Axiome der reellen Zahlen

Axiome der reellen Zahlen
Grundgesetze der Addition∗)
A1
A2
A3
A4
A5
a, b → a + b
a+b=b+a
a + (b + c) = (a + b) + c
a + 0 = a ∀a ∈ R
∀ a ∈ R ∃ x ∈ R mit a + x = 0
Bezeichnung: x = −a
Zuordnung (Summe)
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Null (neutrales Element)
negatives
(entgegengesetztes) Element
Grundgesetze der Multiplikation∗)
M1
M2
M3
M4
M5
a, b → a · b
a·b=b·a
a · (b · c) = (a · b) · c
a · 1 = a ∀a ∈ R
∀ a ∈ R, a 6= 0 ∃ x ∈ R mit a · x = 1
Bezeichnung: x = a−1
Zuordnung (Produkt)
Kommutativgesetz
Assoziativgesetz
Eins (neutrales Element)
inverses
(entgegengesetztes) Element
D
a · (b + c) = a · b + a · c
Distributivgesetz
Grundgesetze der Ordnung∗)
O1 a < b oder a = b oder a > b
O2 a < b, b < c ⇒ a < c
O3 a < b ⇒ a + c < b + c ∀ c ∈ R
O4 a < b, c > 0 ⇒ a · c < b · c ∀ c ∈ R+
Vollständigkeit der Ordnung
Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Transitivität
Monotonie der Addition
Monotonie der Multiplikation
Dedekindscher Schnitt†)‡)
Gegeben seien zwei Teilmengen R1 , R2 der reellen Zahlen R mit den folgenden Eigenschaften:
α)
β)
γ)
R1 6= ∅ =
6 R2
R1 ∪ R2 = R
r1 ∈ R1 , r2 ∈ R2 ⇒ r1 < r2
( nichtleer )
( erschöpfend )
( geordnet ) ⇒ R1 ∩ R2 = ∅ ( disjunkt )
Dann gibt es genau eine reelle Zahl (Schnittzahl) r mit r1 ≤ r für alle r1 ∈ R1 und r ≤ r2
für alle r2 ∈ R2 und r gehört entweder zu R1 oder zu R2 .
Satz von Archimedes§)
Zu zwei vorgegebenen reellen Zahlen a, b,
so dass n a > b.
∗)
a > 0 existiert stets eine natürliche Zahl n,
Dies gilt auch schon für rationale Zahlen
Dies ist die neue Vollständigkeitseigenschaft der reellen Zahlen.
‡)
Alternativ kann man die Vollständigkeit über Cauchy-Folgen rationaler Zahlen definieren.
§)
Dieser folgt bereits aus dem Dedekindschem Axiom.
†)

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