , v = 1 , w = s ,
−1
2
−1
s
3
1
1 1
−1
2s−1
1
1
s
c) u = s , v = s , w =
, d) u = s , v = s2 , w = s .
1
Lösung:
a) {~x ∈ R2 | x1 + x2 = 3},
b) {~x ∈ R2 | x1 + x2 = 3},
c) {~x ∈ R2 | 2x1 − x2 = 3}.
Aufgabe 45
0
Bestimmen Sie jeweils eine Koordinatenform der Geraden g = {~u + r~v|r ∈ R} im R2 ,
wobei
a) ~u = 12 und ~v = −11 ,
b) ~u = −41 und ~v = −11 ,
c) ~u = −11 und ~v = 12 .
5
1
0
−1
Lösung:
a) u • v = 0, u • w = −2 + 2s, also s = 1,
b) u • v = 1 + 2s, u • w = 0, also s = −21 ,
c) u • v = −1 + s2 = (s − 1)(s + 1), u • w = 1 − 2s + s2 = (s − 1)2 , also s = 1,
d) u • v = 1 + s3 = (s + 1)((s − 12 )2 + 43 ), u • w = s2 , also erfüllt kein s ∈ R gleichzeitig
u • v = 0 und u • w = 0.
Aufgabe 46
Gegeben seien die drei Punkte A = (1; 6; 1), B = (−1; 3; 2) und C = (4; −1; 0).
Aufgabe 48
Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der in Koordinatenform gegebenen Geraden.
a)
Lösung:
Mögliche Lösungen:
a)
Lösung:
−→ −
→ a) BA • BC =
2
3
−1
5 • −4 = 0, also sind die Seiten AB und BC zueinander senkrecht.
−2
b) Mit Skizze sieht man, dass
−→
−
→ 1 5 d~ = ~a + AD = ~a + BC = 6 + −4 =
1
Also D = (6; 2; −1).
23
−2
6
2
−1
.
0
3
+r
1
−2
|r∈R
b)
b)
x1 x2
{
0
3
∈ R2 | x2 = 3}.
+r
1
0
|r∈R
Aufgabe 49
Berechnen Sie das Kreuzprodukt der Vektoren v und w
a)
a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC rechtwinklig mit rechtem Winkel bei B ist.
b) Bestimmen Sie den Punkt D so, dass das Viereck ABCD ein Rechteck ist.
{( yx ) ∈ R2 | 2x + y = 3},
c)
1
2
v = 2 , w = 0 ,
4
3
3
15
v = 9 , w = 45 ,
1
5
−2
2
b) v = 1 , w = 4 ,
3
−1
d)
s−1
s
v = s , w = s + 1 .
1
2
Lösung:
6
s−1
−13
0
a) v × w =
, c) v × w = 0 , d) v × w = 2 − s.
5 , b) v × w =
4
−4
−1
−10
0
24
Aufgabe 50
Aufgabe 53
Berechnen Sie jeweils das Kreuzprodukt v × w und geben Sie eine Normalenform und
Koordinatenform der Ebene E = { u + p · v + q · w | p, q ∈ R } an.
−1 4
5 a) u = 2 , v = 1 , w = 0 ,
−1
0
2
1 1 4
b) u = −1 , v = 3 , w = 1 ,
−2
2
1
0 1
2 c) u = 1 , v = 0 , w = 7 .
Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der gesuchten Geraden.
n 2 2
1 o
3
a) Gerade senkrecht zu
+ p 4 + q 0 p, q ∈ R durch (1; 0; 3),
−1
−1
1
n 2 1
o
n 2 2 o
8 + p 1 p ∈ R und
8 + q −1 q ∈ R durch (2; 8; 5),
b) Gerade senkrecht zu
−1
−1
4
Lösung:
−1 n x o
y ∈ R3 − x + 4y − 5z = −1
a) v × w = 4 und E =
−5
8
−10
−11
n x R3
3
Aufgabe 51
Berechnen Sie jeweils eine Normalenform und Koordinatenform der in Parameterform
gegebenen Ebene.
n 1 1 −2 o
n 1 4 −3 o
−2 + p
2
a)
b)
+ q −3 p, q ∈ R .
0 + p −2 + q
4
p, q ∈ R ,
0
1
1
−1
1
1
Lösung:
a) Eine Normalenform und Koordinatenform ist gegeben durch
n x y
z
2 x 1 o
n x o
y − 0
y ∈ R3 2x + y = 2 .
∈ R3 1 •
= 0 =
z
0
z
0
b) Eine Normalenform und Koordinatenform ist gegeben durch
1 x 1 o
n x o
n x y ∈ R3 1 •
y − −2
y ∈ R3 x + y + 6z = 5 .
= 0 =
z
z
6
z
1
Aufgabe 52
Berechnen Sie jeweils eine Parameterform der in Koordinatenform gegebenen Ebene.
n x o
n x o
y ∈ R3 x + 2y + 3z = 1 ,
y ∈ R3 2x − y − z = 4 .
a)
b)
z
Lösung:
n 1 2 a)
0 + p −1 + q
0
0
z
3
0
−1
o
p, q ∈ R ,
b)
25
n 2 0
0
+p
1
2
0
3
0
4
b)
n 2 8
5
+r
4
−1
−3
3
o
r ∈ R ,
c)
4
n 3 1
3
+r
−4 o
2
r ∈ R
1
Aufgabe 54
z
7
5
1
2
−1
Lösung:
n 1 4 o
a)
0 + r −3 r ∈ R ,
z
o
y ∈
b) v × w =
und E =
8x − 10y − 11z = 7
z
−28 n x o
y ∈ R3 −28x + 9y + 7z = 2
c) v × w =
und E =
9
5
c)* Gerade, die senkrecht auf g steht und in E enthalten ist, wobei
n 1 1
o
n 0 −2 −1 o
−1 + p 1 p ∈ R
und
E=
+ r 2 q, r ∈ R .
g=
1 +q
2
+q
o
1
0 p, q ∈ R .
2
Berechnen Sie jeweils eine Normalenform und Koordinatenform der gesuchten Ebene.
n 1 1 o
0
a) Ebene senkrecht zu
+ p −2 p ∈ R durch (2; 2; −1),
−2
2
b) Ebene, die den Punkt (1; 2; −1) enthält und senkrecht auf E1 und E2 steht, wobei
o
n 2 −1 7 o
n 3 −1 −3 + p
E1 =
+ q −2 p, q ∈ R und E2 = r −5 + s 1 r, s ∈ R ,
2
3
1
−1
1
0
c) Ebene, die die Gerade g enthält und senkrecht auf die Ebene E steht, wobei
o
n 9 1
4 o
n −1 −2 −6 + q 1 + r −2 q, r ∈ R .
und
E=
g=
+p 1 p∈R
5
0
6
7
Lösung:
n x o
y ∈ R3 x − 2y + 2z = −4 ,
a)
z
n x o
y ∈ R3 8x − 2y + 3z = 3
c)
b)
n x y
z
z
1
1
o
∈ R3 −13x + 5y + 4z = −7 ,
Aufgabe 55
Untersuchen Sie jeweils, ob der Punkt (3; −2) auf der gegebenen Geraden liegt.
a)
{
Lösung:
a) ja,
b) nein.
x1 x2
∈ R2 | 3x1 + 2x2 = 5} b) {
26
x1 x2
∈ R2 | x1 − 2x2 = −1}
Aufgabe 56
Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der Geraden und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
a) { −13 + r 11 ∈ R2 | r ∈ R} und { xx12 ∈ R2 | 3x1 + 2x2 = 5},
b) { −13 + r 12 ∈ R2 | r ∈ R} und { xx12 ∈ R2 | 4x1 − 2x2 = 5}.
Lösung:
7
a) Schnittpunkt bei ( 13
5 ; − 5 ).
d)
e)
g)
h)
Aufgabe 57
Untersuchen Sie jeweils, ob der Punkt (1; −1; 2) auf der gegebenen Ebene liegt.
n x o
n x o
y ∈ R3 3x + 2y − z = 2 ,
y ∈ R3 4x + 2y − z = 0 .
a)
b)
z
z
b) ja.
o
n 4 2 5 o
−8 + p −3 + q −9 p, q ∈ R ,
∈ R3 x − 2y + 3z = 2 und
6
7
4
n x o
n 1 1
−1 o
y ∈ R3 3x − 5y + z = 3 und
−1 + p 1 + q
0
p, q ∈ R ,
z
2
3
0
n x o
n x o
3
3
y ∈ R x + 2y + 8z = 1 und
y ∈ R x + y + 5z = 1 ,
z
z
n x o
n x o
3
y ∈ R x + 7y + 3z = 2 und
y ∈ R3 2x + 9y + z = −1 ,
z
z
n x o
n x o
y ∈ R3 2x + y + 8z = 3 und
y ∈ R3 x + y + 6z = 2 ,
z
z
n x o
n x o
y ∈ R3 x + 2y + 8z = 1 und
y ∈ R3 − x − 2y − 8z = 1 ,
z
z
n x o
n x o
3
y ∈ R x − 3y + z = 2 und
y ∈ R3 x − 5y + 3z = −2 .
n x y
z
z
z
Lösung:
n 0 5 o
1
−1 + r
a) haben eine Gerade als Schnittmenge:
r ∈ R ,
−1
0
−1 n 0 o
−1 + r
b) haben eine Gerade als Schnittmenge:
4
r ∈ R ,
0
o
2 +r 3 r ∈ R ,
−1
n −5 −4 o
e) haben eine Gerade als Schnittmenge:
+r 1 r ∈ R ,
1
−1
0
n 1 2 o
4
f) haben eine Gerade als Schnittmenge:
1 +r
r ∈ R ,
d) haben eine Gerade als Schnittmenge:
Aufgabe 58
4
3
c) sind nicht gleich, aber parallel,
Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage von Gerade und Ebene (Gerade liegt in der
Ebene; Gerade liegt nicht in der Ebene, ist aber parallel zu ihr; Gerade und Ebene haben
genau einen Schnittpunkt) und bestimmen Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt.
n 4 1 o
n x o
y ∈ R3 x − 2y + 3z = 2 ,
1
a)
0 +p
p ∈ R und
z
−1
6
n 1 −2 o
n x o
y ∈ R3 x + 4y − z = −1 ,
−2 + p
b)
1
p ∈ R und
z
5
2
n 1 7 o
n x o
y ∈ R3 2x − 3y + z = 5 .
−1 + p −5 p ∈ R und
c)
0
c)
f)
b) kein Schnittpunkt; echt parallel.
Lösung:
a) nein,
b)
n 1 0
0
−1
0
g) sind nicht gleich, aber parallel,
h) haben eine Gerade als Schnittmenge:
n 8 2
0
+r
z
o
2
1 r ∈ R .
1
Lösung:
a) schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in (9; 5; 1)
8. Übung
b) die Gerade liegt nicht in der Ebene, ist aber parallel zu ihr
Berechnen Sie jeweils den Winkel zwischen den beiden Vektoren.
1 2
2 2 1 a) 1 , 5 ,
b) −1 , −1 ,
c) −1 ,
c) schneiden sich in genau einem Punkt, nämlich in (1; −1; 0)
Aufgabe 60
4
Aufgabe 59
Untersuchen Sie jeweils die gegenseitige Lage der Ebenen (sind gleich; sind nicht gleich,
aber parallel; haben eine Gerade als Schnittmenge) und bestimmen Sie ggf. die Schnittgerade.
n x o
n 6 3
1 o
y ∈ R3 x − 2y + 3z = 2 und
0
a)
2 +p 2 +q
p, q ∈ R ,
z
6
5
27
−1
Lösung:
a) 30°, b) 90°,
5
−1
5
2
1
2
−1
.
c) 60°.
Aufgabe 61
Berechnen Sie jeweils den Schnittwinkel der geometrischen Objekte in R3 .
28
o
1
o
n 6 1 2
3 +q
+ p 2 p ∈ R und
q ∈ R ,
−1
5
1
1
n 1 3
o
n 1 1 o
−1 + p 1
−1 + r
4
+ q 1 p, q ∈ R und
b)
r ∈ R ,
−1
5
10
1
1
n 0 −5 −4 5
o
o
n 0 3
c)
+ q 2 p, q ∈ R und
1 +p
1 + r 1 + s 2 r, s ∈ R .
3
a)
n 6 3
1
0
1
Lösung:
a) 90°, b) 60°,
0
1
1
1
c) 60°.
Aufgabe 62
Bestimmen Sie jeweils die Projektion des Vektors v in Richtung w.
a)
v=
1
3
,w=
,
4
0
b)
v=
0
4
,w=
,
5
2
c)
v=
1
2
,w=
.
2
−1
Lösung:
Wir normieren zuerst den Richtungsvektor w um die Länge der Projektion als Skalarprodukt auszurechnen.
(14) • ( 31 · (30)) = 1,
a)
Länge der Projektion:
b)
Länge:
c)
v und w stehen senkrecht aufeinander,
(05) • ( √120 · (42)) =
√10 ,
20
Projektion:
Projektion:
√10
20
1 · ( 13 · (30)) = (10),
· ( √120 · (42)) = (21),
Projektion:
(00).
Aufgabe 64
Bestimmen Sie zu den Daten aus Aufgabe 63 jeweils den Abstand von P und g bzw. E.
Lösung:
√
√
a) 35, b) 86,
√
c) 2 14,
√
d) 2 6
Aufgabe 65
Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Geraden g bzw. der Ebene E.
3 n 8 o
8
+r 1 r ∈ R ,
a) P = (−3; 3; 1) und g =
−2
−1
n −6 0 o
b) P = (1; 8; 4) und g =
+r 2 r ∈ R ,
2
−1
7
1 1 n 8 o
4
+ s −3 r, s ∈ R ,
c) P = (1; −4; 7) und E =
4 +r
−2
1
5
n 6 2 5
o
7
d) P = (−3; −8; 4) und E =
+ s 4 r, s ∈ R .
2 +r
9
Lösung:
√
a) 2 6, b) 7,
√
c) 2 6,
d)
√
−6
3
2.
Aufgabe 66
Bestimmen Sie jeweils den Abstand des Punktes P von der Ebene E.
n x o
y ∈ R3 x + y − 4z = 13 ,
a) P = (−2; 9; 3) und E =
z
n x o
y
b) P = (2; 1; −1) und E =
∈ R3 6x + 2y + 3z = −17 .
z
— Aufgaben zum 5. Kapitel (Abstände) —
Aufgabe 67
Aufgabe 63
Bestimmen Sie jeweils den Lotfußpunkt L von P auf der Geraden g bzw. der Ebene E.
n 1 2 o
7
a) P = (0; 0; 2) und g =
+r 1 r ∈ R ,
−1
−1
n −1 1 o
b) P = (9; 3; −1) und g =
+ r −3 r ∈ R ,
5
−3
0
n 5 1 2
o
c) P = (7; 4; −7) und E =
4 + r −1 + s 4 r, s ∈ R ,
5
4
1
n 1 1 1
o
3
d) P = (5; 1; 2) und E =
+ s 0 r, s ∈ R .
0 +r
7
Lösung:
a) L = (−3; 5; 1),
Lösung:
√
a) 3 2, b) 4.
b) L = (0; 2; −3),
−1
2
c) L = (1; 2; −3),
d) L = (1; 3; 4).
Berechnen Sie jeweils eine Normalenform oder Koordinatenform von E und bestimmen Sie
dann den Abstand von P zu E.
n 2 3 9 o
−1 + p
2
a) E =
+ q 4 p, q ∈ R und P = (3; 1; 2),
−2
−5
1
n 2 12 4
o
−1 + p 1
b) E =
+ q 1 p, q ∈ R und P = (5; 3; 1),
2
1
2
−1 3 o
n 4 2
c) E =
+ p 2 + q −1 p, q ∈ R und P = (−1; 4; −9).
−3
2
4
Lösung:
n x o
y ∈ R3 2x + 3y + 6z = 7 und d ( P, E ) = 2
a)
z
n x o
y ∈ R3 x + 4y − 8z = −18 und d ( P, E ) = 3
b)
z
o
n x y ∈ R3 2x + 2y − z = 15 und d ( P, E ) = 0 (der Punkt P liegt auf E)
c)
z
29
30
9. Übung
b) 4,
Aufgabe 68
Untersuchen Sie jeweils, ob die Gerade g zur Ebene E parallel ist und bestimmen Sie
gegebenfalls den Abstand.
1 2
2 1
2
a) g = 1 + s · 0s ∈ R und E = 5 + s · 1 + t · 1s, t ∈ R
3
4 −1
3
1
3 3
6 1
7
b) g = 0 + s · 2s ∈ R und E = 1 + s · 6 + t · 6 s, t ∈ R
−3
0 1
−2
−1 Lösung:
a) Gerade und Ebene schneiden sich,
b) Abstand
Aufgabe 71
Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Geraden g von der Geraden h bzw. der Ebene E,
sofern sie sich nicht schneiden.
n 2 2
o
n −2 4 o
3
a) g =
+ p 0 p ∈ R und h =
+q 5 q ∈ R ,
1
−2
−3
1
1
n 2 1
o
n 3 −4 o
−3 + p 0 p ∈ R und h =
b) g =
1 +q
4
q ∈ R ,
7
1
8
3
n 1 1
o
n 2 2
2
o
5
+ q 1 + r 1 q, r ∈ R ,
c) g =
1 + p 0 p ∈ R und E =
−1
3
3
1
4
n 1 3
o
n 7 3 6 o
6
0
d) g =
+ p 2 p ∈ R und E =
+ r 6 q, r ∈ R ,
1 +q
−2
−3
−1
0
1
n 2 1 o
n x o
y ∈ R3 3x + y + 2z = 23 .
−5 + p
1
e) g =
p ∈ R und E =
4
15
7.
Lösung:
a) 2, b) 4,
z
−2
c) Gerade und Ebene schneiden sich,
d)
15
7,
e)
√
14.
Aufgabe 69
Untersuchen Sie jeweils, ob die Ebenen E1 und E2 parallel sind und berechnen Sie gegebenenfalls den Abstand von E1 und E2 .
n −2 3
5 o
n x o
y ∈ R3 x + 3y − 2z = 5 ,
a) E1 =
−6 + p 1 + q −1 p, q ∈ R und E2 =
z
3
−
1
7
n x o
n 2 1 0 o
y ∈ R3 3x + y + 2z = 23 ,
−5 + p
1
b) E1 =
+ q 2 p, q ∈ R und E2 =
z
−1
−2
4
n x o
n x o
3
y ∈ R − x + 2y + 2z = 9 und E2 =
y ∈ R3 x − 2y − 2z = −3 .
c) E1 =
z
Lösung:
a) Ebenen schneiden sich,
z
b)
√
14,
c) 2.
Aufgabe 70
Bestimmen Sie jeweils den Abstand der Gerade g von der Geraden h.
2 4 2
−2
a) g = 3 + s · 0s ∈ R und h = 1 + t · 5 t ∈ R
−2
1 1
−3
1 −4 2
3
b) g = −3 + s · 0s ∈ R und h = 1 + t · 4 t ∈ R
8
1 7
3 Lösung:
a) 2,
31
— Aufgaben zum 6. Kapitel (Kreise und Kugeln) —
Aufgabe 72
Welche geometrischen Figuren beschreiben die folgenden Mengen?
x1
2
a)
∈ R ( x12 − 1) + ( x2 + 1)2 = 8
x2
x1
b)
∈ R2 ( x1 − 1)2 − 5 6 −( x2 + 2)2
x2
x1
c)
∈ R2 3x12 + 12x1 + 3x22 + 6x2 = 0
x2
x1
d)
∈ R2 ( x1 + x2 )2 − x1 ( x2 + 3) + x2 (4 − x1 ) = 10
x2
n x1 o
x2 ∈ R3 ( x1 − x2 )2 + ( x2 − x3 )2 + 2x2 (−1 + x1 + x3 ) 6 7 + x 2
e)
2
x3
n x1 o
x2 ∈ R3 4( x2 + x 2 + x 2 ) − 8( x1 + 2x2 )2 + 12x3 = 71
f)
2
3
1
x3
Lösung:
a) Kreis(rand) mit Radius 3 um M = (0; −1) ∈ R2 :
x1
∈ R2 x12 + ( x2 + 1)2 = 9 .
x2
32
√
b) Kreis(fläche)
1; −2) ∈ R2 :
mit Radius 5 um M = (
x1
∈ R2 ( x1 − 1)2 + ( x2 + 2)2 6 5 .
x2
√
2
c) Kreis(rand)
mit Radius 5 um M = (−
x1 2; −1) ∈ R :
2
2
2
x2 ∈ R ( x 1 + 2 ) + ( x 2 + 1 ) = 5 .
10. Übung
Aufgabe 75
d) Kreis(rand)
2 um M = ( 23 ;−2) ∈ R2 :
mit Radius
x1 3 2
2
2
x2 ∈ R ( x 1 − 2 ) + ( x 2 + 2 ) = 4 .
√
e) Vollkugel
mit Radius 8 um M = (0;o1; 0) ∈ R3 :
n x1 x2 ∈ R3 x 2 + ( x2 − 1)2 + x 2 6 8 .
3
1
x3
3
3
f) Kugelfläche
mit Radius 5 um M = (1; 2; − 2 ) ∈ R : o
n x1 3
2
3
2
2
x2 ∈ R ( x1 − 1) + ( x2 − 2) + ( x3 + ) = 25
2
x
3
Aufgabe 73
Berechnen Sie zu denen in Aufgabe 72 angegebenen geometrischen Objekten den Umfang,
den Flächeninhalt oder das Volumen.
Lösung:
a) Der Umfang beträgt 2πr = 2π · 3 = 6π.
√ 2
b) Der Flächeninhalt beträgt πr2 = π · 5 = 5π.
√
√
c) Der Umfang beträgt 2πr = 2π · 5 = 2 · 5 · π.
f) Der Flächeninhalt beträgt 4πr2 = 4π · 52 = 100π.
Aufgabe 74
Gegeben sei eine Kugelfläche durch den Mittelpunkt P und einen Punkt Q auf der Kugelfläche. Geben Sie jeweils eine explizite Darstellung der Kugelfläche an.
P = (3; −4; 1),
Q = (−4; 0; 5),
b)
P = (2; −2; 3),
Q = (0; 0; 4).
Lösung:
Indem man den Abstand von P zu Q berechnet, erhält man den Radius der Kugelfläche.
Entsprechend erhält man
3 a) {~x ∈ R3 | k~x − −4 k = 9},
1
2 3
b) {~x ∈ R | k~x − −2 k = 3}.
3
33
Lösung:
a) Setzen wir x1 = 1 + r und x2 = 1 − r in die Kreisgleichung ein, so folgt r (2r − 10) = 0,
d.h. r = 0 oder r = 5. Die Gerade und der Kreis haben also zwei Schnittpunkte (die
Gerade ist eine Sekante), deren Ortsvektoren gegeben sind durch
1
1
1
1
6
1
~s1 =
+0·
=
und ~s2 =
+5·
=
.
1
−1
1
1
−1
−4
b) Die Kreisgleichung formen wir um zu
x1
K=
∈ R2 ( x1 − 1)2 + ( x2 + 4)2 = 8 .
x2
d) Der Umfang beträgt 2πr = 2π · 2 = 4π.
√
√ 3
e) Das Volumen beträgt 43 πr3 = 43 π 8 = 32·3 8 π.
a)
Überprüfen Sie, ob die Gerade g Sekante, Tangente oder Passante des Kreises K ist und
bestimmen Sie gegebenenfalls gemeinsame Punkte:
1
1 x1
2 ( x − 3)2 + ( x + 2)2 = 13
a) g =
+r·
r
∈
R
und
K
=
∈
R
2
1
1
−1 x2
1
1 x1
2 x 2 + x 2 − 2x + 8x + 9 = 0 ,
b) g =
+r·
r
∈
R
,
und
K
=
∈
R
2
1
2
1
0
−1 x2
−4
2 c) g =
+r·
r ∈ R und K = K ((2; 1); 5),
0
−2 −2
1 x1
2 ( x − 1)2 + ( x − 1)2 = 1 .
d) g =
+r·
r
∈
R
und
K
=
∈
R
2
1
−1
−2 x2
Einsetzen von x1 = 1 + r und x2 = −r liefert (r − 2)2 = 0. Die Gerade und der Kreis
haben also genau einen Schnittpunkt (die Gerade ist eine Tangente). Dessen Ortsvektor
ist
1
1
3
~s =
+2·
=
.
0
−1
−2
c) Der Kreis ist gegeben durch
x1
2
K=
∈ R ( x1 − 2)2 + ( x2 − 1)2 = 8 .
x2
Einsetzen von x1 = −4 + 2r und x2 = −2r liefert r = 1 oder r = 32 . Die Gerade
und der Kreis haben also zwei Schnittpunkte (die Gerade ist eine Sekante) und deren
Ortsvektoren sind
−4
2
−2
−4
2
−1
~s1 =
+1·
=
und ~s2 =
+ 32 ·
=
.
0
−2
−2
0
−2
−3
34
d) Setzen wir x1 = −2 + r und x2 = −1 − 2r in die Kreisgleichung ein, so berechnet man
2 2
) = − 59
(r + 10
25 . Diese Gleichung ist für kein r ∈ R erfüllt, somit haben die Gerade und
der Kreis keinen Schnittpunkt (die Gerade ist eine Passante).
Aufgabe 76
Gegeben sei der folgende Kreisrand
K ((2; 1); 2) =
x1
∈ R2 ( x1 − 2)2 + ( x2 − 1)2 = 4 ,
x2
sowie die Punkte
3
3 1√
−1
0
2
2
P=
, Q=
, R=
, S=
, T=
und U = 2 .
1
1
0
−1
1
1+ 3
Aufgabe 77
Bestimmen Sie jeweils die Schnittmenge der Kugelfläche K mit der Geraden g.
n 4 1 o
n
1
o
a) g =
x ∈ R3 k~x − 3 k = 6 ,
4 + p −3 p ∈ R und K = ~
0
0
4
n 17 9 o
n
2 o
−8 + p −4 p ∈ R und K = ~
b) g =
x ∈ R3 k~x − −2 k = 7 ,
9
1
13
o
1 o
n
3 n 2 3
1
c) g =
1 +p
p ∈ R und K = ~x ∈ R k~x − −2 k = 3 .
1
−1
Lösung:
a) {(5; 1; 4), (3; 7; −4)},
−3
b) {(8; −4; 4), (−1; 0; −5)},
Welche Punkte liegen innerhalb des Kreises, welche liegen genau auf dem Kreisrand und
welche liegen außerhalb des Kreises.
Lösung:
Wir müssen lediglich den Abstand der Punkte zum Mittelpunkt M = (2 1) T ∈ R2
bestimmen. Ist dieser kleiner als 2, so liegt der Punkt im Innern des Kreises, ist er gleich 2
liegt der Punkt genau auf dem Kreisrand. Ist der Abstand hingegen größer als 2, so liegt
der Punkt außerhalb des Kreises. Man berechnet
3 1 q
√
2
• || M − P|| = − 2 = 2 = 14 + 4 = 217 > 2
−1
1
2
Der Punkt P liegt also außerhalb des Kreises.
2
−1 3 √
• || M − Q|| = = 9+0 = 3 > 2
=
−
1 0 1
Der Punkt Q liegt also außerhalb des Kreises.
2
0 2 √
= 4+0 = 2
=
• || M − R|| = −
1 0 1
Der Punkt R liegt also auf dem Kreisrand.
2
2 0 √
• || M − S|| = −
=
= 0+1 = 1 < 2
1
0 1 Der Punkt S liegt also innerhalb des Kreises.
√
2
√
1√ 1
= 1 + 3 = 4 = 2
√
• || M − T || = −
=
1
1+ 3
− 3
Der Punkt T liegt also auf dem Kreisrand.
3 1 q
2
• || M − U || = − 2 = 2 = 14 + 0 = 12 < 2
1
1
0
Der Punkt U liegt also innerhalb des Kreises.
35
36
c) ∅
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