z - SUUGAKU.JP

1
次の問いに答えよ．
z¡®
が純虚数となるような z は，複
z¡¯
素数平面上でどのような図形を描くか．
(1) 異なる複素数 ®; ¯ に対して，
(2) 2 次方程式 x2 ¡ 2x + 4 = 0 の解を ®; ¯ とする．ただし，® の虚部は
正であるとする．等式
arg
z ¡ ®2
¼
=
2
z ¡ ¯2
をみたす z が，複素数平面上で描く図形を図示せよ．
2
n を自然数とし，a; b; r は実数で b > 0，r > 0 とする．複素数 w = a+
bi は w2 = ¡2w を満たすとする．®n = rn+1 w2¡3n (n = 1; 2; 3; Ý)
とする．ただし，i は虚数単位とし，複素数 z に共役な複素数を z で表
す．次の問いに答えよ．
(1) a と b の値を求めよ．
(2) 複素数平面上の 3 点 O(0)，A(®1 )，B(®1 ) について，ÎAOB の大き
さを µ とする．ただし，0 5 µ 5 ¼ とする．µ の値を求めよ．
(3) ®n の実部を cn (n = 1; 2; 3; Ý) とする．cn を n と r を用いて表せ．
1
P
(4) (3) で求めた cn を第 n 項とする数列 fcn g について，無限級数
cn が
n=1
8
となるような r の値を求めよ．
収束し，その和が
3
-1-
3
複素数平面において，円 z = 1 を C とする．
(1) ® = a + bi を C 上の点とする．複素数 w = x + yi が ® を通る C の接
線上にあるための条件を実数 a; b; x; y を用いて表せ．
(2) 次の条件を満たす C 上の点 ® の描く図形を図示せよ．
条件： V
4
®w + ®w = 2
w¡4 =1
を同時に満たす複素数 w が存在する．
複素数平面の点 A(1) を中心とし，原点を通る円を C とする．また，P(z)，
¼
とする．さら
Q(w) を円 C 上を動く点とし，0 < arg z < arg w <
2
z(w ¡ 2)
に，R =
とおく．
w(z ¡ 2)
(1) R は R > 1 を満たす実数であることを示せ．
¼
(2) ÎPAQ =
のときの R の最小値を求めよ．
3
5
複素数平面上の 3 点 A(®)，W(w)，Z(z) は原点 O(0) と異なり，
p
1
3
®=¡ +
i;
2
2
w = (1 + ®)z + 1 + ®
とする．ただし，® は ® の共役な複素数とする．2 直線 OW，OZ が垂
直であるとき，次の問に答えよ．
(1) (1 + ®)¯ + 1 + ® = 0 を満たす複素数 ¯ を求めよ．
(2) z ¡ ® の値を求めよ．
(3) 4OAZ が直角三角形になるときの複素数 z を求めよ．
-2-
6
複素数 zn を
z0 = 0;
z1 = 1;
zn+2 = zn+1 +®(zn+1 ¡zn )
(n = 0; 1; 2; Ý)
1
¼
¼
#cos
;
+ i sin
2
3
3
とする．また，複素数平面上で複素数 zn を表す点を Pn とする．以下の
により定める．ただし，i を虚数単位とし，® =
問いに答えよ．
(1) z2 ; z3 ; z4 を求めよ．
(2) 点 P0 ，P1 ，P2 ，P3 ，P4 を図示せよ．また，線分 P0 P1 ，P1 P2 ，P2 P3 ，
P3 P4 の長さ，および ÎP2 P1 P0 ，ÎP3 P2 P1 ，ÎP4 P3 P2 の値も図中に示せ．
(3) zn+1 ¡ zn (n = 1; 2; 3; Ý) を ® と n を用いて表せ．
(4) zn の実部，虚部をそれぞれ xn ; yn とする．このとき，xn ; yn をそれ
ぞれ n を用いて表せ．
(5) (4) で求めた xn ; yn について， lim xn ; lim yn をそれぞれ求めよ．
n!1
7
n!1
z を複素数とする．複素数平面上の 3 点 A(1)，B(z)，C(z2 ) が鋭角三
角形をなすような z の範囲を求め，図示せよ．
-3-
8
複素数平面上を，点 P が次のように移動する．
‘ 時刻 0 では，P は原点にいる．時刻 1 まで，P は実軸の正の方向に速さ
1 で移動する．移動後の P の位置を Q1 (z1 ) とすると，z1 = 1 である．
¼
’ 時刻 1 に P は Q1 (z1 ) において進行方向を
回転し，時刻 2 までそ
4
1
の方向に速さ p で移動する．移動後の P の位置を Q2 (z2 ) とすると，
2
3+i
である．
z2 =
2
¼
“ 以下同様に，時刻 n に P は Qn (zn ) において進行方向を
回転し，時
4
n
1
刻 n + 1 までその方向に速さ $ p < で移動する．移動後の P の位置を
2
Qn+1 (zn+1 ) とする．ただし n は自然数である．
®=
1+i
として，次の問いに答えよ．
2
(1) z3 ; z4 を求めよ．
(2) zn を ®; n を用いて表せ．
(3) P が Q1 (z1 ); Q2 (z2 ); Ý と移動するとき，P はある点 Q(w) に限り
なく近づく．w を求めよ．
(4) zn の実部が (3) で求めた w の実部より大きくなるようなすべての n を
求めよ．
-4-
9
以下の問いに答えよ．
(1) µ を 0 5 µ < 2¼ を満たす実数，i を虚数単位とし，z を z = cos µ +
i sin µ で表される複素数とする．このとき，整数 n に対して次の式を証
明せよ．
cos nµ =
1
1
#zn + n ; ;
2
z
sin nµ = ¡
1
i
#zn ¡ n ;
2
z
(2) 次の方程式を満たす実数 x (0 5 x < 2¼) を求めよ．
cos x + cos 2x ¡ cos 3x = 1
(3) 次の式を証明せよ．
sin2 20± + sin2 40± + sin2 60± + sin2 80± =
-5-
9
4

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