1 g(x) = sin x とおき，0

1
g(x) = sin3 x とおき，0 < µ < ¼ とする．x の 2 次関数 y = h(x) のグラフは原点を頂点とし，h(µ) =
g(µ) を満たすとする．このとき，曲線 y = g(x) (0 5 x 5 µ) と直線 x = µ および x 軸で囲まれた図形
の面積を G(µ) とおく．また，曲線 y = h(x) と直線 x = µ および x 軸で囲まれた図形の面積を H(µ) と
おく．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) H(µ) を求めよ．
(2) G(µ) =
(3) lim
µ!+0
1
(1 ¡ cos µ)2 (2 + cos µ) を証明せよ．
3
G(µ)
を求めよ．
H(µ)
（大阪府立大学 2013 ）
p
2
のグラフを C とする．以下の問いに答えよ．
4
p
p
B
B
2
2
2
2
<，$t; 2t ¡
< における C の法線をそれぞれ
(1) 相異なる実数 s; t に対し，C 上の点 $s; 2s ¡
4
4
`s ; `t で表す．`s と `t の交点の座標を求めよ．ただし，曲線 C 上の点 P における法線とは，P を通り，P
2
B
2 次関数 y =
2
2x ¡
における C の接線と垂直に交わる直線のことである．
(2) t を固定して s を t に近づけるとき，(1) で求めた交点の x 座標と y 座標が近づく値をそれぞれ f(t)，g(t)
で表す．このとき，f(t)，g(t) を求めよ．
(3) (2) で求めた f(t)，g(t) を，実数全体で定義された t の関数とみなして，
x = f(t);
y = g(t)
によって媒介変数表示される曲線を D とする．このとき，C と D によって囲まれた部分の面積を求めよ．
（大阪府立大学 2013 ）
3
x
(x = 0) と直線 x = a および x 軸で囲まれた図形を x 軸
x+k
a
のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V1 とする．また，曲線 C と直線 y =
および y 軸で
a+k
V2
を求めよ．
囲まれた図形を y 軸のまわりに 1 回転してできる回転体の体積を V2 とする．このとき，比
V1
k と a を正の定数とする．曲線 C : y =
（大阪府立大学 2012 ）
4
次の問いに答えよ．
Z
2¼
sin t cos(x ¡ t) dt = a sin x + b cos x が成り立つような定数 a; b の値を求めよ．
Z 2¼
f(t) cos(x¡t) dt = ®f(x) を満たしている．f(0) = f0 (0) =
(2) 連続な関数 f(x) と 0 でない実数 ® は
(1) 次の等式
0
0
1 であるとき，® と f(x) を求めよ．
（大阪府立大学 2012 ）
5
n と k を自然数，t を正の実数とする．以下の問いに答えよ．
Z
(1) 不定積分
x sin tx dx を求めよ．
Z 2¼
t
(2) 定積分
x sin tx dx を求めよ．
0
Z k¼
t
(3) 定積分 Ik (t) = k¡1 x sin tx dx を，k が偶数である場合に求めよ．
(4) 定積分
t
Z
2n
t
¼
¼
x sin tx dx を求めよ．
0
（大阪府立大学 2012 ）
6
f(x) = e¡x cos x とする．
(1) e¡x sin x ¡ e¡x cos x を微分せよ．
Z ¼
2
(2) 定積分
f(x) dx を求めよ．
0
(3) 自然数 n に対して，
Sn =
¼
2¼
3¼
n¼
1
Sf #
; + f#
; + f#
; + Ý + f#
;k
n
2n
2n
2n
2n
とおく．次の式が成り立つことを示せ．
2
Sn <
¼
Z
0
¼
2
f(x) dx < Sn +
1
n
(4) lim Sn を求めよ．
n!1
（大阪府立大学 2011 ）
7
次の問いに答えよ．
(1) 不定積分
I1 =
Z
log x dx;
I2 =
Z
(log x)2 dx
をそれぞれ求めよ．ただし，積分定数は省略してよい．
(2) 2 曲線 y = log(x + 1); y = log 2x と x 軸とで囲まれた図形を x 軸のまわりに 1 回転してできる立体の
体積 V を求めよ．
（大阪府立大学 2011 ）

Download Report