Kettenbrüche oder Unendliche Division durch Summen1: Interessant und fast uralt ist der Goldene Schnitt, den man auch so erhält: Teile ewig eine Zahl durch die Summe von 1 und ihrem Kehrwert. 1 http://faculty.evansville.edu/ck6/integer/contfr.html Der Mathematische Monatskalender unter EULER www.Udo-Rehle.de 1 2014 ____1________ __ 1 _____ a.) Ist 1+ = 1 1____________ : 1+ - 1______ 1 1 + 1/(1 + …) 1 + 1/(1 + …) x = 1 : x -1 x+1=1:x Oder wenn x der größere Teil der gülden geteilten Einheitsstrecke ist, dann verhält sich die ganze Einheitstrecke zu x, wie x zum kleineren Teil 1-x, also 1:x=x:(1-x). Dies liefert die quadratische Gleichung x²+x-1=0 mit der Lösung -½ ± √(¼+1) = ½ (√5 - 1) wobei der negative Wert nicht verwendbar ist. Je zwei aufeinander folgende Kettenbrüche verhalten sich wie aufeinander folgende Fibonacci-Zahlen2, die man aus der Summe ihrer beiden Vorgänger erhält, wenn man mit den ersten beiden natürlichen Zahlen beginnt: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 1443 … 2 http://www.youtube.com/watch?v=bE2EiI-UfsE&feature=related http://www.youtube.com/watch?v=eYDwWbDhCEg&feature=related Bei den Fibonacci-Zahlen kehrt nach einer Periode von 60 die Folge der Endziffern wieder. Nach einem Zyklus von 300 wiederholen sich die letzten zwei Ziffern, nach einem Zyklus von 1500 die letzten drei Stellen und so fort. Bei den Lucas-Zahlen Ln = Fn-1 + Fn+1 (2,) 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, ... kehren die letzten zwei Ziffern in einem Sechzigerzyklus wieder. Bei beiden Folgen konvergieren die Verhältnisse aufeinander folgender Werte gegen den Goldenen Schnitt. 3 1/(1+½)=2/3 1/[1+1/(1+½)]=3/5 8/13, 13/21 usw www.Udo-Rehle.de 2 1/{1+1/[1+1/(1+½)]}=5/8 2014 Die von Leonardo Pisano erfundenen Bonacci-Zahlen lassen sich auch im Pascalschen Dreieck berechen, wenn man diagonal summiert! Die explizite Folgenbeschreibung dieser Bonacci Zahlenfolge, (deren Differenzenfolgen4 wiederum Fibonacci-Folgen sind, und deren Formel somit keine Funktion n-ten Grades sein kann – n als Exponenten!), kann mit Hilfe der irrationalen √5 beschreiben werden als 4 Auch die Differenzenfolge der Zweierpotenzen 1, 2, 4, 8, 16, 32, … reproduziert sich: Allgemein ist bei n-ten Potenzen von a die Differenzenfolge (a-1) an For Fibonacci graphs see http://bit-player.org/page/3 www.Udo-Rehle.de 3 2014 Fn = { [(1 + √5)/2]n – [(1 - √5)/2]n } / √5 oder Fn = {φ n –(- φ) -n} / √5 mit dem Goldenen Schnitt φ = 1.61803 ... 1–φ=1/φ (1 - φ) n = φ- n Beispiel: n=8 F8 = [ 1,6188 – 0,6188] / √5 (46,97… - 1/46,97) /√5 = 46,9495/v5 ≈ 20,9965 ≈ 21… n=9 F9 = [ 1,6189 – (-1,618)-9] / √5 = (75,999 + 1/75,999)/ = 33,99 etwa 34 bis n k=1 ∑ Fk² www.Udo-Rehle.de = F1²+F2²+F²3+F4²+…+ F²n.. = Fn Fn+1 4 2014 Die Diagonalen des regulären Pentagons Teilen sich im Verhältnis des goldenen Schnitts Die Hypotenuse ist c√(1+¼) ½√5c - ½c = ½c(√5 -1) ≈ 0.61803 1,6180339887498948482045868343656381177203091798057628621 35448622705260462818902449707207204189391137484754088075386 89175212663386222353693179318006076672635443338908659593958 29056383226613199282902678806752087668925017116962070322210 43216269548626296313614438149758701220340805887954454 ... http://rchsbowman.wordpress.com/category/history-of-math/ www.Udo-Rehle.de 5 2014 ____1________ 1 _____________ und 2+ 1______ = 1: 2+ 1_________ -2 2 + 1/(2 + …) 2 + 1/(2 +…) (aus x=1/x -2 folgt5, dass x=√2 -1 ist) Man schreibt √2 = [1, 2, 2, 2, 2, 2, 2,…] =[1,2 Periode] 5 oder aus x=1/(2+x) www.Udo-Rehle.de gibt 2x+x²-1=0 also x= -1 ± √2 6 somit √2 = 1+x 2014 ____1________ 4+ 1______ = 1: und für √5 4 4 + 1/(4 + …) 1 4+ ___________ - 1_________ 4 + 1/(4 +…) (aus x=1/x -4 folgt, dass x=√5 - 2 ist) Kurzschreibweise: √5 = [2, 4] also Periode 4 Und allgemein √(a²+1) = [a, 2a] Unterstrich ist Periode zB. √10 = [3, 6] √3 = [1, 1,2 Periode 12] √6 = [2, 2, 4 Periode 24] allgemein √(a²+2) = [a, a, 2a] oder √(a²+a) = [a, 2, 2a] zB. √3 = [1, 1,2] zB. √6 =[2, 2, 4 ] √7 = [2, 1,1,1,1,4 Periode 11114] √8 = [2, 1, 4 Periode 14] √10 = [3, 6 Periode 6] √11 = [3, 6, 3 Periode 63] √(9a²+3) = [3a, 2a, 6a] zB. √12 =[3, 2, 6 ] Jede Quadratwurzel lässt sich als einen periodischen Kettenbruch entwickeln und umgekehrt! Für dritte Wurzeln z.B www.Udo-Rehle.de 7 2014 oder transzendente Zahlen wie π oder e gibt es keine periodische Kettenbruchdarstellung mit Stammbrüchen! (n=6) n=7 e = [2, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, 1, 1, 2n, 1 ,1 ...]. wohl aber sind zB. bei der Eulerschen Zahl Gesetzmäßigkeiten erkennbar! Und erst Schon Euler fand folgende zwei interessante Entwicklungen www.Udo-Rehle.de 8 2014 Witzig auch folgende Darstellungen Das Wallische Produkt ½π = 2/1 2/3 4/3 4/5 6/5 6/7 von 1656 lässt sich auch als Kettenbruch schreiben www.Udo-Rehle.de 9 2014 π/4 = 0 + __________1_________________ 1+ 1²___________________ 1 … + 3²/(2 +5²/{2+7²/[2+9²/2+…]}) # Und weil’s so schön war noch einen vom kleinen Rama6 Ramanujan-Kettenbruch 6 http://de.wikibooks.org/wiki/Formelsammlung_Mathematik:_Kettenbr%C3%BCche http://functions.wolfram.com/Constants/E/10/ http://www.cut-the-knot.org/do_you_know/fraction.shtml www.Udo-Rehle.de 10 2014