Ein Verfahren zur Approximation von Funktionen

Ein Verfahren zur
Approximation von
Funktionen
Die Taylor-Reihenentwicklung
Bernd Hitzmann
Brook Taylor
1685-1731
1
Ein Verfahren zur
Approximation von
Funktionen
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
10
20
30
40
50
x
Bernd Hitzmann
2
Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]
Eine Frage des Standpunkts?
100
80
60
40
20
0
-20
-40
-60
-80
-100
0
10
20
30
40
50
x
Bernd Hitzmann
3
Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]
0,45
0,4
0,35
f0(x)=k
0,3
0,25
0,2
f1(x)=mx+b
=b0+b1x
0,15
0,1
0,05
0
0
10
20
30
40
50
x
Bernd Hitzmann
4
Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]
f2(x)=b0+b1x+b2x2
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
10
20
30
40
50
x
Bernd Hitzmann
5
Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]
f3(x)=b0+b1x+b2x2+b3x3
0,5
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
10
20
30
40
50
x
Bernd Hitzmann
6
Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]
f4(x)=b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
10
20
30
40
50
x
Bernd Hitzmann
7
Beschreibung der Funktion im Intervall [0,50]
f6(x)=
6
Σb *x
i
i=0
i
0,45
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0
10
20
30
40
50
x
Bernd Hitzmann
8
Betrachtung der e-Funktion um den
Nullpunkt (x=0)
3,0
f(x)=ex
2,5
y-Werte
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-1
-0,5
0
0,5
1
x-Werte
Bernd Hitzmann
9
Betrachtung der e-Funktion um den
Nullpunkt (x=0)
3,0
2,5
y-Werte
2,0
Eine Konstante?
f(x)=b0=1
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,000001
-0,0000005
0
0,0000005
0,000001
x-Werte
Bernd Hitzmann
10
Betrachtung der e-Funktion um den
Nullpunkt (x=0)
3,0
2,5
y-Werte
2,0
Eine Gerade?
f(x)=b0+b1x
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,1
-0,05
0
0,05
0,1
x-Werte
Bernd Hitzmann
11
Betrachtung der e-Funktion um den
Nullpunkt (x=0)
3,0
Eine Parabel?
f(x)=b0+b1x+b2x2
2,5
y-Werte
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-0,5
-0,25
0
0,25
0,5
x-Werte
Bernd Hitzmann
12
Betrachtung der e-Funktion um den
Nullpunkt (x=0)
Ein Polynom 4. Ordnung?
2+b x3+b x4
2,5
f(x)=b
+b
x+b
x
0
1
2
3
4
3,0
y-Werte
2,0
1,5
1,0
0,5
0,0
-1
-0,5
0
0,5
1
x-Werte
Bernd Hitzmann
13
Beobachtung:
Wenn |x|<0,000001
ex ≈ 1
Wenn |x|<0,1
ex ≈ 1+b1x
Wenn |x|<0,5
ex ≈ 1+b1x+b2x2
Wenn |x|<1,0
ex ≈
4
Σb x
i=0
i
i
Bernd Hitzmann
14
Sei |x|<1,0
Approximation um den Nullpunkt
ex ≈ b0+b1x+b2x2+b3x3+b4x4
Wie berechnet man b0, b1, b2, b3 und b4?
Bernd Hitzmann
15
Sei |x|<1,0
ex ≈
Approximation um den Nullpunkt
b0+b1x+b2
x2+b
3
x3+b
4
x4
x=0
e0=1
1=b0
(ex)‘=ex ≈ b1+2b2x+3b3x2+4b4x3
1=b1
(ex)‘‘= ex ≈ 2b2+3*2*b3x+4*3*b4x2
1=2b2
(ex)‘‘‘= ex ≈ 3*2*b3+4*3*2*b4x
(ex)‘‘‘‘= ex ≈ 4*3*2*b4
ex ≈
Bernd Hitzmann
1+x+
1
2
1
2
x +
1=3*2*b3
1=4*3*2*b4
x3+
3*2
1
x4
4*3*2
16
Sei |x|<1,0
Approximation um den Nullpunkt
f(x)
x=0
1=b0
f‘(x)
x=0
1=b1
ex =………
(ex)‘=……….
f‘‘(x)
(ex)‘‘=……….
f‘‘‘(x)
(ex)‘‘‘=……….
f‘‘‘‘(x)
(ex)‘‘‘‘=………..
ex ≈
Bernd Hitzmann
1+x+
x=0
1
2
1
2
x +
x3+
3*2
x=0
x=0
1=2b2
1=3*2*b3
1=4*3*2*b3
1
x4
4*3*2
17
Sei |x|<1,0
ex ≈
1+x+
1
2
Approximation um den Nullpunkt
1
x2 +
x3+
3*2
f(x)
x=0
1=b0
f‘(x)
x=0
1=b1
1
x4
4*3*2
x=0
f‘‘(x)
f‘‘‘(x)
f‘‘‘‘(x)
ex ≈ f(x)|x=0
Bernd Hitzmann
+
f‘(x)|x=0
1
x+
f‘‘(x)|x=0
1*2
x2+
x=0
x=0
1=3*2*b3
1=4*3*2*b3
f‘‘‘(x)|x=0
1*2*3
1=2b2
x3+
f‘‘‘‘(x)|x=0
1*2*3*4
x4
18
Gegeben sei eine Funktion f(x), die um einem
Punkt x=xE angenähert werden soll!
Approximation mit Taylor-Reihenentwicklung
n. Ordnung!
i. Ableitung der
Allgemeine Formel
n
f(x)≈
Σ
i=0
Bernd Hitzmann
f(i)(x)|x=xE
i!
Funktion an der
Stelle xE
0. Ableitung=f(x)
(x-xE)i
Fakultät von i
0!=1
4!=1*2*3*4
19
Beispiele für Entwicklungspunkt xE=0:
3
5
x
x
sin( x) = x − + − ......
3! 5!
1
1 2
1* 3 3
1+ x = 1+ x −
x +
x − ......
2
2*4
2*4*6
2
x =0,1
x2=0,01
x3=0,001
x4=0,0001
3
x
x
e = 1 + x − + + ......
2! 3!
x
Nutzen:
Bernd Hitzmann
(1 + x)[1 + x ]
e x [1 + sin( x)]
+x ≈
+x
2
2
( x + 1)
( x + 1)
1
≈ 1+ x
2
20
Taylor-Reihenentwicklung
Nutzen:
Vereinfachung komplizierter
Formeln!
In erster Näherung kann eine unbekannte Funktion durch eine Gerade
angenähert werden:
f(x) ≈ f(xE) + f‘(x)|xE(x-xE)
y= b
+
m x
m=f‘(x)|xE
b= f(xE) - f‘(x)|xExE
Bernd Hitzmann
21

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