Aufgabenblatt 5 - Uni

Markus Bibinger, Tobias Zwingmann
Mathematische Statistik
Sommersemester 2016
Philipps-Universität Marburg
Aufgabenblatt 5
15. Es seien X1 , . . . , Xn i.i.d. N (µ, Ed )-verteilt. Der James-Stein-Schätzer mit positivem Gewicht ist definiert als
Å
d−2ã
µ̂JS+ = 1 −
X̄ .1
n|X|2 +
Beweisen Sie für d > 3 und µ ∈ Rd schrittweise folgenden Risikovergleich mit dem
klassischen James-Stein-Schätzer:
Eµ [|µ̂JS+ − µ|2 ] < Eµ [|µ̂JS − µ|2 ].
(a) Die Abschätzung ist korrekt für µ = 0.
(b) Die Abschätzung folgt aus der Ungleichung
Eµ [µj X̄j |G|1{G60} ] > 0 für G = 1 −
d−2
n|X̄|2
und alle j = 1, . . . , d mit µj 6= 0.
(c) Für a > 0 und µj 6= 0 gilt
Eµ [µj X̄j | (X̄j )2 = a2 ] = aµj tanh(naµj ) > 0 .
Dies ergibt die Ungleichung in (b) durch Einfügen einer auf ((X̄1 )2 , . . . , (X̄d )2 ) bedingten Erwartung.
16. Es sei X, F, (Pϑ )ϑ∈Θ ein statistisches Modell. Wir betrachten ein Schätzproblem für ϑ ∈
[c, d] ⊆ R, wobei c, d ∈ R bekannt sind. Der messbare Raum S enthalte [c, d] und die
Verlustfunkion sei von der Form l(ϑ, a) = L(|ϑ − a|) für eine streng monoton wachsende
Funktion L auf [0, ∞).
Ä
ä
Zeigen Sie, dass jeder Schätzer ϑb : X → S mit Pϑ (ϑb 6∈ [c, d]) > 0 unzulässig ist.
Abgabe Donnerstag 19.05.2016 vor der Vorlesung.
Besprechung in der Übung am 23.05.2016.
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X̄ bezeichnet das arithmetische Mittel und ( • )+ den Positivteil.
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