Statistik III - Schätzen und Testen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Dr. Th. Ziebach
M.Sc. R. Löser
Wintersemester 2015/16
19.11.2015
Blatt 6
Übungen zur Vorlesung
Statistik III - Schätzen und Testen
Info: Alle Aufgaben sind mit den bis zum 19.11.2015 behandeltem Vorlesungsinhalt lösbar.
Aufgabe 18
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit P X1 =Exp(λ), λ > 0. Gegeben
sei der Schätzer T1 = n · min{X1 , . . . , Xn } für die parametrische Funktion τ (λ) = λ−1 .
(a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Schätzer TM L für τ (λ).
(b) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von T1 und TM L .
(c) Bestimmen Sie den MSE von T1 und TM L . Welcher Schätzer ist aufgrund Ihrer Ergebnisse
vorzuziehen?
Aufgabe 19
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit X1 ∼R[0, θ], θ > 0. Gegeben
sei der Schätzer
!2
n
4 X
T = 2
Xi
n
i=1
für die parametrische Funktion τ (θ) = θ2 .
(a) Berechnung Sie die Verzerrung des Schätzers T . Ist T asymptotisch erwartungstreu für τ (θ)?
(b) Geben Sie einen erwartungstreuen Schätzer T2 für τ (θ) an, indem Sie den Schätzer T korrigieren.
Aufgabe 20
Seien X1 , X2 , X3 unabhängig identisch verteilte Zufallsvariablen mit Xi ∼ Bin(1, p), i = 1, 2, 3,
p ∈ Θ = {0.1, 0.15, 0.2}. Ferner sind drei Funktionen zur Schätzung des unbekannten Parameters p
gegeben:
T1 (X1 , X2 , X3 ) = X,
1
T2 (X1 , X2 , X3 ) = X(2) ,
3
T3 (X1 , X2 , X3 ) = 0.15,
wobei X(i) die i-te (aufsteigend) geordnete Beobachtung darstellt.
(a) Bestimmen Sie die Verteilung von T1 , T2 bzw. T3 indem Sie jeweils die Zähldichte bestimmen. Vergleichen Sie die drei Schätzfunktionen hinsichtlich Erwartungstreue und MSE für
alle p ∈ Θ. Gibt es einen MSE-optimalen Schätzer unter den drei obigen Schätzern, d.h. einen
Schätzer der für alle p ∈ Θ den kleinsten MSE hat?
(b) Gehen Sie zu dem reduzierten Stichprobenraum gewählt als Wertebereich von
Y = X1 + X2 + X3 über und berechnen Sie die Schätzwerte, die die drei Schätzfunktionen
für die vier möglichen Stichprobenrealisationen von Y annehmen können.
Fassen Sie nun zudem p als Realisierung einer Zufallsvariablen θ mit Wertebereich {0.1, 0.15, 0.2}
und einer a-priori-Verteilung Q auf:
P (θ = 0.1) = 0.2,
P (θ = 0.15) = 0.3,
P (θ = 0.2) = 0.5
(c) Berechnen Sie den Bayes-Schätzer für p bzgl. der a-priori-Verteilung Q, indem Sie die entsprechenden a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten bestimmen. Berücksichtigen Sie dabei, dass
der Bayes-Schätzer dem Erwartungswert der a-posteriori-Verteilung entspricht.
Hilfe: Berechnen Sie nur noch die fehlenden a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten:
Stichprobenrealisationen
p
Y =0
0.1
0.2488
0.15
0.3144
0.2
Y =1
Y =2
Y =3
0.0385
0.2885
0.5678
0.2436
0.7692
Abgabe: Bis Freitag, 27.11.2015, 12 Uhr, in dem entsprechenden Briefkasten im Mathe-Foyer:
Mo 8.30 Uhr Briefkasten 138, Mo 16.05 Uhr und Di 8.30 Uhr Briefkasten 139,
Di 12.00 Uhr, Briefkasten 140.
Homepage zur Vorlesung: http://www.statistik.tu-dortmund.de/iwus-lehre.html

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