4. Übung zur Mathematik I (GMI)

FACHBEREICH INFORMATIK und KOMMUNIKATION
Prof. Dr. Wolfgang Engels
4. Übung zur Mathematik I (GMI)
1. Aufgabe:
Berechnen Sie die Grenzwerte:
a)
b)
lim x2 cot(2x2 )
x→0
1 − cos x
x→0
x
lim
c)
arctan(x2 )
x→0
x
lim
2. Aufgabe:
Gegeben sei
¡ ¢
1 − cos x2
f (x) =
1 − cos x
a) Bestimmen Sie Df .
b) Ermitteln Sie alle Nullstellen von f .
c) Ermitteln Sie die Grundperiode von f .
d) Untersuchen Sie, ob sich f im Nullpunkt stetig ergänzen lässt.
3. Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion:
µ
f (x) = arctan
x3 − 1
x−1
¶
a) Ermitteln Sie Df .
b) Erfüllt f eine Symmetriebedingung?
c) Bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion.
d) Untersuchen das Verhalten von f an den Rändern von Df .
e) Untersuchen Sie f auf Monotonie.
f) Ermitteln Sie Wf .
g) Berechnen Sie (gegebenenfalls auf geeigneten Intervallen) die Umkehrfunktion f −1 (x).
2
4. Übung zur Mathematik I (GMI)
4. Aufgabe:
Gegeben sei die Funktion:
µq
f (x) = ln
a)
b)
c)
d)
e)
x3 −
√
¶
x6 − 1
Geben Sie Df an.
Untersuchen Sie die Funktion auf Monotonie.
Berechnen Sie limx→∞ f (x).
Ermitteln Sie Wf .
Berechnen Sie (gegebenenfalls auf geeigneten Intervallen) die
Umkehrfunktion f −1 (x).
5. Aufgabe:
Gegeben sei
Ã
f (x) = ln
1
¡ ¢
| sin x2 |
!
a) Leiten Sie Df her und bestimmen Sie alle Nullstellen der Funktion.
b) Besitzt f eine Symmetrieeigenschaft?
c) Bestimmen Sie die Grundperiode von f und weisen Sie die Periodeneigenschaft mit Hilfe der Additionstheoreme nach.
d) Prüfen Sie, ob f im Nullpunkt stetig ergänzbar ist.
e) Bestimmen Sie auf dem Grundperiodenintervall explizit Lage und Wert
des Minimums von f .
6. Aufgabe:
Berechnen Sie - auf geeigneten Bereichen der reellen Zahlenachse - die Umkehrfunktion der folgenden Funktionen:
a)
f (x) =
ex + e−x
2
Df = R
g(x) =
ex − e−x
ex + e−x
Dg = R
b)
und stellen Sie diese jeweils als Logarithmusfunktion mit Hilfe des natürlichen
Logarithmus’ dar.
3
4. Übung zur Mathematik I (GMI)
Übungsaufgaben
Themen: Gebrochen rationale Funktionen, Trigonometrische
Funktionen, Arkusfunktionen, Exponential- und
Logarithmusfunktionen, Hyperbelfunktionen, Areafunktionen,
Stetigkeit, Umkehrfunktionen, Grenzwerte von Funktionen
1. Übungsaufgabe:
Gegeben sei die gebrochen rationale Funktion:
f (x) =
a)
b)
c)
d)
x3 − 6x2 + 12x − 8
x2 − 4
Bestimmen Sie Df .
Bestimmen Sie Polstellen und Nullstellen von f (x).
Untersuchen Sie die Funktion auf Stetigkeit und prüfen Sie, ob sich evtl.
Unstetigkeiten durch stetige Ergänzungen beheben lassen.
Skizzieren Sie grob die Funktion.
Lösung:
a) Df = R \ {±2} b) Keine NST, Pol bei x = −2 mit VZW,
c) f ∈ C(R \ {±2}) stetig ergänzbar im Punkt x = 2 mit Wert 0.
2. Übungsaufgabe:
Untersuchen Sie die gebrochen rationale Funktion:
f (x) =
0.3x4 − 0.3x3 + x − 1
x2 − x
auf
a) Polstellen, Nullstellen, asymptotisches Verhalten
b) stetige Ergänzbarkeit, und skizzieren Sie grob den Graphen.
Lösung:
a)
b)
q
Polstellen: x = 0, Nullstellen: x = − 3 10
, Asymptote: a(x) =
3
stetig ergänzbar in x = 1 mit Wert 1, 3.
3 2
x
10
3. Übungsaufgabe:
Leiten Sie die folgenden Beziehungen her:
a) sin 2x = 2 sin x cos x
c)
sin2 x =
1 − cos 2x
2
b)
d)
cos 2x = cos2 x − sin2 x
cos2 x =
1 + cos 2x
2
Hinweis :
a) und b) lassen sich direkt aus Satz 4, Kap. IV ableiten; zur Herleitung von c) und
d) kann b) benutzt werden.
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4. Übung zur Mathematik I (GMI)
4. Übungsaufgabe:
Gegeben sei die Funktion:
1
f (x) = e− x
a)
b)
c)
x 6= 0
Berechnen Sie limx→∞ f (x), limx→−∞ f (x).
Untersuchen Sie, ob sich f (x) im Nullpunkt stetig ergänzen läßt.
Skizzieren Sie den Funktionsverlauf.
Lösung:
a)
limx→∞ f (x) = limx→−∞ f (x) = 1, b)
nicht stetig ergänzbar
5. Übungsaufgabe:
Für die durch :
f (x) =
1
x ∈ R, x 6= 0
1
1 + ex
gegebene Funktion bestimme man
a) limx→∞ f (x)
b) limx→−∞ f (x)
Ferner untersuche man, ob
c) f (x) im Nullpunkt stetig ergänzbar ist und fertige eine Skizze
des Funktionsverlaufes an.
Lösung:
a)
1
2
b)
1
2
c)
nicht stetig ergänzbar
6. Übungsaufgabe :
Gegeben sei die Funktion :
s µ
f (x) =
ln
a)
b)
c)
1
| cos x|
¶
Bestimmen Sie den maximal zulässigen Definitionsbereich.
Berechnen Sie Wf .
Berechnen Sie alle Nullstellen von f (x).
Lösung:
a)
c)
Df = R \ {(2k + 1) π2 , k ∈ Z}
xk = kπ mit k ∈ Z.
b)
Wf = [0, ∞)
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7. Übungsaufgabe:
Sei
µ ¶
1
g(x) = x sin
, x ∈ R \ {0}
x
¡ ¢
Berechnen Sie den Grenzwert limx→0 x sin x1
Hinweis:
Bekanntlich ist | sin x | ≤ 1 ∀x ∈ R . Versuchen Sie diese Beziehung auf obiges
¡ ¢
Problem anzuwenden. (Natürlich auf sin x1 ......) Idee?
Lösung:
Der Grenzwert existiert und ist Null.
8. Übungsaufgabe :
Bestimmen Sie den Grenzwert :
93x − 1
lim
x→0
x
Hinweis:
Substituieren Sie geeignet, so daß die aus der Vorlesung bekannte Beziehung limx→0
ausgenutzt werden kann.
Lösung:
limx→0
93x −1
x
= 6 ln 3
9. Übungsaufgabe:
Bestimmen Sie die Grenzwerte:
1
a) lim (ln x) x
b)
x→∞
Hinweis:
lim
x→0
ln(1 + x)
x
1
zu a) Bilden Sie eln((ln x) x )
zu b) Substituieren Sie geeignet
Lösung:
a)
1
b)
1
10. Übungsaufgabe :
Sei a > 0, b > 0, a 6= 1, b 6= 1, x ∈ (0, ∞). Zeigen Sie, daß dann gilt:
loga x =
logb x
.
logb a
ex −1
x
= 1
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11. Übungsaufgabe :
Gegeben sei
f (x) =
a)
b)
c)
d)
e)
1
¡ ¢
arcsin x1
Ermitteln Sie Df .
Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von f .
Bestimmen Sie die Grenzwerte lim|x|→∞ f (x) .
Leiten Sie Wf her und skizzieren Sie grob den Graphen der Funktion.
Ermitteln Sie (evtl. auf geeigneten Intervallen) explizit f −1 (x).
Lösung:
a) Df = (−∞, −1] ∪ [1, ∞) b) f ist streng monoton steigend
c) limx→−∞ f (x) = −∞ , limx→∞ f (x) = ∞ d) Wf = (−∞, − π2 ] ∪ [ π2 , ∞),
e) f −1 (x) = sin 1 1
(x)
12. Übungsaufgabe:
Gegeben sei die Funktion:
g(x) =
a)
b)
c)
x(x + 2)
(x − 2)(x2 − 1) ln |x|
Wie lautet Df ?
Wo besitzt g(x) welche Art von Unstetigkeiten?
Lediglich über die Nullstellen aufgrund von Stetigkeitsuntersuchungen
und Grenzwertverhalten skizziere man den Graphen von g.
Lösung:
a) Df = R \ {−1, 0, 1, 2}
b) x = 1, −1, 2 Polstellen, x = 0 Punktlücke

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