Thesis title - ETH E

DISS. ETH NO. 23533
HUBBARD MODELS
ON GENERAL LATTICES:
A DYNAMICAL CLUSTER APPROXIMATION
APPROACH
A thesis submitted to attain the degree of
DOCTOR OF SCIENCES of ETH ZURICH
(Dr. sc. ETH Zurich)
presented by
JAKUB IMRIKA
Mgr., Comenius University in Bratislava
born on 23.08.1986
citizen of
Slovak Republic
accepted on the recommendation of
Prof. Dr. Matthias Troyer, examiner
Prof. Dr. Emanuel Gull, co-examiner
2016
Abstract
The topic of this thesis is simulation of the Hubbard model on general lattices in
strongly correlated regime. We approached the task with the dynamical cluster approximation (DCA), a cluster extension of the dynamical mean-eld theory. That
is a controlled approximation which approaches the exact solution asymptotically
in cluster size. The cluster size determines the resolution of the piece-wise constant approximated lattice self energy in the reciprocal space. It exhibits reduced
nite size eects and sign problem when compared to nite lattice simulations.
We used it in a connection with the numerically exact continuous-time auxiliary
eld quantum Monte Carlo impurity solver.
This thesis includes three main projects in which we exploited the strengths
of the DCA method.
The rst of them contains a quantitative comparison of
the numerical results with the experimental measurements in a realization of the
Hubbard model utilizing ultracold atoms in optical lattices. The system of interest
was dened on a cubic lattice with enhanced hopping along a single lattice axis. An
important outcome was an estimate of heating during the lattice ramp up process
in the experiment. We calculated the temperature and the entropy density at the
Néel transition and provided quantities currently inaccessible in the experiment.
The second project deals with stacked lattices with planes made of honeycomb or square lattices.
There we searched for parameter regions suitable for
adiabatic interaction driven cooling at and away from the half lling. We found
the critical temperatures of the Néel transition for various anisotropy ratios and
interaction strengths in both lattices. To achieve that, we measured four point correlators, and obtained the patch-wise constant approximation of the particle-hole
irreducible vertex, used to obtain the corresponding susceptibility. To the best of
our knowledge, this was the rst DCA study with susceptibility measurement on
a non-Bravais lattice.
In the third study we inspect the sign problem plagued Haldane model with the
Hubbard interaction. The DCA method allows investigation with moderately sized
clusters at suciently low temperature to eectively investigate the ground state
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phase diagram. The frequency dependent treatment is beyond the simple static
mean-eld approximation that has been applied to the model in the past. While the
mean-eld methods predict a continuous transition from the non-magnetic Chern
insulator to the antiferromagnetic insulator via a topologically non-trivial longrange ordered phase, a rst order phase transition preempting the intermediate
phase is found in our simulations. Valuable insight comes from analysis of dierent
clusters, bringing up hints that in this model it is essential to respect the spatial
symmetries at all levels of the employed approximation. Along with the need of
accurate representation of the high symmetry reciprocal points of the model.
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Zusammenfassung
Gegenstand dieser Arbeit ist Simulation des Hubbard-Modells auf verschiedenen
generellen Gittern im stark korrelierten Regime. Diese Aufgabe haben wir mittels
dynamical cluster approximation
(DCA) gelöst. DCA ist eine Clustererweiterung
der dynamischen Molekularfeldtheorie (DMFT). Die Näherung ist kontrolliert, da
sich die DCA Lösung asymptotisch in der Clustergrösse der exakten Lösung nähert. Die Clustergrösse bestimmt die Auösung der stückweise konstant approximierten Selbstenergie im reziproken Raum. Im Vegleich mit Simulationen auf
endlichen Gittern weist DCA reduzierten Eekt der endlichen Gittergrösse, sowie
auch des sogenannten Vorzeichenproblems auf. Wir haben die Methode in Verbindung mit dem numerisch exakten
continuous-time auxiliary eld
Quantum Monte
Carlo Störstellenprogramm benutzt.
Diese Dissertation beinhaltet drei Hauptprojekte, in welchen wir die Stärken von DCA zu Nutze machen. Das erste umfasst den quantitativen Vergleich
der numerischen Lösung mit experimentellen Messungen in einer Realisation des
Hubbard-Modells mittels ultrakalten Atomen in optischen Gittern. Das Gitter war
kubisch mit vergrösserten Hüpfamplituden entlang einer der Gitterachsen. Wichtiger Ausgang dieser Studie war eine Abschätzung der Erwärmung während des
Gitteraufschaltens im Experiment. Wir haben die Néel-Temperatur und die dazugehörige Entropiedichte berechnet.
Das zweite Projekt befasst sich mit gestapelten Gittern, die in der Ebene
Quadrat- oder Wabengitter aufweisen. Im Rahmen dieses Projekts haben wir geeignete Parameterregionen für adiabatische interaktionsgeförderte Kühlung gesucht,
bei beliebiger Füllung. Wir haben die kritische Temperatur des Néelschen Übergangs für verschiedene Anisotropiequotienten und Interaktionsgrössen in beiden
Gittern bestimmt. Dafür haben wir Vierpunktkorrelationen gemessen, aus denen
wir die stückweise konstante Annäherung des Teilchen-Loch-irreduziblen Vertex
bekommen haben, welche zur Berechnung der antiferromagnetischen Suszeptibilität dient. Dies ist die erste uns bekannte DCA Studie mit Suszeptibilitätsmessung
für ein allgemeines Gitter.
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Die dritte Studie inspiziert das Modell von Haldane mit Hubbard-Interaktion,
dessen Untersuchung unter dem Vorzeichenproblem leidet. Die DCA Methode
ermöglicht Untersuchung mit moderat grossen Clustern bei genügend niedriger
Temperatur, um eektiv das Grundzustandphasendiagram zu bestimmen. Die frequenzabhängige Behandlung ist der einfachen statischen Molekularfeldnäherung,
die früher auf das Modell angewandt wurde, überlegen. Die Molekularfeldnäherung
sagt die Existenz eines topologisch nichttrivialen und zudem geordneten Zustandes
vorher. Nach unserer Simulation nach ist dieser Zustand nicht präsent, und anstatt
eines kontinuierlichen Phasenübergangs von nichtmagnetischem Chern Isolator zu
antiferromagnetischem Isolator nden wir einen Phasenübergang mit springendem
Ordnungsparameter. Einen wertvollen Hinweis erhalten wir aus der Analyse der
Simulation weiterer Cluster: für dieses Modell scheint es essenziell, dass die Näherung die Gittersymmetrien auf allen Ebenen respektiert. Ausserdem stellt sich heraus, dass eine akkurate Representation der hochsymmetrischen reziproken Punkte
wichtig ist.
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