Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 5

Prof. Dr. Marcel Griesemer
Roman Bauer, Dr. Jochen Schmid
FB Mathematik, Universität Stuttgart
Datum: 06.05.2016
Analysis 2 (SS 2016) — Vortragsübung 5
5.1. An den Punkten P und Q werden die Enden einer Kette befestigt, bis auf die Schwerkraft wirke
keine weitere, äußere Kraft auf sie. Die Differentialgleichung für die Kette lautet
y 00 (x)2 − K 2 (1 + y 0 (x)2 ) = 0,
wobei in der Konstanten K physikalische Parameter des Systems zusammengefasst sind. Bestimmen Sie die Lösungen dieser Gleichung.
5.2. Betrachten Sie die Folge (yn )n∈N der Lösungen der Anfangswerteprobleme
nyn − (n + x)yn0 = 0,
yn (0) = 1.
Zeigen Sie, dass die Folge (yn )n∈N punktweise und auf endlichen Intervallen gleichmäßig gegen
eine stetige Funktion konvergiert.
5.3. Sei
1
fn (x) = √ sin(nx),
n
x ∈ R.
i) Zeigen Sie, dass fn punktweise und gleichmäßig konvergiert.
ii) Zeigen Sie, dass die Folge der Ableitungen punktweise in jedem x ∈
/ π/2 + πZ divergiert.
5.4. Entscheiden Sie, ob die folgenden Funktionenfolgen punktweise, bzw. gleichmäßig gegen eine
Funktion konvergieren:
2
a) fn (x) = nxe−nx ,
nx
c) fn (x) =
,
1 + n2 x2
x ∈ R,
x ∈ [1/2, 1]
2
fn (x) = nxe−nx ,
nx
d) fn (x) =
,
1 + n2 x2
b)
x ∈ [α, ∞),
x ∈ [0, 1/2]
α > 0,

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