Probeklausur — Analysis 1 (WS 2015/16)

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Dr. James Kennedy, Dr. Marco Falconi
FB Mathematik, Universität Stuttgart
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Probeklausur — Analysis 1 (WS 2015/16)
Hinweise:
Gesamtpunktzahl:
Hilfsmittel:
Bearbeitungszeit:
Bis auf aufgabenspezifische Hinweise entsprechen die untenstehenden denen
der Prüfungsklausur. Die angegebene Punkteverteilung ist nur zur Orientierung.
Lösen Sie bitte jede der Aufgaben auf einem neuen Blatt.
Bei allen Aufgaben sind die vollständigen Argumentationsschritte anzugeben. Alle nicht in der Vorlesung behandelten Sachverhalte sind zu beweisen,
Lösungsschritte entsprechend zu begründen. Verwendete Sätze sind zu benennen.
Am Ende der Klausur alle Lösungsblätter in das Umschlagblatt einlegen.
Abgaben mit Bleistift, Rotstift oder Grünstift werden nicht gewertet. Das
gilt auch für Skizzen!
40
keine
120 min
Name:
Matrikel-Nr.:
Punkte:
A1
A2
A3
A4
A5
A6
Σ
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Aufgabe 1. (8 Punkte)
(a) Geben Sie die Definition von Stetigkeit einer Funktion f : D → R (D ⊂ R) in einem
Punkt x0 ∈ D an.
(b) Formulieren Sie den Zwischenwertsatz für eine Funktion f : [a, b] → R, wobei [a, b] ⊂ R
ein kompaktes Intervall ist. Vergessen Sie nicht, die Voraussetzungen anzugeben!
(c) Für jede der folgenden Aussagen ist jeweils ein Beweis oder ein Gegenbeispiel anzugeben.
(i) Ist f : (0, 1) → R in x0 ∈ (0, 1) stetig, so existiert limh→0 |f (x0 + h) − f (x0 − h)| und
dieser Grenzwert ist gleich 0.
(ii) Ist limh→0 |f (x0 + h) − f (x0 − h)| = 0 für eine Funktion f : (0, 1) → R mit x0 ∈ (0, 1),
so ist f stetig in x0 .
(iii) Ist f : [0, ∞) → R stetig und monoton wachsend, so muss f unbeschränkt sein.
(iv) Ist f : (0, 1) → R differenzierbar, so Lipschitz.
Aufgabe 2. (8 Punkte)
(a) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte für x ∈ R.
ax − 1
(i) lim
für a > 0 gegeben;
x→0
x
log(1 + x)
;
(ii) lim
x→0
x
x
(iii) lim x(x ) .
x→0+
(b) Berechnen Sie limn→∞ an , oder zeigen Sie, dass der Grenzwert nicht existiert, wobei
p
(i) an = n2 + n − n;
3 + 3i n
(ii) an =
.
4
Aufgabe 3. (6 Punkte) Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
(a)
(b)
(c)
∞
X
√
√
( n + 1 − n);
n=0
∞
X
n=0
∞
X
an
mit a > 0 beliebig;
1 + an
1
.
(−1)n √
log n
n=2
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Aufgabe 4. (4 Punkte) Die Funktion f : R → R erfülle die Abschätzung
|f (x) − f (y)| ≤ |x − y|2
für alle x, y ∈ R.
(a) Zeigen Sie, dass f differenzierbar auf ganz R ist.
(b) Beweisen Sie mittels des Mittelwertsatzes, dass f konstant auf R ist.
Aufgabe 5. (6 Punkte) Für gegebenes α ≥ 1 betrachten wir die Funktion fα : R → R,
fα (x) =
eαx + e−x
,
2
also ist insbesondere f1 (x) = cosh(x).
(a) Zeigen Sie, dass der einzige kritische Punkt x∗ = x∗ (α) ∈ R von fα durch
1
1
∗
x =
log
α+1
α
gegeben ist.
(b) Beweisen Sie, dass fα ein globales Minimum erreicht und zwar genau im kritischen Punkt
x∗ aus (a).
(c) Zeigen Sie, dass x∗ < 0 für alle α > 1 und bestimmen Sie limα→∞ x∗ (α) = 0.
Aufgabe 6. (8 Punkte)
(a) Bestimmen Sie die Taylorpolynome T1 und T2 der Funktion f : (−1, ∞) → R, f (x) =
log(1 + x), mit Entwicklungspunkt a = 0.
(b) Beweisen Sie, dass
x−
x2
≤ log(1 + x) ≤ x
2
für alle x > 0.
(c) Skizzieren Sie die Graphen von f , T1 und T2 innerhalb desselben Schaubilds. Achten Sie
dabei auf korrekte Achsenabschnitte und Steigungen!
(d) Sei p > 0 gegeben. Zeigen Sie, dass die Reihe
∞
X
n=1
1
log 1 + p
n
absolut konvergent für p > 1 und divergent für p ≤ 1 ist.

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