Ausführliche Erklärungen zur linearen Abhängigkeit

Ausführliche Erklärungen zur linearen Abhängigkeit resp. Unabhängigkeit
von Vektoren
ur uur uur
Definition: Die Vektoren a1, a2 ,..., an heißen linear Unabhängig, wenn die Gleichung
ur
uur
uur r
r1 a1 + r2 a2 + ... + rn an = o
in den Variablen r1, r2 ,..., rk nur für
r1 = r2 = ... rk = 0
erfüllt ist, andernfalls heißen die Vektoren linear abhängig.
Alternative Erklärung:
r r
r
3r
Ist von zwei Vektoren a, b der eine ein Vielfaches des anderen (z.B. b = − a ), so lässt sich
2r r
r
r r
dies in der Form 3a + 2b = o schreiben. Erfüllen umgekehrt zwei Vektoren a, b die Gleichung
r
r
r
r r
r r
s r
r ⋅ a + s ⋅ b = o , so folgt b = − ⋅ a , falls s ≠ 0 und a = − ⋅ b , falls r ≠ 0 ist. Man nennt dann
s
r
r r
r r
die Vektoren a, b linear abhängig. Erfüllen dagegen zwei Vektoren a, b die Gleichung
r r
r
r r
r ⋅ a + s ⋅ b = o nur dann, wenn r = s = 0 ist, so heißen die Vektoren a, b linear unabhängig.
r r r
Drei Vektoren a, b, c heißen linear abhängig, wenn einer der Vektoren als
Linearkombination der beiden anderen darstellbar ist. In diesem Fall ist in der Gleichung
r
r
r r
r ⋅ a + s ⋅ b + t ⋅ c = o mindestens eine der Zahlen r , s , t von Null verschieden. Lässt sich diese
r r r
Gleichung aber nur mit r = s = t = 0 erfüllen, dann nennt man die Vektoren a, b, c linear
unabhängig.
Geometrische Deutung:
r r
Zwei Vektoren a, b aus ¡ 2 sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine Gerade gibt,
zu der die Pfeile beider Vektoren parallel sind.
r r r
Drei Vektoren a, b, c aus ¡3 sind genau dann linear unabhängig, wenn es keine Ebene gibt,
zu der alle Pfeile der Vektoren parallel sind.
In ¡ 2 sind je drei Vektoren linear abhängig, denn hier kann man jeden Vektor als
Linearkombination von zwei gegebenen linear unabhängigen Vektoren darstellen.
In ¡3 sind je vier Vektoren linear abhängig, denn hier kann man jeden Vektor als
Linearkombination von zwei gegebenen linear unabhängigen Vektoren darstellen.
Eine Ebene wird von zwei linear unabhängigen Vektoren aufgespannt. Jeder weitere Vektor
in der Ebene ist linear abhängig.
Beachte: Ist einer der k Vektoren der Nullvektor, denn sind die Vektoren linear abhängig.
Ein einziger Vektor ist nach obiger Definition genau dann linear unabhängig, wenn er nicht
der Nullvektor ist.

Download Report