Addiert man das λ-fache einer Zeile zu einer anderen Zeile, so bleibt

Vektoren und Matrizen
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Vektoren und Matrizen
Addiert man das -fache einer Zeile zu einer anderen Zeile, so bleibt
die Determinate unverändert:
a11
···
..
.
ai1 · · ·
..
.
an1 · · ·
···
a1n
ai1 + aj1
···
ain + ajn
an1
···
ann
a11
a1n
..
.
ain
..
.
=
ann
..
.
..
.
..
.
..
.
an1
elementare Umformungen (vgl. Satz 2.8) auf Matrizen wirken.
Sind die Zeilen von A linear abhängig, so ist
4
Für die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix gilt:
. . . a1n
. . . a2n
.. . . . . ..
. . . .
0 . . . 0 ann
a11 a12
0 a22
det A = 0.
= a11 · . . . · ann .
Gleiches gilt für untere Dreiecksmatrizen.
Bem.: Gute Möglichkeit, um mit Gauß-Algorithmus Determinante zu berechnen.
G. Skoruppa (TU Dortmund)
Mathematik für Chemiestudierende I
WS 2015/2016
···
···
a1n
a2n
···
ann
..
.
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·
..
.
an1
···
..
.
+ ... +
ann
n
·
..
.
an1
···
..
.
ann
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WS 2015/2016
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Vektoren und Matrizen
Beweis:
Satz 3.38
1. Die Vertauschung der beiden gleichen Zeilen ändert A nicht.
Andererseits ändert sich durch sie das Vorzeichen von det A, d.h.
det A = det A, also det A = 0.
det A = det A> .
2. Wegen 1./2. des letzten Satzes
a11
· · · a1n
a11 · · · a1n
a11 · · · a1n
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
ai1 + aj1 · · · ain + ajn = ai1 · · · ain + · aj1 · · · ajn .
..
..
..
..
..
..
.
.
.
.
.
.
an1 · · · ann
an1 · · · ann
an1
· · · ann
Bei der Matrix im 2. Summand sind die i-te und j-te Zeile gleich, also ist
der Summand 0 nach Aussage 1.
2
· (a21 , . . . , a2n ) + . . .
n
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Beweis: oh.D.
Es gibt einen Weg, die Determinante einer (n ⇥ n)-Matrix durch n
Determinanten bei ((n 1) ⇥ (n 1))-Matrizen zu berechnen:
Sei A 2 Rn⇥n . Der Kofaktor Aij zum Platz (i,j) ist die Determinante der
((n 1) ⇥ (n 1))-Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und der
j-ten Spalte aus A hervorgeht, multipliziert mit ( 1)i+j .
· (an1 , . . . , ann ).
WS 2015/2016
Folge: Im Zusammenhang mit Determinanten gilt alles, was für Zeilen von
Matrizen formuliert wurde, analog für Spalten. Beispiele: a) Addieren von
einer Spalte kann zu anderer Spalte addiert werden, ohne dass sich die
Determinante ändert. b) Determinante in jeder Spalte einer Matrix linear.
c) Spaltenvertauschung führt zum Vorzeichenwechsel der Determinante.
Definition 3.39
3. Wegen der L.A. lässt sich eine der Zeilen als Linearkombination der
anderen darstellen. Wir dürfen annehmen, dies sei die 1. Zeile (andere
Fälle analog). Also gibt es Zahlen 2 , . . . , n mit
G. Skoruppa (TU Dortmund)
2
an1 ··· ann
a21 · · · a2n
4. (Skizze) Sei ein aii = 0. Dann ist leicht einzusehen, dass die Zeilen i bis
n, also auch alle Zeilen der Dreiecksmatrix l.a. sind. Daher ist ihre
Determinante gleich 0, ebenso wie das Produkt a11 · . . . · ann . Sei kein
aii = 0. Dann kann die Dreiecksmatrix alleine durch “Addition eines
Vielfachen einer Zeile zu einer anderen” auf Diagonalgestalt gebracht
werden, wobei die ursprünglichen Diagonalelemente unverändert bleiben.
Die Transformation ändert die Determinante nach 2. nicht. Die
Determinante der Diagonalmatrix ist aber gleich a11 · . . . · ann (nutze
Homogenität und det E = 1).
Vektoren und Matrizen
(a11 , . . . , a1n ) =
=
a21 ··· a2n
a21 · · · a2n
Die Matrizen, deren Determinanten auf der rechten Seite der Gleichung
auftauchen, haben alle jeweils zwei gleiche Zeilen. Damit sind alle
Determinanten in der Summe rechts gleich 0.
Bem.: Hiermit und mit 2./3. des vorherigen Satzes weiss man nun genau, wie
3
a11
a21
..
.
i 6= j
,
Nutzt man die Linearität der Determinante in der 1. Zeile, dann folgt also
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