Herleitung der Schwingungsgleichung für gedämpfte Schwingungen Den Quotienten zweier aufeinander folgender Amplituden einer gedämpften ŷ Schwingung n+1 bezeichnet man als Dämpfungsquotienten q. ŷn Er ist von der Periodendauer der Schwingung unabhängig und bei geschwindigkeitsproportionaler Dämpfung konstant. ŷ Mit q = n+1 ergibt sich für die Amplitude der 1. Periode ŷ 1 = ŷ 0 · q , ŷn für die der 2. Periode ŷ 2 = ŷ 1 · q = ŷ 0 · q2, ŷ n = ŷ 0 · qn und damit allgemein für die der n-ten Periode Den natürlichen Logarithmus des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Amplituden bezeichnet man als logarithmisches Dekrement δ (Dekrement = Abnahme, Verfall): 1 ŷ δ = ln n Beachte: hier steht über dem Bruchstrich ŷ n , damit ist δ = ln . q ŷ n+1 Der Quotient ist also immer > 1 und δ damit immer positiv. Durch Entlogarithmieren ergibt sich für zwei aufeinander folgende Amplituden ŷ n ŷn+1 = eδ und damit = q = e- δ. ŷ n+1 ŷn Für die n-te Periode gilt: ŷn ŷ = e- δ · n (wegen ln n = - n · δ) ŷ 0 ŷ 0 Die Amplitude der n-ten Schwingung ist damit (unabhängig von der Periodendauer T) - δ · n Gleichung 1 ŷ n = ŷ 0 · e Die Dämpfungskonstante k ist ein Maß für die Abnahme der Amplitude mit der Zeit t (unabhängig von der Anzahl der Perioden). δ Sie ergibt sich aus dem Quotienten von δ und T: k = T ⎛ ŷ ⎞ ln⎜⎜ n ⎟⎟ ŷ ŷ Mit δ = ln n lässt sich k also berechnen mit k = ⎝ n+1 ⎠ . T ŷ n+1 Multipliziert man in Gleichung 1 den Exponenten mit ŷ n = ŷ 0 · e δ − ⋅n⋅T T T = 1, ergibt sich T wobei n·T gerade die seit Beginn der Schwingung vergangene Zeit t ist. δ durch k, erhält man die Funktionsgleichung für die T Amplitudenabnahme mit der Zeit (die Funktionsgleichung für die Einhüllende): ŷ (t) = ŷ 0 · e- k t Setzt man nun diese zeitabhängige Amplitude in das Weg-Zeit-Gesetz für harmonische Schwingungen ein, indem man ŷ durch ŷ (t) = ŷ 0 · e- k t ersetzt, erhält man die Zeit-Elongationsgleichung der gedämpften Schwingung: Ersetzt man außerdem y(t) = ŷ 0 · e - k t · sin ωt (für y = 0 bei t = 0) bzw. y(t) = ŷ 0 · e- k t · cos ωt (für y = ŷ 0 bei t = 0)