fol

Kapitel 8
Integration
• Einführung
• Grundbegriffe
• Integrationstechniken
• Uneigentliche Integrale
• Mehrfachintegrale
• Integration in Polarkoordinaten
• Anwendungen
Integration — Grundbegriffe
Fragestellung bei Integration
Bei der Integration geht es anschaulich gesprochen
um die Frage der Flächenmessung: Sei dazu eine auf einem Intervall [a, b] definierte, beschränkte
Funktion f (x) gegeben.
y
f(x)
a
b
x
Wie kann man dann den grau unterlegten Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse berechnen
(oder überhaupt erst definieren)?
Mathematik kompakt
1
Integration — Grundbegriffe
Idee bei Integration
Man zerlegt die zu bestimmende Fläche in (kleine)
Rechtecke und summiert deren Flächeninhalte auf.
Will man eine noch bessere Näherung, so muss
man die Fläche in immer mehr und immer dünnere“
”
Rechtecke aufteilen.
y
f(x)
a
Mathematik kompakt
b
x
2
Integration — Grundbegriffe
Vorgehen bei Integration
Im Einzelnen ist folgende Prozedur durchzuführen:
• Intervall [a, b] in n Teilintervalle [xi−1, xi], i =
1, 2, ..., n, der Breite ∆xi = xi −xi−1 zerlegen
(dabei a = x0, b = xn),
a=x0 x1 x2 x3
xn=b
• über jedem Teilintervall ein Rechteck konstruieren, dessen Länge einem Funktionswert von
f an irgendeiner Zwischenstelle ξi ∈ [xi−1, xi]
aus diesem Teilintervall entspricht,
f( i)
x i-1
i
xi
xi
Mathematik kompakt
3
Integration — Grundbegriffe
• alle einzelnen Rechteckflächen f (ξi ) · ∆xi aufsummieren zur Gesamtfläche
P
sn = n
i=1 f (ξi ) · ∆xi ,
+
+
+
+
+
+
+
• Näherungswert sn verbessern, indem man eine feinere Unterteilung (= Partition) des Intervalls [a, b] wählt und damit die Anzahl der Teilintervalle erhöht, aber gleichzeitig die Breite aller
verkleinert.
y
y
f(x)
a
Mathematik kompakt
b
f(x)
anstelle
von
x
a
x
b
4
Integration — Grundbegriffe
Bestimmtes Integral
Definition
Falls die beschriebene Prozedur für
n → ∞ in jedem Fall gegen einen
bestimmten Grenzwert konvergiert, so
bezeichnet man
Rb
a f (x) dx
:= lim
n→∞
n
X
f (ξi) · ∆xi
i=1
als bestimmtes Integral von f über dem
Intervall [a, b]. Dann heißt die Funktion
f integrierbar über [a, b], a untere Integrationsgrenze, b obere Integrationsgrenze,
[a, b] Integrationsintervall, f Integrand und
x Integrationsvariable.
Mathematik kompakt
5
Integration — Grundbegriffe
Bemerkungen zum bestimmten Integral
• Das Integralzeichen
P
menzeichen .
R
ist ein stilisiertes Sum-
• Man kann die Integrationsvariable beliebig umbenennen:
Z b
Z b
Z b
f (η) dη.
f (u) du =
f (x) dx =
a
a
a
Das bestimmte Integral ist eine reelle Zahl, die
nicht von der Integrationsvariable abhängt.
Mathematik kompakt
6
Integration — Grundbegriffe
Riemann’sche Zwischensummen
Obersumme, Untersumme
Pn
Man spricht bei
i=1 f (ξi ) · ∆xi von Riemann’chen Zwischensummen. Das Integral nennt man
auch Riemann-Integral. Wählt man ξi derart, dass
f (ξi ) im Intervall [xi−1, xi] minimal wird, spricht
man von einer Untersumme:
y
y
f(x)
a
b
f(x)
anstelle
von
x
a
b
x
Die Rechtecke liegen dann ganz anschaulich direkt
unter der Funktion. Analog definiert man Obersummen. Man kann die Integrierbarkeit einer Funktion
f (x) auf einem Intervall [a, b] auch so charakterisieren, dass die Folge der Untersummen und die
der Obersummen gegen einen gemeinsamen Grenzwert konvergiert.
Mathematik kompakt
7
Integration — Grundbegriffe
Vorzeichen bei Bestimmung des Flächeninhalts
Falls f (x) ≥ 0 für x ∈ [a, b] gilt, so kann man wirklich von einem Flächeninhalt sprechen.
Ansonsten gehen die Flächenstücke unterhalb der
x-Achse (wo f (x) < 0) mit negativem Vorzeichen
in das bestimmte Integral ein.
y
sin x
+
x
-
Mathematik kompakt
-
8
Integration — Grundbegriffe
Bemerkungen zum bestimmten Integral
Für sehr viele Funktionen ist die oben geforderte
Konvergenz gegeben.
Man kann zeigen: Wenn die Funktion f auf dem Intervall [a, b] stetig ist (evtl. mit Ausnahme endlich
vieler endlicher Sprungstellen), dann ist f auf [a, b]
integrierbar.
Mathematik kompakt
9
Integration — Grundbegriffe
Rechenregeln für das bestimmte Integral
Für das bestimmte Integral gilt:
Ra
Rb
a)
b f (x) dx = − a f (x) dx,
b)
c)
d)
e)
f)
Ra
a
f (x) dx = 0,
Rb
Rc
Rb
f (x) dx = a f (x) dx + c f (x) dx,
a<c<b
a
Rb
a
Rb
α · f (x) dx = α · a f (x) dx,
Rb
(x) + g(x)) dx
a (f
Rb
Rb
= a f (x) dx + a g(x) dx,
Falls f (x) ≤ g(x) und a ≤ b, dann gilt:
Rb
Rb
a f (x) dx ≤ a g(x) dx,
g) Falls m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b],
dann gilt:
Rb
m (b − a) ≤ a f (x) dx ≤ M (b − a).
Mathematik kompakt
10
Integration — Grundbegriffe
Rechenregeln für das bestimmte Integral
(Veranschaulichung)
Z
b
f (x) dx =
a
Z
c
f (x) dx +
Z
b
f (x) dx
c
a
für a < c < b
y
f(x)
a
Mathematik kompakt
c
b
x
11
Integration — Grundbegriffe
Rechenregeln für das bestimmte Integral
(Veranschaulichung)
Falls m ≤ f (x) ≤ M für alle x ∈ [a, b],
dann gilt:
m (b − a) ≤
Z
b
a
f (x) dx ≤ M (b − a).
M y
f(x)
m
a
Mathematik kompakt
b
x
12
Integration — Grundbegriffe
Integralfunktion
Wir betrachten das bestimmte Integral über eine stetige, monoton steigende Funktion f (t) ≥ 0 von a
(fest) bis zu einer oberen Grenze x > a (variabel). Das derart definierte bestimmte Integral mit variabler oberer Grenze x liefert die Zuordnungsvorschrift für eine neue Funktion
Z x
f (t) dt.
F̃ (x) :=
a
x
~
F(x):= f(t) dt
a
x
f(t)
a
Mathematik kompakt
x
t
13
Integration — Grundbegriffe
Ableitung der Integralfunktion
Wir betrachten nun den Flächenzuwachs zwischen
F̃ (x) und F̃ (x + h). Es gilt:
f (x) · h ≤ F̃ (x + h) − F̃ (x) ≤ f (x + h) · h.
Division durch h mit anschließendem Grenzübergang h → 0 liefert:
F̃ (x + h) − F̃ (x)
lim f (x) ≤ lim
≤ lim f (x+h).
h
h→0
h→0
h→0
Wegen der Stetigkeit von f folgt:
f (x) ≤ F̃ ′(x) ≤ f (x) bzw. F̃ ′(x) = f (x).
y
y = f(x)
}
h
f(x+h)
f(x)
Flächenzuwachs
~
~
F(x+h) - F(x)
~
F(x)
a
Mathematik kompakt
x
x+h
x
14
Integration — Grundbegriffe
Ableitung der Integralfunktion
Es sei f eine auf [a, b] definierte stetige
Funktion. Die durch
Z x
F̃ (x) :=
f (t) dt
a
definierte Integralfunktion hat die Ableitung
Z x
d
F̃ ′(x) =
f (t) dt = f (x).
dx
a
Die Ableitung der Integralfunktion ist also
gleich dem Wert des Integranden an der
oberen Grenze. Die Integration ist demnach
die Umkehrung der Differentiation.
Mathematik kompakt
15
Integration — Grundbegriffe
Stammfunktion
Definition
Eine Funktion F (x), deren Ableitung gleich
einer gegebenen Funktion f (x) ist, d.h. für
die F ′(x) = f (x) auf einem Intervall gilt,
heißt Stammfunktion von f auf diesem Intervall.
Mathematik kompakt
16
Integration — Grundbegriffe
Beispiel
1 x3 ist Stammfunktion
a) Die Funktion F1(x) = 3
der Funktion f (x) = x2.
3 − 17 ist Stammb) Die Funktion F2(x) = 1
x
3
funktion der Funktion f (x) = x2.
Rx
c) Die Funktion F̃ (x) = a t2 dt ist Stammfunktion der Funktion f (x) = x2.
Hat man aber eine Stammfunktion gefunden (wie
in a)), so erhält man durch Addition einer beliebigen Konstanten (z.B. von −17 in b)) eine weitere Stammfunktion, denn die Ableitung einer Konstanten ist immer gleich 0. Es gilt sogar, dass man
durch Addition einer beliebigen Konstanten zu einer
Stammfunktion alle Stammfunktionen einer Funktion erhält.
Mathematik kompakt
17
Integration — Grundbegriffe
Hauptsatz der Differential- und
Integralrechnung
Sei F (x) eine (beliebige) Stammfunktion
von f (x). Dann gilt für das bestimmte Integral
Z b
f (x) dx = F (x)|bx=a = F (b) − F (a).
a
Mit Hilfe des Hauptsatzes lassen sich bestimmte Integrale ganz einfach in zwei Schritten berechnen:
• Man bestimme eine beliebige Stammfunktion
F (x) von f (x) (Beachte: F ′(x) = f (x)).
• Man werte die Stammfunktion an der oberen
und an der unteren Integrationsgrenze aus (F (b)
und F (a)) und subtrahiere diese beiden Werte.
Mathematik kompakt
18
Integration — Grundbegriffe
Beispiel
Gesucht ist das bestimmte Integral:
Z 2
(x2 − 6 cos(2x)) dx.
1
Eine Stammfunktion von f (x) = x2 − 6 cos(2x)
ist
1 3
F (x) = x − 3 sin(2x),
3
denn die Ableitung (Kettenregel!) von F (x) ergibt
gerade f (x). Die Stammfunktion an der oberen Integrationsgrenze ausgewertet hat den Wert
F (2) ≈ 4.9371, an der unteren Integrationsgrenze
erhält man entsprechend F (1) ≈ −2.3946. Subtraktion ergibt F (2) − F (1) ≈ 7.3317. Also ist insgesamt:
2
Z 2
1 3
2
(x −3 cos(2x)) dx =
x − 3 sin(2x) 3
1
x=1
≈ 4.9371 − (−2.3946) = 7.3317.
Mathematik kompakt
19
Integration — Grundbegriffe
Übung
Berechnen Sie mit Hilfe des Hauptsatzes der Differential- und Integralrechnung die folgenden Integrale: R
R2√
π/2
a) 0 cos x dx
und
b) 1 x dx.
Lösung
a) Es gilt:
R π/2
0
π/2
cos x dx = sin x|x=0
= sin(π/2) − sin 0
= 1 − 0 = 1.
b) Es gilt:
R2√
1
x dx =
=
R2
1
2
3
2
3/2
x
x1/2 dx = 2
3
x=1
23/2 − 13/2
2 (2.8284 − 1) ≈ 1.2189.
≈ 3
Mathematik kompakt
20
Integration — Grundbegriffe
Tabelle der Grundintegrale
Funktion f (x)
xα ,
α 6= −1
1,
x
√1
x 6= 0
Stammfunktion F (x)
1 xα+1 + c
α+1
ln |x| + c
ex
ex + c
sin x
− cos x + c
cos x
sin x + c
1
1+x2
arctan x + c
1−x2
,
|x| < 1
Mathematik kompakt
arcsin x + c
21
Integration — Grundbegriffe
Unbestimmtes Integral
Definition
Die Menge aller Stammfunktionen von f
R
wird mit f (x) dx bezeichnet und heißt unbestimmtes Integral von f .
R
Die Bezeichnung f (x) dx für das unbestimmte Integral drängt sich durch den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung förmlich auf:
Rb
Man erhält das bestimmte Integral a f (x) dx, indem man einen Vertreter der Stammfunktionen, geR
nannt f (x) dx, wählt und an den Integrationsgrenzen a und b auswertet.
Mathematik kompakt
22
Integration — Grundbegriffe
Rechenregeln für unbestimmte Integrale
Es gilt:
a)
b)
R
α · f (x) dx = α ·
R
R
f (x) dx,
(fR (x) + g(x))Rdx
= f (x) dx + g(x) dx.
Mathematik kompakt
23
Integration — Grundbegriffe
Übung
R
Worin besteht der Unterschied zwischen cos x dx,
Rx
R π/2
cos x dx ?
0 cos t dt und 0
Lösung
R
a) Der Ausdruck cos x dx heißt unbestimmtes Integral und steht für die Gesamtheit aller StammR
funktionen von cos x: cos x dx = sin x + c.
Rx
b) Der Term 0 cos t dt ist eine einzelne Stammfunktion von cos x.
R π/2
c) Schließlich ist 0 cos x dx ein bestimmtes Integral, dessen Wert gleich der reellen Zahl 1
R π/2
ist. Anschaulich gesprochen gibt 0 cos x dx
den Flächeninhalt zwischen der Cosinus-Funktion und der x-Achse über dem Intervall [0, π/2]
an.
Mathematik kompakt
24
Integration — Integrationstechniken
Partielle Integration
Die Produktregel der Differentialrechnung für die Ableitung des Produktes zweier Funktionen u(x) und
v(x) lautet:
(u(x) · v(x))′ = u′(x) · v(x) + u(x) · v ′(x).
Integration auf beiden Seiten liefert:
Z
u(x)v(x) = (u(x)v(x))′dx
=
Z
u′(x)v(x) dx +
Z
u(x)v ′(x) dx.
Nach Umordnung der Terme erhalten wir:
Die Integrationsregel der partiellen Integration lautet:
Z
u′(x) · v(x)dx
= u(x) · v(x) −
Mathematik kompakt
Z
u(x) · v ′(x)dx.
25
Integration — Integrationstechniken
Bemerkungen zur Partiellen Integration
• Die Integrationsregel Partielle Integration“ hat
”
ihren Namen erhalten, da sozusagen ein Teil
des Integrals, nämlich u(x) · v(x), berechnet
R
wird und der andere Teil als u(x) · v ′(x) dx
stehen bleibt.
• Partielle Integration ist nur sinnvoll, wenn das
R
verbleibende Integral u(x) · v ′(x) dx auf der
rechten Seite einfacher zu berechnen ist als das
R ′
Ausgangsintegral u (x) · v(x) dx.
• Man wähle zur Integration eines Produktes von
Funktionen eine Funktion als u′(x) (von ihr
muss man die Stammfunktion kennen) und eine Funktion als v(x) (diese Funktion muss man
ableiten können).
Mathematik kompakt
26
Integration — Integrationstechniken
Beispiel
Eine einfache Anwendung der partiellen Integration
R
liefert die Stammfunktion zu x · ex dx:
R x
R x
x
x dx = |{z}
e · |{z}
x − |{z}
e · |{z}
1 dx
e · |{z}
|{z}
u′
v
u
v
= xex − ex + c.
u
v′
Wir wollen nun noch kurz untersuchen, was passiert wäre, wenn wir als u′ bzw. v die jeweils andere
Funktion gewählt hätten:
Z
Z
2
x
x2
x
x
e dx =
x · |{z}
· |{z}
e −
· |{z}
ex dx
|{z}
2
2
|{z}
|{z}
v
v
u′
v′
u
u
Diese Gleichung ist zwar mathematisch korrekt,
führt aber nicht weiter, da das verbleibende InteR 2 x
gral x e dx komplizierter ist als das AusgangsR x
integral xe dx.
Mathematik kompakt
27
Integration — Integrationstechniken
Beispiel
Mit einem kleinen Trick (dem Satz von Pythagoras:
sin2 x + cos2 x = 1) lässt sich das Integral
R
sin2 x dx mittels partieller Integration berechnen:
Z
sin
| {zx} · sin
| {zx} dx
v
u′
R
= −
| {zx} − (−
| {z x} dx
{z x} · sin
| cos
| cos
{z x)} · cos
v
u
v′
u
R
= − sin x cos x + R cos2 x dx
= − sin x cos x + R (1 − sinR2 x) dx
= − sin x cos x + 1 dx −R sin2 x dx
= − sin x cos x + x + c̃ − sin2 x dx
Damit ist
Z
2 sin2 x dx = − sin x cos x + x + c̃
bzw.
Z
sin2 x dx =
Mathematik kompakt
1
(x − sin x cos x) + c.
2
28
Integration — Integrationstechniken
Übung
R
Berechnen Sie das Integral ln x dx mittels partieller Integration
(Tipp: Wählen Sie v = ln x und u′ = 1).
Lösung
R
ln x dx =
R
ln x dx
1 · |{z}
|{z}
v
u′
= |{z}
x · |{z}
ln x −
u
v
= x · ln x −
Mathematik kompakt
R
R
1
x ·
dx
|{z}
x
|{z}
u
v′
1 dx = x · ln x − x + c.
29
Integration — Integrationstechniken
Substitution
Auch aus der Kettenregel erhalten wir eine Integrationsformel. Die Ableitung der verketteten Funktion
F (x) = F (g(t)) mit x = g(t) ergibt nämlich:
F ′ (x) = F ′(g(t)) · g ′(t).
Wenn F (x) Stammfunktion von f (x) ist (d.h.
F ′(x) = f (x)), folgt durch Integration
Z
Z
f (g(t)) · g ′(t) dt =
f (x) dx.
Die Integrationsregel der Substitution lautet:
Z
Z
f (g(t))·g ′ (t) dt =
f (x) dx, x = g(t).
Mathematik kompakt
30
Integration — Integrationstechniken
Beispiel zur Substitution
Beispiel
Wir wollen im Folgenden das Integral
Z
2 1
(ln t) · dt
t
mittels Substitution berechnen.
(Da wiederum das Produkt zweier Funktionen zu integrieren ist, könnte man aber evtl. auch mit Hilfe
von partieller Integration zum Ergebnis kommen.)
Wir substituieren hier jedoch x = ln t, übersetzen
also gleichermaßen von der t“-Sprache in die x“”
”
Sprache. Dass gerade diese Substitution gewählt
wird, liegt daran, dass die Ableitung von ln t, nämlich
1 , ebenfalls im Integranden steht: Denn wegen x =
t
1 und (indem wir dx
ln t folgt für die Ableitung dx
=
dt
t
dt
1
als Bruch auffassen) dx = t dt.
Mathematik kompakt
31
Integration — Integrationstechniken
Beispiel zur Substitution (Fortsetzung)
Damit liegt folgende Umformung nahe:
Z
Z
1
(ln t)2 · dt =
x2 dx.
t
Das transformierte Integral in x ist einfach zu lösen:
Z
1
x2 dx = x3 + c.
3
Nun muss noch nach t rücksubstituiert werden:
1 3
1
x + c = (ln t)3 + c.
3
3
In der Terminologie der Substitutionsregel ist: f (x) =
x2, g(t) = ln t und damit
Z
Z
1
2
2
(ln
t)
dt
=
x
dx.
·
|{z}
| {z } t
|{z}
f (x)
f (g(t))
g ′(t)
Insgesamt haben wir als Ergebnis erhalten:
Z
1
1
2
(ln t) · dt = (ln t)3 + c.
t
3
Mathematik kompakt
32
Integration — Integrationstechniken
Übung
Berechnen Sie mittels Substitution das Integral
R 6t
dt!
2
t +3
Lösung
Es gilt:
R 6t
R 1
dt = 3 x dx = 3 ln |x| + c
2
t +3
= 3 ln(t2 + 3) + c.
Dabei wurde x = t2 + 3 und daraus folgend dx
dt =
2t, d.h. dx = 2tdt substituiert.
In der Terminologie der Substitutionsregel ist: f (x) =
1 und g(t) = t2 + 3.
x
Mathematik kompakt
33
Integration — Integrationstechniken
Logarithmische Integration
Ein Spezialfall der Substitution, die so genannte
logarithmische Integration, wird immer dann angewandt, wenn bei einem Bruch als Integranden im
Zähler die Ableitung des Nenners steht.
Es gilt allgemein:
Z ′
g (x)
dx = ln |g(x)| + c,
g(x)
Mathematik kompakt
g(x) 6= 0.
34
Integration — Integrationstechniken
Beispiel zur Substitution
Beispiel
Rp
1 − x2 dx, |x| ≤ 1 wird unter ZuDas Integral
hilfenahme der Substitution x = sin t bestimmt. Um
diese Substitution auszuführen, schreiben wir uns
zunächst eine Art Wörterbuch“ zur Übersetzung von
”
der x“-Sprache in die t“-Sprache:
”

 ”


x = sin t






2 = sin2 t


x


2
2
2
1 − x = 1 − sin t = cos t
(∗)
p


2 = cos t


1
−
x
(Beachte:
cos
t
≥
0)






dx = cos t


also
dx
=
cos
t
dt.
dt
Damit erhalten wir folgende Umformung:
Z q
Z
Z
2
1 − x2 dx =
cos
t
=
cos
t dt.
·
cos
t
dt
|
{z
}
{z
}
|
√
dx
1−x2
Mathematik kompakt
35
Integration — Integrationstechniken
Beispiel zur Substitution (Fortsetzung)
Wir entnehmen einer Formelsammlung:
Z
1
cos2 t dt = (t + sin t cos t) + c.
2
Wegen x = sin t und entsprechend t = arcsin x
und obigem Wörterbuch“ (∗) erfolgt noch die Rück”
substitution von Termen in t in x-Ausdrücke:
1
(t + sin t cos t) + c
2
q
1
2
= (arcsin
1
−
x
+
x
·
x
) + c.
{z
}
|{z}
|
| {z }
2
t
sin t
cos t
Insgesamt:
q
Z q
1
arcsin x + x · 1 − x2 +c,
1 − x2 dx =
2
für |x| ≤ 1.
Mathematik kompakt
36
Integration — Integrationstechniken
Integrationsregeln (Partielle Integration,
Substitution) für bestimmte Integrale
Die Integrationsregeln (Partielle Integration, Substitution) lassen sich nicht nur für unbestimmte, sondern auch für bestimmte Integrale formulieren.
Die Regel der partiellen Integration für bestimmte
Integrale lautet dann:
Z
b
a
u′(x) · v(x) dx
= u(x) · v(x)|bx=a −
Mathematik kompakt
Z
b
a
u(x) · v ′(x) dx.
37
Integration — Integrationstechniken
Integrationsregeln (Partielle Integration,
Substitution) für bestimmte Integrale
Bei der Substitutionsregel muss man auch die Integrationsgrenzen transformieren:
Z
b
f (x) dx =
a
Z
β
α
f (g(t)) · g ′(t) dt
mit α = g −1(a) und β = g −1(b).
Will man diese Transformation der Integralgrenzen
(und deren Rücktransformation!) vermeiden, so kann
man auch zunächst unbestimmt (d.h. ohne Integrationsgrenzen) integrieren und danach erst in das Ergebnis die Integrationsgrenzen einsetzen.
Mathematik kompakt
38
Integration — Integrationstechniken
Ausblick
• Für die Integration rationaler Funktionen gibt es
einen eher aufwendigen Algorithmus, genannt
Partialbruchzerlegung. Grob gesagt kann man
rationale Funktionen als Summe gewisser rationaler Funktionen einfachster Bauart (so genannte Partialbrüche) darstellen, deren Stammfunktionen sich relativ einfach ermitteln lassen.
Wir verweisen hier auf die Spezialliteratur.
• Es gibt Integrale, die nicht in geschlossener Form
darstellbar, aber für die Praxis äußerst wichtig
sind. Ein Beispiel ist das Integral der StandardRx
2/2
1
−t
√
normalverteilung Φ(x) =
e
dt.
2π −∞
Dieses Integral ist in den meisten Formelsammlungen tabelliert. Die Tabelleneinträge sind dabei Näherungswerte, die durch numerische Integrationsmethoden gewonnen wurden.
Mathematik kompakt
39
Integration — Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale
Man kann den bekannten Integrationsbegriff für stetige Funktionen auf endlichen Intervallen [a, b] auch
noch weiter ausdehnen: So genannte uneigentliche
Integrale treten in zwei Fällen auf, nämlich
• bei unendlichem Integrationsintervall und
• bei unbeschränktem Integranden.
In diesen Fällen ist zusätzlich ein Grenzübergang
auszuführen: Der betreffende Limes kann existieren, dann konvergiert das uneigentliche Integral und
man kann ihm eine reelle Zahl zuordnen. Andernfalls existiert der entsprechende Grenzwert nicht und
das uneigentliche Integral divergiert.
Mathematik kompakt
40
Integration — Uneigentliche Integrale
Beispiel für ein uneigentliches Integral
Beispiel
Wir betrachten zunächst das Standardintegral
Rb 1
2 dx mit fester oberer Grenze b > 0:
0
1+x
Rb
arctan x|bx=0
= arctan b − arctan 0 = arctan b.
1 dx =
0 1+x2
Anschaulich gesprochen ist damit die Fläche unter
der Funktion 1 2 über dem Intervall [0, b] berech1+x
net. Wir fragen uns nun, ob auch die (unendlich lange!) Fläche im Intervall [0, +∞) sinnvoll berechnet
werden kann. Dazu liegt die folgende Definition nahe:
R b dx
R ∞ dx
0 1+x2 dx := limb→∞ 0 1+x2 dx
= limb→∞ arctan b = π
2.
Wir können — da obiger Grenzwert existiert — der
angesprochenen (unendlich langen!) Fläche einen
endlichen Wert zuordnen.
Mathematik kompakt
41
Integration — Uneigentliche Integrale
Abbildung: Uneigentliche Integrale
y
y
1
f(x) =
f(x) =
1
1
x
1 + x2
1
x
x
0
Mathematik kompakt
b
1
2
3
b
42
Integration — Uneigentliche Integrale
Übung
R∞1
Rechnen Sie das Integral 3 x dx aus!
Lösung
Zunächst ist:
Z b
1
dx = ln |x||bx=3 = ln b − ln 3.
3 x
Der Grenzwert führt jetzt aber auf Divergenz:
R∞ 1
Rb1
3 x dx = limb→∞ 3 x dx
= limb→∞(ln b − ln 3) = +∞.
Mathematik kompakt
43
Integration — Uneigentliche Integrale
Beispiel: Uneigentliche Integrale
Beispiel
R2 1
Beim Integral 0 2 dx ist der Integrand 12 an der
x
x
unteren Integrationsgrenze 0 unbeschränkt:
1
= +∞.
2
x→0+ x
lim
Wir betrachten zunächst
2
Z 2
1
1
1 1
1 1
=− − −
= −
dx = − 2
x x=a
2
a
a 2
a x
und erhalten nach folgendem Grenzübergang wiederum Divergenz:
R2 1
R2 1
0 2 dx := lima→0+ a 2 dx
x
x
= lima→0+ 1a − 1
2
= +∞.
Mathematik kompakt
44
Integration — Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale
1.Fall
Definition
Bei den uneigentlichen Integralen unterscheiden wir zwei Fälle:
Die Funktion f (x) sei auf jedem Intervall
[a, u], u ∈ IR integrierbar. Dann definiert
man
Z ∞
Z u
f (x) dx := lim
f (x) dx,
a
u→∞ a
wenn dieser Grenzwert existiert. Man sagt:
Das uneigentliche Integral existiert oder
konvergiert (andernfalls: Es existiert nicht
oder divergiert).
Mathematik kompakt
45
Integration — Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale
2.Fall
Definition
Bei den uneigentlichen Integralen unterscheiden wir zwei Fälle:
Die Funktion f (x) sei auf jedem Intervall
[a, u] mit a ≤ u < b integrierbar und es
gelte: limx→b− f (x) = ±∞. Dann definiert
man
Z b
Z u
f (x) dx := lim
f (x) dx,
a
u→b− a
wenn dieser Grenzwert existiert. Wiederum
sagt man: Das uneigentliche Integral existiert oder konvergiert (andernfalls: Es existiert nicht oder divergiert).
Mathematik kompakt
46
Integration — Mehrfachintegrale
Doppelintegral als Volumen
Wir wollen im Folgenden den Begriff des Integrals
Rb
a f (x) dx einer Funktion f (x) über einem Intervall
[a, b] auf Funktionen in mehreren Variablen verallgemeinern. Dabei sollen — der Anschaulichkeit halber — Funktionen von zwei Veränderlichen f (x, y)
betrachtet werden. Gesucht ist hier das Volumen
zwischen der Funktion und der x, y-Ebene über einem Bereich B.
z
f( xi ,h )
i
z = f(x,y)
hi
y
0
xi
Bi
B
x
Mathematik kompakt
D yk
D x ji
i
47
Integration — Mehrfachintegrale
Bereichsintegral (Gebietsintegral)
Wir nennen gewisse einfach zu charakterisierende
Mengen der Ebene Bereiche“ und halten fest:
”
Definition
Unter dem Bereichsintegral (oder Gebietsintegral) der Funktion f (x, y) über dem
Bereich B (Konvergenz vorausgesetzt) versteht man
ZZ
f (x, y) dx dy :=
B
lim
n→∞
n
X
f (ξi, ηi)∆xji ∆yki .
i=1
Mathematik kompakt
48
Integration — Mehrfachintegrale
Rechenregeln für das Bereichsintegral
Für das Bereichsintegral gilt:
RR
RR
a)
B α · f dx dy = α · B f dx dy,
b)
RR
c)
RR
(f + g) dx dyRR
BRR
= B f dx dy + B g dx dy,
BRRf dx dy
RR
= B1 f dx dy + B2 f dx dy,
falls B = B1 ∪ B2
und B1, B2 höchstens Randpunkte
gemeinsam haben.
Mathematik kompakt
49
Integration — Mehrfachintegrale
Bemerkungen zu den Rechenregeln für das
Bereichsintegral
RR
gibt den FlächeninB 1 dx dy R
halt von B an. Analog war ab 1 dx = b − a die
• Der Ausdruck
Länge des Intervalls [a, b].
• Für f (x, y) ≥ 0 gehen Volumina positiv in
RR
B f (x, y) dx dx ein und entsprechend negativ für f < 0. Analog wurde der Flächeninhalt
Rb
a f (x) dx im Intervall [a, b] für f ≥ 0 positiv
gemessen und für f < 0 negativ.
Mathematik kompakt
50
Integration — Mehrfachintegrale
Grundidee zur Berechnung von
Mehrfachintegralen
Man berechnet das Gesamtvolumen als Summe
hauchdünner Scheiben mit bekannter Querschnittsfläche, quasi als hätte man einen Holzklotz (das zu
berechnende Volumen) in kleine zueinander parallele Scheibchen zerhackt. Die einzelnen Scheiben
können dabei durchaus verschieden aussehen, je
nachdem an welcher Stelle man sie herausgegriffen hat:
z
y
xa
z=f(x,y)
S(x)
x fest
xb
B
x
Mathematik kompakt
51
Integration — Mehrfachintegrale
Grundidee zur Berechnung von
Mehrfachintegralen
RR
Das Bereichsintegral
B f (x, y) dx dx kann als
Summe, oder besser gleich als Integral kleiner
Scheiben S(x) geschrieben werden, wobei derartige Scheiben für x ∈ [xa, xb] auftreten und je nach
gewähltem x verschiedene Gestalt haben können:
Z x
ZZ
b
S(x) dx.
f (x, y) dx dx =
xa
B
Die einzelnen Scheiben können wiederum als Einfachintegrale aufgefasst werden:
Z y (x)
b
f (x, y) dy.
S(x) =
ya (x)
Insgesamt wird dadurch das Doppelintegral
RR
B f (x, y) dx dx in zwei ineinander verschachtelte
Einzelintegrale aufgespalten. Dabei ist das innere
Integral zuerst zu berechnen.
Mathematik kompakt
52
Integration — Mehrfachintegrale
Normalbereich (in x)
Ein Integrationsbereich B lässt sich als so genannter Normalbereich beschreiben durch:
B = {(x, y) | xa ≤ x ≤ xb, ya(x) ≤ y ≤ yb(x)} .
y
yb(x)
B
xa
xb
x
ya(x)
Mathematik kompakt
53
Integration — Mehrfachintegrale
Beispiel
Wir beschreiben das Viertel des Einheitskreises im
1. Quadranten (vgl. Abb. ) in der angegebenen Weise als Normalbereich:
q
B = (x, y) | 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1 − x2 .
Die obere Grenze yb(x) haben wir durch Auflösen
der Kreisgleichung
x2 + y 2 = 12 nach y erhalten:
p
y = 1 − x2 .
y
1
x2 +y2 =1
B
x
1
Mathematik kompakt
54
Integration — Mehrfachintegrale
Berechnung von Bereichsintegralen bei
Normalbereich in x, inneres Integral in y
Bei einem Normalbereich in x
B = {(x, y) | xa ≤ x ≤ xb ,
ya(x) ≤ y ≤ yb(x)}
berechnen wir Bereichsintegrale in der
Form
ZZ
f (x, y) dx dy =
B
Z x
b
x=xa
Z y (x)
b
y=ya(x)
f (x, y) dy
!
dx.
Es lassen sich die Rollen von x und y bei entsprechend vorliegendem Bereich natürlich auch vertauschen (man kann Holzklötze nicht nur in x-Richtung,
sondern auch in y-Richtung zerhacken, ohne dass
sich das Volumen des Holzklotzes verändern würde).
Mathematik kompakt
55
Integration — Mehrfachintegrale
Berechnung von Bereichsintegralen bei
Normalbereich in y, inneres Integral in x
Bei einem Normalbereich in y
B = {(x, y) | ya ≤ y ≤ yb,
xa(y) ≤ x ≤ xb(y)}
berechnen wir Bereichsintegrale in der
Form
ZZ
f (x, y) dx dy =
B
Z y
b
y=ya
Z x (y)
b
x=xa(y)
Mathematik kompakt
!
f (x, y) dx
dy.
56
Integration — Mehrfachintegrale
Beispiel für die Berechnung von
Bereichsintegralen
Beispiel
Wir betrachten den durch die Kurven y = x2 und
y = x + 2 berandeten Bereich B:
y
y=x2
y=x+2
4
B
1
x
-1
1
2
Da sich B sowohl als Normalbereich in x als auch
als Normalbereich in y auffassen lässt, berechnen
RR
wir nun das Integral B xy dx dy auf beide Arten.
Mathematik kompakt
57
Integration — Mehrfachintegrale
Fortsetzung: Beispiel für die Berechnung von
Bereichsintegralen
Falls das äußere Integral über x und das innere
Integral über y läuft, gilt:
!
Z 2
Z x+2
ZZ
xy dy dx.
xy dx dy =
x=−1
B
y=x2
Das innere Integral berechnet sich dann zu
x+2
Z x+2
2
xy x(x + 2)2 x(x2)2
−
xy dy =
=
2
2
2
2
y=x
y=x2
1 3
=
x + 4x2 + 4x − x5 .
2
Damit ergibt sich insgesamt:
Z 2 3
1
1
x3 + 4x2 + 4x − x5 dx =
12 −
2 −1
2
4
= 5.625.
Mathematik kompakt
58
Integration — Mehrfachintegrale
Fortsetzung: Beispiel für die Berechnung von
Bereichsintegralen
Falls das äußere Integral über y läuft und das innere Integral über x, so ist zunächst zu beachten,
dass es in zwei Teilbereiche zerfällt: nämlich den
Teilbereich mit y ∈ [0, 1] und den Teilbereich mit
y ∈ [1, 4]:
!
Z √y
Z 1
xy dx dy
√
y=0
+
Z
4
y=1
x=− y
Z
√
y
x=y−2
xy dx
!
dy.
Für
das erste Integral erhalten wir den Wert 0, da in
√
R y
√ xy dx eine ungerade Funktion x über ein
x=− y
√ √
symmetrisches Intervall [− y, y] integriert wird.
Mathematik kompakt
59
Integration — Mehrfachintegrale
Fortsetzung: Beispiel für die Berechnung von
Bereichsintegralen
Das zweite Integral ergibt:
!
Z √
Z
4
y
xy dx
y=1
x=y−2
=
Z
4
1
dy =
Z
√
4 x2 y y
dy
2 x=y−2
1
!
√ 2
( y) y (y − 2)2y
−
dy
2
2
Z
1 4 2
=
(y − (y 3 − 4y 2 + 4y))dy
2 1
7
1 32
− −
= 5.625.
=
2 3
12
Mathematik kompakt
60
Integration — Mehrfachintegrale
Übung: Berechnung von Bereichsintegralen
Übung
Berechnen Sie für den durch die Kurven x = 0,
y = 0 und y = −1/2 x + 1 berandeten Bereich B
RR
das Bereichsintegral B x dx dy.
y= - 1 x+1
2
1
y
B
2
Mathematik kompakt
x
61
Integration — Mehrfachintegrale
Lösung zur Übung: Berechnung von
Bereichsintegralen
Lösung
Für die Integrationsreihenfolge außen x, innen y“
”
erhalten wir:
!
Z −1/2 x+1
Z 2
ZZ
x dy dx.
x dx dy =
B
x=0
y=0
Das innere Integral berechnet sich zu:
R −1/2 x+1
−1/2 x+1
1
x dy = xy|y=0
= x −2x + 1
y=0
2 + x.
= −1
x
2
Damit insgesamt:
Z 2
ZZ
x dx dy =
B
Mathematik kompakt
1
2
− x2 + x dx = .
2
3
x=0
62
Integration — Mehrfachintegrale
Lösung zur Übung: Berechnung von
Bereichsintegralen (Fortsetzung)
Die andere Integrationsreihenfolge liefert
(y = −1/2 x + 1 nach x aufgelöst ergibt
x = −2y + 2):
RR
R 1 R −2y+2
x dx dy
B x dx dy =
y=0
x=0
=
−2y+2
x2 dy
y=0 2 x=0
R1
R1
= 2 y=0(1 − y)2dy
1
2 (1 − y)3
= −3
y=0
= 0−
Mathematik kompakt
−2
3
=2
3.
63
Integration — Mehrfachintegrale
Lösung zur Übung: Berechnung von
Bereichsintegralen
Der in der Übung berechnete x-Wert hat eine anschauliche Bedeutung: Er gibt die x-Koordinate des
geometrischen Schwerpunktes vom Bereich B an:
ZZ
1
xs =
x dx dy
A
B
RR
mit Fläche A = B 1 dx dy (in der Übung: A = 1).
Die Berechnung derartiger Schwerpunkte, Massenmittelpunkte, Flächenträgheitsmomente etc. ist eine
typische Anwendung von Bereichsintegralen.
Mathematik kompakt
64
Integration — Mehrfachintegrale
Dreifachintegrale
Bei der Definition von Bereichsintegralen haben wir
uns wesentlich vom geometrisch anschaulichen Begriff Volumen“ leiten lassen. Um zu allgemeinen
”
Dreifach- bzw. Mehrfachintegralen zu gelangen, ist
dieser geometrische Weg nicht länger möglich. Die
Definition der Bereichsintegrale kann aber fast wörtlich (um die dritte Dimension oder weitere Dimensionen erweitert) übernommen werden. Auch Dreifachintegrale haben vielfältige praktische Anwendungen, wie etwa die Berechnung der Gesamtmasse
eines Körpers bei nicht-konstanter Massendichte etc.
Mathematik kompakt
65
Integration – Polarkoordinaten
Kartesische Koordinaten oder Polarkoordinaten
Bei manchen Doppelintegralen vereinfacht sich die
Berechnung, wenn man nicht kartesische Koordinaten verwendet:
y
dA= dx . dy
}
}dy
dx
x
sondern dem Problem besser angepasste Integrationsvariable, wie etwa Polarkoordinaten:
y
O
Mathematik kompakt
x
66
Integration – Polarkoordinaten
Bei Polarkoordinaten sind die Koordinatenlinien für
festes r konzentrische Kreise um den Nullpunkt, die
Koordinatenlinien für konstantes ϕ sind Halbgeraden, die vom Koordinatenursprung ausgehen.
y
O
Mathematik kompakt
x
67
Integration – Polarkoordinaten
Es existiert ein wichtiger Unterschied zwischen kartesischen Koordinaten und Polarkoordinaten.
Das Flächenelement bei kartesischen Koordinaten
ist mit dA = dx · dy überall gleich groß:
y
dA= dx . dy
}
}dy
dx
x
Das Flächenelement in Polarkoordinaten hängt offensichtlich von r ab:
y
O
Mathematik kompakt
x
68
Integration – Polarkoordinaten
Das Flächenelement in Polarkoordinaten
lautet:
dA = r dr dϕ.
y
}
dj
O
Mathematik kompakt
}
rd j
dr r +dr
r
x
69
Integration – Polarkoordinaten
Bei der Berechnung eines Integrals in Polarkoordinaten geht man wie folgt vor:
Zunächst transformiert man die kartesischen Koordinaten x und y sowie das Flächenelement dA in
Polarkoordinaten. Dabei gelten die folgenden Transformationsgleichungen:
x
= r · cos ϕ
y
= r · sin ϕ
dA = r · dr · dϕ.
Nun sind die Grenzen des Integrationsbereichs in
Polarkoordinaten anzugeben:
Z Z
f (x, y)dA =
A
Z
ϕ2
Z
r=ra (ϕ)
ϕ=ϕ1 r=ri (ϕ)
Mathematik kompakt
f (r cos ϕ, r sin ϕ) · rdrdϕ.
70
Integration – Polarkoordinaten
Natürlich kann man bei Polarkoordinaten - wie
schon bei kartesischen Koordinaten - die Integrationsreihenfolge vertauschen:
Will man zuerst (inneres Integral) nach ϕ integrieren, so wähle man die Grenzen wie folgt
Z Z
f (x, y)dA =
A
Z
r2
Z
ϕa (r)
r=r1 ϕ=ϕi (r)
Mathematik kompakt
f (r cos ϕ, r sin ϕ) · dϕrdr.
71
Integration – Polarkoordinaten
Beispiel
Wir berechnen im Folgenden die Fläche des Tortenstücks A:
y
j = p /6
Z Z
=
Z
π/6
ϕ=0
=
Z
1 dA =
A
Z
2
r=0
π/6
x
2
0
rdr
Z
!
π/6 Z 2
ϕ=0
r=0
dϕ =
Z
1 · rdrdϕ
π/6
ϕ=0
2
2
r 2
r=0
!
dϕ
π
π
π/6
2dϕ = 2 ϕ|ϕ=0 = 2 · =
6
3
ϕ=0
Mathematik kompakt
72
Integration – Polarkoordinaten
Übung
Berechnen Sie das Doppelintegral
das Tortenstücks A.
RR
2dA über
xy
A
y
j = p /6
0
Mathematik kompakt
2
x
73
Integration – Polarkoordinaten
Lösung
Z Z
xy 2 dA =
A
=
Z
=
Z
π/6
ϕ=0
Z
Z
r4dr
r=0
ϕ=0
=
2 · rdrdϕ
r| cos
ϕ
·
(r
sin
ϕ)
{z } | {z } | {z }
ϕ=0 r=0 =x
2
dA
2
π/6
Z
π/6 Z 2
2
5
r 5
r=0
π/6 25 ϕ=0
Mathematik kompakt
5
=y
!
!
cos ϕ sin2 ϕ dϕ
cos ϕ sin2 ϕ dϕ
cos ϕ sin2 ϕ dϕ
74
Integration – Polarkoordinaten
=
Z
π/6 25 5
ϕ=0
cos ϕ sin2 ϕ dϕ
π/6
1
3
=
· sin ϕ
5 3
ϕ=0
25
25 1
3π
=
· · sin
5 3
6
≈ 0.26667
Mathematik kompakt
75
Integration – Polarkoordinaten
Übung
Berechnen Sie den Schwerpunkt des Halbkreises
(y ≥ 0) mit dem Radius R.
y
x
R
(Aus Symmetriegründen gilt: xS = 0.)
Mathematik kompakt
76
Integration – Polarkoordinaten
Lösung
Die Fläche des Halbkreises vom Radius R berechnet sich (wie erwartet) zu:
A=
Z
π
Z
R
rdrdϕ =
ϕ=0 r=0
=
Z
π
ϕ=0
Z
π
ϕ=0
Z
R
rdr
r=0
!
dϕ
!
R
r2 dϕ
2 r=0
R2 π
R2
π
· ϕ|ϕ=0 =
=
2
2
Mathematik kompakt
77
Integration – Polarkoordinaten
Für die y-Koordinate des Schwerpunkts erhält man:
Z
Z
R
1
yS = ·
r| sin
ϕ} · rdrdϕ
{z
| {z }
A ϕ=0 r=0 =y
dA
2
= 2 ·
R π
2
= 2 ·
R π
Z
π
π
ϕ=0
Z
π
ϕ=0
Z
R
r2dr
r=0
!
!
sin ϕ dϕ
!
!
R
r3 sin ϕ dϕ
3 r=0
R3 2
· (− cos ϕ)|π
= 2 ·
ϕ=0
R π 3
2
R3
= 2 ·
· (−(−1) − (−1))
R π 3
4
·R
=
3π
Mathematik kompakt
78
Integration – Polarkoordinaten
Beispiel
Wir berechnen im Folgenden einen Teil der Fläche
einer Archimedischen Spirale:
r = ϕ,
ϕ ∈ [0, π]
y
j Î [0,p]
x
A=
Z
Z
π
ϕ
rdrdϕ =
ϕ=0 r=0
=
Z
π
ϕ=0
Mathematik kompakt
Z
π
ϕ=0
π
ϕ3 ϕ
r2 2
r=0
!
dϕ
3
π
dϕ =
=
2
6 ϕ=0
6
ϕ2
79
Integration – Polarkoordinaten
Übung
Berechnen Sie den Flächeninhalt der Kardioide:
r = a · (1 + cos ϕ),
ϕ ∈ [0, 2π]
y
a
0
Mathematik kompakt
a
2a
x
80
Integration – Polarkoordinaten
Lösung
Z
A=
=
2π
=
Z
a(1+cos ϕ)
rdrdϕ
ϕ=0 r=0
Z
2π
Z
2π 1
ϕ=0
=
Z
ϕ=0 2
2π a2
ϕ=0 2
Mathematik kompakt
!
a(1+cos
ϕ)
r2 dϕ
2 r=0
(a(1 + cos ϕ))2dϕ
(1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ)dϕ
81
Integration – Polarkoordinaten
A=
=
=
a2
a2
2
2
Z
ϕ=0 2
2π a2
(1 + 2 cos ϕ + cos2 ϕ)dϕ
2π
1
1
ϕ + 2 sin ϕ + ϕ + sin(2ϕ) 2
4
ϕ=0
1
2π + 0 + 2π + 0 − (0 + 0 + 0 + 0)
2
3πa2
=
2
Mathematik kompakt
82
Integration – Polarkoordinaten
Übung
Berechnen Sie das Dreifachintegral
folgendes Volumen V :
RRR
V 1 dV über
z
2
z =r2
y
2
x
(Die Koordinaten r, ϕ und z heißen Zylinderkoordinaten.)
Mathematik kompakt
83
Integration – Polarkoordinaten
Lösung
V =
Z Z Z
1 dV =
V
Z
√
2Z 2

Z √

!
Z


2
2


=
dz dr ·
r
 r=0

z=r2


|
{z
}
z=r2
=
Z
√
2
r=0
2π
r=0 z=r2 ϕ=0

=z|2
Z
Z
rdrdϕdz
2π
ϕ=0
!
dϕ
=2−r2
r(2 − r2)dr · 2π
√
2
4
r 4
2
= 2π r −
= 2π
= 2π 2 −
4 r=0
4
Mathematik kompakt
84
Anwendung: Das Volumen eines Kühlturms
Fragestellung
Nicht nur die Flugbahnen vieler kosmischer Körper
sind Hyperbeln, auch im Bauwesen können z.B.
Kühltürme von Kernkraftwerken als Rotationshyperboloide aufgefasst werden.
Man erhält einen derartigen Körper, wenn man eine Hyperbel um die y-Achse rotieren lässt. Wir betrachten hier einen Kühlturm mit den Maßen aus folgender Abb: Grundkreisradius 20m, Deckkreisradius 16m, Höhe 18m. Sein Volumen ist unter Zuhilfenahme der Überlegungen aus der Integralrechnung
von Funktionen in zwei Veränderlichen leicht zu berechnen.
y
Deckkreis
16
20
x
Grundkreis
-18
Mathematik kompakt
85
Anwendung: Das Volumen eines Kühlturms
Hyperbelgleichungen
Zunächst müssen in der Gleichung einer Hyperbel,
allgemein
x2 y 2
− 2 = 1,
2
a
b
die Parameter a und b bestimmt werden. Da die
Punkte (16, 0) und (20, 18) auf der gesuchten Hyperbel liegen, erhalten wir die Bestimmungsgleichungen
162 − 02 = 1 =⇒ a = 16,
a2
b2
202 − 182 = 1 =⇒ b2 = 182 ·162
162
b2
122
=⇒ b = 18·16
12 = 24.
2
y2
x
Insgesamt ist also 2 − 2 = 1 die Gleichung der
16
24
2
Hyperbel, bzw. nach x aufgelöst:
2
y
.
x2 = 162 · 1 +
2
24
Mathematik kompakt
86
Anwendung: Das Volumen eines Kühlturms
Kreisscheiben
Wir stellen uns nun den Kühlturm in (dünne) Kreisscheiben um die y-Achse zerlegt vor. Jede dieser
Kreisscheiben hat den Radius x = x(y), der noch
von y (der jeweiligen Höhe, an der die Kreisscheibe
gemessen wird) abhängt.
Die Fläche eines Kreises mit dem Radius r beträgt
bekanntlich π · r2; in unserem Fall hat jeder Kreis
die Fläche
2 y
A(y) = π · x2(y) = 162π 1 +
.
2
24
Dabei haben wir die obige Formel (für x2 aus der
Hyperbelgleichung) eingesetzt.
Mathematik kompakt
87
Anwendung: Das Volumen eines Kühlturms
Summation über die Kreisscheiben
Wenn wir nun noch über alle (dünnen) Scheiben
A(y) aufsummieren bzw. integrieren, gibt sich für
das Volumen V des aus vielen Scheiben bestehenden Rotationshyperboloids:
R0
R
2
0
y
V = −18 A(y)dy = 162 · π −18 1 + 2 dy
24
0
y3
2
= 16 · π y +
3·242
y=−18
2
= 16 π(18 + 3.375) = 5472π.
Insgesamt beträt also das Volumen des betrachteten Kühlturms etwa 17191m3 oder über 17 Millionen Liter.
Mathematik kompakt
88
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Fragestellung
Besonders in Deutschland wird auf den Autobahnen mit recht hoher Geschwindigkeit gefahren. Ein
großes Gefahrenpotenzial bilden dabei Kurven und
Ausfahrten, da die Straßenführung an diesen Stellen meist einen Kreisbogen beinhaltet. Dieser Bogen hat, anders als eine Gerade, eine Krümmung
K 6= 0, die dafür verantwortlich ist, dass ein Fahrzeug mit zu hoher Geschwindigkeit aus der Kurve
fliegt. Das liegt wiederum daran, dass die am Fahrzeug angreifende Zentrifugalkraft F — wie aus der
Kinetik bekannt — proportional zur Krümmung K
ist, genauer F = Kmv 2 (m Masse des Autos und
v seine Geschwindigkeit).
Mathematik kompakt
89
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Wegbeschreibung
Bekannterweise beschreibt der Physiker einen Weg
in der Ebene (hier: die Straßenführung) durch dessen Koordinaten:
x(s), y(s),
wobei s ∈ IR ein Parameter ist.
Würde man beispielsweise x(s) = s und y(s) = s
für s ≥ 0 setzen, so gilt für alle s stets y = x. In
diesem Fall ergäbe sich als Weg also die Winkelhalbierende des ersten Quadranten.
Mathematik kompakt
90
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Klothoide
Wenn man nun eine Kurve ohne einen so genannten Übergangsbogen direkt aus der Geraden (mit
Krümmung K = 0) einleiten würde, hätte das zur
Folge, dass beim Durchfahren der Kurve ganz plötzlich die Krümmung von 0 auf einen von Null verschiedenen Wert springen würde (Unstetigkeit!). Aus
Sicherheitsgründen benutzt man deswegen im Straßenbau als Übergangsbogen die so genannte Klothoide. Deren Weg“ wird durch die Integrale
”
2
Rs
x(s) = 0 cos π u2 du,
y(s) =
beschrieben.
Mathematik kompakt
2
u
du
sin
π
0
2
Rs
91
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Klothoide
Bei Funktionen in einer Veränderlichen wird die zweite Ableitung als ein Maß für das Krümmungsverhalten gesehen. Auch die Krümmung K(s) eines
durch x(s), y(s) beschriebenen Weges kann man
messen. In fast jeder Formelsammlung findet man
hier die Formel (1. und 2. Ableitung werden üblicherweise mit Punkten bezeichnet, z.B. ẋ(s), ẍ(s)):
K(s) =
Mathematik kompakt
ẋ(s)ÿ(s) − ẍ(s)ẏ(s)
(ẋ2(s) + ẏ 2(s))3/2
.
92
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Krümmung der Klothoide
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
besagt nun, dass gilt:
2
2
s
s
ẋ(s) = cos π
und ẏ(s) = sin π
.
2
2
Damit ergibt sich für den Nenner (ẋ2(s)+ẏ 2(s))3/2
cos2 π
2
s
2
2 3/2
s
+ sin2 π
= 1.
2
s2
Wegen ẍ(s) = −πs sin π 2 und
2
ÿ(s) = πs cos π s2 folgt schließlich
s2
2
K(s) = πs cos π
2
Mathematik kompakt
2 s
2
+ sin π
= πs.
2
93
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Krümmung der Klothoide
Die Krümmung der Klothoide beginnt also bei K =
0 (für s = 0) und nimmt absolut gesehen stetig zu.
Die Kurve hat in jedem beliebigen Punkt eine andere Krümmung.
y(s)
x(s)
Mathematik kompakt
94
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Trassierung von Straßen mittels Klothoiden
Die Trassierung einer Straße mit der Elementfolge
Klothoide — Kreisbogen — Klothoide ist damit recht
einfach durchführbar. Man nimmt einen Klothoidenteil (beginnend bei s = 0) solange, bis er die (konstante) Krümmung des Kreisbogens erreicht hat. Ans
Ende des Kreisbogen setzt man dann das entsprechend umgekehrte“ Klothoidenteil. Dadurch steigt
”
die Zentrifugalkraft von Null linear bis auf den Kreisbahnwert an, bliebt dann konstant und nimmt nach
Verlassen der Kreisbahn wieder linear auf Null ab.
Auf diese Weise trägt hier die Mathematik ihren Teil
zum stressfreien Beherrschen von Fahrzeugen vor
und hinter Kurven auch bei lebhaftem Verkehr bei.
Mathematik kompakt
95
Anwendung: Integrale im Straßenbau
Fresnelsche Integrale
Die beiden Integrale nennt man übrigens Fresnelsche Integrale. Sie sind nicht analytisch lösbar, die
Straßenbauingenieure müssen also mit Tafelwerken
(numerische Integration!) arbeiten. Exakt berechenbar — wenn auch nicht mit unseren Mitteln — ist
lediglich der Wert der uneigentlichen Integrale:
Z
∞
0
cos π
2
u
2
du =
Z
∞
0
sin π
2
u
2
du =
1
.
2
Man erkennt, dass der Faktor π in den Integralen
nicht bloße Willkür ist, sondern aus Normierungsgründen gewählt wurde.
Mathematik kompakt
96

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