Analysis 4 Universität Münster SS 08 Probeklausur Markieren Sie im folgenden die Antworten, die Sie für wahr (falsch) halten in dem entsprechenden Kästchen. Das dritte Kästchen sollten Sie ankreuzen, wenn Sie sich keine Antwort zutrauen. Ein richtiges (falsches) Kreuz in einem der ersten beiden Kästchen gibt (-)1 Punkt, eins im dritten gar keinen. Es können stets mehrere Antworten richtig sein. Aufgabe 1 Es sei f : {z ∈ C | 0 < |z − z0 | < r } → C holomorph. w f ? ¤¤¤ w f ? ¤¤¤ w f Die Funktion ϕ(z) = exp(z −2 ) besitzt am Nullpunkt eine wesentliche Singularität, die allerdings hebbar ist (stetige Ergänzung ϕ(0) = 0). ? ¤¤¤ w f Die Funktion z 7−→ z(z − 1)−1 besitzt am Punkt z0 = 1 eine wesentliche Singularität. ? ¤¤¤ w f Es gibt drei Möglichkeiten: f besitzt bei z0 einen Pol, oder dieser Punkt ist eine hebbare bzw. wesentliche Singularität. ? ¤¤¤ w f Der Riemannsche Hebbarkeitssatz besagt, dass f stets eine stetige Fortsetzung auf {z ∈ C | |z − z0 | < r } besitzt. Bei der Berechnung von Integralen mit Hilfe des Residuensatz spielen nur die wesentlichen Singularitäten eine Rolle. ? ¤¤¤ Den Typ einer Singularität von f bei z0 kann man an der Gestalt der Laurentreihe bei z0 ablesen. Vorgelegt sei die Differenzialgleichung (*) y ′ g(x, y) + h(x, y) = 0. w f ? ¤¤¤ w f ? ¤¤¤ w f Falls (*) exakt ist, so gilt ∂h ∂g = . ∂y ∂x ? ¤¤¤ w f Falls (*) exakt ist, und y = y(x) auf [a, b] eine Lösung ist, so gibt es eine Konstante C mit F (x, y(x)) = C für alle x ∈ [a, b]. ? ¤¤¤ w f Die Funktion (h, g) besitzt eine Stammfunktion, falls die Funktionen g und h stetig sind. ? ¤¤¤ w f Diese Gleichung nennt man exakt, falls es für (h, g) eine Stammfunktion F gibt, d.h. falls die partielle Ableitung von F nach x bzw. y mit h bzw. g übereinstimmt. Die Gleichung y ′ − y = 0 ist exakt ? ¤¤¤ Die Differentialgleichungen vom Typ y ′ = f (x)g(y) sind stets exakt. Aufgabe 2 In welcher Beziehung stehen komplexe und reelle Differenzierbarkeit von Funktionen f : C → C zueinander? Geben Sie ein Beispiel für eine Funktion f : C → C an, die (an wenigstens einer Stelle z0 ∈ C) reell aber nicht komplex differenzierbar ist. Aufgabe 3 Formulieren Sie den Satz von Picard-Lindelöf. Wie geht man vor, um diesen zu beweisen? Aufgabe 4 Berechnen Sie das Integral Z Γ ez dz (z − 1)(z + 1) entlang der Kurven Γ : [0, 1] → C, t 7→ e2πit ± 1. Aufgabe 5 Die holomorphe Funktion f : C → C besitze die Eigenschaft, dass für eine positive Zahl C gilt |f (z)| ≤ C|z|n für alle z ∈ C. Man zeige, dass es dann eine Zahl c gibt mit f (z) = cz n für alle z ∈ C. 2 Aufgabe 6 (a) Zeigen Sie, dass die Funktion ¡ ¢ y(x) = exp x2 das Anfangswertproblem y ′ ln y − 2x3 y = 0, y(0) = 1 löst. (b) Lösen Sie das Anfangswertproblem y ′ = xy + x, y(0) = 0. Ist die Lösung eindeutig bestimmt? Aufgabe 7 Zeigen Sie, dass das System x′ = x − x3 − xy 2 y ′ = y − y 3 − yx2 am Ursprung einen Gleichgewichtspunkt besitzt. Ermitteln Sie das um diesen Punkt linearisierte System, sowie den Stabilitätstyp des linearisierten Systems. Welche Aussage kann man in dieser Situation über die Stabilität des nichtlinearen Systems machen? Vom 25. bis 29. August wird jeweils von 8 Uhr bis 11 Uhr im Hörsaal M5 ein Repetitorium zur Vorlesung angeboten. 3