4
ei
2. Wahrscheinlichkeitsräume (Ω, F, P)
Stochastische
Signale
*
* kann Spuren von Katzen enthalten
nicht für Humorallergiker geeignet
alle Angaben ohne Gewehr
Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, F, P) besteht aus
• Ergebnismenge Ω = ω1 , ω2 , ... :
Menge aller möglichen Ergebnisse ωi
• Ereignisalgebra F = A1 , A2 , ... :
Menge von Ereignisen Ai ⊆ Ω
• Wahrscheinlichkeitsmaß P
1. Mengenalgebra
1.1. Mengen- und Boolsche Algebra
A∩
· B = B∩
· A
A⊎B =B⊎A
(A ∩
· B) ∩
· C = A∩
· (B ∩
· C)
(A ⊎ B) ⊎ C = A ⊎ (B ⊎ C)
A∩
· (B ⊎ C) = (A ∩
· B) ⊎ (A ∩
· C)
A ⊎ (B ∩
· C) = (A ⊎ B) ∩
· (A ⊎ C)
Kommutativ
Assoziativ
Distributiv
Indempotenz
Absorbtion
Neutralität
Dominant
Komplement
A∩
· A=A
A∩
· (A ⊎ B) = A
A∩
· Ω=A
A∩
· ∅=∅
A∩
· A=∅
A⊎A=A
A ⊎ (A ∩
· B) = A
A⊎∅=A
A⊎Ω=Ω
A⊎A=Ω
De Morgan
A=A
A∩
· B =A⊎B
Ω=∅
A ⊎ B = A∩
· B
2.1. Ereignisalgebra F ⊆ P(Ω)
• Ω∈F
• Ai ∈ F ⇒ A∁
i ∈ F
• A1 ,...,Ak ∈ F ⇒
k
S
Mit Wiederholung
Ohne Wiederholung
Mit Reihenfolge
Reihenfolge egal
nk
n+k−1
k
n
k
n!
(n−k)!
n!
Permutation von n mit jeweils k gleichen Elementen: k !·k
1
2 !·...
5
n
4
n
n!
= 10
=6
= n−k = k!·(n−k)!
2
2
k
1.3. Grundbegriffe
Tupel
Ungeordnetes Paar
Potenzmenge
(i, j) ̸= (j, i) für i ̸= j
{i, j} = {j, i}
P(Ω) ist Menge aller Teilmengen von Ω
Bedingte Wahrscheinlichkeit für A falls B bereits eingetreten ist:
PB (A) = P(A|B) =
P(A∩B)
P(B)
P(Bk |A) =
Ai ∈ F
| F | = 2Anzahl disjunkter Teilmengen (muss endlich sein)
2.1.1 σ-Algebra
Entwicklung k → ∞. Unendlich viele Ergebnisse, aber jedes Ai besteht
aus abzählbar vielen Ergebnissen. Besitzt mindestens 2 Ereignisse.
1 xq+1
q+1
√
2 ax3
3
xq
√
ax
qxq−1
x ln(ax) − x
ln(ax)
a
x
x · eax
eax (ax + 1)
1
a2
´
´
f ′ (x)
f (x)
eax (ax − 1)
ax
ln(a)
dt
√
at+b
at
te
=
dt =
√a
2 ax
x
a
√
2 at+b
a
at−1 at
e
a2
= P Aπ(1) P Aπ(2) |Aπ(1) P Aπ(3) |Aπ(2) ∩ Aπ(1) ×
···× P Aπ(k) |Aπ(k−1) ∩···∩ Aπ(1)
h→0
•
FX (x) = 0 ; lim FX (x) = 1
x→∞
x→−∞
Bezeichnung
Abk.
Zusammenhang
Wahrscheinlichkeitsmassenfkt.
Kumulative Verteilungsfkt.
pmf
cdf
pX (x) = P({X = x})
P
pX (ξ)
FX (x) =
P(A) = |Ω|
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
2.2.1 Axiome von Kolmogorow
Nichtnegativität:
P(A) ≥ 0 ⇒ P : F 7→ [0, 1]
Normiertheit:
P(Ω) = 1 !
∞
∞
S
P
Additivität:
P
Ai =
P(Ai ),
i=1
i=1
wenn Ai ∩ Aj = ∅, ∀i ̸= j
2.2.2 Weitere Eigenschaften
• P(Ac ) = 1 − P(A)
• P(∅) = 0
• P(A\B) = P(A ∩ B c ) = P(A) − P(A ∩ B)
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
• A ⊂ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
S
Pk
• P( k
i=1 Ai ) ≤
i=1 P(Ai )
5.0.4 Verteilung stetiger Zufallsvariablen
Allgemein: !
T
Q
P
Ai =
P (Ai ) mit Indexmenge I und ∅ =
̸ J ⊆I
i∈J
i∈J
Bezeichnung
Abk.
Zusammenhang
Wahrscheinlichkeitsdichtefkt.
pdf
fX (x) =
Kumulative Verteilungsfkt.
cdf
FX (x) =
dFX (x)
dx
x́
fX (ξ) dξ
−∞
Berechnung von fX (x):
x+ϵ
´
fX (x) = lim 1
fX (ξ) dξ = lim 1
P (x ≤ X ≤ x + ϵ)
ϵ→0 ϵ x
ϵ→0 ϵ
4. Zufallsvariablen
4.1. Definition
X : Ω 7→ Ω′ ist Zufallsvariable, wenn für jedes Ereignis A′ ∈ F′
im Bildraum
ein Ereignis A im Urbildraum F existiert,
sodass ω ∈ Ω| X (ω) ∈ A′ ∈ F
Normiertheit
P
´
!
p(x) + R fX (x) dx = 1
5.1. Mehrdimensionale Verteilungen
4.2. Unabhängigkeit von Zufallsvariablen
Zufallsvariablen X 1 ,···, X n sind stochastisch unabhängig, wenn für jedes
⃗
x = [x1 ,···, xn ]⊤ ∈ Rn gilt:
n
Y
P({X i ≤ xi })
FX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) =
pX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) =
fX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) =
i=1
n
Q
i=1
n
Q
i=1
⃗ ≤⃗
FX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) = F⃗
(⃗
x) = P({X
x}) =
X
P({X 1 ≤ x1 ,···, X n ≤ xn })
5.1.3 Diskrete Zufallsvariablen:
⃗ =⃗
pX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) = P({X
x}) (joint probability mass function)
FX (xi )
5.1.4 Stetige Zufallsvariablen:
x
´1 x´n
FX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) =
···
fX 1 ,···,X n (ξ1 ,···, ξn ) dξn ···dξ1
pX (xi )
fX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) =
Gleichbedeutend:
n
Q
5.1.1 Mehrdimensionale Zufallsvariable:
⃗ = [X 1 ,···, X n ]T mit Xi Zufallsvariablen
X
5.1.2 Gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion:
−∞ −∞
∂ n F⃗ (x1 ,···,xn )
X
∂x1···∂xn
i
i
fX ,Y = fY ,X
(joint probability density function)
5.1.5 Marginalisierung
Prinzip: Lasse alle vernachlässigbaren ZV gegen unendlich gehen.
FX 1 ,···,X m (x1 ,···, xm ) = FX 1 ,···,X n (x1 ,···, xm , ∞,···, ∞)
fX (xi )
i
4.3. Bedingte Zufallsvariablen
Bedingte Wahrscheinlichkeit für Zufallsvariablen:
Ereignis A gegeben:
FX |A (x|A) = P X ≤ x |A
ZV Y gegeben:
FX | Y (x|y) = P X ≤ x | Y = y
fX | Y (x|y) =
pX ,Y (x,y)
pY (y)
fX ,Y (x,y)
fY (y)
=
dFX|Y (x|y)
dx
Randverteilung: Spezialfall der Marginalisierung um aus der mehrdimensionalen KVF die KVF für eine ZV zu erhalten.
FX 1 (x1 ) = FX 1 ,···,X n (x1 , ∞,···, ∞)
Randverteilung der
P Wahrscheinlichkeitsmasse (PMF)
pX 1 (x1 ) =
pX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn )
(für diskrete ZV)
x2 ,···,xn
Randverteilung der Wahrscheinlichkeitsdichte (WDF) ( für stetige ZV)
∞
∞
´
´
fX 1 (x1 ) =
···
fX 1 ,···,X n (x1 ,···, xn ) dxn ···dx2
−∞
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∀x ∈ R
lim
ξ∈Ω′ :ξ≤x
Ereignise A und B sind unabhängig falls:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
⇒ P(B|A) = P(B)
pX | Y (x|y) =
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2
a2 − b2 = (a − b)(a + b)
(a ± b)3 = a3 ± 3a2 b + 3ab2 ± b3
(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
• FX (x) ist rechtsseitig stetig:
∀h > 0 : lim FX (x + h) = FX (x)
3.2. Stochastische Unabhängigkeit
a ln(a)
1.5. Binome, Trinome
• FX (x) ≥ 0
x
´ 2 at
(ax−1)2 +1 at
t e dt =
e
a3
´
ax2
1 eax2
xe
dx = 2a
Eigenschaften
• FX (x) ist monoton wachsend
• P({a < X ≤ b}) = FX (b) − FX (a)
i=1
F (x)
5.0.2 Kumulative Verteilungsfunktion (KVF bzw. CDF)
• P({X > c}) = 1 − FX (c)
5.0.3 Verteilung diskreter Zufallsvariablen
Beliebig viele Ereignisse:
P (A
∩···∩
1 ∩ A2 Ak )
P({X 1 ≤ x1 ,···, X n ≤ xn }) =
1.4. Integralgarten
P(A|Bk ) P(Bk )
P
P(A|Bi ) P(Bi )
i∈I
3.1.2 Multiplikationssatz
P(A ∩ B) = P(A|B) P(B) = P(B|A) P(A)
Daraus folgt:
• ∅∈F
• Ai \Aj ∈ F
Tk
•
i=1 Ai ∈ F
∀A′ ∈ F′
FX (x) = P({X ≤ x})
3.1.1 Totale Wahrscheinlichkeit
und Satz von Bayes
S
Es muss gelten:
Bi = Ω für Bi ∩ Bj = ∅, ∀i ̸= j
i∈I
P
Totale Wahrscheinlichkeit:
P(A) =
P(A|Bi ) P(Bi )
Satz von Bayes:
i≥1
|A|
Mögliche Variationen/Kombinationen um k Elemente von maximal n Elementen zu wählen bzw. k Elemente auf n Felder zu verteilen:
5.0.1 Definition
PX (A′ ) = P({ω ∈ Ω| X (ω) ∈ A′ }) = P({X ∈ A′ })
3.1. Bedingte Wahrscheinlichkeit
i∈I
2.2. Wahrscheinlichkeitsmaß P
1.2. Kombinatorik
5. Wahrscheinlichkeitsverteilungen
3. Bedingte Wahrscheinlichkeit und
Unabhängigkeit
von Emanuel Regnath, Martin Zellner, Alexander Preißner, Hendrik Böttcher, Samuel Harder – Mail: [email protected]
−∞
Stand: 9. Februar 2016
1/4
6. Funktionen von Zufallsvariablen
′
′
Ω′′
′
X : Ω → Ω = R und jetzt g :Ω →
P(A′′ ) = P(Y ∈ A′′ ) = P( X ∈ Ω
Ω g(X (ω)) ∈ A′′
=R
g(X ) ∈ A′′ = P( ω ∈
6.1. Transformation von Zufallsvariablen
Berechnung von fY (y) aus fX (x)
g(x) streng monoton & differenzierbar:
−1
dg(x) fY (y) = fX g −1 (y)
dx x=g −1 (y)
g(x) nur differenzierbar:
−1
N
P
dg(x) fY (y) =
mit i ∈ {1, . . . , N }
fX (xi ) dx x=xi
i=1
xi sind Nullstellen von y − g(x) = 0
6.1.1 Beispiel: lineare Funktion
Y = aX + b ⇔ g(x) = ax + b mit a ∈ R\0, b ∈ R:
⇒ fY (y) =
FY (y) =
FX
1
|a|
fX
y−b
a
1 − FX
y−b
7.3. Bernoulliverteilung (p ∈ [0, 1])
7.6. Geometrische Verteilung (p ∈ [0, 1])
7.8. Normalverteilung (µ ∈ R, σ > 0)
Wahrscheinlichkeitsmasse
2 Ereignisse: Erfolg und Misserfolg
p: Wahrscheinlichkeit
k=1
0,
p,
FX (k) = 1 − p
pX (k) = 1 − p k = 0
1
0
sonst
Erster Erfolg eines Bernoulli-Experiments beim k-ten Versuch,
Gedächtnislos
WMF/PMF:
KVF/CDF:
pX [k] = (1 − p)k−1 p, k ∈ N FX [k] = 1 − (1 − p)k , k ∈ N
WDF/PDF:
k<0
0≤k<1
k≥1
y−b
a
E[X ] = p
Var[X ] = p(1 − p)
Erwartungswert
Varianz
E[X ] =
⇒ fZ=X + Y (z) = (fX ∗ fY ) (z) =
Erwartungswert
sonst
∞
´
fX (z − y)fY dy
Var[X ] = np(1 − p)
Erwartungswert
Varianz
n
GX (z) = (pz + 1 − p)
Wahrscheinlichkeitserz. Funktion
7.1. Begriffe
7.5. Poisson-Verteilung (λ ≥ 0)
Gedächtnislos
Eine Zufallsvariable X ist gedächtnislos, falls:
P({X > a + b)}|{X > a}) = P({X > b}),
a, b > 0
Asymptotischer Grenzfall der Binomialverteilung
n → ∞, p → 0, np → λ pX (k) = lim B
n→∞
WMF/PMF:
k
pX [k] = λk! e−λ
7.2. Gleichverteilung
Erwartungswert
k ∈ N0
n, λ
n
Var[X ] =
(b − a)2
Varianz
12
Varianz
GX (z) =
pz
0.4
-1
-3
-2
-1
0.0
−4
−3
−2
−1
0
x
1
fX (x) = √
E(X ) = µ
1 − z + pz
3
2
4
5
Erwartungswert
1
2πσ 2
e
−
Var(X ) = σ
Varianz
−5
−4
(x−µ)2
2σ 2
2
−3
−2
−1
0
x
1
2
3
4
5
x∈R
2 2
jωµ− ω σ
2
φX (ω) = e
Charakt. Funktion
Wahrscheinlichkeitserz. Funktion
Wie geometrische Verteilung für stetige Zufallsvariablen (“Lebensdauer“),
Gedächtnislos
WDF/PDF:
KVF/CDF:
fX (x) = λe−λx
x≥0
FX (x) = 1 − e−λx
x≥0
Schreibweise X ∼ N (µ, σ )
Beispiele: Rauschen, Ort eines Teilchens relativ zu seiner Anfangsposition
bei brownscher Molekularbewegung, abgefahrene Sachen, die man nicht
genauer bestimmen will oder kann
7.8.1 Standartnormalverteilung
ist der Spezialfall X ∼ N (0, 1)
2
1
−x
ϕ(x) = √
e 2
2π
Es gilt außerdem:
1
2
(Y −µ) ∼ N (0, 1)
• Y ∼ N (µ, σ ) ⇒ X =
σ
2
• X ∼ N (0, 1) ⇒ Y = σ X +µ ∼ N (µ, σ )
KVF/CDF:
FX [k] = zu kompliziert
E(X ) =
φX (s) =
-2
(k)
x ∈ {1, . . . , |Ω|}
Beispiele: Wurf einer fairen Münze, Lottozahlen
7.2.2 Stetig (a, b : −∞ < a < b < ∞)
(
0
1
x ∈ [a, b]
x−a
fX (x) = b−a
FX (x) =
b−a
0
sonst
1
2
p2
7.7. Exponentialverteilung (λ > 0)
E[X ] = np
7. Stochastische Standardmodelle
a+b
1−p
Charakteristische Funktion
φX (s) =
1 − (1 − p)eıs
Beispiele: diskrete Dauer bis ein technisches Gerät zum ersten Mal ausfällt,
Anzahl der Würfe bis man eine ”6”würfelt
k ∈ {0, . . . , n}
s n
Charakteristische Funktion
φX (s) = 1 − p + pe
Beispiele: Anzahl der Übertragungsfehler in einem Datenblock endlicher
Länge, Wiederholtes Werfen einer Münze
E[X ] =
Var[X ] =
2
2
Wahrscheinlichkeitsmasse
(n
pk (1 − p)n−k
k
pX (k) = Bn,p (k) =
0
n!
mit n
= k!(n−k)!
k
−∞
7.2.1 Diskret
1 ,
pX (x) = |Ω|
1
p
Φμ,σ (x)
0.2
WDF
Beispiele: Einmaliger Wurf einer (unfairen) Münze
μ = 0, σ 2 = 0.2,
μ = 0, σ 2 = 1.0,
μ = 0, σ 2 = 5.0,
μ = −2, σ 2 = 0.5,
0.6
-3
GX (z) = pz + 1 − p
Wahrscheinlichkeitserz. Funktion
6.2. Summe unabhängiger Zufallsvariablen
Z = X + Y mit X und Y unabhängig.
0.8
0.6
−5
peıs
a<0
0.8
0.0
7.4. Binomialverteilung (p ∈ [0, 1], n ∈ N)
a>0
1.0
μ = 0, σ 2 = 0.2,
μ = 0, σ 2 = 1.0,
μ = 0, σ 2 = 5.0,
μ = −2, σ 2 = 0.5,
0.2
a
KVF/CDF:
φμ,σ (x)
2
0.4
Folgen von Bernoulli-Experimenten
p: Wahrscheinlichkeit
n: Anzahl der Bernoulli-Experimente
1.0
1
λ
Erwartungswert
x<a
x ∈ [a, b]
Var(X ) =
Varianz
1
λ2
φX (ω) =
λ
λ − jω
Charakt. Funktion
Beispiele: Lebensdauer von el. Bauteilen, Zeitdauer zwischen zwei Anrufen
in einem Call-Center
x>b
ejωb − ejωa
E[X ] = λ
Var[X ] = λ
jω(b − a)
Erwartungswert
Varianz
Charakt. Funktion
Beispiele: Winkel beim Flaschendrehen, Phase einer empf. Sinusschwingung
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λ(s−1)
GX (s) = e
Wahrscheinlichkeitserz. Funktion
Charakteristische Funktion
φX (s) = exp λ(es − 1)
Beispiele: Zahl der Phänomene in einem Zeitintervall, Google-Anfragen in
einer Stunde, Schadensmeldungen an Versicherungen in einem Monat
von Emanuel Regnath, Martin Zellner, Alexander Preißner, Hendrik Böttcher, Samuel Harder – Mail: [email protected]
Stand: 9. Februar 2016
2/4
8. Erwartungswert
9. Varianz und Kovarianz
10. Erzeugende und charakter. Funktionen
11. Reelle Zufallsfolgen
8.1. Definition
9.1. Varianz
10.1. Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion
Eine reelle Zufallsfolge ist ganz einfach eine Folge reeller Zufallsvariablen.
Gibt den mittleren Wert einer Zufallsvariablen an
ist ein Maß für die Stärke der Abweichung vom Erwartungswert
für X : Ω → N0
Var[X] = E (X − E[X ])2 = E[X 2 ] − E[X ]2
8.2. diskrete (reelle) Zufallsvariablen
E[X ] =
X
x P({X = x}) =
x∈Ω′
X
∞
X
X
GX (z) = E[z ] =
k
k=0
xpx (x)
x∈Ω′
für X : Ω → Ω′ ⊂ R
Für Funktionen von Zufallsvariablen:
P
E[Y ] = E[g(X )] =
g(x)pX (x)
9.1.1 Standard Abweichung
p
σ = Var[X ]
Anwendungen
1 dn
pX (n) = P( X = n ) =
[
GX (z)]z=0 ,
n! dz n
9.2. Kovarianz
x∈Ω′
Cov[X , Y ] = E[(X − E[X ])(Y − E[Y ])] = Cov[Y , X ]
mit X : Ω → Ω′ ⊂ R und g : R → R
E[X ] = [
andere Darstellungen:
Cov[X , Y ] = E[X Y ] − E[X ] E[Y ] = Cov[Y , X ]
8.3. stetige Zufallsvariablen
x · fX (x) dx für X : Ω → R
R
Für Funktionen von Zufallsvariablen:
´
E[Y ] = E[g(X )] = g(x)fX (x) dx
R
mit X : Ω → R und g : R → R
Var[X ] = [
Kovarianz mit sich selbst:
Var[X ] = Cov[X , X ]
aus den Definitionsgleichungen:
Cov[α X +β, γ Y +δ] = αγ Cov[X , Y ]
Cov[X + U, Y + W] = Cov[X , Y ] + Cov[X , W] + Cov[U, Y ] +
Cov[U, W]
E[α X +β Y ] = αE[X ] + βE[Y ]
X ≤ Y ⇒ E[X ] ≤ E[Y ]
Beweis mit der Definition und der Linearität des Integrals bzw. der Summe.
Falls X und Y stochastisch unabhängig: E[X Y ] = E[X ] E[Y ]
Achtung: Umkehrung nicht möglich.
Stoch. Unabhängig ⇒ Unkorrelliertheit
E[X ] =
0
∞
P
P(X > k) (diskret)
k=0
n
Y
i=1
i=1
i=1 j̸=i
i
11.2. Random Walk
10.2. Charakteristische Funktion
h
i
ıω X
φX (ω) = E e
,
fX (−x)
9.4. Unkorreliertheit
b r φ(ω)
ω∈R
φX =
n
E[X ] =
Summe von ZV: Z =
wenn ZV normalverteilt (sonst nicht!):
Unkorreliertheit ⇒ stoch. Unabhängigkeit
Z =
bei paarweisen unkorrellierten Zufallsvariablen:
n
n
P
P
Var[
X i] =
Var[X i ]
i=1
1
"
ın
dn
n
X
Pn
dω n
Xi
i=1
E[X Y ] = 0
φZ (ω) =
i=1
Var[Y ]
Eine Zufallsfolge ist stationär, wenn um ein beliebiges k (k ∈ N) zueinander verschobene Zufallsvektoren die selbe Verteilung besitzen.
Im weiteren Sinne stationär (W.S.S.), wenn:
n
Y
φX (ω)
i
i=1
c
,Y
= σ Xσ
mit ρX ,Y ∈ [−1, 1]
X Y
µX (i) = µX (i + k)
rX (i1 , i2 ) = rX (i1 + k, i2 + k) = rX (i1 − i2 )
stationär ⇒ WSS (aber nicht anders herum!)
Definition: Seien X i , i ∈ 1, ..., n, stochastisch unabhängige und identisch verteilte reelle Zufallsvariablen und gelte E[X i ] = µ < ∞ und
V ar[X i ] = σ 2 < ∞. Dann konvergiert die Verteilung der standardisierten Summe
n (X
P
µ)
−
√
Zn =
i=1
9.6. Korrelationskoeffizient
Var[X ]
11.3. Stationarität
ω=0
Xi
⇒
E[X i ] = (2p − 1)δ
V ar[X i ] = 4p(1 − p)δ 2
#
φX (ω)
10.3. Der zentrale Grenzwertsatz
9.5. Orthogonalität
Cov[X ,Y ]
√
ρX ,Y = √
eıωx fX (x) dx
E[S] = µS (n) = n(2p − 1)δ
V ar[S] = σS2 (n) = 4np(1 − p)δ 2
Stoch. Unabhängig ⇒ Unkorrelliertheit
i=1
∞
´
n ∈ N Schritte mit 2 möglichen Bewegungsrichtungen X ∈ {+δ, −δ}
P ({X i = +δ}) = p
n
X
P ({X i = −δ}) = 1 − p
Sn =
Xi
1 , µ (n) = 0
symmetrisch ⇔ p = 2
S
i=1
−∞
Erwartungswert:
wenn gilt:
Erwartungswert µX (n) = E[X n ]
2
2
(n) = V ar[X n ] = E[X 2
Varianzfolge
σX
n ] − E[X n ]
Autokorrelation rX (k, l) = E[X k X l ]
Autokovarianz cX (k, l) = Cov[X k , X l ]= rX (k, l) − µX (k)µX (l)
GX (z)
i=1
wegen der Linearität des Erwartungswerts:
Var[α X +β] = α2 Var[X ]
für die Summe von Zufallsvariablen:
n
n
n P
P
P
P
Var[
X i] =
Var[X i ] +
Cov[X i , X j ]
Cov[X , Y ] = 0 ⇔ E[X Y ] = E[X ] E[Y ]
Spezialfall für X : Ω → R+ :
∞
´
E[X ] =
P(X > t) dt (stetig)
11.1. Verteilungen und Momente
2
GX (z)]z=1 − E[X ] + E[X ]
GZ (z) =
Pfad
⃗
Sn = (Sn , Sn−1 , . . . , S1 ) : Ω(n) → Rn
ω
⃗ n 7→ ⃗
sn (⃗
ωn ) = (sn (⃗
ωn ), sn−1 (⃗
ωn ), . . . , s1 (⃗
ωn )), n ∈ N
Erklärung: Die Abfolge der Realisierungen von S1 bis Sn (also der Pfad
von S) und somit auch jedes einzelne Sk kann als Ergebnis des Ereignisses
ω
⃗ n angesehen werden.
GX (z)]z=1
dz 2
dz 2
Für X i : Ω → N0 , i ∈ 1,P
. . . , n stochastisch unabhängige, diskrete,
n
nichtnegative ZV und Z =
i=1 X i
8.4. Eigenschaften des Erwartungswerts
Linearität:
Monotonie:
d2
GX (z)]z=1
dz
d
2
9.3. Spezialfälle
d
∀n ∈ N0
2
E[X ] − E[X ] = [
ˆ
E[X ] =
Ensemble
Sn : Ωn × Ωn−1 × · · · × Ω1 → R
(ωn , ωn−1 , . . . , ω1 ) 7→ sn (ωn , ωn−1 , . . . , ω1 ), n ∈ N
Erklärung: Jede Realisierung von Sn wird erzeugt durch die Menge (das Ensemble) aufeinanderfolgender Realisierungen X k mit
k ∈ {1, . . . , n}.
|z| ≤ 1
pX (k)z ,
σ
n
d.h E[Z n ] = 0 und V ar[Z n ] = 1, für n → ∞ gegen die Standartnormalverteilung.
Es gilt also:
limn→∞ P(Z n ≤ z) = Φ(z)
Korrelationskoeffizient von X und Y
negativ korreliert ρX ,Y ∈ [−1, 0)
Es gilt: unkorreliert
ρX ,Y = 0
positiv korreliert ρX ,Y ∈ (0, 1]
11.4. Markow-Ungleichung
E[| X |]
P( |X | ≥ a ) ≤
a
11.5. Tschebyschow-Ungleichung
Var[X ]
P( |X − E[X ]| ≥ a ) ≤
a2
11.6. Das schwache Gesetz der großen Zahlen
Sei (X i : i ∈ N) eine Folge reeller, paarweise unkorrelierter Zufallsvariablen mit beschränkter Varianz:
n
1 P (X − E[X ]) → 0
i
i
n
i=1
Für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Folgenelemente
mit E[X i ] = E[X] und V ar[X i ] = V ar[X] < ∞ gilt:
n
1 P (X ) → E[X ]
i
i
n
i=1
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von Emanuel Regnath, Martin Zellner, Alexander Preißner, Hendrik Böttcher, Samuel Harder – Mail: [email protected]
Stand: 9. Februar 2016
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12. Markowketten
(bedingte Unabhängigkeit: Abschnitt 14)
12.1. Markowketten
12.1.1 Allgemein
Eine Zufallsfolge (X n : n ∈ N) heißt Markowkette, falls ∀ ni ∈ N,
i ∈ 1, . . . k mit n1 < · · · < nk gilt:
(X n1 , X n2 , . . . X nk−2 ) → X nk−1 → X nk
⇒ Die Verteilung eines Folgeelements hängt nur vom direkten Vorgänger
ab
pX n
k
| Xn
,X
,...,X n (xnk |xnk−1 , xnk−2 , ..., xn1 )
1
k−1 nk−2
= pX n
k
fX n
k
(xnk |xnk−1 )
| Xn
k−1
| Xn
k−1
,X n
k−2
,...,X n
1
13. Reelle Zufallsprozesse
13.5. Wiener-Prozess (σ > 0)
13.1. Ensemble und Musterfunktion
Als Basis benutzen wir den Random Walk. Durch Multiplikation mit einer
Heaviside-Funktion wird der Random Walk zeitkontinuierlich:
n
n
P
P
Sn =
Xi
⇒
St =
X i u(t − iT )
T >0
• Ein Zufallsprozess kann als Ensemble einer nicht abzählbaren Menge
von Zufallsvariablen Xt mit t ∈ R interpretiert werden.
• Ein Zufallsprozess kann als Schar von Musterfunktionen
X t (ω) : R 7→ R, mit X (ω) als deterministische Funktion von t, mit
einem gegebenen Ereignis ω ∈ Ω interpretiert werden.
(xnk |xnk−1 , xnk−2 , ..., xn1 )
Autokorrelationsfunktion:
rX (s, t) = E[X s X t ]
Hinweis: Bei Integration über rX immer darauf achten, dass s − t > 0.
Bei Bedarf Integral aufteilen und Grenzen anpassen.
n−1
Verbund-WMF:
n
Q
pX 1 ,...,X n (x1 , ..., xn ) = pX 1 (x1 )
pX | X
(xi |xi−1 )
i
i−1
i=2
Zustandsübergangsdicht:
fX n | X
n−1
(xn |xn−1 )
Verbund-WDF:
fX 1 ,...,X n (x1 , ..., xn ) = fX 1 (x1 )
n+1+k
n+k
12.1.3 Chapman-Kologorow Gleichung
2-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit:
pX
| X n (xn+2 |xn ) =
Pn+2
(xn+2 |ξ)pX
(ξ|xn )
pX
n+2 | X n+1
n+1 | X n
ξ∈X
m+l-Schritt-Übergangswahrscheinlichkeit:
pX
| X n (xn+m+l |xn ) =
Pn+m+l
pX
(xn+m+l |xn+m )pX
|X
ξ∈X
n+m+l
n+m
(xn+m |xn )
n+m | X n
12.1.4 Markowketten im endlichen Zustandsraum
pX n (x1 )
p
X n (x2 )
p
⃗n ≜
pn ]i = pX n (xi )
∈ [0, 1]N mit [⃗
.
.
.
pX n (xN )
p11
.
Übergangsmatrix: Π = .
.
pN 1
···
..
Ein Zufallsprozess ist stationär, wenn um ein beliebiges s (s ∈ R)
zueinander verschobene Zufallsvektoren die selbe Verteilung besitzen.
p1N
.
µX (t) = µX (t + s)
∧
rX (t1 , t2 ) = rX (t1 + s, t2 + s)
Daraus folgt mit s = t + τ
rX (s, t) = E[X s X t ] = E[X t+τ X t ] = rX (s − t) = rX (τ )
Im weiteren Sinne zyklisch stationär, wenn:
µX (t) = µX (t + T )
∧
rX (t1 , t2 ) = rX (t1 + T, t2 + T )
stationär ⇒ WSS ⇒ im weiteren Sinne zyklisch stationär (aber nicht
anders herum!)
13.4. Mehrere Zufallsvariablen auf dem selben Wahrscheinlichkeitsraum
Kreuzkorrelationsfunktion:
rX ,Y (s, t) = E[X s Y t ] = rY ,X (t, s)
Kreuzkovarianzfunktion:
cX ,Y (s, t) = rX ,Y (s, t) − µX (s)µY (t) = cY ,X (t, s)
13.4.1 Gemeinsame Stationarität
Zwei Zufallsprozesse auf demselben Wahrscheinlichkeitsraum sind gemeinsam stationär, wenn die einzelnen ZPs jeweils selbst stationär sind und
ihre gemeinsamen Verteilungen verschiebungsinvariant sind.
13.4.2 Gemeinsam im weiteren Sinne stationär
Voraussetzung: X t und Y t sind gemeinsam WSS wenn,
exp
pN N
Übergangswahrscheinlichkeit: pij = pX
(ξ , ξ )
n+1 | X n i j
Spaltensumme muss immer 1 ergeben!
p
⃗n+1 = Π⃗
pn n ∈ N
p
⃗n+m = Πm p
⃗n n, m ∈ N
Eine Verteilung heißt stationär, wenn gilt:
∞
´
h(t − τ )v(τ ) dτ
−∞
Im Frequenzbereich:
W (f ) = H(f )V (f )
2
− w2
V
2σ t
Wt
Ausgang
Vt
Eingang
h(s, t) Impulsantwort
W
Eigenschaften
• Kein Zählprozess!
• P({W0 = 0}) = 1
• hat unabhängige Inkremente → rxy (s, t) = 0
Falls Zufallsprozesse WSS:
• Wt ∼ N (0, σ 2 t), ∀0 ≤ t
Autokorrelationsfkt: rW = E[Ws Wt ] = (h̃ ∗ h ∗ rV )(τ )
mit h̃(τ ) = h(−τ )
• Wt − Ws ∼ N (0, σ 2 (t − s)), ∀0 ≤ s ≤ t
• Wt (ω) ist eine stetige Musterfunktion mit Wahrscheinlichkeit 1
Erwartungswertfunktion.
Varianz
Autokorrelationsfunktion
Autokovarianzfunktion
∞
´
Erwartungswert: µW = µV
h(t) dt
∞
Kreuzkorrelationsfkt: rW,V (τ ) = E[Ws Vt ] = (h ∗ rV )(τ )
15.2. Leistungsdichtespektrum (LDS)
µW (t) = 0
2
σW
(t) = σ 2 t
rW (s, t) = σ 2 min{s, t}
cW (s, t) = σ 2 min{s, t}
13.6. Poisson-Prozess (Nt :∈ R+ )
Beim Poisson-Prozess wird der Zeitpunkt der Sprünge durch ZV modelliert, nicht die Amplitude.
∞
i
P
P
Nt =
u(t − Ti ), Ti =
Xj
Nicht WSS ⇒ Kein LDS
ˆ∞
SV (f ) =
rV (τ )e
−j2πf τ
dτ
i=1
j=1
X t und Y t einzelnd WSS und
rX ,Y (t1 , t2 ) = rX ,Y (t1 + s, t2 + s)
gemeinsam stationär ⇒ gemeinsam WSS (aber nicht umgekehrt!)
Daraus folgt mit s = t + τ
rX (s, t) = E[X t+τ X t ] = rX (τ ) = rX (−τ )
rX (τ ) ≤ rX (0)
rX ,Y (τ ) = E[X t+τ Y t ] = E[Y t X t+τ ] = rY ,X (−τ )
13.4.3 Stochastische Unkorreliertheit
cX ,Y (s, t) = 0 ⇔ rX ,Y (s, t) = µ(s)µ(t),
13.4.4 Orthogonalität
rX ,Y (s, t) = 0, ∀s, t ∈ R
∀s, t ∈ R
b r
b r
b r
rV (τ )
SV (f )
SV,W (f )
rV,W (τ )
∗
rV,W (−τ )
SV,W
(f )
Auf Frequenz bezogene Signalleistung für infitisimales Frequenzband.
SY (f ) = |H(f )|2 SX (f )
SY,X (f ) = H(f )SX (f )
SX,Y (f ) = H ∗ (f )SX (f )
X j ist exponentiell verteilt, Ti ist Gamma-verteilt
i
λ
fTi (t) = (i−1)!
ti−1 e−λt , t ≥ 0
(λt)n
P ({Nt = n}) = n! e−(λt) , ∀n ∈ N, t ∈ R+
Eigenschaften
• ist ein Zählprozess
• ist Gedächtnislos
• hat unabhängige Inkremente
• Nt − Ns ist Poisson-verteilt mit Parameter (λ(t − s) für alle
0≤s≤t
• hat eine Rate λ
• Zeitintervalle zwischen den Inkremetierungen sind unabhängig und identisch exponentialverteilt mit Parameter λ
Erwartungswertfunktion
Varianz
Autokorrelationsfunktion
Autokovarianzfunktion
µN (t) = λt
2
σN
(t) = λt
rN (s, t) = λ min{s, t} + λ2 st
cN (s, t) = λ min{s, t}
14. Bedingte Unabhängigkeit
∈ [0, 1]N ×N
Im Zeitbereich:
w(t) = (h ∗ v)(t) =
−∞
Im weiteren Sinne stationär (W.S.S.), wenn:
fX | X
(xi |xi−1 )
i
i−1
i=2
Eine Markowkette heißt homogen, wenn die Übergangswahrscheinlichkeit
unabhängig vom Index ist
pX
(xn+1 |xn ) = pX
(xn+1 |xn )
n+1 | X n
n+1+k | X n+k
fX
(xn+1 |xn )
| X n (xn+1 |xn ) = fX
|X
n+1
13.3. Stationarität
FXt ,...,Xt (x1 , . . . xn ) = FX
(x1 , . . . xn )
t1 +s ,...,Xtn +s
n
1
n
Q
√
σ 2 T folgt der
Für n → ∞ und T → 0, mit Schrittweite δ =
Wiener Prozess: Wt
15.1. Allgemeines
Zeitlich, Kontinuierlich veränderliche Zufallsvariable X t
Autokovarianzfunktion:
cX (s, t) = Cov(X s , X t ) = rX (s, t) − µX (s)µX (t)
12.1.2 Zustandsübergang
Zustandsübergangswahrscheinlichkeit:
pX n | X
(xn |xn−1 )
i=1
2πσ 2 t
Erwartungswertfunktion:
µX (t) = E[X t ]
= fX n | X n
(xnk |xnk−1 )
k
k−1
i=1
fWt (w) = √ 1
13.2. Verteilungen und Momente
15. Zufallsprozesse(ZP) und lineare Systeme
X
Y
A
B
SY ,X (f )
(
n
Q
i=1
=
(
n
Q
Hi (f ))(
i=1
∗
SX (f ) = SX
(f )
∞
´
Hi (f ))SX (f )
SX ,Y (f )
=
Hi∗ (f ))SX (f )
SY ,B (f ) = (
−∞
n
Q
i=1
m
Q
j=1
&
Gj (f ))∗ SX ,A (f )
∗
SX ,Y (f ) = SY
,X (f ),
SX (f ) = SX (−f ),
∀f ∈ R
∀f ∈ R
2
SX (f ) df = rX (0) = Var[X ] + E[X ]2 = σX
+ µ2
X
SX (f ) ≥ 0,
∀f ∈ R
Momenterzeugende Funktion, Multivariate Normalverteilung, Multivariate reelle Zufallsvariablen und Komplexe Zufallsvariablen waren im WS
2015/16 nicht prüfungsrelevant und werden hier deshalb nicht behandelt.
P.S. Stochastik ♡ dich.
14.1. Bedingte Unabhängigkeit
A und C heißen bedingt unabhängig gegeben B, wenn gilt:
P(A ∩ C|B) = P(A|B) P(C|B) bzw.
P(A|B ∩ C) = P(A|B)
Dann gilt:
pZ | Y ,X (y|y, x) = pZ | Y (z|y)
fZ | Y ,X (z|y, x) = fZ | Y (z|y)
X , Z sind bedingt unabhängig gegeben Y , kurz: X → Y → Z
p
⃗∞ = Π⃗
p∞
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Stand: 9. Februar 2016
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