Gewöhnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme

Universität Heidelberg
Wintersemester 2015/16
Aufgabenblatt 7
27. November 2015
Übungen zur Vorlesung
Gewöhnliche Differentialgleichungen und Dynamische Systeme
Prof. Dr. Anna Marciniak-Czochra
M.Sc. Marcel Mohr
Freiwillige Abgabe bis spätestens Freitag, 4. Dezember 2015, 13 Uhr.
Aufgabe 1
(Erstes Integral)
(a) Betrachten Sie das ebene autonome System von Differentialgleichungen
x0 = −x
y 0 = y + x2 .
Bestimmen Sie das Phasenportrait, indem Sie eine skalare Differentialgleichung der Form dy/dx
herleiten und lösen. (Dies ist das sogenannte Erste Integral aus der Vorlesung.)
(b) Für ein autonomes System y 0 = f (y) mit f : D → Rn Lipschitz-stetig, D ⊂ Rn offen, gilt die
folgende allgemeine Definition: Eine stetig differenzierbare Funktion H : D → R heißt Erstes
Integral des autonomen Systems, wenn
∇H(y)T f (y) = 0 ∀y ∈ D.
Zeigen Sie, dass H längs jeder Trajektorie konstant ist.
Aufgabe 2
(Phasenportrait einer Differentialgleichung zweiter Ordnung)
Ein Ball der Masse m wird vom Erdboden senkrecht nach oben geworfen. Dieser Vorgang lässt sich
mit durch eine Differentialgleichung zweiter Ordnung
mu00 = −mg
modellieren. Dabei ist u(t) die Höhe des Balles über dem Erdboden zur Zeit t und g ist die Erdbeschleunigung.
(a) Schreiben Sie die Differentialgleichung zweiter Ordnung als System von Differentialgleichungen
erster Ordnung.
(b) Bestimmen Sie das Phasenportrait des in Teil (a) formulierten Systems.
BITTE WENDEN!
Aufgabe 3
(Lotka-Volterra Konkurrenz Modell)
Interspezifische Konkurrenz zweier Populationen um Ressourcen kann vereinfacht beschrieben werden
durch das folgende klassische Modell:
N1 + β12 N2
0
N1 = r1 N1 1 −
,
K1
N2 + β21 N1
,
N20 = r2 N2 1 −
K2
wobei N1 , N2 die Anzahl der Individuen der beiden Populationen bescheiben und r1 , r2 , β12 , β21 , K1 , K2
positive Parameter sind.
(a) Bestimmen Sie die Gleichgewichtslagen und deren Stabilität.
(b) Verifizieren Sie Ihre Ergebnisse aus Teil (a) graphisch durch Phasen-Ebenen-Analyse: Gehen Sie
wie folgt vor:
– Bestimmen Sie die Isoklinen für N1 und N2 (d.h. diejenigen Geraden, sodass N10 = 0 bzw.
N20 = 0) und zeichnen Sie diese in die (N1 , N2 )-Ebene.
– Identifizieren Sie die Gleichgewichtslagen als Schnittpunkte der Isoklinen.
– Platzieren Sie Pfeile in die (N1 , N2 )-Ebene, welche die Richtung des Flusses angeben und
damit Information über die Stabilität der Gleichgewichtslagen liefern.

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