3.3 Biegelinie Aufgaben - Prof. Dr.

Technische Mechanik 2
3.3-1
Prof. Dr. Wandinger
3.3 Biegelinie
Aufgaben
Aufgabe 1:
Der abgebildete Kragbalken mit der konstanten
Biegesteifigkeit E I y wird am freien Ende durch das
Moment M belastet. Ermitteln Sie die Gleichung
der Biegelinie und die Verschiebung am freien
Ende.
E Iy
M
x
L
z
2
(Ergebnis: w (L)=−M L /(2 E I y ) )
Aufgabe 2:
Der abgebildete Kragbalken mit der konstanten
Biegesteifigkeit E I y wird durch die konstante Streckenlast q0 belastet. Ermitteln Sie die Gleichung
der Biegelinie und die Verschiebung am freien
Ende.
q0
E Iy
x
L
z
4
(Ergebnis: w (L)=q 0 L /(8 E I y ) )
Aufgabe 3:
Der abgebildete Balken ist an beiden Enden
gelenkig gelagert. Er wird durch seine Gewichtskraft belastet.
Ermitteln Sie das maximale Biegemoment
Mymax und die maximale Verschiebung wmax,
g
L
x
z
a) wenn die Gewichtskraft als im Schwerpunkt angreifende Einzelkraft angenommen wird, und
b) wenn die Gewichtskraft korrekt als Streckenlast behandelt wird,
und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Gegeben sind die Länge L, der Elastizitätsmodul E, die Massendichte ρ, die
Querschnittsfläche A und der Trägheitsradius iy.
2
4
2
(Ergebnis: a) M ymax =ρg AL / 4 , w max=0,02083ρ g L /(E i y )
3. Balken
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2
b) M ymax =ρg AL /8 , w max=0,01302 ρ g L /(E i y ) )
Aufgabe 4:
Auf einem Sprungbrett steht eine
Person mit dem Gewicht G. Das
Sprungbrett hat die konstante Biegesteifigkeit E I y .
A
a
2a
G
a) Ermitteln Sie die Gleichung
der Biegelinie und stellen Sie
die Biegelinie graphisch dar.
B
C
b) Wie groß ist die Durchbiegung wC im Punkt C?
Zahlenwerte: a = 1 m, G = 600 N, Biegesteifigkeit E I y = 5·1011 Nmm2
(Ergebnis: wC = 4,800 mm)
Aufgabe 5:
Der abgebildete Kragbalken mit der konstanten
Biegesteifigkeit E I y wird an der Stelle a durch die
Kraft F belastet. Ermitteln Sie die Gleichung der
Biegelinie und die Verschiebung am freien Ende.
[ ( ) ( )]
F L3
a 2 a
3
−
(Ergebnis: w (L)=
6E Iy
L
L
3
)
F
a
x
L
z
Aufgabe 6:
Der abgebildete Kragbalken mit der konstanten
Biegesteifigkeit E I y wird an der Stelle a durch das
Moment M belastet. Ermitteln Sie die Gleichung
der Biegelinie und die Verschiebung am freien
Ende.
[( ) ]
M L2 a 2
a
−2
(Ergebnis: w (L)=
2E Iy L
L
M
a
L
x
z
)
Aufgabe 7:
Der abgebildete Kragbalken mit der konstanten Biegesteifigkeit E I y wird im
Bereich zwischen a und L durch die konstante Streckenlast q0 belastet. Ermit3. Balken
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teln Sie die Gleichung der Biegelinie und die Verschiebung am freien Ende.
q0
a
Hinweis: Für die Streckenlast gilt:
q z (x )=q 0 〈 x −a 〉
0
x
L
4
z
[ ( ) ( )]
q0 L
a 3 a
3−4
+
(Ergebnis: w (L)=
24 E I y
L
L
4
)
Aufgabe 8:
Die Auftriebsverteilung eines Tragflügels wird durch die dargestellte Streckenlast angenähert. Der Tragflügel hat
die konstante Biegesteifigkeit E I y . Ermitteln Sie die Biegelinie w(x) und die
Verschiebung wB am Flügelende.
q0
B
A
a
a
( 〈 〉)
Hinweis: Für die Streckenlast gilt: q z (x )=q 0 1−
x
−1
a
(Ergebnis: wB = (119/120)q 0 a 4 /(E I y ))
Aufgabe 9:
Der abgebildete Balken mit
konstanter Biegesteifigkeit E I y
wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Ermitteln Sie die Biegelinie w(x) und die Verschiebungen w(a) und w(2a) der Kraftangriffspunkte.
2a
a
A
2F
F
B
x
3a
z
(Ergebnis:
w(a) = (11/9)Fa 3 /(E I y ), w(2a) = (23/18)Fa 3 /(E I y ))
Aufgabe 10:
Der abgebildete Träger I 200 DIN 1025
– USt 37-2 ist im Punkt A fest eingespannt. Er wird durch sein Eigengewicht
und die Kräfte F1 und F2 belastet.
Wie groß ist die Durchbiegung wB im
3. Balken
F2
a
F1
g
A
L
B
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Punkt B und die Sicherheit SF gegen Fließen?
Zahlenwerte: L = 2 m, a = 1,5 m,
Iy = 2140 cm4, Wy = 214 cm3,
E = 210000 MPa, G/L = 263 N/m, F1 = 8 kN, F2 = 10 kN, Re = 240 MPa
(Ergebnis: wB = 8,62 mm, SF = 1,6)
Aufgabe 11:
Der abgebildete Balken mit konstanter
Biegesteifigkeit E I y wird in seiner linken
Hälfte durch die konstante Streckenlast
q0 belastet. In der Mitte der zweiten Hälfte greift die Kraft F = 4q 0 a an.
F
q0
A
a
2a
Ermitteln Sie die Durchbiegung w(2a) in
der Mitte des Balkens sowie die Biegewinkel φA und φB an den Enden.
B
a
(Ergebnis: w(2a) = (16/3)q 0 a 4 /(E I y ), φA = -4 q 0 a 3 /(E I y ) ,
φB = (14/3)q 0 a 3 /(E I y ))
Aufgabe 12:
Der abgebildete Träger mit der Biegesteifigkeit E I y ist im Punkt A fest eingespannt und
wird im Punkt C durch ein Loslager gestützt.
Im Punkt B greift die Kraft F an.
a) Ermitteln Sie die Lagerreaktionen in
den Punkten A und C sowie den Verlauf der Schnittlasten und die Biegelinie.
A
B
3a
F
C
a
b) Wie groß ist die Durchbiegung wB am Lastangriffspunkt B?
(Ergebnis: Az = 47F/128 ↑ , MA = 15aF/32 ↺, Cz = 81F/128 ↑;
wB = (117/256)Fa 3 /(E I y ))
Aufgabe 13:
Der abgebildete Träger mit der Biegesteifigkeit E I y ist im Punkt A fest eingespannt und wird im Punkt B durch ein Loslager gestützt. Er wird durch eine
Streckenlast qz belastet, die linear vom Wert q0 am linken Ende auf den Wert
null am rechten Ende abfällt.
3. Balken
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a) Ermitteln Sie die Lagerreaktionen in
den Punkten A und B sowie den Verlauf der Schnittlasten und die Biegelinie.
q0
B
A
b) Wie groß ist der Biegewinkel φB im
Punkt B?
L
(Ergebnis: Az = 2q 0 L/5 ↑, MA = q 0 L 2 /15 ↺, Bz = q 0 L/10 ↑; φB = q 0 L 3 /(120E I y ))
Aufgabe 14:
Der abgebildete Balken mit der Biegesteifigkeit E I y ist an den Enden A und B
fest eingespannt und wird durch sein Eigengewicht belastet.
q0
A
B
L
Gesucht sind die Lagerreaktionen, der
Verlauf der Schnittlasten, die Biegelinie
sowie der Wert des größten Biegemoments |My|max und der größten Durchbiegung wmax.
Zahlenwerte: L = 4 m, E = 210000 MPa, Iy = 5700 cm4, q0 = 613 N/m
(Ergebnis: Az = 1226 N ↑, MA = 817,3 Nm ↺, Bz = 1226 N ↑, MB = 817,3 Nm ↻;
|My|max = 817,3 Nm, wmax = 0,03414 mm)
Wandstärke: t = 2
500
y
50
x
20
1000
z
40
50
F
20
Aufgabe 15:
Maße in mm
40
z
Der abgebildete Balken ist an beiden Enden gelenkig gelagert. In der Mitte
greift die Kraft F an. Gesucht ist die Verschiebungen vF und wF des Lastangriffspunkts.
3. Balken
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Zahlenwerte: E = 210000 MPa, F = 5 kN
(Ergebnis: vF = -2,17 mm, wF = 1,61 mm)
Aufgabe 16:
Der abgebildete dünnwandige
Balken (Wandstärke t, Elastizitätsmodul E) ist am Ende A fest
eingespannt und wird an den
Stellen B und C durch die Kraft
F belastet.
a) Bestimmen Sie die Flächenträgheitsmomente im
eingezeichneten Koordinatensystem.
A
5a
5a
y
F
z
C
B
a
a
a
x
F
b) Bestimmen Sie die Verschiebungen an den Stellen xB und xC.
(Ergebnis: a) Iy = 7a 3 t/12, Iz = 2a 3 t/3, Iyz = -a 3 t/2; b) Etv B = -200F,
Etv C = -1525F/2, Etw B = 350F, Etw C = 1225F)
Aufgabe 17:
a
qz
A
B
x
L
z
a
y
a
a
z
Der beidseitig gelenkig gelagerte Balken AB (Elastizitätsmodul E) wird durch
die Streckenlast
x
L
( )
q z (x )=q 0 sin π
belastet. Sein Querschnitt ist ein dünnwandiges Z-Profil mit der Wandstärke t.
a) Bestimmen Sie die Flächenträgheitsmomente im eingezeichneten Koordinatensystem.
3. Balken
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b) Bestimmen Sie die Verschiebungen v(x) und w(x).
4
9 q0 L
x
(Ergebnis: a) Iy = 8a t/3, Iz = 2a t/3, Iyz = a t ; b) v( x )= 4 3
sin π
L
7π a t E
4
6 q0 L
x
)
w (x)= 4 3 sin π
L
7π a t E
3
3
3
( ),
( )
3. Balken
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