Physik für Elektrotechniker und Informatiker
Grundlagenvorlesung 1. & 2. Semester
Inhaltsverzeichnis
0. Allgemeine Einführung in das naturwissenschaftliche Fach Physik
0.1. Stellung und Bedeutung der Physik – Was ist Physik?
0.2. Rolle des Experimentes, Messen, Maßsysteme
0.3. Physikalische Modelle, Hypothesen, Theorien, Rolle der Mathematik
A Mechanik von Massepunkten und starren Körpern
1. Kinematik
1.1. Der Orstsvektor
1.2. Die geradlinige Bewegung = Translation
1.3. Die Kreisbewegung = Rotation
1.4. Überlagerung von Bewegungen – Superpositionsprinzip am Beispiel des Wurfes
2. Dynamik
2.1. Masse und Kraft
2.2. Die Newton‘schen Axiome – Integration der Bewegungsgleichung
2.3. Das statische Gleichgewicht – Kräfte und Drehmomente
2.4. Dichte und Massenmittelpunkt ausgedehnter Körper
2.5. Reibungskräfte zwischen festen Körpern
2.5.1. Haftreibung
2.5.2. Gleitreibung
2.5.3. Rollreibung
2.5.4. Seilreibung
3. Arbeit, Energie, Leistung
3.1. Mechanische Arbeit und Leistung
3.2. Potentielle und kinetische Energie
3.3. Der Energiesatz der Mechanik
3.4. Die Goldene Regel der Mechanik
4. Stöße
4.1. Grundlagen
4.2. Elastische Stöße im Laborsystem
4.3. Gerader zentraler inelastischer Stoß
4.4. Dezentraler elastischer Stoß
4.5. Stöße im Schwerpunktsystem
4.6. Systeme mit zeitlich veränderlicher Masse
4.6.1. Rakete
4.6.2. Regentropfen
4.6.3. Förderband
5. Drehimpuls, Trägheitsmoment, Rotationsenergie
5.1. Drehimpuls
5.2. Massenträgheitsmoment
5.3. Rotationsenergie
5.4. Starrer Körper
5.5. Bewegungsgleichung
5.6. Energieerhaltungssatz der Mechanik für die Rotation
5.7. Drehimpulserhaltungssatz
6. Gravitation
6.1. Gravitationsgesetz
6.2. Kepler‘sche Gesetze
6.3. Kosmische Geschwindigkeiten
7. Schwingungen
7.1. Freie ungedämpfte Schwingungen
7.1.1. Federpendel und mathematisches Pendel
7.1.2. Physikalisches oder Schwerependel
7.2. Freie gedämpfte Schwingung
7.3. Erzwungene Schwingungen
7.4. Überlagerung von Schwingungen
7.5. Fourieranalyse; Fourierreihe(n)
7.6. Gekoppelte Schwingungen
7.7. Parametrische Resonanz
7.8. Bifurkation und Chaos
8. Wellen
8.1. Einleitung: Was ist eine Welle?
8.2. Überlagerung von Wellen, Gruppengeschwindigkeit
8.3. Prinzipien der Wellenausbreitung
8.3.1. Streuung
8.3.2. Das Huygens-Fresnelsche Prinzip
8.3.3. Das Fermatsche Prinzip
9. Trägheitskräfte in beliebig beschleunigten Bezugssystemen
Was ist Physik?
Allgemeine Einführung in das
naturwissenschaftliche Fach
1. Stellung und Bedeutung der Physik
wörtlich (übersetzt): Ursprung, Naturordnung, das Geschaffene
 Aristoteles 384 – 324 v. Chr.
 Folie 1
Hauptziel:
Erforschung und Verstehen der grundlegenden Naturgesetze, auf denen alle bekannten
physikalischen Phänomene/Erscheinungen beruhen
Fundament der Technik:
Rein praktisch sind alle technischen Errungenschaften Anwendungen der Physik
Historisches:
 Die griechische Naturphilosophie war der Beginn naturwissenschaftlichen Denkens, der
Start zur Entmythologisierung der Natur.
 Die Natur ist ein sehr komplizierter und zugleich komplexer Mechanismus, den man aber
prinzipiell begreifen kann.
 Es existieren Gesetzmäßigkeiten anstatt undurchschaubares Wissen von Göttern und
Dämonen.
 Die Geschichte der Physik zeigt eine ständige Verbesserung des Verständnisses auf. Jede
neue Stufe führt zu einer Vereinfachung und Verringerung der Zahl der Grundgesetzte
und Theorien.
Seit geraumer Zeit findet eine „Physikalisierung“ anderer Wissenschaftszweige statt.
Bsp.: Chemie
Biologie
=
=
Physik der Atomhülle
Komplex chemischer Reaktionen
Chemie der Eiweise
(Das soll keineswegs eine Geringschätzung der anderen Wissenschaftszweige darstellen!)
Der gegenwärtige Höhenflug der biologischen Wissenschaften, die Entwicklung der
Biotechnologie beruhen wesentlich auf der Anwendung physikalischer Methoden, wobei man
bisher noch nicht versteht, wie Leben entsteht, was es genau ist, wie es anfängt und aufhört.
Jede physikalische Aussage kann überprüft werden durch Wiederholung eines bestehenden
Experiments oder durch Hinterfragung einer aufgestellten Hypothese oder Theorie.
Die Physik macht aus der Naturbeobachtung Aussagen und trifft Schlussfolgerungen über
Dinge, die nicht einmalig sind, also nicht nur einmal auftreten.
 Folie 2
Eine ganz wesentliche Errungenschaft physikalischen Vorgehens ist das gezielte Experiment
als gezielte Anfrage an bestimmte Aspekte der Natur unter Ausschluss strömender Effekte. Es
erfolgt eine Modellbildung zur Vereinfachung und Abstraktion.
Mit dem Experiment sehr eng verknüpft sind zwei wesentliche weitere Komplexe:
1. Physische Größen, Maßsysteme, Maßeinheiten, Messungen, Messfehler
2. Physische Modelle, Hypothesen, Theorien, Mathematisierung
Physikalische Beobachtungen müssen quantitativ sein, d.h. in Maß und Zahl angegeben sein.
Nur dann sind sie jederzeit nachprüfbar.
Alle Beobachtungen müssen auf Messungen beruhen.
Bsp.: Es reicht nicht zu sagen: „Das Wasser ist warm“.
Man muss die Temperatur mit einem Thermometer messen.
Unsere Sinnesorgane sind empfindlich für Vergleiche. Sie können aber nicht zum absoluten
Messen verwendet werden. Darüber hinaus lassen sich unsere Sinnesorgane täuschen.
2. Rolle des Experimentes, Messen, Maßsysteme
Das Wesen eines Experimentes ist die Messung, der unmittelbare Vergleich zweier Größen
Bsp.: Die physikalische Größe „Länge“ hat die Maßeinheit Meter m. Um eine
gegebene Länge oder Distanz zu ermitteln, wird diese mit der Messlänge
(Maßeinheit) verglichen.
Zollstock: „Die Distanz beträgt x, yz m“
Maßeinheiten werden durch Normale oder Standards definiert. Messgeräte müssen
regelmäßig an diesen Normalen geeicht, kalibriert, überprüft, verglichen werden.
Normale = f (Entwicklungsstand von Wissenschaft und Technik)
f (Güte und Genauigkeit der möglichen Messtechnik)
 Folie 3
 Folie 3: Skizze
Erdquadrant
Skala
1m
1
s zurückgelegt.
299.792.458
Damit ist c0 als Vakuumlichtgeschwindigkeit keine Messgröße mehr und beträgt
definitionsgemäß
m
!
299.792.458
s
 Definition der s: über die Periodendauer eines bestimmten Überganges des 133Cs-Atoms
 Definition: 1 m : Strecke, die Licht im Vakuum in

Übergang zwischen den beiden Hyperfeinstrukturniveaus des Grundzustandes,
des 9.192631.770-fache
 Definition des kg: Paris 1kg-Pt-Ir-Zyl.
früher: 1 dm³ H2O bei 4°C
angestrebt: Übergang zu Si-Einkristallkugel mit definierten Atomzahlen
Anschluss an Längenmaß und atomaren Einheiten
Die 7 Grundgrößen des SI-Systems
G
=
Physikalische Größe =
G x G
Maßzahl
x
Länge
Meter m
l
=
Maßeinheit
Kinematik K
Zeit
t
Masse m
=
Sekunde s
=
Kilogramm kg
Elektr. Stromstärke I
=
Temperatur
Kelvin K
T
=
Mechanik
Ampere A
ED
TD
Stoffmenge
n
=
Mol mol
Lichtstärke
L
=
Candela cd
Photometrie
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Bis hierher am 15. Oktober 2015, Ende der 1. Vorlesung
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 Alle anderen physikalischen Größen sind abgeleitete Größen. Oft wird abgeleiteten
Maßeinheiten ein eigener Name verliehen:
Bsp.: (N, J, W,…)
Eine „Dimensionsanalyse“ erlaubt die Überprüfung der Richtigkeit beliebig
komplizierter Formeln.
Links und rechts des Gleichheitszeichens muss die gleiche Dimension stehen.
Der Messprozess wird wesentlich durch zwei Begriffe charakterisiert:
o Messgenauigkeit
Wie groß ist der maximale Messfehler?
o Reproduzierbarkeit
Liefert die Wiederholung der Messung zu einer
anderen Zeit oderunter anderen Bedingungen ein gleiches Ergebnis?
 Physikalisches Praktikum
3. Physische Modelle, Hypothesen, Theorien, Rolle der Mathematikxperimente sind meist
so gestaltet, dass bestimmte Einflüsse deutlich messbar sind, störende Einflüsse hingegen
ausgeschaltet oder weitestgehend unterdrückt werden und die gewünschte Größe möglichst
unbeeinflusst ermittelt werden kann.
Bsp.: Experiment 3: Fallgesetze/ Fallröhre: V2/1232

Ausschluss des Luftwiederstandes in einem Vakuum-Fallturm
Physische Gesetze, die in der Regel durch Formeln ausgedrückt werden, sind den
Vereinfachungen des Modells angepasst, d.h., Dinge, die in dem betrachteten Zustand keine
Rolle spielen, kommen nicht (mehr) vor.
Einfachheit und Klarheit
 Man muss aber immer wieder (über)prüfen, ob die Voraussetzungen des Modells im
konkreten Falle gelten.
Hypothesen:



Mehr oder weniger begründete Vermutungen, Arbeitshypothesen
dienen oft der Planung bzw. dem Entwurf von Experimenten
Bsp.: Wenn das so ist, dann müssten doch auch…
Vorstufen von Gesetzmäßigkeiten
Prinzipiell ist Physik immer offen für unerwartete experimentelle Ereignisse. Insofern ist
keine Gesetzmäßigkeit „absolut“.
Mit zunehmender Vervollständigung des Bildes von der Welt, der zunehmenden Menge von
zusammenpassenden und sich gegenseitig nicht störenden bzw. sich stützenden Befunden
steigt natürlich das Zutrauen in die gefundenen Gesetzmäßigkeiten.
Deshalb wird z.B. die (zukünftige) Suche nach einem perpetuum mobile abgelehnt.
Theorien:


Überwiegend mathematische Formulierung gefundener Gesetzmäßigkeiten
beziehen sich auf ein bestimmtes Modell
o Außerordentlich wichtige Rolle von Mathematik + Computerphysik
o Arbeitsteilung zwischen Experimentalphysik und theoretischer Physik wegen
des enormen Wissensvolumens
Neue experimentelle Messergebnisse
Theorie/ Hypothese
theoretische Erklärung
nachfolgende experimentelle Bestätigung
o Computertechnik:
 näherungsweise Lösung komplexer Probleme, die analytisch
unzugänglich sind
 Berechnung experimentell nicht zugänglicher Konstellationen
Die in Theorien verwendete mathematische Formulierung physischer Aussagen
erlaubt die Vorhersage bisher nicht bekannter Vorgänge und Erscheinungen.
Bsp.: Vorhersage elektromagnetischer Wellen durch James Clerk Maxwell
(1831 - 1879) 
Experimenteller Nachweis durch Heinrich Hertz (1857 - 1894)
A Mechanik von Massepunkten und starren Körpern
1. Kinematik
1.1. Der Ortsvektor
 Die Kinematik beschreibt die Bewegung von Körpern ohne nach den Ursachen, die die
Bewegung veranlassen, zu fragen.
 Die Beschreibung der Bewegung von Körpern geschieht durch die Angabe des
Aufenthaltsortes zu jedem beliebigen Zeitpunkt.
 Mathematisch beschreibt der Ortsvektor r  t  mit seinen Komponenten x (t), y (t), z (t)
diesen Anspruch.
 sehr oft: kartesisches KS
Ursprungswahl zweckmäßig
Experiment 1: KS mit Taube
e x  e y  ez
Der Ortsvektor r  t  ist vom Koordinatenursprung (0, 0, 0) zum Aufenthaltsort (x, y, z)
gerichtet.
 x t 

 y t  


 z t  
r  t  = y  t  e x + y  t  e y + z  t  ez = 
(1)
Einheitsvektoren in Achsenrichtung(en)
Der Ortsvektor r  t  ändert bei der Bewegung des Körpers i. A. seinen Betrag r  t  und seine
Richtung
r t 
.
r t 
Der Betrag r  t  hat die Dimension einer Länge und wird gemessen in Meter  r  = m
r  t  = Bahnkurve (Orts-Zeitfunktion, parameterfrei)
Betrag von r = r = r
Skalarprodukt: r  r  ( xe x  ye y  zez ) ( xe x  ye y  zez )
a  b  a  b  cosWinkel ( a, b )
ei  ei  1
ei  e j  0
ei e j   ij
r 2  x2  y2  z2
Kroneckersymbol
r  x2  y2  z2
Experiment:
plastisches Modell
Die Richtung des Ortsvektors r in Bezug auf die Koordinatenachsen erhält man durch die
Richtungskosinus.
cos  x 
x
r
Der Einheitsvektor
cos  y 
y
r
cos  z 
z
r
r t 
zeigt nur die Richtung an und besitzt keine Maßeinheit.
r t 
Zur Einführung der abgeleiteten Begriffe Geschwindigkeit und Beschleunigung sollen zunächst
einfache Spezialfälle betrachtet werden:
a) Der Körper bewegt sich auf einer Geraden
Geradlinige Bewegung = Translation
b) Der Körper bewegt sich auf einem Kreis.
Wenn der Kreismittelpunkt M  x0 , y0  als Koordinatenursprung gewählt wird, ändert der
Ortsvektor r  t  nur seine Richtung, nicht aber seinen Betrag.
c) Als Beispiel für den allgemeinen Fall werden Überlagerungen translatorischer Bewegungen
betrachtet.
1.2. Die geradlinige Bewegung = Translation
Der Körper K legt in der gewissen Zeit t den Weg s zurück.
Den Quotienten aus Weg und Zeit nennt man seine (Bahn-) Geschwindigkeit oder auch Schnelligkeit.
 Definition
Geschwindigkeit v = zurückgelegter Weg s
verstrichene Zeit t
v 
=
m
s
(2)
Ist diese Geschwindigkeit v zeitlich Konstant  v  const  , spricht man von gleichförmiger
Bewegung. In diesem Falle wächst der zurückgelegte Weg s linear mit der Zeit t an.
Experiment 2: LKB v = const
Bis hierher am 22.10.2015, Ende der 2. Vorlesung
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Wächst die Geschwindigkeit linear mit der Zeit t an (oder nimmt sie linear mit der Zeit t ab) liegt eine
gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Bahnbeschleunigung) vor.
 Definition:
Beschleunigung a =
a 
=
Geschwindigkeitsänderung v
Zeitintervall t
(3)
m
s2
Experiment 3: LKB a  const
Experiment 4: Fallrinne
Die Geschwindigkeit ergibt sich als Fläche A unter der a  t  -Kurve.
Der Weg s ist die Fläche unter der v  t  -Kurve. Damit erhält man das Weg-Zeit-Gesetz für die
gleichmäßig beschleunigte Bewegung.
Bei der allgemeinen geradlinigen Bewegung ist auch die Beschleunigung a  t  zeitlich
veränderlich. Es kann Beschleunigungs- und Abbremsphasen geben, ebenso wie Phasen
gleichförmiger Bewegungen oder sogar Ruhe.
s  t  : Weg-Zeit-Verlauf einer Bewegung
mit einer Beschleunigungsphase, einer
Phase gleichförmiger Bewegung und
einer Verzögerungsphase
 Definition:
Mittlere Geschwindigkeit v 
zurückgelegter Weg s
Zeit int ervall t
Über beliebige Eskapaden (unterwegs) sagt
v nichts aus!
(4)
Bsp.: Aufgabe:
Ein Auto (Pkw) fährt die erste Hälfte einer insgesamt 90km langen Strecke mit v1  90
km
,
h
km
.
h
Wie groß ist die mittlere Geschwindigkeit?
die zweite mit v2  30
t ges  t  t1  t 2
t1 
45km
 0,5h
90km h
t 2 
45km
 1,5h
30km h
t  2h
v
s 90km

 45km h
t
2h
km
90  30 
v1  v2 
h  60 km (wäre ein fataler Fehler!)

Es gilt also nicht: v 
2
2
h
Man hat vielmehr ein gewichtetes Mittel zu bilden!
Dabei wird berücksichtigt, wie lange der Fahrer die jeweilige Geschwindigkeit eingehalten
hat.
v
t
t
s s1  s2 v1t1  v2 t 2 v1t1  v2 t 2
 v1 1  v2 2



t
t
t t1  t 2
t1  t 2
t
Gewichtsfaktoren
Als Montangeschwindigkeit
Geschwindigkeit definiert:
wird
die
zu
einem
bestimmten
Zeitpunkt
s ds  t 

 s t 
t 0 t
dt
v  t   lim
erreichte
(5)
ds  t  und dt bezeichnet man als infinitesimale Größen (Zum Grenzwert hin  klein
werdend).
Analog definiert man als mittlere Bahnbeschleunigung im Zeitintervall t :
a
v
t
Entsprechend ist die Momentanbeschleunigung:
d 2s t 
v dv  t 
a  t   lim

 v t  
 s t 
t  0 t
dt
dt 2
(6)
(7)
Momentangeschwindigkeit und Momentanbeschleunigung erhält man also durch zeitliche
Differentiation der Weg-Zeit-Funktion.
Umgekehrt ergibt sich aus der Momentanbeschleunigung durch einmalige Integration die
Momentangeschwindigkeit und durch zweimalige Integration die Weg-Zeit-Funktion
(unbestimmtes Integral) oder der zurückgelegte Weg (bestimmtes Integral).
Beispiele: ohne Beschränkung der Allgemeinheit zunächst nur: Eindimensional 1 D
 Gleichförmige Bewegung:
dx
 x  vo x  const
dt
dx  vo x dt
vx  t  
x t 

t

dx 
x  x0
t 0
t
v0 x dt '  v0 x
 dt
t 0
'
 v0 x t
x  t   x0  v0 x  t
x  t   x0  v0 x  t
 Gleichmäßig beschleunigte Bewegung:
x
dv x  t 
 a x  const
dt
vx t 

dv x  a x dt
t
dv x 
 a dt
x
t
'
 ax
t 0
v0 x
 dt
'
 ax  t
t 0
v x  t   v0  a x  t
v x  t   v0 x  a x t
x
d x  v x  dt
 dx 
x0
t

t 0
t
v x dt ' 
 v
t 0
0x

 a x t ' dt '
1
 v0 x t  a x  t 2
2
x  t   x0  v 0 x t 
ax 2
t
2
Diese Formeln finden Sie alle in dieser oder ähnlicher Darstellung in Tabellenbüchern. Tafelwerke
helfen allerdings nicht weiter im folgenden Beispiel:
 Ungleichmäßig beschleunigte Bewegung:
ax  ax  t 
dx  t   dv x  t   a x  t  dt 
x t 

d x t  
x0
x  t   ax  t  
spezielle Funktion
t
k
t
m
k
tdt
m
t
k ' ' k
k 2
'
'
t 0 m t dt  m t 0 t dt  2m t
Anfangsgeschwindigkeit beachten
k 2
k 2
bzw. v x  t   v0 x 
x  t   x0 
t
t
2m
2m
dx  x  t  dt
x t 

t
dx 
x0

  x
0
t 0

k '2  '
k 3
t dt  x0  t 
t
2m 
6m
x  t   x0  x 0  t 
k 3
k 3
t  x0  v 0 x t 
t
6m
6m
Typische Geschwindigkeiten:
Elektronen in einem Leiter
m
s
m
25
s
m
340
s
m
300
s
3 104
Pkw
Schall in Luft
Bahngeschwindigkeit Erde
Fußgänger
Revolverkugel
Licht im Vakuum
m
s
m
300
s
m
3 108
s
1, 4
Typische Beschleunigungen:
Pkw
100m-Läufer
m
s2
m
10 2
s
3
m
s2
m
5000 2
s
Fallbeschleunigung (Erde) 9,81
Gewehrkugel
###########################################################################
Empfohlene Literatur zu diesem Kapitel:
Hering, Martin; Stohrer: Physik für Ingenieure, 10. Auflage, Lehrbuch, Springer Verlag,
ISBN 978-3-540-71855-0, Seiten 29 bis 39
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Bis hierher am 29.10.2015, Ende der 3. Vorlesung
1.3. Die Kreisbewegung
Wählt man bei der Beschreibung der Kreisbewegung den Kreismittelpunkt M (xM;yM) als
r
r
Bezugspunkt, ändert sich nur die Richtung des Ortsvektors  rˆ , nicht aber dessen Betrag.
r  t   r0
r t 
 r0 rˆ  t  , r0  const
r
(8)
Zweckmäßig ist die Einführung von ebenen Polarkoordinaten r (Radius) und 𝞅
(zeitabhängiger Drehwinkel):
Winkelkoordinate   t 
Transformationsgleichungen
x  r cos 
y  r sin 
x2  y2  r 2
x
 cot 
y
y
 tan 
x
  arc tan
 Definition:
y
x
Winkelgeschwindigkeit 
 t  
d  t 
  t 
dt
(9)
Winkelbeschleunigung 
 t  
d  t  d 2  t 

  t 
dt
dt 2
(10)
Bei konstanter Winkelgeschwindigkeit spricht man von einer gleichförmigen, bei konstanter
Winkelbeschleunigung von einer gleichmäßig beschleunigten Kreisbewegung.
s bzw. r , v  a sind Vektoren
Frage: Kann man Drehbewegungen vektoriell erfassen?
Gleichförmige Drehbewegungen werden durch eine Größe der Winkelgeschwindigkeit und
einen Drehsinn bzw. eine Richtung beschrieben.
Die konkrete Frage ist nun, ob es folgende Analogie gibt:
Weg s
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Winkel 
Winkelgeschwindigkeit 
Winkelbeschleunigung 
Es zeigt sich, dass eine vektorielle Darstellung für  und  möglich ist, nicht aber für
Winkel. Wenn Winkel als Vektoren darstellbar wären, müssten sie auch dem Gesetz der
Kommutativität der Vektoraddition. gehorchen, d.h., die Hintereinanderausführung zweier
Drehungen um zwei beliebig gewählte Achsen müsste von der Reihenfolge unabhängig sein.
Die beiden Sequenzen der Drehung um y- und z-Achse sind nicht vertauschbar.
Die Prozedur „erste Drehung um y-Achse, zweite Drehung um z-Achse“ führt zu einem
anderen Ergebnis als die umgekehrte Aufeinanderfolge „erste Drehung um z, zweite Drehung
um y“. Ferner spricht die Definition des Skalarproduktes sowie die Arcusfunktion eines
Winkels dagegen.
D.h., Makroskopische
Winkel sind nicht als Vektoren darstellbar.
Einschub für Experten und Feinschmecker:
Anders ist die Lage für infinitesimal (im Grenzwert unendlich klein werdende) kleine Winkel. Hier
wird die Hintereinanderausführung von Drehungen von der Reihenfolge unabhängig. Die Addition ist
kommutativ, infinitesimal kleine Winkel sind als Vektoren darstellbar.
Es ist gleichgültig, ob P über P‘ oder P“ in P* überführt wird. Die Wegelemente ds1 und ds2 addieren
sich vektoriell zur resultierenden Verschiebung ds3 , dabei ist die Reihenfolge gleichgültig.
ds3  ds1  ds2  ds2  ds1
Die zu den infinitesimalen Drehwinkeln d1 und d2 gehörigen Vektoren d1 und d2 definiert
man mit Hilfe der „Rechte-Hand-Regel“: Einer Drehung d in Richtung der gekrümmten Finger
der rechten Hand wird ein Vektor d in Richtung des ausgestreckten Daumens der rechten Hand
zugeordnet.
Im Beispiel steht also d1  auf der vom Ortsvektor r  P  und der Verschiebung ds1 gebildeten


Ebene, entsprechend ist d2  Ebene r  P ' , ds2 . Die mit den Wegelementen dsi ausgeführte
Addition lässt sich damit sofort auf die di übertragen.
d3  d1  d2  d2  d1
(11)
Gemäß Gleichungen (9)  (11) gilt damit auch:
d 3 d 1 d 2


 3  1  2
dt
dt
dt
(12)
Ende des Einschubes
D.h.: Winkelgeschwindigkeiten sind als Vektoren schreibbar. Sie charakterisieren den
Drehsinn und die Geschwindigkeit der Rotation. Vektoren mit diesen Eigenschaften heißen:
„axiale Vektoren“. Die „normalen“ Vektoren heißen „polare“ Vektoren.
Gleichung (12) sagt aus, dass man die Winkelgeschwindigkeiten zweier oder mehrerer
Rotationen um unterschiedlichen Achsen vektoriell zu einer Gesamtwinkelgeschwindigkeit
3  addieren kann.
Exp.: Addieren von Winkelgeschwindigkeiten mit schwarzer Kugel mit grünen Punkten
Winkelgeschwindigkeit Modellscheibe V 02 / 1421
Die Bahngeschwindigkeit v ist stets tangential zur Kreisbahn gerichtet und steht senkrecht auf
dem aktuellen Radiusvektor.
Ihr Betrag ergibt sich aus:
ds
Bahngröße
=
v
=
d
r0
Radius
ds
dt
x
=
zu
Winkelgröße
r0
d
=
dt
r0  
(13)
 = axial
(14)
Die Bahngeschwindigkeit v steht  r   .
Mit Hilfe des Vektorproduktes kann man schreiben:
v  r
polare Vektoren
Das Kreuzprodukt zweier polare Vektoren
axialer Vektor
Das Kreuzprodukt eines polaren und eines axialen Vektors
r  r , v  v ,   
Ein „normaler“ polarer Vektor ändert bei Koordinateninversion
x
-x
y
-y
seine Richtung, seine Polarität
z
-z
polarer Vektor
Ein Vektor c  a  b , der sich aus dem Kreuzprodukt zweier polarer Vektoren a , b ergibt,
ändert bei einer solchen Punktspiegelung sein Vorzeichen nicht, weil beide Faktoren im
Produkt ihr Vorzeichen gleichzeitig ändern.
Da sich die Bahngeschwindigkeit bei der Kreisbewegung (wenn auch nur der Richtung nach)
ständig ändert, ist bereits die gleichförmige Kreisbewegung eine beschleunigte Bewegung.
Mathematische Beschreibung der gleichförmigen Kreisbewegung
Rechtwinkliges kartesisches KS mit Einheitsvektoren ex , ey (z = 0 )
Damit wird der Ortsvektor:
r  t   ex r0 cos   ey r0 sin 
(15)
r  r0
Gleichförmige Kreisbewegung:

d 
  2  2 v
dt
t
(16)
𝞄: Umlauffrequenz
1
Periodendauer

v
  2 v
Winkelgeschwindigkeit, Kreisfrequenz
r  t   r0 (ex cos t  ey sin t )  r0rˆ t 
Die zeitliche Differentiation des Richtungsvektors führt zu:
dr  t 
drˆ  t 
d
 r  t   v  t   (r0 rˆ  t )  r0
dt
dt
dt
d
 r0  ex cos t  ey sin t 
dt
 r0  ex sin t  ey cos t 
Betrag Richtung
 r0 rˆ´ r ´
(17)
Der Einheitsvektor rˆ´ , der die Richtung von v angibt, steht senkrecht auf dem Ortsvektor r
und senkrecht auf 
Die Differentiation des Ortsvektors ergibt also unmittelbar sowohl Betrag als auch Richtung
des Bahngeschwindigkeitsvektors. Durch nochmalige Differentiation gelangt man in gleicher
Weise zur Bahnbeschleunigung:
dv  t 
(18)
a t  
  2 r0  ex cos t  ey sin t 
dt
Betrag
Richtung
2
2
  r0 rˆ``  r
 da rˆ`` rˆ 
Die Bahnbeschleunigung ist bei der gleichförmigen Kreisbewegung stets dem Ortsvektor
entgegengerichtet, sie zeigt immer auf den Kreismittelpunkt.
Es gibt eine reine Radialbeschleunigung = Zentripetalbeschleunigung.
Deshalb wird sie mit ar   2 r   r     v bezeichnet.
Vektoriell ist:
ar    v      r 
(19)
Entwicklungssatz der Vektorrechnung für das doppelte Kreuzprodukt:
    r    r   r       2 r
  r  = 0, weil   r , es bleibt also übrig:
ar   2 r
Bisher haben wir nur die gleichförmige Kreisbewegung behandelt.
Bei der ungleichförmigen Kreisbewegung (z.B. gleichmäßig beschleunigte Kreisbewegung)
ändert sich auch der Betrag der Bahngeschwindigkeit v : v
Der Beschleunigungsvektor lässt sich in diesem Fall in eine Radial-Komponente ar und eine
Tangential-Komponente at zerlegen.
Erstere ist für die Richtungsänderung, letztere für die Betragsänderung von
v verantwortlich.
##################################################################################
Bis hierher am 05.11.2015, Ende der 4. Vorlesung
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Die Kreisbewegung auf einen Blick – Zusammenfassung
Wie gelangt man von einem Koordinatensystem (KS) in das andere (Transformation)?
Kartesische Koordinaten
Polar-Koordinaten
 x0 2  y0 2
x0  r0  cos  (t )
r0
y0  r0  sin  (t )
 (t )  arc tan
z0  0
z
y t 
x t 
0
 t    t    t 
rˆ´ ex  sin t
rˆ´´ ex  cos t
ar  w2 r
at
 ey cos t
 ey sin t
ar  r0 w2
 rˆ
Richtungsänderung von v
Betragsänderung von v
1.4. Überlagerung von Bewegungen
Im allgemeinen Fall der beliebigen Bewegung eines Körpers bzw. Massenpunktes ändert sich
sein Ortsvektor sowohl nach Betrag als auch Richtung. Rein formal muss man zur
Bestimmung der Geschwindigkeit den Ortsvektor differenzieren:
v t  
dr  t  d
dr  t 
drˆ  t 
  r  t  rˆ  t   
 rˆ  t   r  t 
dt
dt
dt
dt
Produktregel
(1.20)
Zur praktischen Lösung derartiger Bewegungsprobleme ist es günstig, das vektorielle
dreidimensionale Problem auf die enthaltenen skalaren Probleme zurückzuführen.
Wir zerlegen r  t  in seine Komponenten:
r  t   x  t  ex  y  t  ey  z  t  ez   x  t  ; y  t  ; z t  
Bahngeschwindigkeit:
v  t   r  t    vx ; v y ; vz    x; y; z 
Bahnbeschleunigung: a  t   r  t    ax ; a y ; az    x; y; z 
(1.1)
(1.21)
(1.22)
Beispiele:
1. Der waagerechte Wurf: Exp.: V2 / 1302 Grimsehl.-Versuch
Beobachtung: Vertikalkomponente ist unabhängig von Horizontalkomponente
Horizontal abgeworfene Kugel benötigt die gleiche Zeit zum Herabfallen wie beim
freien Fall senkrecht nach unten. Beide Kugeln erreichen gleichzeitig den Boden.
v0 y  0, y0  0 (Freier Fall mit Fallbeschleunigung g)
Spezialfall:

Überlagerung einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in x-Richtung mit der
Anfangsgeschwindigkeit v0 x und einer Fallbewegung, also einer gleichmäßig
beschleunigten Bewegung in y-Richtung; die z-Komponente aller kinematischen
Größen  0.
x-Komponente(n)
y-Komponente(n)
ax  0
Beschleunigung
a y   g Geschwindigkeit
vx  v0 x
vy   g  t
1
y   gt 2
2
x  v0x  t
Weg
 x0  y0  0
1
r  t   v0 x  tex  gt 2ey
2
v  t   v0 x  ex  gt ey
a  t    g ey
Durch Elimination von t erhält man die Parameterdarstellung der Bahnkurve y(x)
t
x
v0x
y 
g x2
2 v0x 2
nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel im
Koordinatenursprung (0;0).
2. Der schiefe oder schräge Wurf
Wir wählen zur Beschreibung ein passendes KS. Der Wurf verlaufe in der (x; y)-Ebene. Die
Anfangsgeschwindigkeit v0 besitzt jetzt aber eine Komponente in x-und in y- Richtung.
x-Komponente(n)
y-Komponente(n)
ax  0
Beschleunigung
a y   g Geschwindigkeit
vx  v0 x
vy   gt  v0 y
Weg
1
y   gt 2  v0 y  t  y0
2
Durch Elimination von Zeit t ergibt sich wiederum die Bahnkurve y  x  :
x  v0x  t  x0
y  x   y0 
vo y
vo x
x
1 g 2
x
2 v0 x 2
 x0  0
Das ist eine nach unten geöffnete Kurve mit dem Scheitel:
 vo x  vo y
vo y 2 

S 
; y0 
 g

2
g


Experiment:
V2/1303
Wurfparabel mit Stroboskop
Die Bahnkurve ergibt sich aus der Überlagerung einer gleichförmig geradlinigen Bewegung in
Richtung v0 und einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung in Richtung ey .
Aus Tabelle und Vektordiagramm ergibt sich:
Weg: r  t   y0ey  v0  t 
1 2
gt ey
2


Geschwindigkeit: v  t   v0 x ex  v0 y  gt ey  v0  gtey  r  t 
Superpositionsprinzip:
Gleichzeitig ablaufende Bewegungen eines Massepunktes (Körpers) beeinflussen sich gegenseitig
nicht. Resultierende Größen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) ergeben sich aus der jeweiligen
Vektorsumme.
ÜA
Bahnkurve: y  x  tan  
g
1
x2
2
2 v0 cos 2 
Beweis
x  v0  cos   t
t
x
v0 cos 
1
y  y0  v0 sin   t  gt 2
2
x
1
x2
 y0  v0 sin 
 g
v0 cos  2 v0 2 cos 2 
R
Horizontale Reichweite:
v0 2
sin  2 
g
R ist maximal für.   45
v2
Rmax  0
g
Beweis
x  x0  R  v0 cos   t
t
R
v0 cos 
1
y  y0  0  v0  sin   t  gt 2
2
v sin 
1
R2
0 0
R g 2
v0 cos 
2 v0 cos 2 
0
1
gR
2
:
2
 v0  cos  
2 2
v0 sin  cos   R
g
2v0 2
R
sin   cos 
g
sin  2   2sin  cos 
v0 2
R
sin 2
g
Fazit: Zusammenfassung
Die Zeit t ist eine skalare Größe.
Weg s, Geschwindigkeit v und Beschleunigung a sind vektorielle Größen, polare Vektoren,
Winkelgeschwindigkeit  und Winkelbeschleunigung  sind axiale Vektoren. Man benötigt zu ihrer
Festlegung eine Konvention, die Rechte-Hand-Regel.
Für die Beträge der Größen, mit denen sich Translations- und Rotationsbewegung beschreiben lassen,
gelten analoge Beziehungen. Makroskopische Winkel  lassen sich nicht als Vektoren darstellen.
Translation
Rotation
Weg s
Winkel 
Bahngeschwindigkeit v  s
Winkelgeschwindigkeit   
Bahnbeschleunigung a  v  s
Winkelbeschleunigung     
Gleichförmige Bewegung
v  const
s  v t
  const
   t
Bahngeschwindigkeit v   x r

Bahnbeschleunigung: ar   x v   x  x r

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
a  const
v  v0  a  t
  const
  0    t
a
s  s0  v0  t  t 2
2
  0  0t    t 2
1
2
Zeitabhängige Beschleunigung
a  a t 
t
v  t    a  t ' dt '
0
t
s  t    v  t ' dt '
0
   t 
t
  t      t ' dt '
0
t
  t      t ' dt '
0
Bis hierher am 12.11.2015; Ende der 5. Vorlesung
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2. Dynamik
2.1. Masse und Kraft
Zur vollständigen Beschreibung und Erklärung von Bewegungen müssen die Ursachen für
diese Bewegungen (Kräfte, Drehmomente) und die Eigenschaften der sich bewegenden
Körper (Masse, Trägheitsmoment) betrachtet werden.
Zur Erinnerung: Die Kinematik beschreibt Bewegungen, fragt aber nicht nach den Ursachen
hierfür.
Bsp.: Translation (2. & 3. Vorlesung)
Rotation (4. Vorlesung)
zusammengesetzte bzw. überlagerte Bewegungen (Wurf)
(5. Vorlesung)
Warum fällt der Apfel immer senkrecht nach unten und niemals seitwärts?
Die Schwerkraft zeigt immer zum Erdmittelpunkt, jeder Körper unter deren Einfluss fällt frei (Modell: Vernachlässigung der
Luftreibung)
2.1. Masse m und Kraft F
Wesentliche Eigenschaften von Masse m und Kraft F:
 Masse: [𝑚] = kg (Mess-Normal: Urkilogramm: Pt-Ir-Zylinder, Paris)
 Die Masse ist eine allgemeine Eigenschaft aller Körper; jeder Körper besitzt eine Masse.
Dies gilt sowohl für makroskopische (für uns im Alltag sichtbare) als auch für
mikroskopische Objekte, wie z. B. Atome, Elektronen, Nukleonen usw.
 Die Masse eines Körpers ist verantwortlich für seine Trägheit: Jeder Körper widersetzt
sich aufgrund seiner Trägheit einer Änderung seines Bewegungszustandes (träge Masse).
 Änderung des Bewegungszustandes heißt Änderung der Geschwindigkeit.
 Bereits Galilei (1564 … 1642) hat erkannt, dass eine geradlinige gleichförmige
Bewegung, d.h. v = const. von sich aus fortbesteht, also keiner besonderen Ursache
bedarf; die Ruhe (v = 0) ist ein Sonderfall davon.
Man bezeichnet dies als
Trägheitsprinzip.
 Zwischen zwei beliebigen Körpern besteht wegen ihrer Eigenschaft, eine Masse zu
haben, eine Anziehungskraft, die Gravitation (schwere Masse).
Träge und schwere Masse eines Körpers sind gleich!


Diese Äquivalenz ist eine empirische Tatsache, die durch Hochpräzisionsmessungen
untersucht wird.
Sie liegt als Postulat der allgemeinen Relativitätstheorie zugrunde
Historische Experimente:
 Eötvös um 1900:
=



<
Drehwaage
Shapiro 1976: Apollo-Missionen u. Laserreflektoren auf dem Mond … <
Adelberger 1999: … <
Geplante neuere Experimente: Drag-free satellites … <
Weitere Eigenschaften der Masse:
 Die Masse ist eine skalare Größe und der Stoffmenge n eines Körpers proportional.
 Die Masse ist im Rahmen der Mechanik eine Erhaltungsgröße (m = const.)
 Die Masse hängt vom Bewegungszustand des Körpers ab:
 m=
; v = Geschwindigkeit des Körpers der Masse m, c =


Vakuumlichtgeschwindigkeit
Für die klassische Mechanik (außerhalb der speziellen Relativitätstheorie) gilt: v << c
und damit m = mo
m = m(t) für die Raketengleichung wird gesondert beim Impulserhaltungssatz (IES)
behandelt.
Die Kraft 𝐹
• Mit einer Kraft kann man Körper verformen.
• Diese Verformung kann bleibend sein, dann spricht man von einer plastischen
Verformung.
• Sie kann aber auch vorübergehend und damit elastisch sein.
• Mit einer Kraft lassen sich bewegliche Körper in Kraftrichtung beschleunigen.
• Ohne Krafteinwirkung ändert sich der Bewegungszustand eines Körpers nicht (siehe dazu
später erstes Newton‘sches Axiom = Trägheitsprinzip).
• Die Kraft ist eine vektorielle Größe.
Änderung des Bewegungszustandes <-> Auf den Körper wirkt eine Kraft

Bei mehreren Kräften überlagern sich alle Komponenten einzeln, es gilt das
Superpositionsprinzip Unabhängigkeitsprinzip (siehe Wurf).
Bsp.:
Kartesisches Koordinatensystem
Fges   Fi
i
Fx ,
Fy ,
Fz ,
ges
ges
ges
  Fx,i
i
  Fy ,i
i
  Fz ,i
i
Dimension / Einheit: [F] = 1 Newton  1N  1kg
m
s2

Ein Körper mit Fges  0 heißt: „frei“, weil er seinen Bewegungszustand nicht ändert.

In vielen Fällen hängt die Kraft F vom Ort r ab: F  F  r 


Betrag  Richtung der Kraft sind eindeutig dem jeweiligen Ort zugeordnet.
Eine solche jedem Ort r zugeordnete Kraft wird als Kraftgeld bezeichnet.
Bsp.:
Jeder Punkt in der Umgebung der Erde besitzt die
Eigenschaft, auf eine bestimmte Masse eine
bestimmte Kraft F  r  auszuüben. Diese
Eigenschaft hat der Punkt auch dann, wenn keine
zweite Masse dort (vorhanden) ist.

Unterschiedliche Körper reagieren auf ein und dieselbe Kraft unterschiedlich.
Bsp.: Ziehen am Handwagen, am Pkw, an einem Schiff
2.2. Die Newton‘schen Axiome
Von Isaac Newton (1643 - 1727) wurden die grundlegenden Gesetze der Bewegung von
Körpern unter der Einwirkung von Kräften formuliert:
1. Trägheitsprinzip (bereits von Galilei erkannt)
 Jeder Körper verharrt in Ruhe oder gleichförmig geradliniger Bewegung,
solange keine von Null verschiedene resultierende Kraft auf ihn einwirkt.
Experimente: V 2 / 2100
V 2 / 2102
V 2 / 2103
V 2 / 2105
V 2 / 2111
V 2 / 2113
kleiner auf großem Wagen
Kugel mit 2 Fäden
Toilettenrolle
Münzturm
flotter Kellner
Blechplatte – Zeitung
2. Aktionsprinzip
 Wenn eine Kraft F auf einen Körper einwirkt, beschleunigt sie ihn:
ar 
Wirkung
F
m
(1)
Ursache
Experiment: LKB aus Praktikum

Die Eigenschaft, sich der Einwirkung der Kraft zu widersetzen und den
vorliegenden Bewegungszustand beizubehalten, wird beschrieben durch die
Relation:
F  ma
Newton’sches Aktionsprinzip (mathematisch völlig das gleiche)
3 Möglichkeiten der Interpretation:
a) F  m  a Bestimmung von F
Wenn ein Körper der Masse m die Beschleunigung a erfährt, wie groß ist dann die
wirkende
Kraft F?
Bsp.: Ermittlung der Erdschwerkraft aus Fallexperimenten
b) m 
F
Charakterisierung der Trägheit
a
Wie viel Kraft F muss pro Beschleunigung a aufgebracht werden?
F
Bestimmungsgleichung für die Beschleunigung a
m
Damit kann bei gegebener Kraft F  t  für die Masse m die Bahnkurve r  t  durch
c) r  a 
Integration
bestimmt werden.
Leseart a) führt zur Definition der Maßeinheit für die Kraft F aus den SI-Einheiten bzw. SIGrundgrößen Masse, Länge und Zeit:
m
1 Newton  1N  1kg 2
s
m
1 N ist also die Kraft, die einer Masse von 1 kg die Beschleunigung 1 2 verleiht.
s
Die Beschleunigung durch die Erdschwerkraft an der Erdoberfläche beträgt
m
g  9,81 2 (Erdgestalt, Aufbau von Kruste und Mantel).
s
D.h., die Masse 1kg besitzt auf der Erdoberfläche die Gewichtskraft
m
FG  9,81 kg 2  9,81N  1kp
s
Die Gewichtskraft darf nicht mit der Masse verwechselt werden.
F
Gleichung (1) a  r 
heißt auch Bewegungsgleichung eines Körpers.
m
Man muss von einem Körper die Beschleunigung kennen oder, was nach dem 2. NA das
gleiche ist, nämlich die angreifende Kraft und die Masse kennen, um die Bewegung durch
Berechnung vorherzusagen.
Dies erfolgt durch Integration der BWGL, siehe nachfolgende Beispiele (in der nächsten
Vorlesung):
Kennt man die angreifende Kraft, die Masse und die Anfangsbedingungen (Anfangsort,
Anfangsgeschwindigkeit), lässt sich prinzipiell jedes Bewegungsproblem lösen.
Praktisch zerlegt man die BWGL oft in Komponenten:
x(t ) 
F t 
Fx  t 
F t 
 ax  t  ; y (t )  y
 az  t 
 a y  t  ; z (t )  z
m
m
m
Den Anfangsort legt man zweckmäßigerweise (aber keinesfalls zwingend) in den
Koordinatenursprung.
Um das Bewegungsproblem zu lösen, d.h. x  t  , y  t  , z  t  zu ermitteln, müssen die
Anfangsgeschwindigkeiten
v0 x  x  t  0  , v0 y  y  t  0  , v0 z  z  t  0  bekannt sein.
3. Reaktionsprinzip

Bei zwei Körpern, die nur miteinander wechselwirken, ist die Kraft F1 auf
Körper A entgegen gesetzt gleich groß wie die auf B wirkende Kraft F2
F1   F2
Actio Reactio
(2)
Experimente: Waage mit 4 Magneten
2 Wagen mit Seil
Das Aktionsprinzip kann mit Hilfe der Größe Impuls p
p  mv
(3)
m
 Ns
s
anders formuliert werden: (Dies wurde bereits von Newton schon so getan.)
 p
 kg 
Eine Kraft ändert bei Einwirkung auf einen Körper dessen Impuls:
F
dp d  mv 
dv
dm

 m v
dt
dt
dt
dt
(4)


Solange auf ein System keine (äußeren) Kräfte einwirken F  0 , bleibt der (Gesamt-)
Impuls des Systems konstant. Es resultiert also unmittelbar der Impulserhaltungssatz IES.
Abschließend sei bemerkt, dass Newton die Axiome für Punktmassen formulierte. Bei
Körpern endlicher Größe kann man sich aber die Masse in einem Punkt vereinigt denken.
Dieser Massenmittelpunkt oder auch Schwerpunkt bewegt sich wie von den Axiomen
bestimmt. Daraus folgt, dass man die NA auch auf Körper mit endlicher Ausdehnung
anwenden kann.
Bis hierher am 19.11.2015, Ende der 6. Vorlesung
Beispiele zur Integration der BWGL
1. Harmonische periodische Bewegung
Eine Masse m ist an einer Feder der
Federkonstante k befestigt und kann sich
entlang der x-Achse reibungsfrei bewegen.
Zum Zeitpunkt t = 0 wird sie um x0 aus der Ruhelage x = 0 ausgelenkt.
 x  0  x
0
 x  0  0
AB: Anfangsauslenkung, aber keine Geschwindigkeit!
Experiment: V4 / 1102
einfaches Federpendel
Welche Bewegung führt die Masse m aus?
Gesucht sind also das Weg-Zeit-Gesetz (x(t)) sowie die Beschleunigung a(t)
ma  F
mx  kx
F  k  xex ist die (rücktreibende) Federkraft (hier: eindimensional 1 D)
x
k
x0
m
BWGL
Lineare, homogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
d 2 x t 
k
  x t 
2
dt
m
Gesucht ist demnach eine Funktion x  t  , deren 2. Abteilung bis auf die negative Konstante
x

k
die Funktion selbst wieder ergibt.
m
Die Funktion x  t   x0  cos t erfüllt diese Bedingung, was sich durch Einsetzen nachprüfen
lässt.
x  t   x0  cos t
x  t    x0  sin t
x  t    2 x0  cos t   2 x  t 
Vergleich:

k
x  t    2  x0  cos t   2 x  t 
m
k
 2
m

k
 2 / T
m
Harmonische Schwingung:
x  t   x0  cos t mit  
Experimente: V4 / 1104
V4 / 1105
T = T(m)
T = T(k)
k
m
2. Angenähert harmonische Bewegung – das mathematische Pendel
Eine Punktmasse m hängt an einem
masselosen (Modell) Faden der Länge L
und wird um einen kleinen Winkel  aus
der Ruhelage ausgelenkt.
Die an der Masse m angreifende
Gewichtskraft G  mg kann in zwei
Komponenten G  GII zerlegt werden.
Während GII nur am Faden zieht,
ist G offensichtlich für die
Bewegung verantwortlich.
Das dem Problem angepasste KS ist krummlinig, die Masse bewegt sich auf einem
Kreisbogen:
2. NA:
ms  mg  sin   sˆ
G
Einheitsvektor in s -Richtung
Nach Weglassen der Vektorpfeile kann man nun entweder mit der Koordinate s oder mit der
Winkelkoordinate  weiterrechnen (völlig äquivalent):
Mit
s  L  s  L
ergibt sich:
  sin   0  s  g sin
g
L
(L=const)
s
0
L
Beide Gleichungen lassen sich nicht mehr exakt lösen. Eine Lösung gelingt nur, wenn man
sich auf (sehr) kleine Winkel beschränkt, für diese gilt: sin    (< 10 °) bzw.
s
sin  
L
…………………………………………………………………………………………………
Mathematischer Einschub
Satz von Taylor für Taylor-Reihe (n)
n
f v  x0 
v
f  x  
 x  x0   Rn  x  Lagrang’sches Restglied
v!
v 0
Jede in einem Intervall differenzierbare Funktion kann um den Wert x0 entwickelt werden.
Spezialfall:
x0  0
McLaurin-Reihe
n
f  x  
v 0
f
v
 x0  xv  R
n
v!
f  x   f  0 
 x
f '  0  f ''  0  f '''  0 


 ……
1!
2!
3!
1
sin x  0  x  x3  ……
6
Linearisierung: Abbruch nach linearem Glied (wenn x klein ist, dann sind höhere Potenzen
noch sehr viel kleiner)  sin x  x
x
sin  
x  L  sin 
L
für kleine 
x  L
Ende des mathematischen Einschubes
……………………………………………………………………………………………
  t   0  cos t L
L  t   L0  cos t  x  t   x0  cos t
g
g
s0
L
L
Diese DGL entsprechen genau der DGL der harmonischen Schwingung
Damit wird:
  0s
  t   0  cos t
mit

g
L
s  t   s0  cos t
mit

g
L
T  2
L
Schwingungsdauer
g
! Die Frequenz der Schwingung ist masseunabhängig!
Experimente: V4 / 1200 einfaches mathematisches (Faden-)Pendel T  T  m 
V4 / 1201 T = T  L 
3. Wurfbewegung
y = 0, Bewegung in der xz-Ebene
Anfangsbedingungen:
r  0  0
x  0  z  0  0
v  0   v0
v0 x  v0  cos 
v0 z  v0  sin 
Integration der BWGL.:
Fx  t 
 0 ; Fx  0
m
x  t   vx  t   v0 x  v0  cos 
x t  
x  t   v0 x  t  v0  t cos 
z t  
Fz  t 
mg

 g
m
m
Es wirkt in z-Richtung die Gewichtskraft, g ist der z-Richtung entgegengerichtet. Nach dem
Erreichen des Scheitels der Parabel ist g ez .
z  t   vz  t    gt  v0 z   gt  v0 sin 
1
z  t    gt 2  v0  t sin 
2
Um die genannte BWGL bzw. Bahngeschwindigkeit zu erhalten, substituieren wir t aus x(t) in
z(t): Zuerst stellen wir x(t) nach t um
x
danach einsetzen in z(t)
t
v0  cos 
z  x  tan  
gx 2
liefert also z(x)
2v0 2 cos 2 
Experiment: V 2 / 1301
Die Wurfweite folgt aus
z  xm   0
Die Wurfhöhe (Steighöhe) folgt aus z  t '  0
xm 
v0 2
sin  2 
g
v0 2
zm 
sin 2   z  xm 
2g
gxm 2
z  xm   xm  tan   2
 z  0  0
2v0 cos 2 
xm
gxm 2
sin 

cos  2v0 2 cos 2 
sin   cos  
xm 
(??)  f 
xm 1  0
1 g
xm 2sin   cos   sin  2 
2 v0 2
v0 2
 sin  2 
g
z  t    gt  v0 sin 
t
x
v0  cos 
z  t '  0   gt ' v0 sin 
v0
sin 
g
1
z  t    gt 2  v0  t  sin 
2
v
1 v0 2
zm  z  t '   g 2 sin 2   v0 0 sin   sin 
2 g
g
t'

v0 2
sin 2 
2g
Steigzeit
Steighöhe
Achtung! Nicht verwechseln:
z  xm   0 Nach der Reichweite ist die Ausgangshöhe wieder erreicht. Von jetzt ab wird z
ggf. negativ.
Berechnung des Maximums:
gx 2
2v0 2 cos 2 
Bahnkurve
z  x   x  tan  
z '  x   tan  
gx
v0 cos 2 
2
z '  xmax   0  tan  
xmax 
gxmax
v0 cos 2 
2
v0 2
sin  2 
2g
zmax  zm  z  xmax  
v0 2
sin 2 
2g
###########################################################################
Bis hierher am 25.11.2015, Ende der 7. Vorlesung
2.3. Das statische Gleichgewicht: Kräfte und Drehmomente
Greifen mehrere Kräfte F an einem Körper an, so lassen sie sich vektoriell zu einer
Gesamtkraft addieren.
Kräfte, deren vektorielle Summe verschwindet, lassen einen Körper in Ruhe.
Wir betrachten jetzt einen in 0 (Koordinatenursprung) drehbar gelagerten Körper:
Wenn der Körper K im Punkt 0 drehbar
gelagert ist, wird die Wirkung der Kraft Fges
umso größer sein, je größer die Kraft selbst
ist und umso größer der wirksame
Kraftarm r ist.
Definition des Drehmoments M:
Drehmoment  Kraft  wirksamer Kraftarm
M
F
M
rx F
M 
 Nm
 r  F  r  sin 
(5)
Greifen mehrere Drehmomente an K an, dann können sie vektoriell zu einem
Gesamtdrehmomentaddiert werden (Superpositionsprinzip, Kräfteparallelogramm(e)).
Es gilt: Ein Körper befindet sich im statischen Gleichgewicht, wenn die vektorielle Summe
aller angreifenden Kräfte und Drehmomente verschwindet.
Fges   Fi  0
i
(6)
M ges   M i  0
i
Experiment: Hebelgesetz, Drehmomente, Gleichgewichte
 stabile
 labile
 indifferente
Gleichgewichte
V 4 / 1111
V 3 / 2101
V 3 / 2102
V 3 / 2108
V 4 / 0001
Beim stabilen Gleichgewicht bewegt sich der Körper nach kleinen Störungen infolge von
einwirkenden Kräften immer wieder in die Gleichgewichtslage zurück. Er führt dabei
Schwingungen um die ehemalige Ruhelage aus.
Beim labilen Gleichgewicht verlässt der Körper bei einer Störung sofort die (vorher instabile)
Ruhelage und kehrt nicht mehr dorthin zurück.
Beim indifferenten Gleichgewicht wechselt der Körper unter dem Einfluss von Kräften in
eine neue Gleichgewichtslage.
2.4. Dichte und Massenmittelpunkt (MMP)
Körper unterschiedlicher Stoffe mit gleichen Massen besitzen i.A. unterschiedliche Volumina.
Die Stoffe werden charakterisiert durch die Stoffeigenschaft Dichte.
Definition:
mittlere Dichte 
Dimension:
Masse des Körpers
m

Volumen des Körpers
V
  
(7)
kg
m3
Bei vielen Körpern ist die Dichte an verschiedenen Stellen unterschiedlich:     x, y, z  .
Solche
Körper
heißen
inhomogene
Dichte   r     x, y, z  definieren:
  x, y , z  
Körper.
Man
dm
dV
muss
eine
lokale
(8)
Die Gesamtmasse des Körpers berechnet sich dann nach:
m

Körper
dm     x, y, z  dV     x, y, z  dxdydz
(9)
V
Bei der Beschreibung der Bewegung von Körpern kann man die Verteilung der Masse auf ein
ausgedehntes Volumen oft außeracht lassen und sie sich in einem Punkt konzentriert denken:
dem Massenmittelpunkt MMP (Konzept des Massenpunktes (MP)).
Der MMP besitzt darüber hinaus bei vielen mechanischen Problemen eine ausgezeichnete
Bedeutung. Seine Lage (Ortskoordinaten) lässt sich experimentell und (zumindest in
einfachen Fällen) rechnerisch bestimmen.
Wir betrachten zunächst den eindimensionalen Fall (1D):
An einer masselosen Stange (Modell) sind an den Stellen xi die Masse mi befestigt.
Die Koordinate des Massemittelpunktes (MMP) ergibt sich als gewichtetes Mittel aller
Koordinaten xi (i = 1, …, n):
xs 
m3
m1
m2
x1 
x2 
x3
m1  m2  m3
m1  m2  m3
m1  m2  m3
oder allgemein
n
xs  
i 1
mi
xi
n
m
j 1
(10)
j
Beim 3D-Fall gilt analoges für die Koordinaten y und z. Vektoriell zusammengefasst ergibt
sich als Ortsvektor des Massemittelpunktes R
R
m r   m r
M
m
i i
i
i
(11)
j
r   xi , yi , zi 
R   xs , ys , zs 
M   mj
Gesamtmasse
Experimente: Schwerpunktmodelle
V3/1501
V3/1502
V3/1503
Im Falle der kontinuierlichen Masseverteilung wird dieser gedanklich in (kleine)
Massenelemente dm aufgeteilt.
Aus der Summation über einzelne Massepunkte wird dann eine Integration über den gesamten
Köper
R
 r m
i
i

1
1
lim  r i mi 
rdm(12)
M m0
M
1
rdm
M
Mit Hilfe der Dichte ergibt sich ein Volumenintegral  dm   dV , wenn   const 
R
1
r  dV
M
(13)
Beispiel zur Bedeutung des Massemittelpunktes:
masselose Stange mit den zwei Massen
m1 und m2
Frage: An welchen Stellen xs müsste eine Gegenkraft F an der Stange angreifen, die der
gesamten Gewichtskraft G  G1  G2 das Gegengewicht hält und den Gesamtkörper in der
waagerechten Lage belässt?
Die Gleichgewichtsbedingungen (vgl. Gleichung (2.7)) fordern:
- für die Kräfte:
 Fi  0 und
i
-
M
für die Drehmomente:
i
i
0

F   G1  G2
D.h. für unser Beispiel:

und
G1  xs  x1   G2  x2  xs 
oder
xs 
x1G1  x2G2 x1  m1  g  x2  m2  g m1 x1  m2 x


G1  G2
m1 g  m2 g
m1  m2
Die Koordinaten des Angriffspunktes xs der Kraft
Massemittelpunktes (Schwerpunktes (SP)) sein!
F muss also gerade die des
Allgemein: Im Gleichgewicht kann die Resultierende paralleler Kräfte im Massemittelpunkt
angreifend gedacht werden bzw. ein im Massemittelpunkt (SP) unterstützender Körper ist in
jeder Lage im statischen Gleichgewicht.
2.5. Reibungskräfte zwischen festen Körpern
 Die Reibung ist wichtig für viele Bewegungsabläufe.
 Ohne Reibung könnte man nicht laufen, fahren, bremsen.
 Reibung bei Bewegung(en) in Flüssigkeiten und Gasen wird als innere Reibung
bezeichnet.
 Reibung zwischen festen Körpern heißt äußere Reibung.
 Die mit der äußeren Reibung verbundenen mikrophysikalischen Vorgänge sind äußerst
kompliziert.
Was geschieht auf nanoskaliger und atomarer Ebene?
 Hier sollen nur phänomenologische Beziehungen betrachtet werden; diese sind oft nur
näherungsweise gültig.
 Die Newton‘schen Axiome 1 und 2 sind Idealisierungen; im täglichen Leben beobachtet
man anderes.
 Nach dem Trägheitsprinzip sollte ein auf waagerechter Ebene rutschender Körper seine
Geschwindigkeit für immer beibehalten. Tatsächlich kommt der Körper aber früher oder
später zur Ruhe. Nach dem Aktionsprinzip sollte eine beliebig kleine Kraft einen Körper in
Bewegung setzen können. Ist jedoch Reibung mit im Spiel, dann vermag eine beliebig
kleine Kraft keineswegs den Körper zu bewegen bzw. zu beschleunigen.
2.5.1. Haftreibung:
Ein Körper haftet auf seiner Unterlage. Es gibt
nie ganz glatte Oberflächen, sondern immer
mikroskopische Verhakungen.
Kräfte, die kleiner sind als die
Haftreibungskraft, lassen den Körper in Ruhe,
siehe dazu die Skizze an der Tafel.
•
Der Körper „antwortet“ in diesem Falle nach dem Gegenwirkungsprinzip mit einer gleich
großen Gegenkraft (actio = reactio).
Experimente:
FHR  FHR  Auflagefläche 
Haftreibung unabhängig von der Größe der Auflagefläche
FHR proportional  Normalkraft 
Haftreibung ist proportional zur Normalkraft
FHR  H  FN
(14)
 H : Haftreibungskoeffizient
Anmerkung: In einigen Lehrbüchern wird die Normalkraft nach oben gerichtet gezeichnet.
Das Argument hierfür ist, dass der Körper K mit der Masse m aufgrund seines Gewichtes G in
der Unterlage versinken müsste. Dass dies nicht geschieht, sei der gegenwirkenden
Normalkraft geschuldet. Nach dem Gegenwirkungsprinzip ist actio = reactio und damit
betragsmäßig die Diskussion hinfällig, eher irreführend. In der Physik zeigt die Normalkraft
immer in Richtung der Unterlage und steht vektoriell senkrecht auf der Unterlagefläche.
Bis hierher am 03.12.2015, Ende der 8. Vorlesung
###########################################################################
Der Haftreibungskoeffizient  H lässt sich z.B. an einer schiefen Ebene ermitteln:
Winkel, deren Schenkel paarweise
aufeinander  stehen, sind gleich.
Man misst den Neigungswinkel max , bei
dem der Körper gerade zu gleiten beginnt.
(Grenzfallbetrachtung)
Hangabtriebskraft:
FH  FHR  G  sin max
Normalkraft:
FN  G  cos max
Aus FHR  H FN
folgt:
H  tan max
Experimente:
Klotz auf Wagen auf geneigter Ebene
Schüttkegel aus verschiedenen Materialien
 H : spezifisch für bestimmte Stoffpaarungen und Oberflächen
H
Stahl/Stahl
 0,5 (trocken)
 0,1 (ölschmierig)
Glas/Glas
0,9
Eis/Eis (-10°C)
0,3
2.5.2. Gleitreibung
Nach Überwindung der Haftreibung gleitet der
Körper mit der Geschwindigkeit v .
Dazu bedarf es der Kraft F , um diese
Geschwindigkeit aufrecht zu erhalten.
Die ihr entgegengesetzt gerichtete und
betragsmäßig gleich große, von der Reibung
herrührende Kraft heißt: Gleitreibungskraft FGR .
Näherungsweise ist diese geschwindigkeitsunabhängig
FGR  G  FN mit G  H
(15)
Die Richtung von Reibungskräften ist immer entgegengesetzt zur Bewegungsrichtung des
Körpers.
2.5.3. Rollreibung


Ohne Haftreibung könnte ein Rad auf seiner Unterlage nicht rollen, sondern nur gleiten.
Die Rollreibung hat ihre Ursache in der Deformation von Rad und Unterlage (an der
Kontaktstelle). Beide sind keine ideal festen starren Körper.
FRR  R  FN



(16)
Mitunter berücksichtigt man, dass die Rollreibung vom Radius des Rades abhängen muss.
Bei gleicher Normalkraft drückt sich ein kleines Rad tiefer in die Unterlage als ein großes.
Die die Bewegung hemmende Reibungskraft muss also für ein kleines Rad größer sein.
Eine relativ gute Annäherung an die praktische Realität gelingt mit einer entsprechend
aufgestellten Beziehung.
l
FRR  FN
r
l: charakteristische Rollreibungslänge
r: Radius des Rades
R
Autoreifen auf Asphalt
0,025
Stahl auf Stahl
0,003
l
 5 104 m
2.5.4. Seilreibung:
Experimente:Seilreibung an der Rolle, siehe auch Tafelbild(er)
Der Winkel α wird gemessen zwischen den beiden Punkten, an denen das Seil die Rolle
gerade noch berührt. α = 0 bedeutet punktförmige Berührung bzw. Auflage. Actio = Reactio
ist sofort ersichtlich, die Exponentialfunktion nimmt den Funktionswert 1 an. Die e-Funktion
wächst mit der Windungszahl (eine Windung bedeutet 2 * π) stark an.
Nicht verwechseln mit der Atwood‘schen Fallmaschine: Hier spielt die Reibung modellgemäß
keine Rolle.
Bewegungsgleichung: Die kleine Masse m beschleunigt durch sein Gewicht das
Gesamtsystem:
;
daraus folgt
3. Arbeit, Energie, Leistung
3.1. Mechanische Arbeit und Leistung
Wirkt eine Kraft F auf einen Körper K der Masse m
und verschiebt ihn dabei um ein Wegelement der
Länge 𝜟s, so hat F den Zustand des Körpers K
verändert, sie hat (an ihm) Arbeit verrichtet.
Ersichtlich ist für die Verschiebung nur die Kraftkomponente Fs  F  cos  in Wegrichtung
von Bedeutung. Man definiert als mechanische Arbeit W:
W  F s  cos 
 : Winkel zwischen Kraft F und Wegelement s
W   Nm  J  Ws 
 F  s
kg m2
s2
Ändert sich die Kraft F längs des Wegs s , muss man die Arbeit W zunächst für differentiell
kleine Wegelemente ds bestimmen:
dW  F  ds  cos 
mit ds  dr  F  F

 F  ds  cos Winkel F , dr

dW  F  dr
Wenn F  dr
(1)
keine Arbeitsverrichtung.
Die Arbeit ist eine skalare Größe: Skalarprodukt F  dr
Je nach dem Winkel zwischen F und dr kann dW positiv, negativ oder null sein.
 
cos Winkel  F , dr   1
cos Winkel  F , dr   0
cos Winkel F , dr  1
Beispiel: Um einen Satelliten auf einer Kreisbahn zu bewegen, braucht keine Arbeit verrichtet
werden.
Die insgesamt längs eines Weges von P1 nach P2 von einer Kraft F  r , t  verrichtete Arbeit
ergibt sich durch Integration über alle Beiträge zu jedem Wegelement dr
P2
P2
P1
P1
W   Fdr   F  cos  ds
(2)
Bei konstanter Kraft längs des Weges: W  F  s
s : Verschiebungsvektor
Arbeitsarten:
Wenn ein Körper, der unter dem Einfluss einer physikalisch eingeprägten Kraft F steht
(Schwerkraft, Federkraft, elektrische Kraft auf Ladungen…) beschleunigungsfrei
(quasistatisch) verschoben werden soll, muss während der Verschiebung eine gleich große


Gegenkraft wirken F '   F , die die Verschiebung ermöglicht. Durch diese Kraft wird die
Verschiebungsarbeit gegen die eingeprägte Kraft verrichtet. Damit erklärt sich das
Vorzeichen:
P2
Verschiebungsarbeit:
W '    Fdr
F : physikalisch eingeprägte Kraft
P1
Verformungsarbeit:
dW '   F  dr
(3)
Beispiele:
1. Hubarbeit gegen die Schwerkraft
s  h2  h1  h
Die Gewichtskraft ist konstant längs des Weges
W '   Fs  mgs  mgh cos180
1
W '  mgh
Die Hubarbeit ist nur abhängig von der Höhendifferenz. Diese Formel findet man im Tafelwerk.
2. Arbeit auf schiefer Ebene (hier zunächst reibungsfrei)
h2  h1  h
F '  mg cos  90  ß 
W '   FH  s
 mgs  cos  90  ß 
 mg s  sin ß
h
FH  m  g  sin ß  m  g  cos  90  ß 
FN  m  g  cos ß
W '  m g h
Diese Arbeit ist ebenso nur abhängig von der Höhendifferenz.
Experimente:  V 2 / 1241 Glasröhren: Wegunabhängigkeit der kinetischen Energie,
gleiches v, Diskussion systematischer Fehler infolge nicht
ausschaltbarer Reibung
 V 3 / 3203 Atwood'sche Fallmaschine
###########################################################################
Bis hierher am 10.12.2015, Ende der 9. Vorlesung
###########################################################################
Die 10. Vorlesung am 17.12.2015 behandelt ein Kapitel aus der modernen Physik. Inhalt sind
Stoßprozesse am Beispiel des Compton-Effektes.
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3. Arbeit bei beliebig verlaufendem Weg
P2
W '    mg dr
P1
P2
   mg ds cos  90  ß 
P1
h2
 mg  ds  sin ß
h1
h2
 mg  dh
h1
W '  mgh
Fazit: Die Arbeit gegen die Schwerkraft wird allgemein allein vom zu überwindenden
Höhenunterschied bestimmt, nicht dagegen vom Weg, auf dem dieser überwunden wird.
Entscheidend sind Anfangs- und Endpunkt, nicht, was unterwegs passiert.
Bendenken Sie bitte, dass Sie nur an aufzuwendender Kraft sparen können, nicht an Arbeit,
diese bleibt die gleiche. Mit weniger Kraftaufwand kann man sich die Arbeitsverrichtung
erleichtern.
Verallgemeinerung:
Kräfte, die die Eigenschaft haben, dass die gegen sie verrichtete Arbeit vom gewählten Weg
unabhängig und nur eine Funktion der Koordinaten von Anfangs- und Endpunkt ist, heißen
konservative Kräfte (erhaltende Kräfte, Potentialkräfte).
Die zugehörigen Kraftfelder (Gravitationsfelder, elektrostatische Felder) heißen konservative
Kraftfelder oder Potentialfelder. Die Fähigkeit zur Arbeitsleistung (gleichen Betrag wie die
Verschiebearbeit!) bei Rückkehr von P2 nach P1 bleibt erhalten.
Gegenteil: nicht konservative Kräfte = dissipative Kräfte
Beispiel:
Reibungskraft (Gleitreibung), Luftwiderstand
Für eine konservative Kraft ist die Arbeit,
um
die Masse von A nach B zu verlagern, für
jeden der drei Wege gleich.
Vorlesungsexperiment: Hemmungspendel
4. Spannarbeit einer Feder
Durch F ' wird beim Spannen bzw. Auslenken
die Federkraft FF Arbeit verrichtet.
gegen


cos F ', x  1
x2
x2
x1
x1
W '     kx   k  x  dx 
k 2
x2  x12 

2
k: Federkonstante
FF
Wenn der Koordinatenursprung z. B. bei x1 liegt, wird x1  0 ; x2  x soll beliebig sein.
W ' x 
k 2
x
2
Federspannarbeit
5. Beschleunigungsarbeit
Um die Masse zu beschleunigen, muss Arbeit gegen ihren Trägheitswiderstand
dv
FT  ma  m verrichtet werden.
dt
a : wirkende Beschleunigung
dv
dr
dW '   F  dr    ma  dr  m  dr v 
dt
dt
dv
dv
dr  v dt
 m  dr  m v dt
dt
dt
m 
 m  v  dv  d  v 2 
2 
m  m
d  v2   d  v2 
2  2
m
 2  v dv
2
mv dv  m  v  cos  v , dv   mv dv
v
2
m 2 m 2
dW
'

W
'

0
v d  2 v   2 v in den Grenzen von v1bis v2
1
W
W'
m 2 m 2 m 2
v2  v1   v2  v12 
2
2
2
Nicht etwa:
m
2
 v2  v1  ! Falsch
2
Bei Beschleunigung aus dem Ruhezustand  v1  0  :
6.
W'
Reibungsarbeit (nicht konservativ = dissipativ)
FGR   FN
x2
x2
x1
x1
W '    FGR  dx    FN  cos180  dx   FN  x2  x1 
Ebene Unterlage: FN  mg
Luftreibung (nicht konservativ)
(Siehe Übungsaufgaben)
schiefe Unterlage: FN  mg cos ß
m 2
v
2
In der Strömungsmechanik gibt es eine Formel für den Luftwiderstand (fällt hier als gegeben
vom Himmel):

FR  cW
2
v2 A
cW : Luftwiderstand bei…
v : Fahrgeschwindigkeit
formabhängig
𝝆: Luftdichte
A: effektive Fläche des bewegten
Körpers  v
x
2
1
W '    cW  v 2 A dx cos180
2
x1
 cW

2
x2
A  v 2  dx  Kv 2  x2  x1   K  v 2  s
x1
K
W ' proportionalv 2 !
s: zurückgelegter Weg
Leistung/ Wirkung
Leistung ist die pro Zeiteinheit verrichtete Arbeit
P
W
t
Momentanleistung: P 
 P 
W   Nm  J
t  s s

Ws
W
s
(4)
dW Fdr

 F v  F v
dt
dt
Die Wirkung ist das Produkt aus der verrichteten Arbeit und der dazu benötigten Zeit. Im
Unterschied dazu ist die Leistung der Quotient aus Arbeit und Zeit, bitte die Begriffe nicht
verwechseln.
In der Natur gibt es eine elementare Wirkung (=kleinste mögliche Wirkung). Das ist das
Planck’sche Wirkungsquantum h  6,62 1034 Ws 2 (Max Planck 1858 - 1947)
ÜA:
Verkehrserziehung: Leistung bei Luftreibung
P  F  v  cw

2
Av 2  v  K  v3
Pproportionalv3
Beispiel: Strecke auf der Autobahn
AB = 100 km
km
km
PKW 1: v1  130
PKW 2:
v2  150
h
h
Notwendige Leistung:
P1 prop.v13  (130
km 3
)
h
P2 prop.v23  (150
km 3
)
h
3
 150 
P2 P1  
  1,54  50%
 130 
mehr Zeit… nötig
t1 
Zeitersparnis:
t2 t1 
100
h  0, 77h  46 min
130
100
t2 
h  0, 67h  40 min
150
s
v1
t2 
s
v2
sv1 v1 130
 
 0,87
sv2 v2 150
t1 
PKW 2 ist 6 Minuten eher am Ziel
Spritverbrauch proportional Motorleistung:
km
Annahme: bei 130
verbraucht der PKW 7 l auf 100 km
h
km
km
bei 150
verbraucht er 7 l  1,54=10,8 l d.h. bei Fahrt mit 150
werden 3,8 l mehr
h
h
verbraucht.
Bei 1,20  1 Liter: Für die 100 km werden 4,5  mehr benötigt.
D.h.: 6 Minuten Zeitersparnis kosten 4,50  !
###########################################################################
Bis hierher am 07.01.2016, Ende der 11. Vorlesung
###########################################################################
3.2. Potentielle und kinetische Energie
Frage: Was wird mit der Arbeit, die an einem Körper oder einem System von Massen
verrichtet wurde?
Wir stellen fest: Wird an einem Körper durch eine äußere Kraft Arbeit verrichtet, hat dies
eine Veränderung eines Zustandes zur Folge.
Diese Zustandsänderung kann sein:

eine Veränderung seiner Lage (Hubarbeit)

eine Veränderung seines Bewegungszustandes (Beschleunigungsarbeit)

eine Veränderung seiner Form (Federspannarbeit)
o
o
Bei Rückkehr in die ursprüngliche Lage oder Abbremsung oder Entspannung der
Feder kann wieder Arbeit verrichtet werden
Bei dissipativen Kräften (Reibung) wird die aufgewendete Arbeit in Wärmeenergie
verwandelt. Es gibt keine Fähigkeit des Körpers, Arbeit zu verrichten.
Die dem Körper durch Wirken einer konservativen Kraft (in einem Potentialfeld) zugeführte
Arbeit wird in diesem vorübergehend gespeichert.
Die gespeicherte Arbeit nennt man Energie.
Die Energie kennzeichnet das in einem Körper oder einem
System von Körpern enthaltene Arbeitsvermögen.
Wir können also auch sagen: Eine an einem Körper durch eine konservative Kraft
verrichtete Arbeit verändert die Energie des Körpers um den gleichen Betrag, wobei diese
Änderung entweder in einer Änderung des Bewegungszustandes (Beschleunigungsarbeit)
oder in einer Änderung der Lage oder Form (Verschiebungsarbeit, Verformungsarbeit)
besteht. Im ersten Fall wird die verrichtete Arbeit als kinetische Energie EKin gespeichert.
(Kinetisch deshalb, weil diese Energieform nur auftritt, wenn sich die Masse bewegt). Im
zweiten Fall wird die verrichtete Arbeit als potentielle Energie E pot gespeichert (potentiell
deshalb, weil diese Energie gegebenenfalls für einen späteren Verbrauch/Gebrauch
Verfügung steht).
zur
Quantitativ:
Kinetische Energie EKin :
  v1
m1
Es wirkt eine beschleunigende Kraft:
m1
v2
dv
dv d 2 r
 v dt a 

dt
dt dt 2
dr
m 
v
d  v2 
dt
2 
Änderung der kinetischen Energie
dW  F  dr  ma dr  m
dW  mv dv 
Aufgewendete
Arbeit
W
m 2
v  EKin
2
(5)
bei v1  0  v2  v
Integration:
W2
v2
m
 dW   d  2 v
W1
v1
2



W2  W1 
m 2 m 2
v2  v1
2
2
= EKin 2  EKin 1
In Worten: Die aufgebrachte Beschleunigungsarbeit vom Zustand 1 zum Zustand 2 ist gleich
der Änderung der kinetischen Energie.
m2
Dimension/Maßeinheit:  E   W   Nm  J  Ws  kg 2
s
Potentielle Energie E pot :
Das Arbeitsvermögen, welches in einem Körper aufgrund seiner Lage (in einem Potentialfeld
(Gravitationsfeld, elektrisches Feld)) oder nach einer elastischen Verformung ist, bezeichnet
man als potentielle Energie.
Achtung: Es wird nur potentielle Energie angehäuft, wenn die wirkenden Kräfte konservative
Kräfte (Potentialkräfte) sind, d.h. die verrichtete Arbeit unabhängig vom Weg ist.
r2
E pot  E pot 2  E pot 1  W    F dr
(6)
r1
3.3.
Der Energie(erhaltungs)satz der Mechanik
Energiesatz der Mechanik:
EKin  E pot  Eges  const.
(7)
d Eges
Die Gesamtenergie (eines abgeschlossenen Systems) ist eine Erhaltungsgröße.
0
dt
Dissipative, also insbesondere Reibungskräfte sind in diesem Modell ausgeschlossen.
3.4.
Die Goldene Regel der Mechanik
Diese Regel drückt den EES für einfache Beispiele aus: Was man an Kraft spart, muss man an
Weg zusetzen.
Beispiel: Vorlesungsexperiment: Flaschenzug:
Ein Flaschenzug ist eine Maschine, die den Betrag der aufzubringenden Kraft z. B. zum
Bewegen von Lasten verringert. Der Flaschenzug besteht aus festen und losen Rollen und
einem Seil. Bei komplizierten Flaschenzügen sind die Rollen mittels „Scheren“ zum Block
zusammengefasst.
Flaschen wurden die Halterungen der Rollen genannt und waren meist als Block (mhd. plock,
ploch „großes“ oder „zusammenhängendes Stück“) aus einem Stück Hartholz gearbeitet.
Heute nennt man die flachen Teile beiderseitig am Rand (Backe, Wange) und zwischen den
Rollen (Damm) insgesamt Scheren.
4. Stöße
4.1. Grundlagen
Stöße zwischen ausgedehnten Körpern sind im Allgemeinen recht komplizierte Vorgänge.
 Die Körper erleiden (zumindest kurzzeitig) Verformungen.
Sind diese bleibender Natur, dann geht mechanische Energie „verloren“; sie wird in Wärme
umgesetzt.
Die Körper können durch Stöße in Rotation versetzt werden, auch wenn sie sich vor dem Stoß
nur translatorisch bewegt haben.
Zur vereinfachten Behandlung von Stößen sind folgende Idealisierungen (Modell !)
notwendig:
- Reibungsvorgänge werden ausgeschlossen
- Eigenrotation(en) der Körper werden vernachlässigt
Stöße: gegenseitige Ablenkung von sich bewegenden Teilchen
Die Bedeutung von Stoßprozessen ist groß für die Atom- bzw. Elementarteilchenphysik, wo
die Ablenkung entsprechend dem Kraftfeld F (r , t ) bzw. dem Wechselwirkungs-Potential
allmählich erfolgt.
Experiment:
Magnete auf Polylux (Overhead-Projektor)
Beobachtung: Die Streuung muss nicht unbedingt durch direkte
körperliche Berührung erfolgen
Im abgeschlossenen System gilt beim Stoß von 2 Partnern:
p1 + p2
=
p1' + p2'
p12
p2
+ 2
2m1 2m2
=
p '12
p '22
+
+Q
2m1 2m2
IES
(1) [p = mv]
(2)
(2) ist eine Energiebilanz;
Q: Verlust / Gewinn an kinetischer Energie, z. B. durch Verformungen, Wärme
Q=0
Q<>0
elastischer Stoß mit Energieerhaltung
inelastischer Stoß ohne Energieerhaltung
Zur Beurteilung der Elastizität von Stößen verwendet man vor allem bei praktischen
Versuchen die Stoßzahl k. Diese ist über folgendes Verhältnis definiert:
k = (v1‘ - v2‘) / (v2 – v1).
Für k = 1 handelt es sich um vollkommen elastische Stöße;
k = 0 bedeutet v1‘ = v2‘, dass der Stoß vollkommen unelastisch, also plastisch erfolgt(e).
4.2. Elastische Stöße im Laborsystem (LS)
Laborsystem (LS): Bezugssystem (BZS), in dem wir uns als Beobachter befinden, eigentlich
das Naheliegende.

Wir betrachten zunächst zentrale Stöße als 1D-Problem:
Geschwindigkeiten liegen auf der
Verbindungsgerade der Schnitt-punkte
IES:
m1v1 + m2v2 = m1v1' + m2 v2'
Die Massen der Stoßpartner bleiben erhalten (mi = const, eindimensional, 1 D):
IES:
m1v1 + m2v2
=
m1v1 ' + m2v2 '
EES:
m1 2 m2 2
v1 +
v2
2
2
=
m1 2 m2
v '1 +
v '22
2
2
(Q =0)
Uns interessieren die Geschwindigkeiten der beteiligten Stoßpartner nach dem Stoß, also
gesucht sind konkret v1 '  v2 ' .
Folgende Umformungen haben sich bei der Lösung dieses Gleichungssystems mit 2
Gleichungen (IES ^EES) für 2 Unbekannte ( v1 '  v2 ' ) erfolgreich bewährt:
m1 (v1 '2  v12 )
=
m2 (v22  v2 '2 )
Index 1 auf die rechte Seite
Index 2 auf die linke Seite der Gleichung;
danach Gleichung wieder drehen!
Mit Hilfe der binomischen Formel(n) lässt sich schreiben:
m1 (v1 ' v1 )(v1 ' v1 )
=
m2 (v2  v2 ')(v2  v2 ')
(3)
=
m2 (v2  v2 ')
(4)
=
v2  v2 '
(5)
Umformung des IES:
m1 (v1 ' v1 )
Einsetzen von (4) in (3):
v1 ' v1
Gleichung (5) wird nun in den IES (oben) eingesetzt:
v2 '  v1 ' v1  v2
(6a)
v1 ' 
m1  m2
2m2
v1 +
v2
m1  m2
m1  m2
v1 '  v2  v2 ' v1
v2 ' 
(6b)
(6c)
m2  m1
2m1
v2 +
v1
m1  m2
m1  m2
(6d)
Spezialfälle:
m1  m2  m; v2  0 :
1
aus Gleichung (6) folgt: v1 '  0  v2 '  v1
Der stoßende Körper 1 kommt nach dem Stoß(en) zur Ruhe;
der gestoßene Körper 2 übernimmt die Geschwindigkeit des ersten.
m1  2m2; v2  0; der stoßende Körper ist schwerer:
2
1
4
aus Gleichung (6) folgt: v1 '  v1  v2 '  v1
3
3
Der stoßende Körper 1 läuft dem gestoßenen Körper 2 langsam hinterher.
2m1  m2; v2  0; der stoßende Körper ist leichter:
3
1
2
aus Gleichung (6) folgt: v1 '   v1  v2 '  v1
3
3
m1 erhält also eine Geschwindigkeit in Rückwärtsrichtung. Das besagt das
Minuszeichen im Ergebnis.
m1sehrkleingegenm2; v2  0; Stoß gegen eine ruhende (schwere) Wand:
4
Man erhält: v1 '  v1  v2 '  0
m1 wird einfach (nur) reflektiert.
Die Übertragung der kinetischen Energie Ekin vom Körper 1 auf den Körper 2
Fazit:
hängt sehr stark ab vom Massenverhältnis m1 / m2 der beiden Stoßpartner.

Eine vollständige Energieübertragung erfolgt nur für m1  m2 , also gleiche Massen.

Für m1  m2 und m1  m2 ist der Energieübertrag geringer.
Für v2  0 lässt sich der Sachverhalt mathematisch übersichtlich ausdrücken:
 m  m2 
m
E1 '  1 v1 '2  E1  1

2
 m1  m2 
E2 ' 
2
m2 2
4m1m2
v2 '  E1
2
(m1  m2 ) 2
Man definiert einen Energieübertragungsfaktor y:
y
y
E2 '
4m1m2
m
4x
mit x  1


2
2
E1 (m1  m2 )
(1  x)
m2
E2 '
E1
halblogarithmische Darstellung
1
symmetrische Glockenkurve
0,5
x
0,1
1
10
m1
m2
4.3. Gerader zentraler inelastischer Stoß
Experiment:
ballistisches Pendel V2 / 3545
Es gilt nicht: EES der Mechanik
Q≠0
Beim vollkommen inelastischen Stoß bewegen sich beide Körper nach dem Stoß gemeinsam
weiter: v1 '  v2 '  v ' .
IES:
m1v1 + m2v2 = (m1  m2 )v '
m1v1  m2v2
m1
m2

v1 
v2
m1  m2
m1  m2
m1  m2
Den Verlust an kinetischer Energie bestimmt man über die Energiebilanz
v' 
(7)
Ekin,vor = Ekin ,nach + E
m1 2 m2 2 m1  m2 2
v1 
v2 
v'
2
2
2
m1  m2
E 
(v1  v2 )2
2(m1  m2 )
E 
v‘ aus Gl. (7) einsetzen u. umformen ->
(8)
###########################################################################
Bis hierher am 14.01.2016, Ende der 12. Vorlesung
###########################################################################
4.4. Dezentraler elastischer Stoß
IES:
p1
=
wenn v2  0
p1' + p2'
p12
p1 '2
p '2
=
+ 2
2m2
2m1
2m1
Dies sind insgesamt 4 Gleichungen (3 Komponentengleichungen für den Impuls p sowie die
skalare Energiegleichung) für insgesamt 6 unbekannte Größen (die jeweils 3 Komponenten
von p1' und p2' ).
EES:
Berücksichtigt man, dass alle Impulsvektoren in einer Ebene liegen, hat man es nur noch mit
3 Gleichungen für 4 Unbekannte zu tun (2 D - Problem).
Hinzu kommt eine geometrische Bedingung, sodass das Problem lösbar ist.
p2 '
y
p1 '
α
p1
d: Stoßparameter
d
Kugelradien r1 , r2
α
β
p1
sin  
p1 '
d
r1  r2
x
(Skizze nicht maßstabsgerecht, die Beträge der Vektoren und damit die Zeichnungslänge
muss gleich bleiben…)
Winkel β stellt sich stets so ein, dass
pges , y
weiterhin Null ist.
p2 y ' - p1y ' = 0
Als Ergebnis erhält man folgende Beziehungen für die Impulse bzw. Geschwindigkeiten nach
dem Stoß:
2
4m1m2   d  
1  
p1 '  p1 1 
 
(m1  m2 )2   r1  r2  


 d 
2m2
p2 '  p1
1 

m1  m2
 r1  r2 
(9a)
2
(9b)
In einer Nebenrechnung wird an einem Beispiel gezeigt, wie man geometrisch bzw.
mathematisch zu diesem Ergebnis gelangt:
Rechnung für p1 ' :
p1 '
p2 '
sin  
d
a
r1  r2

p1
Kosinussatz (für beliebige Dreiecke):
cos   1  sin 2   1  a 2
p1 '2  p12  p2 '2  2 p2 ' p1 cos 
p1 '2  p12  p2 '2  2 p2 ' p1 1  a 2
()
Energieerhaltung (Billard ist elastisch):
 p 2 p '2  m
p2 '2  2m2  1  1   2  p12  p1 '2 
 2m1 2m1  m1
p12
p '2 p '2
 1  2
2m1 2m1 2m2
Einsetzen in ()
p1 '2 
m2
m2
p12  p1 '2   p12  2 p1 1  a 2

 p12  p1 '2 
m1
m1
p1 '2 
m2 2 m2
p1 
p1 '2  p12  2 p1
m1
m1
 m2  2
m2 
2
1 
 p1 '  p1 1 
  2 p1
 m1 
 m1 
 m2  2
2
1 
  p1  p1 '   2 p1
 m1 
 m2 
1 

 m1 
2
p
 m1  m2 


 m1 
 p1 '2   4 p12 1  a 2 
2
2
1
2
p
2
1
m2
p12  p1 '2 

m1
 p1 '2   4 p12 1  a 2 
| kürzen
m2
m1

m2 m2 2  2
m
1

2
 2   p1  p1 '2   4 p12 1  a 2  2

m1 m1 
m1

 m1 m2


 2   p12  p1 '2   4 p12 1  a 2 

 m2 m1

 m12  m2 2  2m1m2  2
2
2
2

  p1  p1 '   4 p1 1  a 
m

m

1
2


m1
m2
(m1  m2 )2
p12  p1 '2 

m1m2
4 p12 1  a 2 
=
p12  p1 '2
p1 '2
=
4 p12 1  a 2 
=
p12  4 p12 1  a 2 
1
=
p1 '
4m1m2
 m1  m2 
2
m1m2
(m1  m2 )2
m1m2
(m1  m2 )2
  d 2 
1  
   p1
  r1  r2  
Das Ergebnis stimmt mit Gleichung (9 a) überein.
Ganz analog gelangt man zu p2 ' .
4.5. Stöße im Schwerpunktsystem (SPS)
SPS: Koordinatensystem, in dem der Schwerpunkt (SP) ruht.
Mvs  ps   pi
i
Wenn vs  0
p
i
0
i
Damit lässt sich eine einfache und übersichtliche Beschreibung von Stößen erreichen.
Bsp.:
Stoß zweier bewegter Teilchen
p1
p1  p2  0
p2
vorher:
1D: p1 ' p2 '  0
Stoß:
p1 '
p2 '
nachher:
Impulserhaltung:
Mvs  0
p1 '   p1
p2 '   p2
einfach zu behandeln
Man muss (am Ende) natürlich alle Bewegungen wieder in das Laborsystem (LS)
zurücktransformieren. Da sich aber im abgeschlossenen System der Schwerpunkt (SP)
geradlinig und gleichförmig bewegt, ist dies einfach.
4.6. Systeme mit (zeitlich) veränderlicher Masse m(t)
v  v
v
m
m  m
u
m
Systemgrenze
t+t
Zeitpunkt t:
großer Körper mit m , v
Der größere hat den kleineren Körper aufgenommen
und kleiner Körper mit m , u
Beide Körper haben sich vereint.
Auf beide Körper greift die
m
Schwerkraft Fa  Fg zu.
m
v
u
Impuls des Systems vorher:
v  v
Impuls des Systems danach:
p2   m  m  v  v  .
p1  mv  mu
Die Gesamtmasse des Systems ändert sich nicht:
IES:
m  m
Fa 
p
1
  m  m  v  v   mu  mv  
t
t
[ mv  mv  mv  mv  mu  mv ] 
1
t
0
Nach dem Grenzübergang in Richtung beliebig kleiner Zeitintervalle dt:
dp
dv
dm
 p  m  u  v 
(10)
dt
dt
dt
Diese Gleichung (10) lässt sich auf zweierlei Weise umschreiben:
Fa 
1
Fasst man die Terme rechts, die v enthalten, gemäß
mv  mv  pk (Impulsänderung des Körpers) zusammen,
ergibt sich:

 Fa  um  pk und damit schließlich
Fa  pk  um 

dpk  Fa dt  udm
(11)
Das Umschreiben des Terms um auf die linke Seite der Gleichung bedeutet eine
Änderung der Systemgrenzen. Man interessiert sich nur noch für den großen Körper
und dessen Impulsänderung.
pk ist jetzt (nur noch) die Impulsänderung des großen Körpers.
Der Impuls eines (großen) Körpers ändert sich durch die Einwirkung (=„Stoß“) einer
äußeren Kraft Fa und durch den Impuls, den die stoßenden Körper (Massenelemente)
mitbringen, die sich mit ihm vereinigen (oder weggehen).
2
Man kann aber auch den gesamten Term auf der rechten Seite von Gleichung (10) auf
die linke Seite herübernehmen. Dadurch erhält man eine Aussage über die
Beschleunigung des großen Körpers.
Beachtet man, dass u  v  vrel die Relativgeschwindigkeit zwischen m und m ist,
dann bedeutet:
Fs  vrel
dm
dm
 u  v 
dt
dt
(12)
eine Kraft, die man als Rückstoß oder Schub (Schubkraft) bezeichnet.
Es ergibt sich dann:
Fges  Fa  Fs  m  t 
dv
 m t  a
dt
(13)
Die Beschleunigung a des großen Körpers ist durch die äußere Kraft Fa und den
Schub Fs bestimmt.
###########################################################################
Bis hierher am 21.01.2016, Ende der 13. Vorlesung
4.6.1. Rakete
Eine Rakete hat am Anfang (also unmittelbar vor dem Start) die Masse m0 .
Zu einem beliebigen späteren Zeitpunkt t besitzt sie die Masse m  t  .
Die Treibstoffgase werden mit konstanter Geschwindigkeit vrel relativ zum Raketenkörper
ausgestoßen. In der Nähe der Erdoberfläche wirkt auf die Rakete – von der Luftreibung
abgesehen – die Schwerkraft Fa  mg (äußere Kraft).
Im freien Raum, weitab von jedem Himmelskörper ist Fa  0 (im Weltall).
Gleichung (10) 
v
Erdnähe:
m
mg  vrel
dm
dv
m
dt
dt
vrel
dm
dv
m
dt
dt
Weltraum:
u
dm
Startet die Rakete genau senkrecht, hat man es nur noch mit zwei skalaren Gleichungen (z. B. in zRichtung) zu tun.
m  t  g  vrel
dm
dv
 m t 
dt
dt
vrel
dm
dv
 m t 
dt
dt
Beide DGL sind lösbar. Wir betrachten zunächst nur den zweiten, einfacheren Fall:
vrel
dm
dv
 m t 
dt
dt
m t 
dm
vrel
 dv
m
vrel

m0
v  t   v0  vrel ln
m t 
m0
v  t   v0  vrel ln
m0
m t 
dt
TdV
v
dm
 dv
m v0
Dies ist die so genannte erste Raketengleichung.
m0 :
Startmasse der Rakete
m0 setzt sich zusammen aus der Raketenmasse mR und der Treibstoffmasse mT .
(14)
v  t   v0  vrel ln
mR  mT
m t 
Um die Endgeschwindigkeit möglichst hoch zu machen, muss also die Ausstoßgeschwindigkeit der
Treibstoffgase möglichst groß sein.
Wir können die letzte Gleichung auch schreiben:
v2  v1  vrel ln
m1
m2
m1  m  t1  ^ m2  m  t2 
Dies ist die so genannte zweite Raketengleichung.
Wenn t2 die Endgeschwindigkeit der Rakete charakterisieren soll, sieht man sofort den Vorteil
mehrstufiger Raketen.
m2 , das ist die Gesamtmasse bzw. Endmasse bei Erreichen der Endgeschwindigkeit zum Zeitpunkt t2 ,
wird reduziert, indem leere Treibstofftanks (Stufen) noch vor Erreichen der Endgeschwindigkeit nach
und nach abgeworfen werden.
An Bord einer idealen Rakete befindet sich am Ziel der Reise nur noch die Nutzlast mN .
mT  mN
mN
m
 v0  vrel ln T
mN
vend  v0  vrel ln
vend
 mN sehrkleingegenmT 
Die erreichbare Endgeschwindigkeit hängt in erster Näherung nur noch von der Treibstoffmasse mT
und der Nutzmasse mN ab (bei gegebener vrel ).
An diesem Beispiel sei noch auf Folgendes hingewiesen:
Oft ist man versucht, derartige Probleme mit dem EES der Mechanik zu lösen, obwohl klar ist, dass
dies eigentlich nicht geht, da Kondensationsvorgänge eine Rolle spielen.
Da bei einer horizontalen Bewegung die potentielle Energie keine Rolle spielt, würde für die
kinetische Energie einfach gelten:
Ekin 1  Ekin2
1 2 1
1
1
2
mv   m  dm  v  dv   mv 2  dmv 2  mvdv  ... Glieder höherer Ordnung
2
2
2
2
1
0  v  mdv  vdm   dmv 2
2
=0
1
Das aber hieße v 2 dm  0 .
2
Das ist aber ganz offensichtlich nicht der Fall.
Wo liegt der (Denk-)Fehler?
Der EES der Mechanik kann nicht gelten. Bei der Kondensation handelt es sich um perfekt
inelastische Stöße zwischen den bewegten Tropfen und den „ruhenden“ Mikrotröpfchen
(Wassermolekülen).
4.6.2. Regentropfen
Ein Regentropfen fällt in einer mit Wasserdampf gesättigten Atmosphäre und gewinnt durch
Kondensation am Tropfen ständig an Masse.
In erster Näherung soll angenommen werden, dass die am Regentropfen kondensierten, mikroskopisch
kleinen Wasserteilchen die Geschwindigkeit u  0 besitzen.
Die von außen angreifende Kraft ist die Schwerkraft Fa  mg . Die Luftreibung soll vernachlässigt
werden.
dv
dm d
v
  m  t   v  t   m  t  g
dt
dt dt 
Die ausdifferenzierte Gleichung m  t  v  t   mv  t   m  t  g
Gleichung (10)  Fa  p  m
kann mit plausiblen Annahmen für den Massenzuwachs (etwa proportional zur Tropfenoberfläche
und etwa proportional der in der Atmosphäre zurückgelegten Strecke) gelöst werden.
Es ergeben sich längliche Gleichungen.
Hier soll nur das vereinfachte Problem gelöst werden:
Die Schwerkraft sei in Gedanken abgeschaltet, und der Tropfen bewege sich horizontal mit einer
gewissen Anfangsgeschwindigkeit v durch die Atmosphäre.
Dann verbleibt nämlich nur noch:
p  0 bzw. mv  mv  0

1 dv 1 dm

v dt m dt
d.h., die relative Geschwindigkeitsabnahme ist gleich der relativen Massenzunahme.
Die Integration dieser Gleichung bereitet keine Schwierigkeiten.
4.6.3. Förderband
v
x
Antriebskraft Fa
Frage: Wie groß muss Fa sein, um die Geschwindigkeit des Bandes konstant zu halten, wenn mit
konstanter Rate  
dm
 m Masse auf das Band aufgebracht wird?
dt
(Herabrieseln von Sand, gesamte Masse kommt also nicht auf einmal)
Vereinfachend sei angenommen, dass die aufgebrachte Masse keine Geschwindigkeitskomponente in
x-Richtung besitzt, d.h. u  0 .
Dann gilt:
Fa  p  mv  mv  mv , da v  const
In diesem Falle ist die äußere Kraft ausschließlich mit der Massenänderung verknüpft:
Fa  v
dm
 v
dt
Mit gegebener Rieselrate  
dm
 m und geforderter Bandgeschwindigkeit v lässt sich die zur
dt
Aufrechterhaltung dieser Geschwindigkeit notwendige Kraft ausrechnen.
Mit ihr ergibt sich dann auch die Leistung des Antriebsmotors zu
P  Fa  v   v 2  v 2 m
Betrachtung zur Energie:
In der Zeit t hat der Motor die Arbeit verrichtet:
1

W  P  t  v 2 m  2   mv 2 
2

Das ist aber doppelt so viel, wie zur Beschleunigung der Sandmenge m notwendig ist, die
während dieser Zeit aufs Band rieselt.
Zur Beschleunigung von m auf v braucht man ja nur
1
mv 2 .
2
Wozu wird die zweite Hälfte benötigt?
Auch hier ist der Energiesatz der Mechanik offensichtlich nicht anwendbar (vollkommen inelastischer
Stoß).
Die Hälfte der aufgewendeten Energie wird in Reibungsarbeit verbraten!
Fazit: Vorsicht bei der Anwendung des EES. Oft ist es schwierig herauszufinden, wo
Reibungseffekte zuschlagen.
5. Drehimpuls, Trägheitsmoment, Rotationsenergie, starrer Körper
In den Kapiteln 1 bis 4 haben wir nur über Punktmassen, deren Verteilungen und über mögliche
Wechselwirkungen gesprochen.
Hauptziel war die Beschreibung von Bewegungsvorgängen. Wir greifen hier die
Analogiebetrachtungen zwischen Translation und Rotation noch einmal auf und erweitern die Tabelle
in Kapitel 1.4.:
Analogiebetrachtung(en)
Translation
Rotation
Weg s
Geschwindigkeit v
Beschleunigung a
Drehwinkel 
Winkelgeschwindigkeit 
Winkelbeschleunigung 
Verknüpfung: Bahngröße = Radius x Winkelgröße (Vektorprodukt!)
F Kraft
Impuls p
M Drehmoment
Drehimpuls L
Verknüpfung: Radius x linke Spalte = rechte Spalte
Masse m
Kinetische Energie
Ekin 
Trägheitsmoment J (Tensor 2. Stufe, 3*3-Matrix)
Rotationsenergie
m 2
v
2
Ekin 
Impulserhaltung
J 2

2
Drehimpulserhaltung
Punktmasse

Masseverteilung

starrer Festkörper
5.1. Der Drehimpuls
Definition:
Lrp
(1)
m
v, p
Mit p  mv laut Gleichung (3), Kapitel 2.3
L  r  mv
folgt:
Mit Gleichung (14), Kapitel 1.3 v    r lässt sich bei m  const.
schreiben:
L  m  r    r 
r
0
Mit dem Zerlegungssatz der Vektorrechnung für doppelte Kreuzprodukte formen wir um:


 
a  b  c  b a  c   c a b
L  m   r  r   r   r 
r
=
0
Aufgrund dessen, dass   r steht, lässt sich die Beziehung wesentlich vereinfachen, es bleibt:
L  m  r 2
So
wie
bei
der
(2)
Translation
galt pproportionalv ,
gilt
bei
der
Rotation
nun:
Lproportional  L   (L also auch parallel 𝟂).
Der Proportionalitätsfaktor bekommt in Kapitel 5.2 einen eigenen Namen.
5.2. Trägheitsmoment
Der Proportionalitätsfaktor in Gleichung (5.1, 2) lautet: m  r 2
Er beinhaltet Angaben zur Masse des Punktes und auch dessen räumlicher Lage bezüglich des
Drehzentrums.
2
Definition Trägheitsmoment einer Punktmasse J  m  r
(3)
Für Masseverteilungen bzw. ausgedehnte Körper muss über alle Masseelemente summiert werden, um
das Gesamtträgheitsmoment zu erhalten:
N
J   ri 2 mi   ri 2 dmi
i 1
mi
(4)
V
Fällt die Drehachse mit der Schwerpunktachse zusammen,
ist das Gesamtträgheitsmoment eines ausgedehnten Körpers:
J S   r dm
2
ri
(5)
0
v
Diese Trägheitsmomente sind für sehr viele Körper tabelliert. Bei einer praktischen Anwendung kann
man dort nachschlagen. Allerdings gelten diese Formeln wirklich nur für ausgezeichnete Geometrien
Im allgemeinen Fall ist zu integrieren. Dazu ist je nach Gegebenheit dm in kartesischen, ebenen Polarbzw. Zylinderkoordinaten oder auch in Kugelkoordinaten aufzuschreiben.
Der folgenden Übersicht ist zu entnehmen, wie die Integrationsvariable in verschiedenen Koordinaten
dargestellt wird sowie auch die Transformationsvorschrift für eine Richtung (die Rücktransformation
ist hier nicht mit angegeben). Die Masse m ist das Produkt aus Dichte 𝝆 und Volumen V. Bei einem
homogenen Körper ist die Dichte konstant, deshalb kann das Integral über alle Massenelemente in ein
Volumenintegral überführt werden. Die Dichte steht dann als Konstante vor dem Integral.
Der zweite Einschub enthält einige konkrete Beispiele zur Berechnung von Trägheitsmomenten.
Kugelkoordinaten
Zylinderkoordinaten
Koordinatentransformation (Hinrichtung):
Volumenelement:
Funktionaldeterminante:
Kugel:
Polarkoordinaten:
Zylinder:
Beispiele für die Berechnung von Trägheitsmomenten:
dünner Stab (Masse
, Länge , homogene Dichte ):
1.) a ) Drehachse in der Mitte und geht durch den SP; Querdrehung
Da die Länge des Stabes viel größer als die Dicke und Breite ist, kann wie folgt vereinfacht
werden:
Die Querschnittsfläche
ist konstant und wird vor das Integral gezogen:
Da für die Masse des Körpers gilt:
vereinfacht sich das Ergebnis zu:
1.) b) Jetzt befindet sich die Drehachse am Stabende; Querdrehung
Es gilt die gleiche Vereinfachung, da es sich um den gleichen Stab handelt. Allerdings ist nun
die Drehachse am Ende des Stabes, daher ändern sich die Grenzen des Integrals:
Das
Mit
kann wieder vorgezogen werden, anschließend wird das Integral gelöst:
ergibt sich schließlich:
1.) c) Berechnung für einen dünnen Stab (dünn heißt: Länge L sehr viel größer als der
Durchmesser d)mit der Drehachse irgendwo auf der horizontalen x-Achse und ein
zweiatomiges Molekül
Massen-Trägheitsmomente für einige Geometrien
Berechnung des Massenträgheitsmomentes am Beispiel des Zylinders
Trägheitsmoment der homogenen Vollkugel
Um das Trägheitsmoment einer massiven homogenen Kugel bezüglich einer Drehachse durch
den Kugelmittelpunkt zu berechnen, wird das im Abschnitt „Berechnung“ angegebene
Integral verwendet. Der Einfachheit halber soll der Kugelmittelpunkt im Ursprung eines
kartesischen Koordinatensystems liegen und die Drehachse entlang der -Achse verlaufen.
Um das Integral
auszuwerten, empfiehlt es sich statt kartesischen lieber Kugelkoordinaten zu verwenden.
Beim Übergang müssen dabei die kartesischen Koordinaten x, y, z und das Volumenelement
dV durch die Kugelkoordinaten
ausgedrückt werden.
Einsetzen in den Ausdruck für das Trägheitsmoment liefert
Hier zeigt sich der Vorteil der Kugelkoordinaten: Die Integralgrenzen hängen nicht
voneinander ab. Die beiden Integrationen über r und lassen sich daher elementar ausführen.
Das verbleibende Integral in
kann durch partielle Integration mit
gelöst werden:
Für das Trägheitsmoment ergibt sich schließlich:
Bei bekanntem Massenträgheitsmoment bezüglich der Schwerpunktachse JS kann bei Drehachsen
parallel zur SP-Achse das Trägheitsmoment über den Satz von Steiner ermittelt werden:
Js
S
S
JA
A
A
Die momentane Drehachse verläuft parallel zur
Schwerpunktachse durch den Punkt A.
Mit Hilfe des Satzes von Steiner lässt sich das
Trägheitsmoment JA wie folgt berechnen:
J A  J S  ms 2
(6)
s: Abstand zwischen den beiden Achsen.
Verläuft die Drehachse beliebig durch den Körper, hilft nur die Integration.
5.3. Rotationsenergie
Die kinetische Energie bei der Translation war: Wkin  Ekin
Ekin 
m 2
v
2
Wir nutzen jetzt die bereits gefundenen Analogiebetrachtungen aus:
m  J v 
Damit folgt:
ERot 
J 2

2
(7)
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Bis hierher am 28.01.2016, Ende der 14. Vorlesung
################################################################################
5.4. Starrer Körper
Ein starrer Körper (SK) ist nichts anderes als eine „steife“ Massenverteilung. Es werden Punktmassen
aneinandergefügt, die gegenseitig nicht verschiebbar, also starr sind.
Er hat 6 Freiheitsgrade x, y, z, also 3 für die Translation und , ,  für die Rotation.
5.5. Die Bewegungsgleichung für die Rotation
Nach dem 2. Newtonschen Axiom gilt: F  ma
Unter Ausnutzung der Analogiebetrachtungen:
F  M ; m  J  a   folgt sofort
M  J 
(8)
In Worten: Drehmoment = Trägheitsmoment x Winkelbeschleunigung
J: mathematisch ein Tensor (3*3)-Matrix!
5.6. Der Energieerhaltungssatz (EES) der Mechanik für die Drehbewegung
Experiment: Pohl’sche Rollen
h
JS
v
h
0
Zustand 1:
E pot  m  g h (oben nur potentielle Energie)
Zustand 2:
Ekin  ERot 
m 2 JS 2
v  
2
2
(9) (unten nur kinetische Energie)
v : Geschwindigkeit der Translationsbewegung des SP
Die kinetische Energie im Zustand 2 (unten) setzt sich zusammen aus der Translation des
Schwerpunktes und der Rotation des Zylinders um seine Mittelpunktachse.
Nimmt man die momentane Achse, die entlang der Mantellinie verläuft, also direkt am
Berührungspunkt zwischen Zylinder und geneigter Ebene, nimmt der EES mit Hilfe des Steinerschen
Satzes eine einfachere Form an.
mg  h 
JA 2

2
(10)
Das ist für viele praktische Rechenübungen wesentlich angenehmer.
5.7. Der Drehimpulserhaltungssatz
Experiment: Drehschemel + Hanteln
Nach Gleichung (2), Kapitel 5.1 gilt:
L  mr 2
d
dt
L  mr 2  J    M
Gleichung (5), Kapitel 2.3
Wirken keine äußeren Momente auf das abgeschlossene System, gilt M  0 und damit L  const.
Ansonsten ergibt sich der Drehimpuls L als Momentenstoß:
t
L   Mdt
0
Anwendungen: Kreisel
(11)
M L
6. Gravitation
1687 publizierte Newton das Gravitationsgesetz.
In Kapitel 2.1 haben wir die Äquivalenz von träger und schwerer Masse besprochen:
mT  mS
Jede Masse besitzt die Fähigkeit, radialsymmetrisch um sich herum ein Zentralkraftfeld auszubilden
und damit eine anziehende Wechselwirkung auf die Umgebung auszuüben, ganz gleich, ob ein
Wechselwirkungspartner vorhanden ist oder nicht.
Die Feldstärke dieses so genannten Gravitationsfeldes berechnet sich wie folgt:
E 
M r
r2 r
 : Gravitationskonstante = (6,6720+0,0004) .10-11 Nm2 / kg
(1)
M : (Erd-)Masse
r : Abstand von der felderzeugenden Masse
6.1. Gravitationsgesetz
Tritt nun eine zweite Masse in das Feld der ersten, wirkt auf beide die Gravitationskraft.
FG  
m1m2 r
r2 r
(2)
An der Erdoberfläche (r  rE ) wirkt auf jeden Körper die Gewichtskraft G  m  g .
Demzufolge ist auf der Erdoberfläche:
g 
M
rE 2
(3)
Die Fallbeschleunigung g ist nichts anderes als die Gravitationsfeldstärke E(rE) an der Erdoberfläche.
Newton selbst kannte 𝝲 noch nicht; wie kam er zu „seinem“ Gesetz?
Beobachtung: Die Erde zieht einen bestimmten Körper mit einer Kraft an, die proportional zu deren
Masse ist, also F m.
Aus dem Reaktionsprinzip folgerte er: F MErde. Es folgt also schon mal: F m* MErde.
Andererseits muss diese Kraft mit zunehmendem Abstand abnehmen: F rn.
Zwischenergebnis: F m* MErde/ rn
Zur Bestimmung von n verglich er die Anziehung eines Körpers an der Erdoberfläche mit der des
Mondes: FK  
M E mK
M m
 FM   E n M  mK g  mM a (*)
n
rE
rM
a: Zentripetalbeschleunigung, die den Mond auf seine Erdumlaufbahn (fast Kreisbahn) zwingt.
2
 2  
2
m
m

a=𝟂r= 
 6,37 106  60 2  2, 7 103 2
 

s
s
 TM   27,3  86.400 
2
2
Der Abstand des Mondes von der Erde beträgt ungefähr 60 Erdradien; die Umlaufzeit des Mondes um
die Erde etwa 27,3 Tage (knapp 1 Monat).
Aus Gl. (*) folgt g  FM  
ME
 ME
.
;a 
n
rE
rM n
Der Quotient g / a = 3.600 liefert n = 2. Also fällt die Gravitationskraft mit 1 / r2 ab.
Cavendish hat mittels einer Drehwaage 1797 die Masse der Erde sehr präzise bestimmt:
ME = 5,98.1024 kg.
6.2 Die Kepler‘schen Gesetze der Planetenbewegung
 Umfangreiche astronomische Beobachtungsdaten von Tycho Brahe (1546 – 1601) <Lehrer
von Kepler in Prag>

Ideen von Nikolaus Kopernikus (1473-154, Bischof in Thorn) -> brachten Johannes Kepler
(1571-1630) zu seinen Gesetzen der Planetenbewegung

70 Jahre später lieferte Newton mit dem Gravitationsgesetz eine Erklärung für die
Keplerschen Gesetze; jedoch nicht so, dass er aus dem 1/r2-Gesetz die Ellipsenbahnen
ableitete, sondern so, dass er umgekehrt zeigte, dass die Ellipsenbahnen mit dem 1/r2-Gesetz
verträglich sind
1. Kepler'sches Gesetz (1609):
Die Planeten umlaufen auf Ellipsenbahnen die Sonne, die in deren gemeinsamem Brennpunkt steht.
Perihel
(Sonnennähe)
Planet
Sonne
A
P
Perihel
Aphel
F1
(Sonnennähe)
(Sonnenferne)
2. Kepler‘sches Gesetz (1609):
Der von der Sonne zum Planeten gezogene Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten t gleiche
Flächen A.
t
r
A
P
S
Experiment: Indischer Seiltrick:
A dA

 A  t   const.
t dt
(4)
3. Kepler‘sches Gesetz (1619):
Die Quadrate der Umlaufzeiten T1 und T2 zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen
Halbachsen a1 und a2.
P1
T12 a13

T2 2 a23
(5)
a1
P2
a2
S
zum 2. Kepler-Gesetz
Dreieck
v(t+dt)
P2
Ellipsenbogenelement (A‘)
r(t+dt)
v(t)
v  t  dt sin 

S
r(t)
dA – A(Dreieck SP1P2) + A‘(Ellipsenbogenelement)
r vdt sin  
dA 
P1
1
2
Bahnkurve
 Null für dt 0
1
dA 1 1
1
1
r v  sin   dt =

r mv  sin  
rp 
L  konst. , da L  konst.
2
dt 2 m
2m
2m
6.3. Die kosmischen Geschwindigkeiten
Die 1. Kosmische Geschwindigkeit ist diejenige, die ein Körper (genau) haben muss, um auf einer
Kreisbahn die Erde umrunden zu können.
In diesem Falle ist die Gravitationskraft die Radial- bzw. Zentripetalkraft (Kräftegleichheit).
Betragsmäßig gilt:
mM
mv 2
2
 2  mr 
r
r
 ME
rE  h
 v2
r  rE  h
v1 
2 M E
r
(6)
Die 2. Kosmische Geschwindigkeit ist diejenige, die ein Körper mindestens haben muss, um das
Gravitationsfeld der Erde verlassen zu können. Er muss also genügend kinetische Energie besitzen,
um das Gravitationspotential (der Erde) zu überwinden.

mM m 2
 v
r
2
v2 
2 M E
r
(7)
Setzt man in Gleichung (7) für die Erd- die Sonnenmasse ein, erhält man die 3. Kosmische
Geschwindigkeit, die ausreicht, das Sonnensystem zu verlassen.
Setzt man in Gleichung (7) für M E die Masse superschwerer schwarzer Löcher ein und für v die
Lichtgeschwindigkeit c , so erhält man aus Gleichung (7) den so genannten Schwarzschildradius, aus
dessen Innerem auch keine Photonen entweichen können.
Anmerkungen zum Gravitationspotential: Man kommt von der Gravitationskraft zum Potential, indem
man entlang des Weges integriert (Weg- oder Linienintegral). Die Integrationsgrenzen des
(bestimmten) Integrals werden dabei so gelegt, dass vom Ort r bis nach Unendlich integriert wird, weil
dort, in ausreichendem Abstand also, das Potential verschwindet.
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Bis hierher am 04.02.2016, Ende der 15. Vorlesung; Ende des ersten Semesters
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7. Schwingungen
7.1 Freie ungedämpfte Schwingung
7.1.1 Federpendel und mathematisches Pendel
Eine Feder setzt ihrer Verformung eine Federkraft (einen Widerstand) entgegen, die der Verformung
bzw. Auslenkung proportional ist.
Exp.: V4 / 1103 lineares Kraftgesetz
Fx
In Kapitel 2.2 hatten wir bei der Behandlung der Newton’schen Axiome als Beispiel zur Integration
der BWGL das Feder- und auch das mathematische
Pendel bereits betrachtet.
Die Masse m wird aus der Ruhelage bei x = 0
ausgelenkt.
Nach dem Loslassen bei x = x0 beschleunigt die
Federkraft FF die Masse.
Mit FF  kx für die Federkraft (k ist die Federkonstante) gilt folgende BWGL:
FF  m  a  mx  kx
(1)
Das Minuszeichen steht für die rücktreibende Wirkung. Gl. (1) kann man umformen:
mx  kx  0 oder auch x 
k
x0
m
Die Lösung dieser linearen, homogenen DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten (k, m) ist:
x(t)  x 0  cos 0 t mit 0 
k
m
(2)
Exp.: V4 / 1108 Schwingung(en) mit Speicheroszilloskop oder CASSY
Die analytische Lösung ist streng und einfach. Doch schon beim mathematischen Pendel hatten wir
gesehen, dass sich die BWGL nur angenähert für kleine Winkel lösen lässt.
BWGL:
g
   0
l
Lösung:
(t)  0 cos 0 t mit
0 
g
l
(3)
Beide Lösungen sind aufgrund von F  x harmonische
Schwingungen (zeitlich periodische Vorgänge).
Exp.: V 4 / 1101: mathematisches Pendel
ω0 : Eigenkreisfrequenz
Im Vorlesungsversuch wird ein Beispiel für eine nicht
harmonische Schwingung gezeigt.
V4 / 6001:
unharmonische Kippschwingung
V4 / 1102:
Berechtigung des Namens Kreisfrequenz
Was hat eine Schwingung mit einer Kreisbewegung zu tun?
Aus x(t) = x(t + T) folgt sofort, dass 𝞈0= 2𝜋/ T ist. (T: Schwingungsdauer)
Verschiedene Schwingungsformen:
Harmonische Schwingung: sin- oder cos-förmig:
Sägezahn:
Rechteck:
Kippschwingung:
Nicht jede periodische Bewegung ist harmonisch!
7.1.2 Physikalisches oder Schwerependel
Ein ausgedehnter Körper schwingt um einen
Aufhängepunkt O außerhalb seines
Schwerpunktes S.
Für kleine Auslenkungen ist das rücktreibende
Drehmoment
MRück  FRück  l  m  g  l  sin 
 m  g  l 
l ist immer der Abstand von der Aufhängung O
bis zum Schwerpunkt S
Exp.: V4 / 1301 Physikalisches Pendel
MRück  J   J 
BWGL:
Mit  
J   m  g  l   0
Richtmoment
J   D   0
(4)
D  mgl
D
D
ist.
   0 erkennt man sofort, dass 0 
J
J
  t   0 cos 0 t mit 0 
Lösung:
D
J
(5)
Unter Verwendung des Steiner‘schen Satzes (Gl. (6) in Kap. 5.2) lässt sich die Eigenkreisfrequenz 0
wie folgt umformen:
0 
0 
D
mgl
mg l



2
J
JS  ms
m  l2  JS
g
l 1  JS  m  l
2

mg l
J 

m  l 2 1  S 2 
 ml 
g
lR
J 

lR  l 1  S 2  ist die (so genannte) reduzierte Pendellänge. Sie heißt deshalb so, weil sie kürzer
 ml 
als die Gesamtausdehnung des Körpers ist.
0 ist jetzt die Eigenfrequenz eines mathematischen Pendels gleicher Schwingungsdauer T.
Das Pendel schwingt so, als ob die reduzierte Pendellänge die wirkliche Pendellänge ist.
Das Pendel schwingt so, als ob die Gesamtmasse am Punkt A konzentriert wäre, der von O den
Abstand l R besitzt.
Achtung: l ist als Entfernung zwischen dem Aufhängepnkt O und dem Schwerpunkt S zu sehen.
Experimente:
V4 / 1303 Glockenpendel;
V4 / 1304 Reifenpendel;
V4 / 1305 3 physikalische Pendel gleicher Schwingungsdauer T.
##############################################################################
Bis hierher am 06.04.2016, Ende der 16. Vorlesung
##############################################################################
Es ergibt sich nun noch eine Besonderheit:
Lässt man den Körper um eine zur ursprünglichen Achse durch 0 parallele Achse durch A schwingen,
ergibt sich die gleiche Kreisfrequenz bzw. Schwingungsdauer. Experimentell ist dieser Punkt nicht
immer leicht und auch schnell zu finden.
A 
m  g  lR  l 
D'

2
JA
JS  m  lR  l 
JS
g
l
A 


2
J 
J

l 1  S 2 
JS  m 
 l2
JS  S 2
2
ml
 ml 
 m  l2 
mg 
A 
Js
ml
JS2

J  
m  g l 1  S 2   l 
  ml  

2

JS  
J S  m l 1 
 l
2 
  ml  
g
g
 0
lR
Das ist ein Reversionspendel.
Durch feine und präzise Montage und Justage sucht man zum Drehpunkt 0 den korrespondierenden
Punkt A (Abstand 0A  lR ) mit Hilfe der Messung der Schwingungsdauern, bis T0  TA gefunden ist.
Damit lässt sich die Erdfallbeschleunigung g sehr genau bestimmen.
Bemerkungen zum EES der Mechanik:
Aus x  t   x 0  cos 0 t folgt x  t   x 00  sin 0 t
Die potentielle Energie:
E pot 
k 2 k 2
x  x 0 cos 2 0 t
2
2
die kinetische Energie:
E kin 
m 2 m 2 m 2 2
v  x  x 0 0 sin 0 t
2
2
2

liefern in der Gesamtsumme die Gesamtenergie des Systems.
Eges  E pot  E kin 
E ges 
k 2
m
k
x 0 cos2 0 t  x 0 2 sin 2 0 t
2
2
m
k 2
x 0  const.
2
In der folgenden grafischen Darstellung sind vertikal versetzt die Periodizitäten verschiedener Größen
zusammengeführt. Die Geschwindigkeit und damit der Impuls weist gegenüber der Elongation eine
Phasenverschiebung auf. In der Kraft steckt die zweite Zeitableitung der Elongation, also eine weitere
Phasenverschiebung. Während die Gesamtenergie konstant bleibt, hat die potentielle Energie dort ihr
Maximum, wo die kinetische Energie minimal wird und umgekehrt. Es wird ständig Energie
umgewandelt. Leistung und Energie laufen mit anderen Periodendauern als die Elongation.
Qualitative Darstellung der berechneten Größen;
die einzelnen Graphen sind vertikal gegeneinander verschoben
y in willkürlichen Einheiten
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
10
10
8
8
2T
6
6
4
4
x(t)
v(t), p(t)
F(t)
Ekin(t)
Epot(t)
P(t)
2
2
T
0
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
x in willkürlichen Einheiten
k / m)
1/2
13
14
15
16
17
18
19
20
7.2 Freie gedämpfte Schwingung
In der Realität treten bei allen Schwingungen Reibungseffekte auf, die Schwingungen werden
gedämpft.
Außer der Federkraft oder sonstiger Rückstellkraft wirkt noch eine Reibungskraft FR . Man kann sich
das so vorstellen, als würde ein zusätzlicher
Widerstand parallel geschaltet.
FGes  FF  FR
(6)
In vielen (praktischen) Fällen, vor allem (aber) bei kleinen Geschwindigkeiten, kann man die
Reibungskraft FR als geschwindigkeitsproportional annehmen. FR zeigt allerdings in die
entgegengesetzte Richtung wie v selbst. In der Übung werden Sie ein Beispiel kennenlernen, wo die
Reibungskraft nicht dieser Funktionalität genügt. In diesem Abschnitt soll also gelten:
FR   r
(7)
 : Konstante, die die Stärke der Reibung beschreibt.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit gilt für den eindimensionalen Fall (1D-Fall):
bzw.
kx  x  m  x
x

k
x x 0
m
m
(8)
BWGL
Das ist die DGL der freien gedämpften Schwingung.
Klassifizierung: linear, homogen, 2. Ordnung, konstante Koeffizienten
Wir schreiben (aus rein ästhetischen Gründen

= 2δ):
m
x  2x  0 2 x  0
(9)
und
suchen nach einem Ansatz für die Lösung.
Experiment: V4 / 2009 Oszilloskop freie gedämpfte Schwingung mit abnehmender Amplitude
Gesucht ist rein mathematisch eine Funktion, die bei ihrer zeitlichen Ableitung im Wesentlichen
erhalten bleibt. Bei der freien ungedämpften Schwingung haben wir gesehen, dass sowohl die
Kosinus- als auch die Sinusfunktion bis auf das Vorzeichen und eine Konstante bei der zweiten
Zeitableitung in sich selbst übergehen. Hier taucht zusätzlich die erste Ableitung auf.
Ansatz:
x  t   et
(10)
x  t   et  x  t 
x  t    2et   2 x  t 
Einsetzen in DGL
2 x  t     2x  t   0 2 x  t   0
Damit hat man die DGL 2. Ordnung auf eine quadratische algebraische Gleichung zurückgeführt. Die
triviale, mathematisch mögliche, aber physikalisch uninteressante Lösung ist x  t   0 . Interessant ist
aber der andere Faktor, den wir im Folgenden näher untersuchen wollen:
2  2  02  0
(11)
Das ist die so genannte charakteristische Gleichung. Die Lösung dieser quadratischen Gleichung erhält
man über die Diskriminante:

Mit
   2  0 2
(12)
  0 2  2 :1,2    i
(13)
1,2
 ist die Eigenkreisfrequenz der gedämpften Schwingung. Die Schwingungsdauer T ist demzufolge
größer, das Pendel schwingt langsamer.
Eine ganz spezielle Lösung der DGL (9) ist nun: [Probe: Gl. (14)  Einsetzen in Gl. (8) ^ (9)]
x  t   x 0et cos  t  0 
(14)
Die Amplitude x 0 sowie der Nullphasenwinkel sind (mathematisch) zunächst (zwei) allgemeine
Integrationskonstanten des mathematischen Problems, welche genauer durch die jeweiligen
Anfangsbedingungen (AB) festgelegt werden.
Ein Maß für die quantitative Beschreibung der Dämpfung ist das logarithmische Dekrement Λ. Für die
Amplitudenabnahme in diesem Schwingfall gilt:
x(t  T)
x(t)
 et   ln
 t   .
x(t)
x(t  T)
Aus Λ ergibt sich unmittelbar  , die Stärke der Dämpfung; z. B. aus Messungen der Viskosität  .
Die allgemeine Lösung der homogenen DGL erhält man als Linearkombination der mit dem Ansatz
(Gl. (10)) gewonnenen Teillösungen:
x h  t   C1et  e
2 02 t
 C2et  e
 2 02 t
 et (C1e
2 02 t
 C 2e
 2 02 t
)
Für die Wurzel in Gl. (12) gibt es insgesamt drei mögliche Lösungen:
1. Fall:   0 ,d.h.2  0 2  0 : kleine (schwache) Dämpfung: Hier ist  reell, es ergibt sich
eine gedämpfte Schwingung mit exponentiell abklingender Amplitude. Mit
x h  t   C1et  eit  C2et  eit  et (C3 cos( t)  C4 sin( t))  e t  C5 cos( t  )
erhält man mit den AB x(0) = x0 und v(0) = 0 Gleichung (14).
z  x  iy  r  cos   isin  (Kreis)
Euler-Identität: eix  cos x  isin x (Beweis durch Taylorreihenentwicklung an der Stelle x=0)
Experimente: V 4 / 2007 Spiegelgalvanometer
V 4 / 2001 und 2003 Ölwanne und
V 4 / 2006 elektrischer Schwingkreis
Das ist der so genannte Schwingfall.
2. Fall:
  0 ,d.h.2  02  0 : starke Dämpfung: Die Wurzel in Gl. (12) ist jetzt selbst
reell.

1,2
   2  0 2
Die Lösung der DGL lautet für diesen Spezialfall:
x  t   C1et  e
2 02 t
 C2et  e
 2 02 t
Das System ist überdämpft. Nach anfänglicher Auslenkung geht das System erst nach sehr
langer Zeit (eigentlich im Unendlichen, also nie) wieder in die Ruhelage zurück. Deshalb wird
dieser Fall als Kriechfall bezeichnet.
3. Fall:   0 :
Die Lösung der DGL erhält man über das mathematische Verfahren Variation der Konstanten:
Dazu wählt man als Ansatz: x  t   C(t)et .
Danach bildet man die ersten beiden Zeitableitungen: x  t   x 0et  (1  t)
x  t   C'(t)et  C(t)et  C' (t)et  x(t) und
x  t   C''(t)et  C'(t)et  x '(t)
Einsetzen in die ursprüngliche DGL (Gl. (9)) liefert als Ergebnis: C''(t) =0. Das bedeutet, dass
die zeitabhängige Konstante als Linearkombination wie folgt angesetzt werden darf:
C(t)=at+b. Als Lösung für die DGL erhält man: x  t   (a  t  b)  et .
Aus den Anfangsbedingungen (AB): x(0)= x0 und v(0) = 0 liest man ab: a = x0 .  ^ b = x0.
Nach anfänglicher Auslenkung x0 kehrt das System „schnellstmöglich“ (eigentlich
mathematisch wiederum nie) in die Ruhelage zurück. Es handelt sich um den
„schnellstmöglichen“ Kriechfall, aber keinesfalls um eine Schwingung. Es handelt sich um den
aperiodischen Grenzfall, der messtechnisch von sehr großer Bedeutung ist. Die unter diesen
AB gültige Lösung lautet: x  t   x 0 1  t  et .
In der folgenden grafischen Darstellung sind die einzelnen Fälle anhand konkreter Zahlenbeispiele
illustriert.
#################################################################################
Bis hierher am 13.04.2016; Ende der 17. Vorlesung
#################################################################################
Nachfolgender Skripttext dient der Vertiefung, Erweiterung und Illustration:
Aperiodischer Grenzfall: genauere Betrachtung
x  t   x 0 1  t  et
Lösung:
Beweis durch Einsetzen in Dgl.
u  1  t
v  et
u'  
v '  et
x  t   x 0 et  e
ut
v  et
u ' 1
v '  et
 uv  '  u ' v  uv '
t
1  t   x 02 tet
rücktreibend
x  t   x 02 et  te t   x 02et 1  t 
x  t   x 03et  2  t 
Wendestelle:
x  t w   0  x 02et w 1  t w 
tw 
1

1   1 2x 0

y w  x  t w   x 0 1    e 

e

Wendepunkt:
 x w ; y w   
1 2x 0 
;

 e 
x tw   0
S. Großmann: Mathematischer Einführungskurs für die Physik
Teubner Studienbücherei Physik (1991)
S. 276 8. Gewöhnliche Differentialgleichungen
Fig. 98
Lösungen y   A1  A2 x  e ax/2 der homogenen linearen Differentialgleichung 2.
Ordnung
im
aperiodischen
Grenzfall a / 2  b
bzw.   0 . Trotz
Dämpfung erfolgt bei x=0 zunächst ein
Anwachsen, wenn nur A2  aA1 / 2 ist. Es
wird stets ein Maximum (bei 2a 1  A1A2 1 )
erreicht, wenn nur A 2  0 ist.
Mit den zwei Konstanten A1,2 kann man die Anfangsvorgaben erfüllen.
Spaßigerweise führt die eine Teillösung xe ax/2 trotz globaler Dämpfung   a / 2  0 zu einem
vorübergehenden Anwachsen. Sie steigt an bis zum Erreichen des Maximums 2/(a e) beim Wert
xm=2/a, um danach vom exponentiellen Faktor e ax/2 auf null gedrückt zu werden. Für hinreichend
kleine aperiodische Dämpfung a kann die Anstiegsphase 2/a sehr lange dauern und kann der
Maximalwert 2/(a e) beträchtlich sein! Die Figur zeigt das typische Lösungsverhalten im
aperiodischen Grenzfall.
Selbstverständlich kann auch in den beiden anderen Fällen d > 0 oder d < 0 ein vorübergehendes
Ansteigen erfolgen.
Kurvendiskussion: x  t   (a  t  b)  et
x(0) = b = x0.
x  t   a  et  (a  t  b)  ()  et
x  t E   0  a  (a  t E  b)  ()  t E 
a/b
a
x  t   aet  2et  b  at   aet  et [2a  2  b  at ]
Wenn x  t E   0 , erhält man ein Maximum, wenn a > 0 ist. Für a < 0 erhält man ein Minimum.
Kriechfall: genauere Betrachtung:
x  t  0  x 0  x  t  0  0
Fall:
x  t   et  Aewt  Be wt  mit A 
x0
x
 w    B  0  w  
2w
2w
x t 
x 0 t
e  w    e wt   w    e wt 
2w
x t 
x0
x
wt
w 2  2  et e  e  wt   0  w 2  2  et sin h  wt 

2w
w
x t 
x0
 w 2  2  et  w    ewt   w    ewt 
2w
tw 
1
w
ln
2w   w
xw 
4x 0 2  w 2 t w
e
2  w 2
Es existiert also ein Wendepunkt in der Kurve x(t).
Analogiebetrachtung zur Elektrodynamik: Elektrischer Schwingkreis:
Maschensatz: U(t)=L⋅I˙+Q/C+R⋅I
7.3 Erzwungene Schwingung(en)
Auf das schwingende System wirkt eine zeitabhängige, äußere, periodische Kraft der Form
F0  sin t .
Solche Kräfte können den „Abbau“ der Schwingung infolge der Reibung (Dämpfung) wieder
ausgleichen.
Sie zwingen dem System nach einer gewissen Zeit, der so genannten Einschwingzeit, ihre eigene
Frequenz, die Erregerfrequenz auf.
Der Erreger und der Resonator, das schwingungsfähige System, schwingen mit der Erregerfrequenz.
Es tritt eine Phasenverschiebung auf.
Experiment(e):
 V4 / 3002 Zungenfrequenzmesser
 V4 / 3003 kritische Drehzahlen, Lichtzeiger
 V4 / 3006 Resonanzpendel
 V4 / 3008 Freihand-Resonanz
 V4 / 3012 singende Gläser
 V4 / 3013 Tacoma-Narrows-Bridge
 V4 / 3015 Schwingtopf
Im Allgemeinen treten noch Reibungskräfte auf:
mx  F  x, x, t 
BWGL:
x:
rücktreibende Kraft
x:
Reibung
t:
Erreger
mx  kx  x  F0 sin t
x  2x  0 2 x 
F0
sin  t 
m
(15)
Das ist eine lineare, inhomogene DGL 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten.


k
; 0 2 
2m
m
Lösungsansatz:
x p  t   x 0 sin  t 
(16)
 : Erregerfrequenz; x 0 : Resonatoramplitude;  : Phasenverschiebung zwischen Erregerfrequenz und
Resonator
Der Lösungsansatz wird mit dem Ziel, x 0 und  (die beiden Integrationskonstanten) zu bestimmen,
in die BWGL eingesetzt. Gleichberechtigt wäre auch hier der Kosinusansatz. x0 ist eine reelle
Ampltude. Eine Schwingung ist genau dann vollständig charakterisiert, wenn man deren Amplitude
sowie die Phase kennt. Die Phase ist das Argument der Winkelfunktion.
Die allgemeine Lösung einer inhomogenen Differentialgleichung ist die Summe aus der zugehörigen
homogenen Lösung, die in den Kapiteln 7.1 und 7.2 ausführlich besprochen wurde und die sich hier
im Einschwingvorgang widerspiegelt, und einer ganz speziellen partikulären Lösung der inhomogenen
DGL, die man mit Hilfe dieses Ansatzes gewinnen möchte.
x p  t   x 0  cos  t 
x p  t   x 0 2  sin  t   2 x p  t 
2 x 0  sin 

0
2
  2x 0  cos    02 x 0  sin   
 2   x 0  sin 
  2x 0  cos   
Additionstheorem für sin  t
F0
sin  t 
m
F0
sin  t 
m
 und cos  t  :
sin      sin  cos   cos  sin 
cos      cos  cos  sin  sin 

2
 2  x 0 sin t cos   sin  cos t   2x 0 cos t cos  sin t sin  

2
 2  x 0 sin t cos    02  2  x 0 sin  cos t  2x 0 cos t cos 
0
0
2x 0 sin t sin  
 02  2  x 0 cos  2x 0 sin  x 0 sin t


    0 2  2  x 0 sin  2x 0 cos  cos t 
F0
sin t
m
Ein Koeffizientenvergleich zwischen linker und rechter Seite liefert:

0
2
 2   x 0  cos  2 x 0  sin  
F0
m
(a)
  0 2  2   x 0  sin  2 x 0  cos   0
(b)
Quadrieren von  a    b  und anschließendes Addieren:
2
 02  2  x 02 cos2   422  x 02  sin 2  4 x 02  02  2  sin  cos    Fm0 
422 x 02 cos2    02  

2 2
x 02 sin 2   4 x 02  02  2  sin  cos   0
2
F 
cos 2   0 2  2  x 0 2  422 x 0 2   sin 2  422 x 02   02  2  x 02    0 


m
x 0  0  
2
2

2 2
 4  x 0
2
2
2
F 
 0 
m
2
2
+
2
F 
x 0  0 2  2   422    0 

 m
2
2
F0 / m
Amplitude
x 0  x 0   
Aus Gleichung (b):
2x 0
sin 
2
 tan  
 2
2
2
cos 
 0     x 0 0  2
Phasenverschiebung:
  arctan
(17)
 02  2   422
2
2
0 2  2
(18)
Wesentlich eleganter und schneller löst man das gesamte Problem in der komplexen Schreibweise,
auch wenn dies zunächst komplizierter klingt:
x  2 x  0 2 x 
F0 it
e
m
e it  cos(wt )  i sin(wt )  Re{e it }  i Im{e it }
Ansatz: x p  t   A  e it
x p  i x p
x p   2 x p
A übernimmt hier die Rolle von x0.
A   2  2 i  0 2  
F0
m
Wir erhalten eine komplexe Amplitude und bilden deshalb deren Betrag
[Anmerkung: z = x+iy; z* = x-iy; z  z*  x 2  y 2  / z / 2 (i 2  1) ]
A
F0 / m

0
2
  2   4 2 2
2
A  0 2   2  2i  e it 
F0
 cos t   i sin t  
m
Koeffizienten-Vergleich: Auf beiden Seiten einer Gleichung muss links und rechts das Gleiche stehen,
dies gilt sowohl für den Real- als auch den Imaginärteil.
A 0 2   2  
A  2 
F0
 cos  t 
m
F0
 sin  t 
m
tan  t   tan   
2
0 2   2
  arctan
2
0 2   2
Diskussion der Lösung:
zunächst x 0 :
Grenzfälle:
F0
F
 0
2
m0
k
0
x 0  0 

x0   0
Im Zwischenbereich vermuten wir ein Maximum.
d
x 0    0
d
Seine Lage ergibt sich aus:
2
dx 0   F0 d

0 2  2   422

d
m d


1 F0

2m

3/2

1/2
 2  0 2  2   2  82  0


Setzt man den Zähler gleich null
2  02  2   2  82  0
202 23  42  0
2  02  22
res  0 2  22
(19)
Resonanzfrequenz
################################################################################
Bis hierher am 20.04.2016; Ende der 18. Vorlesung
################################################################################
Bei geringer Dämpfung:
  0
res  0
Die tatsächlichen Maxima liegen
etwas weiter links von 0 .
Amplitudenresonanzkurven
Das Maximum der Kurve wandert mit wachsender Dämpfung nach links und flacht ab.
0 2  2 2
Wenn res  0

0
2

1
2
2
In der Praxis wird die Resonanzkatastrophe vermieden
durch:

starke Dämpfung

0 weit entfernt von 
Experiment: V4 / 3001
Drehpendel (Rad)
Pohl’sches
Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resonator:
2
tan   2
0   2
Bei kleiner Frequenz  folgt der Resonator dem Erreger fast ohne Phasenverschiebung.
Phasenverschiebung

:
2
F  F0 sin  t 




sin t sin 
  x 0 cos t cos
2
2
2


x  x 0 cos  t

=0
=1
x  x 0 sin  t 
Äußere Kraft F  t  und Geschwindigkeit   t   x  t  sind in Phase. Dem System wird ständig
Energie zugeführt. Ohne Dämpfung führt dies zur Amplitudenkatastrophe.
Bei sehr hohen Frequenzen  stellt sich eine Phasenverschiebung von  180  ein, das System
schwingt gegenphasig.
Stationäre, zeitlich konstante Schwingung:
Die Schwingung wird stationär, wenn die während einer Periode zugeführte Energie gleich der durch
Reibung bzw. Dämpfung aus dem schwingenden System abgeführten Energie ist.
Bei kleiner Dämpfung wird diese Bedingung nur für große Amplituden erfüllt. Im Resonanzfall kann
es daher schon vor Erreichen des stationären Zustandes zur Zerstörung des schwingenden Systems
kommen.
Resonanzüberhöhung:
Verhältnis der Amplitude bei res zur Amplitude bei   0
x 0  res 

x0  0
1
F0
m0 2
F0 / m

0
2
 2  22   42  0 2  2 
2


0 2
44  420 2  84

0 2
2 02  2
(20)
0 res

2 2
0 sehr viel g rößer als 
Die Resonanzüberhöhung ist also umgekehrt proportional zur Dämpfungskonstanten.

Einstieg: (Umkehrfunktion) Anna behauptet: „Wie am Einheitskreis

¨Ubungen – Blatt 6∗

Wichtige Werte von Sinus und Kosinus

Kurve in Parameterform x(t)

Blatt 6 (Stichtag 18.01.2015, 14:30)

Übung 1 - Workgroup Prof. Saalfrank

Propädeutische Analysis I

20 - homeweb2.unifr.ch

Übungsblatt 5 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Herleitung der Patterson