Determinante (det(n × n) = α) Niklas Polk 1 Berechnung 1 × 1 : A = (a) → det(A) = a 2×2:A= a11 a12 a21 a22 → det(A) = a11 a22 − a12 a21 Bei grösseren“ Matrizen nach Zeile oder Spalte entwickeln: ” • weise Element der Matrix wie folgt ein Vorzeichen zu: + jedem a11 − a12 + a13 ... − a21 + a22 − a23 ... + a31 − a32 + a33 ... ... ... ... ... • suche (wenn vorhanden) die Spalte oder Zeile mit den meisten Nullen aus, fange mit dem ersten Element an, streiche“ dessen Zeile und ” Spalte • berechne die Determinante der so entstandenen Untermatrix“ (falls ” diese immernoch zu gross ist, beginne wieder mit Schritt 1) • multipliziere die Determinante der Untermatrix mit dem Element nach dem sie entwickelt wurde und dem Vorzeichen das diesem Element zugewiesen wurde • addiere alle Ergebnisse für die Elemente um die Determinante für die gesamte Matrix zu erhalten 2 Eigenschaften bzgl. Berechnung • wenn man bei A zwei Zeilen vertauscht ändert die Determinante ihr Vorzeichen • wird in A ein vielfaches einer Zeile zu einer anderen addiert, bleibt die Determinante unverändert • wird in A eine Zeile mit einer Konstanten multipliziert, dann vervielfacht sich die Determinante um diesen Faktor 1 • die Determinante einer Dreiecksmatrix ist das Produkt der Diagonalelemente • sind zwei Zeilen linear abhängig, ist die Determinante Null • gibt es eine Nullzeile ist die Determinante Null • Alles was hier über Zeilen geschrieben wurde gilt ebenfalls für Spalten! 3 Rechenregeln det(AT ) = det(A) det(AB) = det(A) · det(B) 1 det(A−1 ) = det(A) 4 A B für eine Matrix M = 0 C ist det(M ) = det(A) · det(C) Determinante, Fläche und Volumen 2 × 2: det(A) =Fläche des Parallelogramms das die Vektoren von A aufspannen → 21 det(A) = Dreiecksfläche 3 × 3: det(A) =Volumen des Parallelepipeds das die Vektoren von A aufspannen → 16 det(A) = Pyramidenvolumen 5 Zusammenhang LGS, Invertierbarkeit, Determinante (n × n) alle Aussagen auf einer Seite der Tabelle sind äquivalent, man kann von einer auf alle anderen schliessen! det(A) 6= 0 A invertierbar/regulär Rang(A) = n (Matrix hat vollen Rang) Ax = b für jedes b lösbar Ax = b eindeutig bestimmt Ax = 0 nur triviale Lösung x = 0 2 det(A) = 0 A nicht invertierbar/singulär min. 2 Zeilen oder Spalten lin. abh. Ax = b entweder keine oder unendlich viele Lösungen Ax = 0 unendlich viele Lösungen
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