Axiome der reellen Zahlen Grundgesetze der Addition∗) A1 A2 A3 A4 A5 a, b → a + b a+b=b+a a + (b + c) = (a + b) + c a + 0 = a ∀a ∈ R ∀ a ∈ R ∃ x ∈ R mit a + x = 0 Bezeichnung: x = −a Zuordnung (Summe) Kommutativgesetz Assoziativgesetz Null (neutrales Element) negatives (entgegengesetztes) Element Grundgesetze der Multiplikation∗) M1 M2 M3 M4 M5 a, b → a · b a·b=b·a a · (b · c) = (a · b) · c a · 1 = a ∀a ∈ R ∀ a ∈ R, a 6= 0 ∃ x ∈ R mit a · x = 1 Bezeichnung: x = a−1 Zuordnung (Produkt) Kommutativgesetz Assoziativgesetz Eins (neutrales Element) inverses (entgegengesetztes) Element D a · (b + c) = a · b + a · c Distributivgesetz Grundgesetze der Ordnung∗) O1 a < b oder a = b oder a > b O2 a < b, b < c ⇒ a < c O3 a < b ⇒ a + c < b + c ∀ c ∈ R O4 a < b, c > 0 ⇒ a · c < b · c ∀ c ∈ R+ Vollständigkeit der Ordnung Satz vom ausgeschlossenen Dritten Transitivität Monotonie der Addition Monotonie der Multiplikation Dedekindscher Schnitt†)‡) Gegeben seien zwei Teilmengen R1 , R2 der reellen Zahlen R mit den folgenden Eigenschaften: α) β) γ) R1 6= ∅ = 6 R2 R1 ∪ R2 = R r1 ∈ R1 , r2 ∈ R2 ⇒ r1 < r2 ( nichtleer ) ( erschöpfend ) ( geordnet ) ⇒ R1 ∩ R2 = ∅ ( disjunkt ) Dann gibt es genau eine reelle Zahl (Schnittzahl) r mit r1 ≤ r für alle r1 ∈ R1 und r ≤ r2 für alle r2 ∈ R2 und r gehört entweder zu R1 oder zu R2 . Satz von Archimedes§) Zu zwei vorgegebenen reellen Zahlen a, b, so dass n a > b. ∗) a > 0 existiert stets eine natürliche Zahl n, Dies gilt auch schon für rationale Zahlen Dies ist die neue Vollständigkeitseigenschaft der reellen Zahlen. ‡) Alternativ kann man die Vollständigkeit über Cauchy-Folgen rationaler Zahlen definieren. §) Dieser folgt bereits aus dem Dedekindschem Axiom. †)
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